MATLAB: Einführung und Anwendungen

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Mina Friedrich
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1 MATLAB: Einführung und Anwendungen Prof. Dr. H.-G. Stark Hochschule Aschaffenburg 9. November 206 Literatur [] F. Grupp/F. Grupp: MATLAB 7 für Ingenieure: Grundlagen und Programmierbeispiele, Oldenbourg, [2] U. Stein: Programmieren mit MATLAB: Programmiersprache, Grafische Benutzeroberflächen, Anwendungen, Hanser-Verlag, 206. Vektoren und Matrizen Beispiele: A = MATLAB-Version: >> A=[ 2 3;4 5 6]; >> B=[ ;2 2 2]; >> C=[ 0;2 ;3 2]; >> v=[;2;3]; ( ) (, B = ), C = , v = 2 3, (Elementweise) Linearkombination MATLAB-Version: >> 3*A-B A B = ( )

2 2 FLÄCHENPLOTS 2 Matrix-Vektor-Multiplikation A v = ( ) MATLAB-Version: >> A*v 4 32 Matrix-Matrix-Multiplikation MATLAB-Version: >> A*C A C = ( ) 2 Flächenplots Idee: Über einem Definitionsbereich D R 2 die Ortsvektoren x = (x, y) D und z = z(x, y). MATLAB-Realisierung für z(x, y) = x y mit x und y : Dialog: x y z abtragen, wobei >> x=-:.0:; %x-bereich mit den Werten >> y=-:.0:; %y-bereich mit den Werten >> [X,Y]=meshgrid(x,y); %muss halt sein >> Z=X.*Y; %Berechnung der Hoehenwerte >> mesh(x,y,z); %Plot

3 3 GLEICHUNGSSYSTEME 3 Plot: 2. Übungseinheit: Plot einer Ebene Plotten Sie eine Ebene mit dem Normalenvektor n = 2, die den Punkt x 0 = enthält. Für den Definitionsbereich soll D = {(x, y) 2 x 2, 2 y 2} gelten. Anleitung: Hesse sche Normalenform der Ebene aufstellen. Normalenform in die Gestalt z = z(x, y) umschreiben. Plotten. 0 3 Gleichungssysteme Beispiel : x y + z = x y z = x + y + z =

4 3 GLEICHUNGSSYSTEME 4 Matrixformulierung: } {{ } A Test der Lösbarkeitsbedingung in MATLAB: >> A=[ - ; - -; ]; >> b=[ ; - ; ]; >> rank(a), rank([a, b]) 3 x y z }{{} x = } {{ } b 3 Geometrische Interpretation: Drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt Bestimmung der Lösung mit MATLAB: >> x=a\b

5 3 GLEICHUNGSSYSTEME 5 x = 0 0 Beispiel 2: x y + z = x y z = z = Matrixformulierung: } 0 0 {{ } A x y z }{{} x = } {{ } b Test der Lösbarkeitsbedingung in MATLAB: >> A=[ - ; - -;0 0 ]; >> b=[ ; - ; ]; >> rank(a), rank([a, b]) 2 2 Geometrische Interpretation: Drei Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Unterbestimmtes Gleichungssystem!

6 3 GLEICHUNGSSYSTEME 6 Bestimmung der Lösung mit MATLAB: >> x=a\b x = NaN NaN Beispiel 3: Matrixformulierung: } 0 0 {{ } A x y + z = x y z = z = 2 Test der Lösbarkeitsbedingung in MATLAB: >> A=[ - ; - -;0 0 ]; >> b=[ ; - ; 2]; x y z }{{} x = 2 } {{ } b

7 3 GLEICHUNGSSYSTEME 7 >> rank(a), rank([a, b]) 2 3 Geometrische Interpretation: Drei Ebenen schneiden sich nicht. Nicht lösbares Gleichungssystem! Bestimmung der Lösung sinnlos! 3. Übungseinheit: Lineare Gleichungssysteme Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem: x + 2y + z = 3 x + z = 2 y + z =.5 Überprüfen Sie die Lösbarkeitsbedingung und bestimmen Sie ggf. die Lösung.

8 4 ANWENDUNGEN 8 Wählen Sie einen geeigneten Bereich D in der x-y-ebene und plotten Sie über diesem Bereich die zu den Gleichungen gehörenden Ebenen. Tipp: Nach der Ausführung von hold on können Sie mehrere Plots in ein Koordinatensystem einzeichnen! Wiederholen Sie obige Schritte für das Gleichungssystem x + 2y + z = 3 x + z = 2 x 2y + z = 4 Anwendungen 4. Vektoren Vektoren sind endliche Zahlenreihen (z.b. Messwerte). Man kann sie hören (Akustik). Beispiel: Abgetastete Sinusschwingung Formel: y = sin(2 π f t) Bezeichnungen: f: Frequenz, T = f : Periode. Digitales Sinus-Signal: Entsteht durch Abtastung eines kontinuierlichen Sinus-Signals: Bezeichnungen: T s : Abtastabstand, f s = T s : Abtastrate. Fasst man die Zahlenwerte als Lautstärkewerte auf und spielt sie mit der Frequenz f s = T s ab, hört man einen Sinuston. Zur Vermeidung von Verfälschungen muss das Abtasttheorem erfüllt sein: T s < T 2 bzw. f s > 2f In der Praxis wählt man f s >>>> 2f. Treten mehrere Frequenzen auf, muss die Ungleichung für die höchste vorkommende Frequenz gelten!

