Notizen zur Vorlesung. Analysis III. G. Sweers

Transkript

1 Notizen zur Vorlesung Analysis III G. Sweers Wintersemester 2-2

2 ii

3 Inhaltsverzeichnis Teilmengen und Strukturen. Topologie, Metrik und Norm Basis und Produkt bei Topologien σ-algebra Topologie und σ-algebra Maße I 9 2. Stetige Funktionen Messbare Funktionen Definition eines Maßes Nullmengen und Vollständigkeit Maße II 7 3. Äußeres Maß Das äußere Lebesgue-Maß Äußere Hausdorff-Maße Vom äußeren Maß zum Maß Lebesgue-Maß Lebesgue-Maß und Borel-Mengen Approximieren von Aussen und von Innen Nicht alles ist Lebesgue-messbar Lebesgue-Integral Definition des Lebesgue-Integrals Für einfache Funktionen Für allgemeinere Funktionen Von stetig zu integrierbar Kombinationen messbarer Funktionen Von integrierbar zu fast stetig Eigenschaften des Lebesgue-Integrals Konvergenz in Sorten Lebesgue-Klassen Konvergenz bei messbaren Funktionen Egoroff s Konvergenzsatz Integrale mit Werten in [, ] iii

4 iv INHALTSVERZEICHNIS 7 Limes und Integral Das Lemma von Fatou Monoton oder majorisiert Vollständigkeit von L ( Der Vektorraum L p ( Die Ungleichung von Hölder Die Lebesgue-Räume Der Lebesgue-Raum L p ( Der Lebesgue-Raum L ( Der Lebesgue-Raum L 2 ( Stetige lineare Abbildungen Der Darstellungssatz von Riesz Berechnen der Integrale Einleitung Fubini und Tonelli Transformationen Kugeln und Zylinder Mannigfaltigkeiten I 83. Definition einer Mannigfaltigkeit Heuristik und Mathematik Integral über eine Mannigfaltigkeit Mannigfaltigkeiten II 9. Immersionen Lokale Karten und Parametrisierungen Vektorfelder und Pfaffsche Formen Der Tangentialraum Der Kotangentialraum Dualität Differentialformen I 2. Multilineare Algebra Determinante Skalarprodukt und Orientierung Hodge-Operator Differentialformen zurückziehen und ableiten Wieso? Gradient, Divergenz und Rotation in R n Die klassischen Sätze von Gauß und Stokes Differentialformen II 7 3. Geschlossene und exakte Differentialformen Standardvolumen Grad, Div und Rot auf Mannigfaltigkeiten

5 INHALTSVERZEICHNIS v 4 Gauß und Stokes Integration von Differentialformen Beweis des Stokeschen Satzes Beweis des Integralsatzes von Gauß Ein Beispiel Beweis des klassischen Stokesschen Satzes Ein Beispiel

6 vi INHALTSVERZEICHNIS

7 Analysis 3, Woche Teilmengen und Strukturen. Topologie, Metrik und Norm Definition. Sei irgendeine Menge. Die Menge aller Teilmengen von nennt man Potenzmenge P(: P( = {A; A }. Bemerkung.. Der Grund, dass man P( die Potenzmenge nennt, ist folgender. Wie R 5 = R {,2,3,4,5} die Abbildungen von {, 2, 3, 4, 5} nach R beschreibt (die 5 Koordinaten, wird {, } aufgefasst als die Abbildungen von nach {, }. Man findet eine direkte Bijektion zwischen P( und {, } indem man A P( und f {, } identifiziert durch x A f (x =, x A f (x =. Beispiel.2 Für = {,,, } hat man { }, { }, { }, { }, { }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, P( = {, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,,, } Bei endlichen Mengen ist P( sehr übersichtlich. Wenn unendlich viele Elemente hat, ist P( im allgemeinen viel zu groß um vernünftige Aussagen machen zu können. Dazu brauchen wir mehr Struktur. Eine solche Struktur in R n bietet die Klasse der offenen Mengen. Allgemeiner definiert man folgendes: Definition.3 Eine Teilmenge T P( heißt eine Topologie für, falls., T, 2. A i T für i =,..., k = i k A i T, der Schnitt endlich vieler gehört auch dazu. 3. A i T für alle i I = i I A i T, die Vereinigung beliebig vieler gehört auch dazu. Bemerkung.3. (, T nennt man einen topologischen Raum. Die Elemente von T nennt man die T -offenen Mengen.

