Zahlensysteme. Zahl Stellenwert Zahl Zahl =

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1 Personal Computer in Betrieb nehmen 1/6 Weltweit setzen die Menschen alltäglich das Zehnersystem für Zählen und Rechnen ein. Die ursprüngliche Orientierung stammt vom Zählen mit unseren 10 Fingern. Für die schriftliche Darstellung wird ein Zeichenvorrat von zehn verschiedenen Zahlensymbolen benötigt, nämlich die Zeichen von 0 bis 9 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Sobald eine Zahl den maximalen Wert einer Stelle überschreitet wird mit der nächsten Stelle weitergefahren. Dezimalsystem Wir sprechen in diesem Zusammenhang vom Zehnersystem oder dem Dezimalsystem. Eine Dezimalzahl setzt sich aus Stellen mit Zeichen zusammen. Eine Stelle entspricht dem multipliziert mit der zugehörigen Zahl. Die Summe aller Stellen ergibt die Zahl. 10er System (Dezimalsystem) Zahl Zahl Zahl = Analoge und Digitale Signale Ein analoges Signal kann beliebig viele Werte genau annehmen. Bei der Darstellung eines analogen Signals mit einem Messgerät (Zeigerinstrument: Beispiel Waage) kann man jedoch den Wert nicht mit einer grossen Genauigkeit ablesen. Die Zeigerdicke, der Betrachtungswinkel und die Skalengrösse verunmöglichen eine genaue Wertbestimmung. Ein digitales Signal kann nur bestimmte Werte annehmen. Diese sind durch vorgegebene Stufen bestimmt. Die Anzahl Stufen gibt den Bereich an. Die Darstellung eines digitalen Signals erfolgt über einen Zahlenwert (zb. Digitaluhr). Mit einem Messinstrument (Bsp. Digitales Multimeter, siehe Bild) können Werte im Bereichvon 0.00 bis 9.99 angezeigt werden. Es sind also 1000 Werte möglich. Die Auflösung beträgt dabei Die Genauigkeit entspricht damit 1 (ein tausendstel = ein Promille) des gesamten Bereichs. Zwischenwerte werden dabei auf den nächstliegenden Wert gerundet wird als 7.47 dargestellt, wird als 7.20 angezeigt.

2 Personal Computer in Betrieb nehmen 2/6 Zahlen im Rechner Wenn eine Grösse mit einem Rechner bearbeitet werden soll, muss Sie in digitaler Form vorliegen. In einem elektronischen Rechner (Taschenrechner, PC, Grossrechner) müssen Zahlen mit Hilfe von elektrischen Signalen dargestellt und transportiert werden. Die Zahlen entsprechen also einem elektrischen Signal. Elektrische Signale können Ströme oder Spannungen sein, die ein- oder ausgeschaltet werden. Wenn wir einen elektrischen Schalter untersuchen, stellen wir fest, dass er entweder geschlossen ist und somit einen Stromfluss ermöglicht, oder er ist geöffnet und unterbricht den Stromfluss. Ein elektrischer Schalter hat also 2 mögliche Zustände mit den Werten 0 und 1 entsprechend EIN und AUS (engl. ON und OFF). Auf diese Art funktioniert das gesamte Rechensystem, sozusagen wie ein Zählrahmen mit nur 2 Kugeln pro Stelle. Es basiert also nicht auf 10 verschiedenen Zuständen (Zeichen) sondern nur auf 2 verschiedenen Zeichen. Ein solches System nennt man zweiwertiges Zahlensystem oder binäres Zahlensys-tem (Dualsystem). 0 1 Anstelle von Null (0) und Eins (1) spricht man auch von falsch (engl. false) und wahr (engl. true). Binäre Werte (Dualsystem, Binärsystem) Die beiden Zustände haben die Werte 0 (offen) und 1 (geschlossen) und bilden die Ausgangslage für das 2er- Zahlensystem. Man hat somit einen Zeichenvorrat von 2 verschiedenen Zeichen. Eine einzelne Stelle wird als Bit (BInary DigiT) bezeichnet. Ein Bit kann also nur die beiden Zustände 0 oder 1 annehmen. Bis auf diesen Unterschied ist alles gleich wie beim Dezimalsystem. Sobald eine Zahl grösser als das maximale Zeichen wird, muss wie beim Dezimalsystem auf die nächs-te Stelle gewechselt werden. Betrachten wir einmal die binäre Zahl 0101 in einer Tabelle mit und Bitwert. Wie beim Dezimalsystem befindet sich der kleinste ganz rechts, während der grösste ganz links steht. 2er System (Binärsystem) Bitposition Bit dezimal = Die binäre Zahl 0101 entspricht also der Zahl 5 im Dezimalsystem.

