Das Rechnen mit Logarithmen
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- Helge Kaufman
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1 Das Rechnen mit Logarithmen -E Mathematik, Vorkurs
2 Spezielle Logarithmen Der natürliche Logarithmus ist von besonderer Bedeutung in den Anwendungen: Basiszahl ist die Eulersche Zahl e: log e x ln x gelesen: natürlicher Logarithmus von x Der Logarithmus für die Basiszahl a = 0, Zehnerlogarithmus, auch Briggscher oder Dekadischer Logarithmus genannt log 0 x lg x gelesen: Zehnerlogarithmus von x Der Logarithmus für die Basiszahl a = 2, Zweierlogarithmus, auch Binärlogarithmus genannt log 2 x lb x gelesen: Zweierlogarithmus von x - Mathematik, Vorkurs
3 Aufgaben 2-A Mathematik, Vorkurs
4 Logarithmen: Aufgaben, 2 Aufgabe : Verwandle folgende Potenzgleichungen in Logarithmengleichungen: a ) 2 5 = 32, 2 7 = 28, 2 3 = 8 b ) 3 3 = 27, 3 4 = 8, 3 2 = 9 c ) 4 0 =, 4 3 = 64, 4 2 = 6 Aufgabe 2: Verwandle folgende Logarithmengleichungen in Potenzgleichungen: log 3 9 = 2, log 7 49 = 2, log 6 6 =, log 8 = 0, log 4 2 = 2 2- Mathematik, Vorkurs
5 Logarithmen: Lösung a ) 2 5 = 32, log 2 32 = 5, 2 7 = 28, log 2 28 = 7, 2 3 = 8, log 2 8 = 3, b ) 3 3 = 27, log 3 27 = 3, 3 4 = 8, log 3 8 = 4, 3 2 = 9, log 3 9 = 2, c ) 4 0 =, log 4 = 0, 4 3 = 64, log 4 64 = 3, 4 2 = 6, log 4 6 = 2, 2-2 Mathematik, Vorkurs
6 Logarithmen: Lösung 2 log 3 9 = 2, 3 2 = 9 log 7 49 = 2, 7 2 = 49 log 6 6 =, 6 = 6 log 8 = 0, 8 0 = log 4 2 = 2, 4 2 = 4 = Mathematik, Vorkurs
7 Logarithmen: Aufgaben 3, 4 Aufgabe 3: Berechnen Sie die gegebenen Ausdrücke ohne Taschenrechner: a ) log 2 32, log 2 64, log 2 6, log 2 b ) log 4 4, log 4 6, log 4 64, log 8 64, log 8 28, log 2 2 4, log 2 8, log c ) log 6 36, log 5 25, log 6 6, log 7, log 7 7 3, log d ) lg 00, lg 00000, lg 0, lg 000, lg 0.0, lg Aufgabe 4: Berechnen Sie x: log x 25 = 2, log x 27 = 3, log x 9 = 2, log x 9 =. 3- Mathematik, Vorkurs
8 Logarithmen: Lösung 3 a ) log 2 32 = 5, log 2 64 = 6, log 2 6 = 4, log 2 28 = 7, log = 4, log 2 = 0, b ) log 4 4 =, log 4 6 = 2, log 4 64 = 3, log 8 64 = 2, log 8 8 =, log = 3, c ) log 6 36 = 2, log 5 25 = 3, log 6 6 =, log 7 = 0, log = 3, log = 4, d ) lg 00 = 2, lg = 5, lg 0 =, lg = 3, 000 lg 0.0 = 2, lg = Mathematik, Vorkurs
9 Logarithmen: Lösung 4 log x 25 = 2, x 2 = 25, x = 5, log x 27 = 3, x 3 = 27, x = 3, log x 9 = 2, x 2 = 9 = 3 2 = 3 2, x = 3 log x 9 =, x = 9 = 9, x = Mathematik, Vorkurs
10 Logarithmen: Aufgaben 5-8 Berechnen Sie: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: 4- Mathematik, Vorkurs
11 Logarithmen: Lösung Mathematik, Vorkurs
12 Logarithmen: Lösungen 6, 7 Lösung 6: Lösung 7: 4-3 Mathematik, Vorkurs
13 Logarithmen: Lösung Mathematik, Vorkurs
14 Erste Rechenregel log b x y = log b x log b y Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren b, x, y > 0 5- Mathematik, Vorkurs
15 Zweite Rechenregel log b x y = log b x log b y Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner b, x, y > Mathematik, Vorkurs
16 Dritte Rechenregel log b x n = n log b x Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis. b, x > Mathematik, Vorkurs
17 Rechenregeln für Logarithmen 5-4 Mathematik, Vorkurs
