BSZ für Elektrotechnik Dresden. Zahlenformate. Dr.-Ing. Uwe Heiner Leichsenring

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1 BSZ für Elektrotechnik Dresden Zahlenformate Dr.-Ing. Uwe Heiner Leichsenring Gliederung 1 Überblick 2 Grundaufbau der Zahlensysteme 2.1 Dezimalzahlen 2.2 Binärzahlen = Dualzahlen 2.3 Hexadezimalzahlen 2.4 Vorzeichenbehaftete Binärzahlen 3 Rechnen in den neuen Zahlenformaten 3.1 Addition 3.2 Subtraktion 3.3 Multiplikation 3.4 Division 1

2 1 Überblick Zahlensysteme Dezimalzahlen Binärzahlen Hexadezimalzahlen ohne Vorzeichen mit Vorzeichen ohne Vorzeichen mit Vorzeichen ohne Vorzeichen mit Vorzeichen Alltag Finanzen Uhrzeit Datum... Mathematik Wissenschaft Informationstechnik... Mathematik Informationstechnik... 2 Grundaufbau der Zahlensysteme 2

3 2.1 Dezimalzahlen Grundregeln: 1. Jede Dezimalziffer kann 10 verschiedene Zustände annehmen 0, 1, 2, 3,..., 9 2. Die Basis des Dezimalzahlensystems ist entsprechend die Zahl Die Wertigkeit einer Dezimalzahl VWXYZ berechnet sich wie folgt: Dezimalzahl: V W X Y Z Ziffernnummer: Wertigkeit: V* W* X* Y* Z* Binärzahlen = Dualzahlen Wertigkeit der Binärzahlen und ihre Umrechnung in Dezimalzahlen: 1. Jede Binärziffer kann 2 verschiedene Zustände annehmen 0, 1 2. Die Basis des Binärzahlensystems ist entsprechend die Zahl Die Wertigkeit der Binärzahl IJKL MNOP berechnet sich wie folgt: Binärzahl I J K L M N O P Bitnummer Wertigkeit I*2 7 + J*2 6 + K*2 5 + L*2 4 + M*2 3 + N*2 2 + O*2 1 + P*2 0 Wertigkeit = Dezimalzahl Die Wertigkeiten der Ziffern einer Binärzahl werden addiert. 3

4 2.2 Binärzahlen = Dualzahlen Beispiel: Binärzahl Bitnummer Wertigkeit 0* * * * * * * *2 0 0*128+ 1*64 + 1*32 + 0*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 0* = Binärzahlen = Dualzahlen Umrechnen von Dezimalzahlen in Binärzahlen: Variante 1: Manuelles Zerlegen der Dezimalzahl in eine Summe einzelner Zweierpotenzen 47 = = = = = = = = = = = = = = =

5 2.2 Binärzahlen = Dualzahlen Umrechnen von Dezimalzahlen in Binärzahlen: Variante 2: Wiederholte Division durch 2 mit Festhalten des Divisionsrestes 47 : 2 = 23 Rest: 1 (LSB) 23 : 2 = 11 Rest: 1 11 : 2 = 5 Rest: 1 5 : 2 = 2 Rest: 1 2 : 2 = 1 Rest: 0 1 : 2 = 0 Rest: 1 (MSB) 47 = = MSB LSB MSB = most significant bit LSB = last significant bit = höchstwertiges Bit = niederwertigstes Bit = erstes Bit einer Zahl = letztes Bit einer Zahl Ein Auffüllen einer Binärzahl mit führenden Nullen ist jederzeit möglich. Der Wert der Zahl verändert sich dabei nicht. 2.2 Binärzahlen = Dualzahlen Umrechnen von Dezimalzahlen in Binärzahlen: Variante 2: Wiederholte Division durch 2 mit Festhalten des Divisionsrestes 229 : 2 = 114 Rest: 1 (LSB) 114 : 2 = 57 Rest: 0 57 : 2 = 28 Rest: 1 28 : 2 = 14 Rest: 0 14 : 2 = 7 Rest: 0 7 : 2 = 3 Rest: 1 3 : 2 = 1 Rest: 1 1 : 2 = 0 Rest: 1 (MSB) 229 = MSB LSB 5

