1.1 Gebiete der numerischen Mathematik Die numerische Mathematik befasst sich vor allem mit folgenden Aufgabenstellungen:

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1 - Math. Grudlage ud Fehlerrechug umersche Mathemat (Grudlage) De umersche Mathemat st e Telgebet der Mathemat. Aders als bespelswese der Aalyss, lefert de umersche Mathemat als Resultat mmer Zahlewerte oder Futoswerte. Bespel: We gross st de schrafferte Fläche? Als Atwort mt de Mttel der Aalyss erhalte wr: zp A= s( ) =? 0 p A=- cos( ) =- cos( p ) + cos( 0) 0 π π/ π/ π Als umersche Lösug: A = 0. (Mt eem umersche Itegratosverfahre) - Vele umersche Verfahre lefer mest ur äherugslösuge. Se werde vor allem dort egesetzt wo ee aalytsche Methode zur Verfügug stehe, oder für de pratsche Awedug zu omplzert sd. Trotzdem geht es auch her cht ohe Hlfsmttel der Aalyss oder Algebra, vor allem we de Rchtget der umersche Methode begrüdet werde soll.. Gebete der umersche Mathemat De umersche Mathemat befasst sch vor allem mt folgede Aufgabestelluge: Zahlereche Rudug Determate Lösug learer Glechugssysteme Lösug chtlearer Glechugssysteme (ullstelle) Iterpolato Ausglechsrechug Iteratosverfahre Lösug vo DGL ud DGL-Systeme Fehlerrechug Itervallrechug Matrverso Egewertprobleme Auswertug vo Futoe Etrapolato Appromato vo Futoe Reursosverfahre umersche Dfferetato Mote-Carlo-Methode Wr setze Schwerpute de Bereche: Rudug, Fehlerfortpflazug Zahledarstellug Ausglech ud Iterpolato Polyomfutoe Löse vo leare Glechugssysteme Löse vo DGL ud DGL-Systeme Alle Theme werde sowohl der Theore behadelt we auch pratsch Form vo Programmerug ees lauffähge Verfahres auf dem PC. Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

2 - Math. Grudlage ud Fehlerrechug Mathematsche Grudlage De Kets der achfolgede mathematsche Begrffe st uabdgbar für de Arbet mt umersche Verfahre ud statstsche Methode.. Dsrete ud stetge Varable Ee Varable st e Symbol, we etwa X, Y,, oder a, das rgedee bestmmte Wert aus der festgelegte Mege, dem Werteberech der Varable, aehme a. Ee Varable de ur ee Wert aehme a, wrd Kostate geat. Ee Varable, de theoretsch jede belebge Wert erhalb des Wertebereches zwsche zwe gegebee Werte aehme a, wrd stetge Varable geat. Aderfalls hesse se dsrete Varable. Bespele: De Azahl der defete Glühlampe, de jede der Werte 0,,,3,... aehme a, st ee dsrete Varable. Grud: Se a e de Wert vo bespelswese.5 oder 4.8 aehme. Der Wert X, der de Lebesdauer eer bestmmte Taschelampebattere mt 0.4h agbt, st ee stetge Varable. Grud: Je ach Battere ud Messgeauget wäre Werte m Berech [0,5] möglch. De Date, de durch dsrete oder stetge Varable beschrebe werde öe, werde dsrete Date oder stetge Date geat. So st de Azahl Kder jeder vo 000 Famle e Bespel für dsrete Date, währed de Grösse vo 00 Studete e Bespel für stetge Date sd. Grudsätzlch a ma sage, dass Messuge zu stetge Date führe, währed Auf- ud Abzähluge zu dsrete Date führe. Es st machmal güstg de Begrff Varable auch auf chtumersche Begrffe auszudehe. So a de Farbe F eer Ampel de Werte rot, gelb, grü aehme. Im allgemee st es möglch solche aufzählbare Varablewerte durch umersche Werte zu ersetze. Ma wählt da zwecmässgerwese ee deferte Zuordug we rot=, gelb=, grü=3. Oft a für Elemete, de Vertreter eer geordete Mege sd (z.b. Buchstabe), über de Ordalzahl ee lare Zuordug geschaffe werde..3 Idzes Se j das Symbol, das rgedee der Werte,, 3,..., bezechet, de de Varable aehme a. Der Buchstabe j be j st rgedee gaze Zahl m Berech,,..., ud wrd als Ide bezechet. Für Idzes werde häufg de Buchstabe, j,, q oder s beutzt..4 Summezeche Das Symbol wrd beutzt um de Summe aller vo 0 bs zu bezeche. Es det hauptsächlch dazu umfagreche Summatoe hadlch zu otere. Per Defto st also: = (.) Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