9 4 ANWENDUNGEN 9 Beispiel: Sinusgenerator in MATLAB: >> f=400; %Tonfrequenz >> fs=0*f; %Abtastrate >> Ts=/fs; %Abtastabstand >> t=0:ts:3; %3 Sek. in Ts-Schritten (Vektor) >> y=sin(2*pi*f*t); %Lautstaerkevektor erzeugen >> sound(y,fs); %Vektor mit Geschwindigkeit fs abspielen %-> 3-Sek-Ton der Frequenz 400 Hz 4.. Übungseinheit: Quintengenerator Bei einer Quinte ist die Frequenz des höheren Tons um den Faktor 3 höher als die Frequenz 2 des Grundtons. Erzeugen Sie nach obigem Schema nacheinander einen Sinuston mit 300Hz und einen um eine Quinte erhöhten Ton (Spieldauer jeweils 3 Sekunden). Versuchen Sie, beide Töne gleichzeitig abzuspielen, indem Sie die jeweiligen y-vektoren linear kombinieren und experimentieren Sie mit verschiedenen Gewichtungsfaktoren und Abtastraten Demo: Signalanalyse Oben wurde ein akustisches Signal synthetisiert als Überlagerung (Linearkombination) von Sinus-Schwingungen unendlicher Dauer und scharfer Frequenz. Bei der (Signalanalyse) wird ein gegebenes Signal aufgefasst als Linearkombination von Basis-Schwingungen endlicher Dauer und verschmierter Frequenz (vgl. Abbildung unten). Bei optimalen Basis-Schwingungen ist das Produkt aus Zeitdauer und Frequenzbreite so klein wie möglich. Die Gewichtsfaktoren der Basis-Schwingungen werden bei einer Zeit-Frequenz-Analyse farblich kodiert:

4 ANWENDUNGEN 0 Anwendung: Rekonstruktion fehlerhafter Signale unter der Nebenbedingung, dass die Zeit- Frequenz-Analyse des rekonstruierten Signals möglichst dünn ist (Demo!).

10 4 ANWENDUNGEN 0 Anwendung: Rekonstruktion fehlerhafter Signale unter der Nebenbedingung, dass die Zeit- Frequenz-Analyse des rekonstruierten Signals möglichst dünn ist (Demo!). Dünn : Nur wenige - dafür wichtige - Gewichtsfaktoren sind merklich von Null verschieden! Weitere Infos über das EU-Projekt UNLocX: Matrizen Computergrafik/Bildverarbeitung: Matrizen kann man sehen: als Bild =

11 4 ANWENDUNGEN Zugehöriger MATLAB-Code: >> bild = [:5;2:6;3:7;4:8;5:9] bild = >> imagesc(bild), colormap gray, axis equal, axis tight 4.2. Übungseinheit: Grauwertbild Stellen Sie die zu z(x, y) = x y gehörende Funktionsfläche (vgl. Abschnitt 2) als Grauwertbild dar. Gegeben ist nun der Definitionsbereich D = {(x, y) 4π x 4π, 4π y 4π}. Überlegen Sie zunächst, wie wohl die zu z(x, y) = sin(x + y) gehörende Funktionsfläche aussieht und stellen Sie sie als Fläche und als Grauwertbild dar. Weitere Anwendungen von Matrizen Roboterkinematik ( Kinematische Ketten ). Wirtschaftsmathematik ( Produktionsmatrizen ). Dynamische Simulationen.

12 5 OPEN SOURCE-PRODUKTE 2 5 Open Source-Produkte Scilab: Octave:

13 6 ANHANG: INTUITIVE BEGRÜNDUNG DES ABTASTTHEOREMS 3 6 Anhang: Intuitive Begründung des Abtasttheorems Gegeben ist eine Sinusschwingung y = sin(2 π f t): Frage: Wie dicht muss man mindestens abtasten, um die rote Sinusschwingung aus den abgetasteteten Werten rekonstruieren zu können? 6. T s > T 2 Blaue Sinusschwingung ebenfalls mit Abtastung verträglich. 6.2 T s = T 2 Blaue Sinusschwingung ebenfalls mit Abtastung verträglich, Grenzfall.

14 6 ANHANG: INTUITIVE BEGRÜNDUNG DES ABTASTTHEOREMS T s < T 2 Eindeutige Rekonstruierbarkeit. Also Rekonstruierbarkeitsbedingung: T s < T 2 bzw. f s > 2f

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