Aufgabe 1: Funktionale Modellierungen

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1 Didaktik des Sachreches (Sek. I) Übugsblatt 4 Dr. Astrid Brikma Name, Vorame: Matrikelummer: Doppelte Lösuge führe zum Verlust aller Pukte beider Persoe-Gruppe. Die Lösuge sid hadschriftlich abzugebe. Dieses Blatt bitte obeauf hefte! Aufgabe gesamt Erreichbare Pukte Erreichte Pukte Aufgabe 1: Fuktioale Modellieruge a) Löse Sie folgede Aufgabe aus eiem Schulbuch. b) Vervollstädige Sie die Tabelle auf dem Blatt (!), so dass f eie i) lieare Fuktio ist. x f(x) 9 ii) proportioale Fuktio ist. x f(x) 30 iii) atiproportioale Fuktio ist. x f(x) 11

2 c) Gebe Sie zu de ummerische Darstelluge uter b) etsprechede algebraische ud graphische Darstelluge a. d) Gebe Sie für jede der Zuorduge uter b) je ei Beispiel eier passede Realsituatio a. Formuliere Sie zu jedem Beispiel eie Frage ud beatworte Sie diese uter Nutzug eies mathematische Modells. Aufgabe 2: Proportioale Zuorduge ud mathematische Modelle Betrachte Sie bitte folgede Aufgabe: 2 Brötche koste 0,60. Wie viel koste 6 Brötche? Löse Sie die Aufgabe mit Hilfe der jeweils agegebee Darstellugsform: a) Situatiosskizze b) Bildliche Darstellug (mit selbstgewählte Symbole) c) Schrittweises Reche d) Eaktive Darstellug (Beschreibe Sie hier bitte, wie die hadelde Bearbeitug erfolgt.) e) Nummerische Darstellug i eier Tabelle f) Verhältisgleichug g) Dreisatzdarstellug h) Strahlesatzfigur i) Graphische Darstellug im Koordiatesystem j) Fuktiosgleichug Aufgabe 3: Mathematische Modelle Gebe Sie zu de ute abgebildete Aufgabe jeweils ei passedes mathematisches Modell a ud begrüde Sie Ihre Wahl.

3 Aufgabe 4: Modelliere rud um Verhältisse Betrachte Sie folgede Aufgabe: I eier Schulklasse sid dreimal so viele Juge wie Mädche. Isgesamt sid 28 Kider i der Klasse. Wie viele Juge ud wie viele Mädche sid i der Klasse? a) Löse Sie die Aufgabe auf möglichst viele, midestes jedoch 5 wesetlich verschiedee Arte. b) Gebe Sie jedem Ihrer Lösugswege uter a) eie Name, der auf die verwedete mathematische Modellierug ud/oder Lösugsstrategie hiweist (z. B. Löse mittels Gleichugssystem, Löse durch Probiere mit Tabelle ). c) Welche heuristische Strategie ach Polya (siehe Kapitel 2 der Vorlesug) köte für das Fide (eiiger) Ihrer Lösugswege eie Hilfe sei? Gebe Sie Ihre Atwort i Form eier Tabelle folgeder Art a: Name des Lösugsweges (wie uter b) Heuristische Strategie ach Polya Wir öffe u die obige Aufgabe, idem wir de zweite Satz weglasse: I eier Schulklasse sid dreimal so viele Juge wie Mädche. Wie viele Juge ud wie viele Mädche sid i der Klasse? d) Begrüde Sie, dass es u mehr als ur eie Lösug gibt, die Lösugsmege aber mit Blick auf die Sachsituatio edlich sei muss. e) Fide Sie auf uterschiedliche Weise mögliche Lösuge der Aufgabe. Welche Ihrer Vorgehesweise uter a) köe Sie auch hierfür verwede? Betrachte Sie u wieder die Ausgagsaufgabe. f) Ergäze Sie die Sachsituatio ud die Fragestellug (ohe weitere Zahleagabe) so, dass Sie eie Aufgabe zur Kombiatorik ud Wahrscheilichkeitstheorie erhalte. (Z. B.: Ei Kid soll (zufällig) für de Tafeldiest gewählt werde. Dafür werde Kärtche mit de Name der Kider i eie Beutel geta ud da ei Kärtche blid herausgezoge.) Stelle Sie die Aufgabe so, dass Sie beim Löse ei Kombiatorikmodell ud ei Baumdiagramm utze köe ud löse Sie die Aufgabe. Aufgabe 5: Klassische Mittelwerte a) Löse Sie achfolgedes Schüler-Arbeitsblatt zu klassische Mittelwerte. (Bei Aufgabe 3a) reicht als Lösug die Agabe der Formel, ohe detaillierte Begrüdug i Bezug auf die Sachaufgabe.) b) Gebe Sie eie mögliche stoffliche Eiordug dieses Arbeitsblattes im Uterricht a ud begrüde Sie diese auch auf der Grudlage vo Lehrplavorgabe. c) Welche (Teil-)Aufgabe köte Schülerie ud Schüler besodere Schwierigkeite bereite (mit Begrüdug)? Welche Hilfe köte ggf. vo Lehrerseite gebote werde?