3 -3 Math. Grudlage ud Fehlerrechug Für das Summezeche gelte uter aderem folgede Recheregel: = ± y = ( ± y ) (.) (.3).5 Das Produtzeche Das Symbol wrd beutzt um das Produt aller vo 0 bs zu bezeche. Es det hauptsächlch dazu umfagreche Produte hadlch zu otere. Per Defto st also: = - (.4) Es st weger gebräuchlch als das Summezeche..6 Arthmetscher Mttelwert Umgagssprachlch als Durchschtt bezechet. Er verörpert de arthmetsche Mttelwert vo Zahle ud st folgedermasse defert: := = (.5) Für grupperte Date wrd der Mttelwert aders bestmmt. Vergleche Se dazu dazu'emprscher Mttelwert' m Kaptel 0..7 Geometrscher Mttelwert Das geometrsche Mttel st de -te Wurzel aus dem Produt der Zahle,, 3,..., ud st defert als: g= = (.6) I der Eletro sehe wr ee Awedug des geometrsche Mttels bem Schwgres: De Mttefrequez st das geometrsche Mttel der bede -3dB Frequeze. ebebe se bemert, dass das geometrsche Mttel mmer leer oder glech dem arthmetsche Mttel st. Deser Umstad wrd oft mathematsche Herletuge beutzt um zu verefache. Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

4 -4 Math. Grudlage ud Fehlerrechug.8 Umgag mt Fehler Wr betrachte u de häufgste Operatoe zur Gewug vo äherugswerte für reelle Zahle. Besoders Systeme mt beschräter Stellezahl der Matsse st desem Umstad Beachtug zu schee. Oft werde durch ummuleredes Auf- ud Abrude Fehler erzeugt, de durch geschcte Wahl der Methode vermedbar wäre..8. Verürze (trucato) Daruter versteht ma das Abbreche der Zfferfolge ach (Matsse-) Stelle ohe jede Äderug a de erste Stelle eer Zahl. De Verürzug wrd oft mt... ach der -te Stelle beschrebe. Der ageäherte Wert wrd mt bezechet. Bespel: = = 3. 4 (Verürzug auf 3 Dezmale).8. Rudug (roudg) Abrudug ee Abrudug auf de -te Stelle etsprcht eer Verürzug. Aufrudug Ee Aufrudug auf de -te Stelle st de Addto eer Ehet zu dem auf Stelle verürzte Wert. Ausahme: st mt geau Stelle gegebe, bzw. ethält ach der -te Stelle ur ulle. Bespel: = = 3. 5 (Aufrudug auf 3 Dezmale) Symmetrsche Rudug Dese verörpert de Rudug auf de ächste ratoale Zahl ud st de 'ovetoelle' Rudugsmethode. Im Dezmalsystem glt für de symmetrsche Rudug auf Stelle: Abrudug, falls de Zffer a der Stelle + de Wert 0,,, 3 oder 4 hat. Aufrudug, falls de Zffer a der Stelle + de Wert 5, 6, 7, 8 oder 9 hat Bespele: = = 3. 4 (Rudug auf Dezmale) = = 3. 4 (Rudug auf 3 Dezmale) Sprcht ma efach vo 'Rudug' versteht ma mplzt de symmetrsche Rudug. Rudug auf de ächste gerade gaze Zahl Deses Verfahre st besoders be der Vermderug vo umulerte Rudugsfehler ützlch, also we ee grosse Azahl vo Rudugsoperatoe acheader durchgeführt werde. Be der Rudug auf de ächste gerade gaze Zahl wrd de Zahl ormal (symmetrsch) auf Stelle gerudet. Ist jetzt de -te (letzte) Stelle ee ugerade Zahl, so wrd dese um es eredrgt. Bespele: = 45. = 4. (Rudug auf Dezmale) = 435. = 44. (Rudug auf Dezmale) Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

