Beziehungen zwischen Vektorräumen und ihren Dimensionen

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1 Beziehungen zwischen Vektorräumen und ihren Dimensionen Lineare Algebra I Kapitel Juni 2012

2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag Webseite: holtz Assistent: Sadegh Jokar, MA 620, Sprechstunden Donnerstag 11:30-13 Tutoren: Cronjäger, Guzy, Kourimska, Rudolf Anmeldung: über MOSES Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (030) Vorlesungen: VL am Dienstag im MA004, Mittwoch 8-10 im H0104 Klausur? Mittwoch 8-10 H0104 Der Kurs gilt mit 50% Punkten für Hausaufgaben als bestanden

3 Unterräume, Summe, Durchschnitt Lemma Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und sei U V ein Unterraum. Dann gilt dim(u) dim(v ), mit Gleichheit genau dann, wenn U = V ist.

4 Unterräume, Summe, Durchschnitt Lemma Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und sei U V ein Unterraum. Dann gilt dim(u) dim(v ), mit Gleichheit genau dann, wenn U = V ist. Beweis: Ist U V und ist { u 1,..., u n } eine Basis von U, so können wir nach dem Ergänzungssatz diese Menge zu einer Basis von V ergänzen. Sollte U eine echte Teilmenge von U sein, so kommt mindestens ein Basisvektor dazu und gilt dim(u) < dim(v ). Sonst gilt U = V und dim(u) = dim(v ).

5 Unterräume, Summe, Durchschnitt Lemma Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und sei U V ein Unterraum. Dann gilt dim(u) dim(v ), mit Gleichheit genau dann, wenn U = V ist. Beweis: Ist U V und ist { u 1,..., u n } eine Basis von U, so können wir nach dem Ergänzungssatz diese Menge zu einer Basis von V ergänzen. Sollte U eine echte Teilmenge von U sein, so kommt mindestens ein Basisvektor dazu und gilt dim(u) < dim(v ). Sonst gilt U = V und dim(u) = dim(v ). Definition Seien U 1, U 2 zwei Unterräume von V. Dann definieren wir a) U 1 U 2 := { u u U 1 und u U 2 }, den Durschnitt von U 1 und U 2 b) U 1 + U 2 := { u 1 + u 2 u 1 U 1 und u 2 U 2 }, die Summe von U 1 und U 2

6 Eigenschaften von Summen und Durchschnitten Lemma Seien U 1 und U 2 zwei Unterräume eines K-Vektorraumes V, so gelten folgende Aussagen: (1) U 1 U 2 und U 1 + U 2 sind Unterräume von V. (2) U 1 + U 1 = U 1. (3) U 1 + { 0} = U 1. (2) U 1 U 1 + U 2, mit Gleichheit genau dann, wenn U 2 U 1.

7 Eigenschaften von Summen und Durchschnitten Lemma Seien U 1 und U 2 zwei Unterräume eines K-Vektorraumes V, so gelten folgende Aussagen: (1) U 1 U 2 und U 1 + U 2 sind Unterräume von V. (2) U 1 + U 1 = U 1. (3) U 1 + { 0} = U 1. (2) U 1 U 1 + U 2, mit Gleichheit genau dann, wenn U 2 U 1. Beweis: (1), (2), (3) sind Übungsaufgabe. Wir beweisen (4).

8 Eigenschaften von Summen und Durchschnitten Lemma Seien U 1 und U 2 zwei Unterräume eines K-Vektorraumes V, so gelten folgende Aussagen: (1) U 1 U 2 und U 1 + U 2 sind Unterräume von V. (2) U 1 + U 1 = U 1. (3) U 1 + { 0} = U 1. (2) U 1 U 1 + U 2, mit Gleichheit genau dann, wenn U 2 U 1. Beweis: (1), (2), (3) sind Übungsaufgabe. Wir beweisen (4). Für einen beliebigen Vektor u U 1 gilt: u = u + 0. Da U 2 ein Unterraum von V ist, ist der Nullvektor in U 2 und ist die Summe u + 0 deswegen in U 1 + U 2 nach der Definition. D.h., U 1 U 1 + U 2.

9 Eigenschaften von Summen und Durchschnitten Lemma Seien U 1 und U 2 zwei Unterräume eines K-Vektorraumes V, so gelten folgende Aussagen: (1) U 1 U 2 und U 1 + U 2 sind Unterräume von V. (2) U 1 + U 1 = U 1. (3) U 1 + { 0} = U 1. (2) U 1 U 1 + U 2, mit Gleichheit genau dann, wenn U 2 U 1. Beweis: (1), (2), (3) sind Übungsaufgabe. Wir beweisen (4). Für einen beliebigen Vektor u U 1 gilt: u = u + 0. Da U 2 ein Unterraum von V ist, ist der Nullvektor in U 2 und ist die Summe u + 0 deswegen in U 1 + U 2 nach der Definition. D.h., U 1 U 1 + U 2. Wenn U 1 + U 2 = U 1, hat ein beliebiger Vektor u U 2 auch die Form 0 + u U 1 + U 2 = U 1, d.h. U 2 U 1.