8 2. Februar 2 Woche, Teilmengen und Strukturen Bemerkung.3.2 Für jede Menge gibt es zwei triviale Topologien: T = {, } und T 2 = P(. Man erinnere sich, dass eine derartige Eigenschaft gilt für T die Menge aller offenen Teilmengen in = R n : Vereinigungen und endliche Schnitte von offenen Mengen sind wieder offen. Anders gesagt, die offenen Mengen in R n bilden eine Topologie. Diese Topologie T nennt man Standardtopologie auf R n. Eine genauere Struktur bietet folgendes: Definition.4 Sei eine Menge. Dann heißt eine Abbildung d : R eine Metrik, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:. d (x, y für alle x, y ; 2. d(x, y = dann und nur dann, wenn x = y; 3. d(x, y = d (y, x für alle x, y ; 4. d (x, y d (x, z + d (z, y für alle x, y, z. Bemerkung.4. (, d nennt man einen metrischen Raum. Bemerkung.4.2 In R n ist die Euklidische Distanz eine derartige Abbildung. Lemma.5 Wenn (, +, K,. ein normierter Vektorraum ist mit Norm., dann ist die Abbildung d, definiert durch d(x, y = x y eine Metrik für, d.h. (, d ist ein metrischer Raum. Beweis. Weil x gilt für alle x, folgt d (x, y = x y. Weil x = x =, folgt d(x, y = x = y. Weil x y = (y x = y x = y x folgt d(x, y = d (y, x. Weil x + y x + y folgt d (x, y = x y = (x z + (z x x z + z x = d (x, z + d (z, y. Die vier Eigenschaften einer Norm zeigen genau die Eigenschaften einer Metrik. Beispiel.6 Man kann zeigen, dass d (x, y = min ( arctan (x arctan (y, π arctan (x arctan (y auch eine Metrik auf R ist. Betragsmäßig große x und y sind sich sehr nah. Zum Beispiel gilt d (, 2 =

9 . Topologie, Metrik und Norm 3 Man kann sich eine Vorstellung dieser Metrik machen, indem man die Geraden [(x,, (, ] und [(y,, (, ] betrachtet. Wir nehmen den Kreis mit Radius und Mittelpunkt (, 2 und betrachten die Schnittstellen P und P 2 mit den eben genannten Ge- 2 raden. Dann ist d (x, y die Länge der kürzesten Verbindung über den Kreis zwischen P und P 2. Man setzt α = arctan (x und β = arctan (y und findet für das Zweibein (,, (, 2, P den Winkel 2α und ähnlich für das Zweibein (,, (, 2, P2 den Winkel 2β. Die Winkel werden rechts herum gemessen (in diesem Bild ist β negativ. Weil der Kreis Radius hat, hat die Verbindung, die nicht durch (, geht, die Länge l 2 = 2α 2β, und 2 die Verbindung durch (, hat die Länge l = (2π 2α 2β. Man findet d (x, y = 2 min (l, l. In einem metrischen Raum (, d kann man für jedes Element x Umgebungen U r (x für r R + definieren durch U r (x = {y ; d (x, y < r}. Allgemein nennt man U eine Umgebung von x wenn es U r (x mit r > gibt derart, dass U r (x U. Lemma.7 Wenn (, d ein metrischer Raum ist, dann ist T = { A P(; a A r R + U r (a A } (. eine Topologie für, d.h. (, T ist ein topologischer Raum. Beweis. Die Bedingungen von Definition.3 soll man prüfen.. Man sieht direkt, dass, T. 2. Seien A,..., A k T und schreibe A = i k A i. Für a A gilt, dass a A i für jedes i und dann gibt es r,..., r k R + mit d (x, a < r i x A i. Wenn d(x, a < r := min i k r i dann gilt x A i = A. Man bemerke, dass r > gilt, i k weil es nur endlich viele r i gibt. Also folgt A T. 3. Sei {A i ; i I} T und sei B = i I A i. Für a B gibt es ein i I mit a A i. Für x mit d(x, a < r i gilt x A i B. Diese Ergebnisse in Kurzfassung: Norm Metrik Topologie

10 4. Februar 2 Woche, Teilmengen und Strukturen Eine wichtige Eigenschaft wollen wir noch benennen. Sie sorgt zum Beispiel dafür, dass, wenn es einen Grenzwert gibt, dieser eindeutig ist. Definition.8 Man sagt, dass (, T die Hausdorff-Eigenschaft hat, wenn es für alle x, y mit x y Umgebungen U von x und V von y hat mit U V =. U V x y Proposition.9 Sei (, d ein metrischer Raum und sei x, y mit x y. Dann gibt es Umgebungen U von x und V von y mit U V =. Bemerkung.9. Anders gesagt: Wenn die Topologie T auf durch eine Metrik definiert ist wie in (., dann hat (, T die Hausdorff-Eigenschaft. Beweis. Man setze ε = 2 d (x, y und nehme U = U ε(x und V = U ε (y. Wenn z U ε (x U ε (y, dann gilt ein Widerspruch. 2ε = d (x, y d (x, z + d (z, y < ε + ε, Beispiel. Setzen wir f : R {z C; z = } mit f(x = e ix und definieren die Topologie T auf R durch T = { f (A; A C ist offen }. Dann hat (R, T nicht die Hausdorff-Eigenschaft. Diese Topologie lässt sich dann auch nicht durch eine Metrik beschreiben. Man kann sich hier R vorstellen als aufgerollt in einer vertikalen Spirale und jedes T T als Teil der Spirale innerhalb eine Säule, die sich projizieren läßt auf eine offene Menge in C. Anders gesagt, T ist die Menge der 2π-periodische offenen Mengen..2 Basis und Produkt bei Topologien In R n haben wir die Standardtopologie eingeführt mit Hilfe offener Kugeln. Man hat nicht nur die offenen Mengen damit definiert, sondern jede offene Menge U kann man auch schreiben als Vereinigung von Kugeln. Das kann man auch allgemeiner machen. Definition. Sei (, T ein topologischer Raum. Man nennt B T eine Basis für die Topologie T, wenn es für jedes T T Basiselemente {B i B; i I} derart gibt, dass T = i I B i.