5 -5 Math. Grudlage ud Fehlerrechug.9 Geltede Zffer De geltede Zffer eer Zahl sage aus, welche deser Stelle eat sd. So öe wr auf Grud der Azahl gelteder Zffer ees Messwertes aussage welchem Berech de wahre Grösse legt. Alle Zffer, ausser der ulle zur Kommastellebldug, werde geltede Zffer geat. Bespel: De Messug eer Spaug ergbt de Wert vo 30.4V, de wahre Grösse legt also zwsche 30.35V ud 30.44V. Zahle, de aus Auf- oder Abzähluge etstade sd, sd atürlch eat ud habe demach ee uedlche Azahl geltede Zffer. Oft st ohe zusätzlche Iformato cht zu etschede, we vele geltede Zffer ee Zahl hat. So a geltede Zffer habe. Bespele: hat ver geltede Zffer hat sechs geltede Zffer.30 hat dre geltede Zffer hat ee geltede Zffer Amerug: De Bestmmug der Azahl sgfater Stelle wrd deftosgemäss aders vorgeomme. (Vgl. Hämmerl, umersche Mathemat, Sprger Verlag).0 Fehler Deftosgemäss st der Fehler de Dfferez zwsche wahrer Grösse ud eem äherugswert. Wr uterschede zwsche absolutem Fehler ud relatvem Fehler: ª =äherugswert (Bsp. Messwert) =Wahre Grösse e( ): = - absoluter Fehler vo ( e ( ) d ): = = - relatver Fehler vo (falls π 0) Fehler (.7) (.8) Oft werde de Fehler als Beträge agegebe, wel zur Fehleraalyse ud Berechug ormalerwese ur de Fehlerbeträge relevat sd. Für ee ezele Abwechug geht aber de Iformato verlore, ob se postv oder egatv zur wahre Grösse st. Bespel:Bem Eche ees Voltmeters wrd be V Egagsspaug V gemesse. Bestmme Se de absolute sowe de relatve Fehler! = V = V -3 e( ) = - = V V = V = V V -3 ( e( ). d ) = = = = V Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

6 -6 Math. Grudlage ud Fehlerrechug.0. Fehler be der Dateerfassug Wr uterschede zwsche systematsche ud statstsche Fehler. Bede Fehlertype verfälsche das Ergebs ud sd deshalb zu vermede. Systematsche Fehler öe durch sorgfältge Überlegug ud etsprechede Wahl der Messaordug ausgeschlosse werde. Statstsche Fehler öe mt Hlfe der Statst beschrebe ud ausgewertet werde. Mt Hlfe statscher Methode lässt sch da de Streuug ud Mttelwerte, sowe adere Grösse ermttel..0. Systematsche Fehler Systematsche Fehler etstehe bespelswese durch schlecht geechte Geräte, so dass alle gemessee Date mt eem mehr oder weger grosse Fehler behaftet sd. Im Gegesatz zu de statstsche Fehler öe systematsche Fehler be der (Dateerfassug) Messug machmal berücschtgt werde, we es sch cht um grobe Fehler hadelt. Bespel: E zur Drucmessug verwedetes Maometer zegt über de gesamte Messberech vo bar ostat 7.5% zu vel a. Als Bespele für Ursache systematscher Fehler öe geat werde: - Umwelteflüsse: Temperatur, Luftdruc, Lcht, etc. - Messbedguge sd cht ostat: etzspaug schwat, Temperatur, veruregte Chemale, etc. - Uvollommehet der Messstrumete: Echfehler, chtleartät, Überlastug, etc. - Beobachtugsfehler: Parallae, falsche Ablesug, 'Wuschablesug', etc. - Verarbetugsfehler: Rechefehler, falsche Hadhabug, etc. Der Regelfall st jedoch: Systematscher Fehler Das Messergebs st falsch Grobe Fehler sd falsche Werte de Mermalsdate. De Erfahrug zegt, dass eem Datesatz mt bs 0% grobe Fehler gerechet werde muss..0.3 Statstsche Fehler Statstsche Fehler etstehe durch zufällge Eflüsse. Dabe spelt das Zusammewre mehr oder weger uabhägger Eflüsse be der Dateerfassug ee Rolle. Wr öe de Abwechug vom Sollwert als ee zufällge Varable betrachte. De Abwechuge sd aäherd ormal vertelt (mehr darüber m Kaptel ormalvertelug). E aschaulches Bespel für de ormalvertelug st das Epermet mt dem Zufallsapparat ach Galto, dem sog. Galtosche Brett: Ma lässt lee Kugel durch e System vo ägel, de gemäss achfolgeder Abbldug ageordet sd, hdurchrolle. ach der -te agelrehe falle de Kugel schlussedlch (+) Fächer. Ma erhält stets ee Vertelug de sch durch ee Gloceurve darstelle lässt (sog. Gaussche Gloceurve): Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