4 Mathematik Name: Klassische Mittelwerte Seite 1 Klasse: Datum: Arbeitsblatt-Nr.: Aufgabe 1 Die folgede Abbildug zeigt de Thaleskreis über der Strecke [AB] mit dem Mittelpukt M. P g h a Q M A N B x a) Bereche a, h, g für x = 2 cm ud y = 8 cm. b) Gib allgemeie Terme zur Berechug vo a, h ud g i Abhägigkeit vo x ud y a. Formuliere auch eie Berechugsterm für de Kehrwert vo h. Trage die Berechugsterme ute i de Ifo- Kaste ei. c) (i) Begrüde ahad der Abbildug, dass a g h. (ii) Begrüde algebraisch mit Hilfe der Berechugsterme aus b), dass a g h. (Setze dabei x > 0 ud y > 0 voraus.) d) Gib eie Gleichug a, die geau ur die Variable a, h ud g ethält ud begrüde sie. Ifo: Klassische Mittelwerte: a heißt arithmetisches Mittel vo x ud y. Berechug: a = g heißt geometrisches Mittel vo x ud y. Berechug: g = h heißt harmoisches Mittel vo x ud y. Berechug: h = y 1 h =

5 Mathematik Name: Klassische Mittelwerte Seite 2 Klasse: Datum: Arbeitsblatt-Nr.: Aufgabe 2: Awedugsaufgabe zu Mittelwerte Löse folgede Aufgabe: a) Herr Adam fährt eie Stude lag auf der Ladstraße mit der Geschwidigkeit x = 80 km/h ud i der zweite Stude auf der Autobah mit der Geschwidigkeit y = 120 km/h. Mit welcher Geschwidigkeit ist er durchschittlich gefahre (d. h., mit welcher kostate Geschwidigkeit hätte er fahre müsse, um i derselbe Zeit dieselbe Strecke zurückzulege)? b) Frau Hampel fährt auf der Autobah die erste 200 km mit eier Geschwidigkeit vo x = 80 km/h. Mit welcher Geschwidigkeit y muss sie die ächste 200 km fahre, um eie mittlere Geschwidigkeit vo 100 km/h zu erreiche? Schätze zuerst ud reche da. c) Hugo vereibart bei eiem Kauf folgede Ratezahlug über 200,- : Die erste 100,- werde mit eier Rate vo x = 20 pro Moat abgezahlt, die weitere 100,- mit eier Rate vo y = 50 pro Moat. Wie groß ist die durchschittliche Moatsrate für die Abzahlug? d) Aa spart i de erste 6 Moate eies Jahres je x = 20 pro Moat ud i de ächste 6 Moate je y = 50 pro Moat. Wie viel hat Aa durchschittlich pro Moat gespart? e) Ei Sparguthabe über 100,- wird im erste Jahr mit 2 % verzist (Wachstumsfaktor: x = 1,02) ud im zweite Jahr mit 5 % (Wachstumsfaktor: y = 1,05). Welcher über die 2 Jahre kostater Zissatz p % (gleicher, d. h. durchschittlicher Wachstumsfaktor: 1 + p %) hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergebe? f) Ei Bauer hat im erste Jahr die Azahl seier Zuchtkaiche verdoppelt (Faktor x = 2) ud im zweite Jahr verfüffacht (Faktor y = 5). Um welche durchschittliche Faktor m hat der Bauer jährlich die Azahl seier Zuchtkaiche vergrößert? g) Welcher Mittelwert vo x ud y wurde i de Aufgabe a) bis f) jeweils berechet: der arithmetische, der geometrische, der harmoische oder keier dieser drei Mittelwertarte?

6 Mathematik Name: Klassische Mittelwerte Seite 3 Klasse: Datum: Arbeitsblatt-Nr.: Aufgabe 3: Verallgemeierug der Berechugsformel für die klassische Mittelwerte a) Gib Formel zur Berechug des arithmetische Mittels, des geometrische Mittels sowie des Kehrwertes des harmoische Mittels dreier Zahle x, y ud z a, so dass damit die Awedugsaufgabe aus Aufgabe 2 bei Hizuahme eier dritte Größe z sivoll gelöst werde köe. b) Verallgemeiere die Berechugsformel aus a) für die Berechug der etsprechede Mittelwerte vo füf Zahle: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5. c) Ergäze passed: Klassische Mittelwerte für Zahle: x 1, x 2,, x : Beim sucht ma die Zahl m, für die mm... m m x1 x2... x. Summade Beim sucht ma die Zahl m, für die m x x... x. 1 2 Beim harmoische Mittel sucht ma die Zahl m, für die m m m x x x. Summade 1 2 d) Kostruiere jeweils eie Sachaufgabe, bei der das arithmetische Mittel, das geometrische Mittel bzw. das harmoische Mittel vo midestes 3 Werte berechet werde muss.