e x D = R a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt, und geben Sie die Koordinaten von S an.

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1 Aufgabe 1 2e Gegeben ist die Funktion f mit f() = mit dem Definitionsbereich. e D = R + 9 a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt, und geben Sie die Koordinaten von S an. b) Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms von f, dass lim f() = 0 und lim f() = 2 gilt. c) Weisen Sie rechnerisch nach, dass G f in R streng monoton steigt d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an G f im Achsenschnittpunkt S. e) Begründen Sie, dass f in R umkehrbar ist. Geben Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich der Umkehrfunktion zeichnen Sie den Graphen von f 1 in die Abbildung ein. f 1 an und Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Alba lässt sich modellhaft mithilfe der Funktion f beschreiben. Beginnt man die Beobachtung zwei Wochen nach der Auskeimung einer Sonnenblume dieser Sorte, so liefert f () für [0; 4] im Modell die Höhe der Blume in Metern. Dabei ist die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten. f) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, um wie viele Zentimeter eine Sonnenblume innerhalb der ersten zwei Monate nach Beobachtungsbeginn wächst. g) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, wie viele Monate nach Beobachtungsbeginn eine Sonnenblume eine Höhe von 1,5 Metern erreicht.

2 Beschreiben Sie, wie man den berechneten Wert graphisch überprüfen kann. 2e a) f() =, also besitzt f keine Nullstelle. e + 9 > 0 f(0) = 0,2, als schneidet der Graph von f die -Achse im Punkt S 0 0,2. 2e b) lim f() = lim und e = 0 lim f() = lim 2e e + 9 = lim e = 0 d) f '() = 2e (e + 9) 2e e 18e und da zusammenhängend ist, (e + 9) 2 = (e + 9) 2 > 0 R ist f streng monoton wachsend. e) f ist streng monoton wachsend. D f 1 = W f = ]0; 2[ und W f 1 = D f = R f) f(2) f(0) = 2e 2 e 2 0,2 0,70 (m) + 9 g) 2e e + 9 = 1,5 2e = 1,5e + 13,5 e = 27 = ln27 3,3 Aufgabe 2 Gegeben ist die in I definierte Funktion. Der Graph von f wird mit be- R f : 6 e 0,5 + G f zeichnet.

3 a) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von G f. Bestimmen Sie Lage und Art des Etrempunkts von G f b) Geben Sie das Verhalten von f für an. Machen Sie plausibel, dass G f für die Gerade mit der Gleichung y = als schräge Asymptote besitzt. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an G m Punkt f 0 6. Skizzieren Sie G f unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet anzulegendes Koordinatensystem. a) f '() = 6 e 0,5 ( 0,5) + 1 = 3 e 0,5 + 1 = 0 e 0,5 = 1 3 = 2 ln3 ] ; 2ln3] : f ist smf [2ln3; [ :f ist sms < < 2ln3 2ln3 < < f '() + T 2ln ln3 ist Tiefpunkt des Graphen von f. b) lim f() = 0 lim (6 e + ) = 0 und damit ist die Gerade y = Asymptote des Graphen von f für. c) y = f '(0) ( 0) + 6 = 2 + 6

4 Aufgabe 3 Gegeben ist die in R definierte Funktion h 6 e 0,5 + 1,5. Sie Abbildung zeigt den in R streng monoton fallenden Graphen von h sowie dessen Asymptote, die durch G h die Gleichung y = 1,5 gegeben ist. a) Beschreiben Sie, wie G h aus dem Graphen der in Rdefinierten natürlichen Eponential- funktion e hervorgeht. Für > 0 beschreibt die Funktion h modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstofsausstoßes einer Maschine. Dabei ist die seit dem Start der Maschine vcrgangene Zeit in Minuten und h() die momentane Schadstoffausstoßrate in Milligramm pro Minute. b) Geben Sie in diesem Sachzusammenhang die Bedeutung des Monotonieverhaltens von G h sowie des Grenzwerts von h für an. a) 1. Spiegelung an der y-achse 2. Streckung in -Richtung mit dem Faktor 2 3. Streckung in y-richtung mit dem Faktor 6 4. Verschiebung mit dem Vektor v = 0 1,5 b) Der Schadstoffausstoß beträgt bei Inbetriebnahme der Maschine 7,5 mg und nimmt dann min mit zunehmender Betriebsdauer immer mehr in Richtung 1,5 mg ab. min Aufgabe 4