7 -7 Math. Grudlage ud Fehlerrechug Zufallsapparat ach Galto zum epermetelle Ermttel der ormalvertelugsurve Ursache für zufällge Fehler: - cht erfassbare Äderug der Umwelteflüsse: Äderug der Gravtato, Erderschütteruge, Estreuuge, etc. - cht erfassbare Äderuge der Messgeräte: Statsche Aufladug, Lagerrebug, etc. Für statstsche Fehler glt de Aussage: Statstscher Fehler Das Messergebs st uscher. Fehlerfortpflazug De Fehleraalyse (Fehlerrechug) befasst sch mt Egagsfehler ud hrer Fortpflazug folge recherscher Verarbetug. Es teressert also bespelswese we star sch Schwauge a de Egäge ees Systems am Ausgag auswre. De Bestmmug a grudsätzlch aus zwe Arte erfolge: Methode der Itervallrechug: Durchführe der Rechug mt alle Etremwerte. Dabe werde alle möglche Etremwerte systematsch durchgerechet ud de Etrema bestmmt. Systematsches Fehlerfortpflazugsgesetz: Aalytsche Methode für systematsche Fehler. Gaussches Fehlerfortpflazugsgesetz: Statstsche Methode für zufällge Fehler... Systematsches Fehlerfortpflazugsgesetz Be systematsche Fehler sd de Ursache beat ud se bewre ostate Abwechuge um ee bestmmte Betrag ud Vorzeche. Systematsche Fehler sd przpell orrgerbar, de Korretur sollte aber möglchst frühzetg erfolge. De Fehlerfortpflazug erfolgt ach dem Fehlerfortpflazugsgesetz für systematsche Fehler. De Methode schätzt de Fehler am Ausgag ees Systems ab, be dem mehrere fehlerbehaftete Grösse zusammewre. Da de Methode ee äherug st, st se ur für leere Fehler hreched geau. De Begrüdug legt m Taylorreheasatz, de der Methode zugrude legt. Be der Reheetwclug wrd ach leare Gled abgeschtte. Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

8 -8 Math. Grudlage ud Fehlerrechug Wr defere: y = f (,,..., ) y f f( Wahrer Futoswert = (,,..., ) Fehlerbehafteter Futoswert D: = - Abwechug vo vo vom wahre Wert Dy : = f - f = y- y Abwechug vo vo y vom wahre Wert y bg bg Das allgemee Fehlerfortpflazugsgesetz beschrebt de formal de Fehlerfortpflazug: bg bg bg D f y= f - f ª D Fehlerfortpflazugsformel für systematsche Fehler (.9) (.0) (.) Begrüdug: Der absolute Fehler D y st D y = y - y = f ( + D, + D,, + D ) Uter der Aahme, dass der absolute Ezelfehler D le gegeüber dem Ezelwert st cd << h, a D y sehr efach aus de partelle Abletuge etwcelt werde, da ur de leare Gleder der Taylor-Rehe verwedet werde. Wede wr de Formel (.) auf de ver Grudrecheoperatoe a ud erhalte de Fehlerfortpflazuge: y = f ( + ) = + f y = + D D D y= f( - ) = - f y= - D D D D y D D y= f( ) = f ª + yª + bzw. D D D F y y y= f H G I K J = f D y ª D - D (.) (.3) (.4) (.5) Dese Formel setze voraus, dass de Abwechug le gegeüber der wahre Grösse st. Bespel:Bestmme Se ee Fehlerschrae für de Futo y= für de Fall, dass =., - 05D = 0. D y ª D D = = - = d 4 0 Zusammefassug Be systematsche Fehler sd de Urasche beat ud de Abwechuge ostat Wert ud Vorzeche. De Fehler sd przpell orrgerbar. Systematsche Fehler pflaze sch ach dem Fehlerfortpflazugsgesetz fort ud es gelte folgede Regel für de Grudrecheoperatoe: Addto: De absolute Fehler werde addert. Subtrato: De absolute Fehler werde subtrahert. Multplato: De relatve Fehler werde addert. Dvso: De relatve Fehler werde subtrahert. Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