18 Logarithmen: Aufgabe 9 Aufgabe 9: Berechnen Sie die gegebenen Ausdrücke: a ) log log 2 3, log log 4 7, log log 33, b ) lg 2 + lg 5000, log 5 75 log 5 3, lg 300 lg 3, c ) log 4 log , log 6 log Mathematik, Vorkurs
19 Logarithmen: Lösung 9 a ) log log 2 3 = log 2 (4 3) = log 2 2 =, log log 4 7 = log 4 (2 7) = log 4 4 =, log log 33 = log 33 (3 ) = log =, b ) lg 2 + lg 5000 = lg = lg 0 4 = 4 lg 0 = 4, log 5 75 log 5 3 = log = log 5 25 = 2 log 5 5 = 2, lg 300 lg 3 = lg 00 = 2. c ) log 2 4 log = log 2 ( log 3 6 log = log 3 3 = ) = log 2 2 =, 6-2 Mathematik, Vorkurs
20 Logarithmen: Aufgabe 0 Die gegebenen Terme sind mit Hilfe der Rechengesetze für Logarithmen (so weit wie möglich) additiv zu zerlegen: a ) log 3 5 x, log 3 3 x, log 2 4 x b ) log 3 3, log 3 9, 2 log 3 27 c ) log a b, log a b c, log a b c d d ) log a b, log a c b, log a b c d e ) log a 2 b, log a 3 b 2, log a 5 b 3 c f ) log a2 c b, log a c b d 3, log a b c 4 7- Mathematik, Vorkurs
21 Logarithmen: Lösung 0 a ) log 3 5 x = log 3 5 log 3 x, log 3 3 x = log 3 3 log 3 x = log 3 x log 2 4 x = log 2 4 log 2 x = log log 2 x = 2 log 2 x b ) log 3 3 = log 3 log 3 3 =, log 3 3 = log 3 3 = log 3 3 =, log 3 9 = log 3 log 3 9 = 0 log 3 32 = 2 log 3 3 = 2 2 log 3 27 = 2 log 3 log 3 27 = 2 log 3 log 3 33 = 2 3 log 3 3 = 6 c ) log a b = log a log b, log a b c = log a log b log c log a b c d = log a log b log c log d d ) log a b log a b c d = log a log b, log a c b = log a log b log c log d = log a log c log b 7-2 Mathematik, Vorkurs
22 Logarithmen: Lösung 0 e ) log a 2 b = log a 2 log b = 2 log a log b log a 3 b 2 = log a 3 log b 2 = 3 log a 2 log b log a 5 b 3 c = log a 5 log b 3 log c = 5 log a 3 log b log c f ) log a2 c b = log a2 log c log b = 2 log a log c log b log a c b d 3 = log a c log b d 3 = log a log c log b log d 3 = = log a log c log b 3 log d log a b c 4 = log a b log c 4 = log a /2 log b 4 log c = = log a log b 4 log c Mathematik, Vorkurs
23 Logarithmen: Aufgabe Fassen Sie die folgenden Logarithmen zusammen: a ) log u a 2 log u b b ) log u a log u b log u c c ) log u a 2 log u b 2 log u c d ) log u a 2 log u b 3 log u c e ) log u a 2 log u b 4 log u c 8- Mathematik, Vorkurs
24 Logarithmen: Lösung a ) log u a 2 log u b = log u a log u b 2 = log u a b 2 b ) log u a log u b log u c = log u a b c c ) log u a 2 log u b 2 log u c = log u a log u b log u c 2 = log u a b c 2 d ) log u a 2 log u b 3 log u c = log u a log u b log u c 3 = = log u a b c 3 = log u a b c 3 e ) log u a 2 log u b 4 log u c = log u a log u b 2 log u c = log u a log u b 2 log u c 4 = log u a b 2 c 4 = 4 = logu a b c 8-2 Mathematik, Vorkurs
25 Logarithmen: Aufgaben 2, 3 Die gegebenen Terme sind mit Hilfe der Rechengesetze für Logarithmen (so weit wie möglich) additiv zu zerlegen: Aufgabe 2: a) b) c) Aufgabe 3: 9- Mathematik, Vorkurs
26 Logarithmen: Lösung 2 a) b) c) 9-2 Mathematik, Vorkurs
27 Logarithmen: Lösung Mathematik, Vorkurs
28 Logarithmen: Aufgaben 4, 5 Die gegebenen Terme sind mit Hilfe der Rechengesetze für Logarithmen (so weit wie möglich) additiv zu zerlegen: Aufgabe 4: Aufgabe 5: 0- Mathematik, Vorkurs
29 Logarithmen: Lösungen 4, 5 Lösung 4: Lösung 5: 0-2 Mathematik, Vorkurs
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