6 2.2 Binärzahlen = Dualzahlen Zahlenbereiche von Binärzahlen ohne Vorzeichen: 4 Bit: größte positive Binärzahl = 1111 = 15 kleinste positive Binärzahl = 0000 = 0 8 Bit: größte positive Binärzahl = = 255 kleinste positive Binärzahl = = 0 16 Bit: größte positive Binärzahl = = kleinste positive Binärzahl = = Hexadezimalzahlen Zur Abkürzung der binären Zahlendarstellung existieren die Hexadezimalzahlen: 4 Bit 1 Ziffer einer Hexadezimalzahl zugehörige Dezimalzahl H H H H H H H AH BH CH DH EH FH 15 6

7 2.3 Hexadezimalzahlen 4 Bit = 1 Halbbyte = 1 Tetrade Hexadezimalzahlen werden durch ein H hinter der Zahl gekennzeichnet, um sonst mögliche Verwechslungen mit Dezimalzahlen auszuschließen! 8 Bit lassen sich somit durch 2 Hexadezimalziffern darstellen H H Hexadezimalzahlen Wertigkeit der Hexadezimalzahlen und ihre Umrechnung in Dezimalzahlen: 1. Jede Hexadezimalziffer kann 16 verschiedene Zustände annehmen 0, 1, 2, 3, 4,..., D, E, F 2. Die Basis des Hexadezimalzahlensystems ist entsprechend die Zahl Die Wertigkeit der Hexadezimalzahl QRSTH berechnet sich wie folgt: Hexadezimalzahl Q R S T H Ziffernnummer Wertigkeit Q* R* S* T*16 0 Wertigkeit = Dezimalzahl Die Wertigkeiten der Ziffern einer Hexadezimalzahl werden addiert. 7

8 2.3 Hexadezimalzahlen Beispiel: Hexadezimalzahl 1 5 A 3 H Ziffernnummer Wertigkeit 1* * A* *16 0 1* * *16 + 3*1 = Hexadezimalzahlen Umrechnen von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen: Variante 1: Ermittlung der zugehörigen Binärzahl und deren Umwandlung in eine Hexadezimalzahl - einfache Methode 47 = = 2FH 229 = = E5H 8

9 2.3 Hexadezimalzahlen Umrechnen von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen: Variante 1: Ermittlung der zugehörigen Binärzahl und deren Umwandlung in eine Hexadezimalzahl - einfache Methode 47 = = 2FH 229 = = E5H Variante 2: Zerlegen der Dezimalzahl in eine Summe von Produkten aus Faktoren kleiner 16 und der Potenzen von 16 - aufwendig 47 / 16 1 = 2,... 2 * 16 1 = 32 Rest: = / 16 0 = * 16 0 = 13 Rest: = 0 47 = 2 * * 16 0 = 2FH 229 / 16 2 = 0,89... größte enthaltene Potenz von 16 ist / 16 1 = 14, * 16 1 = 224 Rest: = 5 5 / 16 0 = 5 5 * 16 0 = 5 Rest: 5-5 = = 14 * * 16 0 = E5H 2.3 Hexadezimalzahlen Umrechnen von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen: Variante 3: Wiederholte Division durch 16 mit Festhalten des Divisionsrestes 47 : 16 = 2 Rest: 15 (niederwertigste Ziffer) 2 : 16 = 0 Rest: 2 (höchstwertigste Ziffer) 47 = 2FH 229 : 16 = 14 Rest: 5 14 : 16 = 0 Rest: = E5H 9