9 -9 Math. Grudlage ud Fehlerrechug.. Fortpflazug zufällger Fehler Etwas omplzerter berechet sch de Fortpflazug zufällger Fehler. Zufällge Messfehler öe ur Form vo Wahrschelchetsaussage beschrebe werde. Ma legt ee ormvertelug zugrude, wobe de Werte um ee Mttelwert streue: Gaussche Wahrschelchetsdchtefuto p ( )= s e p F I K J - -m s Zur Beurtelug vo zufällge Fehler sd ee grössere Azahl Werte zwged otwedg.... ormalvertelte Werte De zu utersuchede Werte streue um de Mttelwert µ. Mt dem Streuugsparameter σ, der sog. Stadardabwechug, wrd der Grad der Streuug um de Mttelwert beschrebe. Wetere Betrachtuge zu ormalvertelte Date werde m Kaptel 0 'Statst' durchgeführt. De Wahrschelchet p für das Auftrete ees Wertes m Itervall [, ] etsprcht der Fläche uter dem Graphe ud berechet sch: z z z z - F - mi - - K J F mi - - K J F m (.6) s s s p= p( ) d= e d= e - e s p s p 0 s p 0 a Das Itegral der Form z e d bestzt ee aalytsche Lösug. Deshalb defert ma als Lösug für deses Itegral de Gaussche Fehlerfuto erf(ω): w -c erf ( w): = e dc p z 0 Gaussche Fehlerfuto De Werte deser Futo öe mt umersche Verfahre belebg geau bestmmt werde ud sd gägge Tabellewere aufgeführt. Zur orete Berechug mt der Fehlerfuto beutzt ma de Substtuto: I K J (.7) c = - m s Damt erhält ma als Lösug für das obge Itegral: L M F I - KJ F - m - m p= erf erf s s IO KJ Q P (.8) (.9) Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

10 -0 Math. Grudlage ud Fehlerrechug Tabellerte Werte der Fehlerwahrschelchet (statstsche Scherhet) p sd für e symmetrsche Itervall [µ δ,µ+δ]: σ 0.5σ 0.67σ σ.65σ.96σ σ.58σ 3σ 3.3σ 4σ p[%] Der zufällge Fehler F ees Ezelwertes legt da mt der statstsche Scherhet (Wahrschelchet) p erhalb des Itervalls [-tσ,+tσ]: F =±s t Zufällger Fehler ees Ezelmesswertes F XI Wrd bespelswese ee statstsche Scherhet vo 95% gefordert, beträgt der Vertrauesfator t=.96 ach Tabelle für ee grosse Azahl. Des bedeutet, dass de Abwechug mt 95% Wahrschelchet be eem ezele Wert cht mehr als.96σ vom wahre Mttelwert µ beträgt. Ist de Azahl der Werte le, wrd der Vertrauesfator t ach folgeder Tabelle bestmmt. Zwschewerte werde durch Iterpolato berechet: (.0) P=68.3%=σ P=95%=.96σ P=99%=.58σ P=99.73%=3.0σ t t t t t t t t > ª ª ª ª 0 Tabelle: Vertrauesfator t Abhägget der Azahl Messwerte be verschedee statstsche Scherhete P. Quelle: Lerch, Eletrsche Messtech, Sprger Verlag.... Mttelwert, Stadardabwechug Für ee edlche Azahl vo Werte defert ma de emprsche Mttelwert als Schätzwert ud de emprsche Stadardabwechug s als Schwaug. De Stadardabwechug beschrebt de mttlere Abwechug ees Ezelwertes um de Mttelwert. = = Azahl Werte s= b - g - Emprscher Mttelwert ud Stadardabwechug (.) (.) Der Wert vo s wrd auch als mttlerer quadratscher Fehler der Messwerte bezechet...3 Gaussches Fehlerfortpflazugsgesetz Grudlage st wederum ee Futo y = f (,,..., ) mt mehrere uabhägge ud zufällge Fehler behaftete Argumete. Zel der Utersuchuge st es, ee formale Zusammestellug für Mttelwert ud Stadardabwechug zu fde, we sch zufällge Fehler fortpflaze. Der Mttelwert, der dem wahre Mttelwert etsprcht ergbt sch für Æ : Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