5 Gegeben ist die in R definierte Funktion f : 2 e 0,52. Die Abbildung zeigt den G f von f. a) Zeigen Sie, dass G f punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, und machen Sie an hand des Funktionsterms von f plausibel, dass gilt lim f() = 0. b) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Etrempunkte von. G f c) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate m S von f im Intervall [ 0,5; 0,5] sowie die loka- le Änderungsrate m T von f an der Stelle = 0: Berechnen Sie, um wie viel Prozent m S von m T T abweicht. d) Geben Sie eine Stammfunktion von f an a) f( ) = 2 ( ) e 0,5 ( )2 = 2 e 0,52 = f() lim f() = lim 2 e 0,52 = lim 2 = 0, e 0,52 2 weil lim und für. e = 0 e0,5 2 > e > 2 b) f '() = 2 e 0, e 0,52 ( ) = (2 2 2 ) e 0,52 = 0 = 1 = 1 < < 1 1 < < 1 1 < < f '() + T 1 2 ist eine Tiefpunkt und H 1 2 ein Hochpunkt des Graphen von f. e e c) m S = f(0,5) f( 0,5) 0,5 ( 0,5) = 2 f(0,5) = 2 e 0,125

6 m T = f '(0) = 2 m S m T = 2 e 0,125 2 m T 2 0,12 = 12% d) F() = 2 e 0,52 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion g : mit maimaler Definitionsmenge D. a) Bestimmen Sie D und geben Sie die Nullstelle von g an. b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von g im Punkt P 0 3. a) D = [ 3; [ Nullstelle ist = 3 b) g'() = 1 3 = g '(0) = 1 2 y = g'(0) ( 0) + g(0) = Aufgabe 6 Geben Sie für R die der folgenden Gleichung an: (ln 1) (e 2) ( 1 3) = 0 (ln 1) (e 2) ( 1 3) = 0 ln 1 = 0 e 2 = = 0 = e = ln = 1 3

7 Stochastik ================================================================== Aufgabe 1 Nachdem die Verfilmung eines bekannten Romans erfolgreich in den Kinos gezeigt wurde, veröffentlicht eine Tageszeitung das Ergebnis einer repräsentativen Umfrage unter Jugendlichen. Der Umfrage zufolge hatten 88% der befragten Jugendlichen den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts noch nicht gelesen, 18% sahen die Verfilmung. Von den Befragten, die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts bereits gelesen hatten, gaben 60 % an, die Verfilmung gesehen zu haben. Betrachtet werden folgende Ereignisse: R: Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hatte laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts bereits gelesen. V: Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person sah laut Umfrage die Verfilmung. a) Bestimmen Sie die W'keit dafür, dass eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person, die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts noch nicht gelesen hatte, angab, die Verfilmung gesehen zu haben. b) Beschreiben Sie das Ereignis R V im Sachzusammenhang und bestimmen Sie die W'keit dieses Ereignisses. Vierfeldertafel V V R 0,6 0,12 = 0,072 0,048 0,12 R 0,108 0,772 0,88 0,18 0,82 1 a) P R (F) = P(R F) P(R) = 0,108 0,88 = 12,27% b) R V : Der Befragte hat den Film nicht gesehen oder den Roman nicht gelesen. P(R V) = P(R V) = 1 P(R V) = 1 0,072 = 0,928 = 92,8%

8 Aufgabe 2 Ein Investor plant, in einer Gemeinde, die aus den Orten Oberberg und Niederberg besteht, eine Windkraftanlage zu errichten. Um sich einen Überblick darüber zu verschaffen, wie die Einwohner zu diesem Vorhaben stehen, beschließt der Gemeinderat, eine Umfrage unter den Wahlberechtigten der Gemeinde durchzuführen. In Niederberg werden 1722, in Oberberg 258 Einwohner befragt aller Befragten äußern keine Einwände gegen die Windkraftanlage, darunter sind allerdings nur 27 Einwohner von Oberberg. Die übrigen befragten Personen sprechen sich gegen die Windkraftanlage aus. a) Bestimmen Sie jeweils den prozentualen Anteil der Gegner der Windkraftanlage unter den Befragten von Niederberg und unter den Befragten von Oberberg. b) Aus allen Befragten wird zufällig eine Person ausgewählt. Ermitteln Sie die W'keit p 1, dafür, dass die ausgewählte Person in Oberberg wohnt und sich gegen die Windkraftanlage aussprach. die W'keit p 2, dafür, dass die ausgewählte Person in Oberberg wohnt, wenn bekannt ist W W N O a) P N (W) = 660 und ,3% P 231 O (W) = ,53% P(O W) b) p 2 = P W (O) = P(O W) = p 1 da P(W) 1 P(W)

Lösungen ==================================================================

Lösungen ================================================================== Lösungen ================================================================== Aufgabe Bestimme f '(x) a) f(x) = e x f '(x) = e x ( ) = 4 e c x b) f(x) = x e x f '(x) = e x ( ) = + e x c) f(x) = 3 e (x+)

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