10 2.4 Vorzeichenbehaftete Binärzahlen Betrachtungsweisen für Binärzahlen 1. Die Binärzahlen sind positive Zahlen ohne Vorzeichen (vgl. Abschnitt 2.2) z. B = = Die Binärzahlen werden als vorzeichenbehaftete Binärzahlen betrachtet: Das höchstwertige Bit (MSB = most significant bit) wird zum Vorzeichenbit, 0 heißt positives Vorzeichen, 1 heißt negatives Vorzeichen > < Vorzeichenbehaftete Binärzahlen Betrachtungsweisen für Binärzahlen 1. Die Binärzahlen sind positive Zahlen ohne Vorzeichen (vgl. Abschnitt 2.2) z. B = = Die Binärzahlen werden als vorzeichenbehaftete Binärzahlen betrachtet: Das höchstwertige Bit (MSB = most significant bit) wird zum Vorzeichenbit, 0 heißt positives Vorzeichen, 1 heißt negatives Vorzeichen > < 0 Welche Betrachtungsweise benutzt wird, hängt von der jeweiligen Problemstellung ab. Treten nur positive Zahlenwerte auf, kann auf die Vorzeicheninformation verzichtet werden. Sind negative Zahlen nicht ausschließbar, muss mit vorzeichenbehafteten Binärzahlen gearbeitet werden. 10

11 2.4 Vorzeichenbehaftete Binärzahlen Der Wert einer negativen Binärzahl lässt sich nicht wie bei positiven Binärzahlen ermitteln. Mit Hilfe der Zweierkomplementbildung wird eine negative Binärzahl in eine positive Binärzahl umgewandelt (d. h. das Vorzeichen gewechselt) und von ihr der Wert wie bisher errechnet. Damit ist bekannt, welche Größe die negative Binärzahl hat. Schritte bei der Bildung des Zweierkomplements: 1. Binärzahl invertieren = negieren, d. h. aus 0 wird 1 und aus 1 wird 0 2. Addition von 1 Ausgangszahl: = Negation: Addition von 1: = Ausgangszahl: Frage: Welchen Wert hat diese negative Binärzahl? Negation: Addition von 1: = + 24 Antwort: Die Binärzahl hat den Wert = Vorzeichenbehaftete Binärzahlen Zahlenbereiche von Binärzahlen mit Vorzeichen: Dezimalzahl Binärzahl Bit: größte positive Binärzahl = 0111 = 7 kleinste negative Binärzahl = 1000 = Bit: größte positive Binärzahl = = 127 kleinste negative Binärzahl = = Bit: größte positive Binärzahl = = kleinste negative Binärzahl = =

12 3 Rechnen in den neuen Zahlenformaten 3.1 Addition Addition ohne Vorzeichen: Binärzahlen Hexadezimalzahlen Dezimalzahlen = 6AH = = + 35H = = 9FH = = 73H = = + 1FH = = 92H =

13 3.1 Addition Addition ohne Vorzeichen: Hexadezimalzahlen Dezimalzahlen 3A4FH = B192H = EBE1H = H = FFFFH = H = Addition Addition mit Vorzeichen: Binärzahlen Hexadezimalzahlen Dezimalzahlen = 69H = = + A6H = + (-90) = 10H = = 36H = = + 8CH = +(-116) = C2H =

14 3.2 Subtraktion Subtraktion ohne Vorzeichen: Binärzahlen Hexadezimalzahlen Dezimalzahlen = 69H = = - 35H = = 35H = = 73H = = - 1FH = = 54H = Subtraktion Subtraktion ohne Vorzeichen: Hexadezimalzahlen Dezimalzahlen FFFFH = H = EDCBH =

15 3.2 Subtraktion Subtraktion mit Vorzeichen: Binärzahlen Hexadezimalzahlen Dezimalzahlen = 19H = = - A6H = - (-90) = 74H = = 9BH = (-101) = - 8CH = -(-116) = 0FH = Multiplikation Multiplikation von Binärzahlen: Binärzahlen Dezimalzahlen * = 183 * =

16 3.3 Multiplikation Multiplikation von Hexadezimalzahlen: Hexadezimalzahlen Dezimalzahlen F2H * 15H = 242 * 21 F2 4BA 13DAH = Division Division von Binärzahlen ohne Kommastelle: Dezimal: : 114 = 183 Binär: : =

17 3.4 Division Division von Binärzahlen mit Kommastelle: Dezimal: 15 : 4 = 3,75 Binär: 1111 : 100 = 11,11 = 1*2 1 +1*2 0 +1*2-1 +1*2-2 = 3, Division Division von Hexadezimalzahlen mit Kommastelle: Dezimal: 242 : 44 = 5,5 Hexadezimal: F2H : 2CH = 5,8H = 5 * * 16-1 = 5,5 DC

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