11 y = m = f ( m, m,..., m ) Y - Math. Grudlage ud Fehlerrechug (.3) De µ verörper de Mttelwerte der Ezelwerte. Uter der Voraussetzug, dass de ezele Stadardabwechuge σ le sd, lässt sch de resulterede Stadardabwechug σ Y ach dem Gaussche Fehlerfortpflazugsgesetz bereche: s Y F = f I KJ ( ) s Für ee edlche Azahl Werte erhalte wr wederum ur ee äherug für de Mttelwert ud Stadardabwechug. We de ezele Stadardabwechuge s le sd, wrd uter Zugrudelegug eer ormalvertelug: (.4) y = f (,,..., ) s Y = F f ( d ) s I KJ (.5) (.6)..4 Schätzwerte ud Vertrauesbereche Be eer Grudgesamthet vo Stchprobe mt jewels wederum Ezelwerte öe Schätzwerte berechet werde. Der gesamte Mttelwert (Mttelwert der Mttelwerte) der Schätzwerte wrd demach: = :Azahl Schätzwerte (.7) Aus dem Gaussche Fehlerfortpflazugsgesetz folgt de Stadardabwechug (Streuug) der Schätzwertevertelug: s X = s (.8) Begrüdug: Wr wede das Gausssche Fehlerfortpflazugsgesetz mt der Formel für de Mttelwert a ud erhalte: s s Y Y = = F d s = d ( ) Mt: s I KJ F I = KJ folgt: (.9) Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

12 - Math. Grudlage ud Fehlerrechug De Stadardabwechug der Vertelug der Schätzwerte st daher um de Fator leer als de Stadardabwechug ees Ezelwertes. Des bedeutet, dass z.b. für =00 Messwerte der gefudee Mttelwert mt eer Wahrschelchet vo 99% um höchstes ± 58. s X vom ubeate 00 wahre Wert w abwecht. E zu erwarteder Messwert a u mt eer bestmmte statstsche Scherhet mt dem Schätzwert ud de zugehörge Vertrauesgreze V beschrebe werde: t s = ± V = ± (.30) Der zufällge Fehler ees Schätzwertes F wrd daher: F =± t s Zufällger Fehler ees Schätzwertes (.3) Bespel: Bestmme Se aus der folgede Messrehe mt ormalvertelte, zufällge Fehler a.) De zufällge Fehler F der Ezelmessug be eer statstsche Scherhet vo 95%. b.) De zufällge Fehler des Schätzwertes F X mt der gleche statstsche Scherhet Der Schätzwert ud de Schwaug werde ach (.) ud (.): = = = s= b - g = b g b g =. 9-9 b g Der zufällge Fehler des Ezelwertes wrd mt eer statstsche Scherhet vo 95% gemäss (.0): F ( 95%) =± t s = =± Der zufällge Fehler des Schätzwertes ergbt sch be der selbe statstsche Scherhet: t s F =± =± =± Das vollstädge Messergebs a u der Form erfolge: = ±. 548 De Agabe der Tolerazgreze bezeht sch herbe auf de statstsche Scherhet vo 95%. Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