10 Dimensionsformel für Unterräume Hauptsatz: Dimensionsformel. Sind U 1 und U 2 zwei endlichdimensionale Unterräume eines K-Vektorraumes V, so gilt dim(u 1 U 2 ) + dim(u 1 + U 2 ) = dim(u 1 ) + dim(u 2 ).

11 Dimensionsformel für Unterräume Hauptsatz: Dimensionsformel. Sind U 1 und U 2 zwei endlichdimensionale Unterräume eines K-Vektorraumes V, so gilt dim(u 1 U 2 ) + dim(u 1 + U 2 ) = dim(u 1 ) + dim(u 2 ). Beweis: Sei { v 1,..., v r } eine Basis von U 1 U 2. Wie ergänzen diese zu einer Basis { v 1,..., v r, w 1,..., w l } von U 1 sowie zu einer Basis { v 1,..., v r, x 1,..., x k } von U 2. Es reicht zu zeigen, dass { v 1,..., v r, w 1,..., w l, x 1,..., x k } eine Basis von U 1 + U 2 ist.

12 Dimensionsformel für Unterräume Hauptsatz: Dimensionsformel. Sind U 1 und U 2 zwei endlichdimensionale Unterräume eines K-Vektorraumes V, so gilt dim(u 1 U 2 ) + dim(u 1 + U 2 ) = dim(u 1 ) + dim(u 2 ). Beweis: Sei { v 1,..., v r } eine Basis von U 1 U 2. Wie ergänzen diese zu einer Basis { v 1,..., v r, w 1,..., w l } von U 1 sowie zu einer Basis { v 1,..., v r, x 1,..., x k } von U 2. Es reicht zu zeigen, dass { v 1,..., v r, w 1,..., w l, x 1,..., x k } eine Basis von U 1 + U 2 ist. Offensichtlich gilt Span( v 1,..., v r, w 1,..., w l, x 1,..., x k ) = U 1 + U 2, also ist nur noch zu zeigen, dass die Menge { v 1,..., v r, w 1,..., w l, x 1,..., x k } linear unabhängig ist.

13 Dimensionsformel für Unterräume: Beweis Sei r λ i v i + l µ i w i + k γ i x i = 0, dann gilt r λ i v i + l µ i w i = k γ i x i.

14 Dimensionsformel für Unterräume: Beweis Sei r λ i v i + l µ i w i + k γ i x i = 0, dann gilt r λ i v i + l µ i w i = k γ i x i. Die linke Seite dieser Gleichung ist ein Vektor in U 1, die rechte Seite ein Vektor in U 2. Somit gilt k γ i x i U 1 U 2. Nach Konstruktion ist jedoch { v 1,..., v r } eine Basis von U 1 U 2 und die Vektoren { v 1,..., v r, x 1,..., x k } sind linear unabhängig. Daher müssen alle γ i, i = 1,..., k, gleich Null sein, und k γ i x i = 0 sein.

15 Dimensionsformel für Unterräume: Beweis Sei r λ i v i + l µ i w i + k γ i x i = 0, dann gilt r λ i v i + l µ i w i = k γ i x i. Die linke Seite dieser Gleichung ist ein Vektor in U 1, die rechte Seite ein Vektor in U 2. Somit gilt k γ i x i U 1 U 2. Nach Konstruktion ist jedoch { v 1,..., v r } eine Basis von U 1 U 2 und die Vektoren { v 1,..., v r, x 1,..., x k } sind linear unabhängig. Daher müssen alle γ i, i = 1,..., k, gleich Null sein, und k γ i x i = 0 sein. Aber dann gilt auch r λ i v i + l µ i w i = 0 und somit auch λ 1 = = λ r = µ 1 = = µ l = 0 wegen der linearen Unabhängigkeit von { v 1,..., v r, w 1,..., w l }.

16 Beispiel Für die beiden Unterräume U 1 = { x 1 x 2 0 : x 1, x 2 K}, U 2 = { von K 3,1 gilt dim(u 1 ) = dim(u 2 ) = 2. x 1 x 2 x 1 + x 2 : x 1, x 2 K}

17 Beispiel Für die beiden Unterräume U 1 = { x 1 x 2 0 : x 1, x 2 K}, U 2 = { von K 3,1 gilt dim(u 1 ) = dim(u 2 ) = 2. Ihr Durschnitt ist der Unterraum U 1 U 2 = { x x 0 x 1 x 2 x 1 + x 2 : x K} : x 1, x 2 K} von Dimension 1, und ihre Summe ist der ganze Raum K 3,1 von Dimension 3.