3 Personal Computer in Betrieb nehmen 3/6 Bit und Byte In der Rechnerarchitektur wird für die Datenbehandlung eine übergeordnete Einheit gebildet. Man fasst 8 Bit zur nächst grösseren Einheit, dem Byte zusammen. Nehmen wir wieder unser erstes Beispiel der Dezimalzahl 55 und betrachten diese im Binärsystem 2er System (Binärsystem) Bit MSB LSB Byte dezimal = Das höchstwertigste Bit wird MSB (Most Significant Bit) und das niedrigstwertigste Bit LSB (Least Significant Bit) genannt. Mit einem Bit lassen sich Werte mit 2 Zuständen darstellen, 0 und 1 Mit 2 Bit bereits 2 2 =4 (alle Zweierkombinationen von 0 und ) Mit 3 Bit können wir schon 2 3 =8 Möglichkeiten darstellen ( ). Dezimal zu Binär umrechnen mit der fortlaufenden Division Wir teilen die Zahl ganzzahlig fortlaufend durch die Basis des neuen Zahlensystems, im Binärsystem (Zweiersystem) = 2 und schreiben jeweils den Rest der Division auf. Die gesuchte Zahl wird in umgekehrter Reihenfolge aus den Resten jeder Division (=Stelle) gebildet: ZAHL TEILER RESULTAT REST Binäre Schreibweise: Rest umgekehrt ( )

4 Personal Computer in Betrieb nehmen 4/6 Achtung: Verwenden Sie immer die übliche binäre Schreibweise: Führende Nullen werden auf ganze Bytegrenzen aufgefüllt B Binär zu Dezimal Wenn wir eine binäre Zahl in eine dezimale Zahl umwandeln ist die Arbeitsweise einfacher. Da der Zeichenvorrat des Ausgangssystems kleiner ist als das Zielsystem müssen wir nur die e addieren. Die binäre Zahl B hat eine 1 an den Bitpositionen 1,2,4 und 5 (2 1, 2 2, 2 4 und 2 5 ). Daraus ergibt sich die Dezimalzahl: =54 Darstellung Um die verschiedenen mit zum Teil gleichen Zeichenvorräten auseinanderhalten zu können werden die Zahlen zusätzlich mit einer Abkürzung gekennzeichnet: D für Dezimal, B für Binär und H für Hexadezimal Wenn in einem Begleittext auf das Zahlensystem Bezug genommen wird, kann die Bezeichnung auch entfallen. Ohne Kennzeichnung ist üblicherweise das Dezimalsystem gemeint B = 137 Wichtig: Binäre Zahlen werden in der Informatik immer in Längen von 8 Bit (Byte) oder einem Mehrfachen davon (16,24,32 etc) dargestellt. Jede andere Anzahl Bit muss auf eine dieser Längen mit führenden Nullen ergänzt werden. Das Hexadezimalsystem Weil grosse binäre Zahlen ziemlich unhandlich sind, wurde in der Computertechnik ein weiteres Zahlensystem eingeführt. Das Sechzehnersystem oder auch Hexadezimalsystem (aus dem Griechischen) genannt, basiert auf der Zahl 16 (Basis). Wir haben es also mit einem höheren als dem dezimalen Zahlensystem zu tun. Der Zeichenvorrat ist grösser und deshalb muss unser Zeichenvorrat des Dezimalsystems erweitert werden. Für die neuen Werte 10,11,12,13,14 und 15 werden nun die Buchstaben A bis F eingesetzt.

5 Personal Computer in Betrieb nehmen 5/6 Zeichenvorrat dezimal binär hexadezimal A (10) B (11) C (12) D (13) E (14) F (15) Nehmen wir wieder unser erstes Beispiel mit der Dezimalzahl 55 und betrachten diese im Hexadezimalsystem 16er System (Hexadezimal) Wort dezimal = =37 H

6 Personal Computer in Betrieb nehmen 6/6 Umwandlung von hexadezimalen Zahlen zu dezimalen Zahlen Die Umwandlung erfolgt genau gleich wie bei der vorher beschriebenen Umwandlung von binär zu dezimal. Es können die beiden Methoden, fortlaufende Division oder fortlaufende Subtraktion eingesetzt werden, nur dass beim hexadezimalen System die Basis 16 und die e 16 n verwendet werden. Beispiele: 23 H = = = H = = = 531 Umwandlung von dezimalen Zahlen zu hexadezimalen Zahlen Eine hexadezimale Zahl lässt sich, ähnlich wie beim binären System, mit dem Verfahren der fortlaufenden Subtraktion aus dem Zehnersystem umwandeln. 268 =? - Die grösste hexadezimale Zahl die darin Platz findet ist 256 (= ). Danach bleibt ein Rest von =12. Die nächste Stelle (16 1 ) wird 0, da 1 16>12 ist. Die letzte Stelle ist also 12. Wir können die hexadezimale Zahl nun wie folgt schreiben: = C = 10C H Binär in Hexadezimal Die Umwandlungen von binären zu hexadezimalen Zahlen und umgekehrt ist besonders einfach, da die beiden miteinander auf besondere Weise verwandt sind. Das Hexadezimalsystem hat mit 16 Zeichen einen Zeichenvorrat, der binär mit 4 Bit restlos dargestellt werden kann. Dadurch kann man die Zahlen stellenweise umwandeln. Eine hexadezimale Stelle entspricht genau einer 4-Bit Zahl Die hexadezimale Zahl 1F H entspricht der binären Zahl 0001'1111 B, wobei 1 H den vorderen 4 Bit und F H den hinteren 4 Bit gleichzusetzen ist. Es soll nun 1001'0000'1010'0111 B in Hexadezimal gewandelt werden: A 7 H

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