13 -3 Aufgabe. Aufgabe Varable. Welches stelle dsrete Date ud welches stelle stetge Date dar? a.) Azahl Messuge de eer Messrehe durchgeführt werde. b.) Messwerte de wr aus a erhalte. c.) Lebesdauer der eer Fabr produzerte Radoröhre. d.) Jährlches Eomme vo Eletrogeeure. e.) Brete vo Trafobleche, de aus Stchprobe vo 000 Stüc gemesse werde.. Bestmme Se de Berech der Varable ud gebe Se a ob se stetg oder dsret sd: a.) Kapaztät K ees Bleaumulators. b.) Azahl Bücher B auf eem Bücherbrett. c.) Summe S der Augezahle de bem Würfel mt dre Würfe erzelt werde öe. d.) Durchmesser D ees Kreses. e.) Glechstromverstärug B ees Trasstors. 3. Drüce Se folgede Aussage Symbole aus: a.) De Varable X bestzt Werte zwsche ud 5 eschlesslch. b.) Das arthmetsche Mttel X st grösser als 7.3 ud leer als 34.. c.) De postve Zahl m st grösser glech 0. d.) P st ee cht egatve Zahl. Summe- ud Produtzeche 4. Welche Zahlewert blde achfolgede Summe bzw. Produte? 4 a.) 0 4 b.) 3 4- c.) d.) 5 F + e.) = 3 = 5. Bereche Se de Summe: a.) ab b.) a b j 4 j = j= = j= = = I K J Arthmetsches ud geometrsches Mttel 6. Bestmme Se aus de folgede Werte de arthmetsche Mttelwert: a.) {7, 8,, 5, 4, 9, } b.) {5, -3, 8, -0,, 6, -0} c.) Der Summeelemete = 7. Bestmme Se aus de folgede Werte de geometrsche Mttelwert: a.) {, 3, 4} b.) {,, 0} c.) {, 3, 0, 4, 5,00} Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

14 -4 Aufgabe Auf ud Abrude 8. Rude Se jede der folgede Zahle auf de geforderte Geauget auf oder ab, ach der Methode der symmetrsche Rudug. a.) 3.6 b.) d.) d.) e.) 365 f.) 3768 ächstes Gazes ächstes Hudertstel ächstes Hudertstel ächstes Gazes ächstes Hudert ächstes taused 9. Addere Se de Zahle.5,.5,.35,.45,.55,.65,.75,.85,.95 ud vergleche Se de Fehler: a.) dret b.) durch symmetrsches auf ee Kommastelle Absoluter ud relatver Fehler 0. E Messstrumet zegt.8a a. Der wahre Wert st jedoch.88a. We gross st der absolute ud relatve Messfehler?. E Voltmeter zegt a eer Echspaugsquelle vo.000v.5% zu weg a. Bestmme Se de agezegte Messwert ud de absolute Fehler.. Be Messstrumete et ma geormte Geaugetslasse: Femessgeräte (Präzsosgeräte): 0., 0., 0.5 Betrebsmessgeräte:,.5,.5, 5, 0 G: Wobe de Geaugetslasse we folgt defert st: G: = e Geaugetslasse MB: Messberechsedwert MB e: Absoluter Fehler Wr messe u mt eem Amperemeter der Klasse.5 m 0A- Berech de wahre Strom vo 7.5A. We gross st der Berech des möglche Azegewertes, sowe der mamale relatve Messfehler? 3. We.), aber für.3a m gleche Messberech. Fehlerrechug Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

15 -5 Aufgabe 7 4. Bestmme Se für systematsche Fehler für de Futo y= de Fehlerschrae für 8 de Fall, dass = 03., D = 005., = 0., D = 0., = 03., D = We lautet de Fehlerfortpflazug für y=f()=l() für systematsche Fehler? 6. Mt eer Stchprobe aus eem Los Relasmate m DIL-Gehäuse wrd ee Kotatwderstadsmessug mt eem Verleterverfahre mt folgeder Messschaltug durchgeführt: I A 7 U 4 R 8 U K U V U M De Leterwderstäde für de Spaugsabfälle U ud U betrage R U =4mΩ ud R U =.4mΩ. Messug U M [mv] I [ma] Bereche Se: a.) De Schätzwert für de Kotatwderstad. b.) De Stadardabwechug s RK mt der de Messwerte behaftet sd. c.) De Vertrauesgreze V des Messergebsses, we 95% statstsche Scherhet gefordert werde. Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer

16 -6 Aufgabe Ausgabe: 996/98 (I), G. Krucer