11 .2 Basis und Produkt bei Topologien 5 Die offenen Intervalle bilden eine Basis für die Standardtopologie auf R; die offenen Kugeln bilden eine Basis für R n. Lemma.2 Sei (, T ein topologischer Raum und sei B T. Wenn es zu jedem x und jedem T T mit x T ein Element B B gibt mit x B T, dann ist B eine Basis für die Topologie T, Beweis. Sei T T. Für x T gibt es B x B mit x B x T. Dann gilt T = x T B x. Definition.3 Seien (, T und ( 2, T 2 topologische Räume. Dann definiert man die Produkttopologie auf 2 als die kleinste Topologie T, die alle Mengen T T 2 für T T und T 2 T 2 enthält. Man schreibt T = T T 2. Bemerkung.3. Die Produkttopologie T enthält mehr als nur T T 2 = {(x, y ; x T und y T 2 } mit T T und T 2 T 2. Man kann aber zeigen, dass {T T 2 ; T T und T 2 T 2 } eine Basis bildet für T T 2. Links steht eine Darstellung von (T,a T 2,a (T,b T 2,b. Diese Menge ist nur selten ein Produkt. Rechts steht eine Darstellung vom kleinsten Produkt, das diese erste Menge enthält, nämlich (T,a T,b (T 2,a T 2,b. Bemerkung.3.2 Hat man eine Topologie T auf 2, dann kann man auch eine Topologie auf (und ebenso auch auf 2 definieren, nämlich durch T = {T P( ; T 2 T }. Lemma.4 Seien T n und T m die Standardtopologien auf R n und R m. Die Standardtopologie auf R n+m := R n R m ist die Produkttopologie von T n und T m. Der Beweis dieses Lemmas verwendet Lemma.2 und dass für (x, y R n+m und r > gilt (x, y B r (n (x B r (m (y B (n+m 2r (x, y. B (n+m r

12 6. Februar 2 Woche, Teilmengen und Strukturen.3 σ-algebra Eine zweite Struktur für Teilmengen in P( ist folgende: Definition.5 Eine Klasse A von Teilmengen aus, also A P(, heißt eine σ-algebra über, falls. A, 2. A A = A c A, 3. A k A für alle k N = k N A k A. Bemerkung.5. Die Mengen in A nennt man A-messbar. (, A nennt man einen messbaren Raum. Bemerkung.5.2 Wenn A k A für alle k N, dann gilt wegen der zweiten Bedingung, dass auch A c k A für alle k N. Weil ( A c k A A kc = k N k N gilt wiederum wegen dieser zweiten Bedingung, dass A k A. Eine σ-algebra ist abgeschlossen unter allen abzählbaren Mengenoperationen (Vereinigung und Schnitt. Wir erinnern nochmals an die Begriffe endlich und abzählbar 2. k N Beispiel.6. {R, } ist die kleinste σ-algebra über R. 2. Sei A R. Dann ist A = {, A, R\A, R} eine σ-algebra über R. 3. Definiere für f {, } Z die Menge Dann ist A = A f := k Z mit f(k= (k, k + ]. { A f ; f {, } Z} eine σ-algebra über R. 4. P( ist die größte σ-algebra über. Wenn man eine Teilmenge B von P( hat, dann kann man wie folgt die kleinste σ-algebra definieren, die B enthält: A B = {A P(; B A und A ist eine σ-algebra über }. (.2 Anders gesagt; sei M die Menge aller σ-algebren auf und man setzt A B = {A M; B A}. Eine Menge A heißt endlich, wenn es k N gibt derart, dass A = {x, x 2,..., x k }. 2 Eine Menge A heißt abzählbar, wenn es eine surjektive Abbildung f : N A gibt derart, dass A = f(n. Also A = {x, x, x 2,... } mit x i = f(i für i N. Wenn es sogar eine bijektive Abbildung f gibt, nennt man A abzählbar unendlich.

13 .3 σ-algebra 7 Man soll zeigen, dass so eine kleinste σ-algebra existiert. Weil P( M ist M nicht leer und ist A B wohldefiniert. Außerdem gilt für B B, dass B {A M; B A} = A B. Wir zeigen, dass A B eine σ-algebra ist. Weil, A für jede σ-algebra A M, gilt, A B. 2 Nehme A A B. Dann gilt A A für jede A M mit B A und A {A M; B A} = A B. 3 Ähnlich kontrolliert man, dass die dritte Bedingung erfüllt ist. Also ist A B eine wohldefinierte σ-algebra und aus der Art der Definition folgt, dass sie die kleinste ist. Definition.7 Seien (, A und ( 2, A 2 messbare Räume. Dann definiert man die Produkt-σ-Algebra auf 2 als die kleinste σ-algebra A, die alle Mengen A A 2 für A A und A 2 A 2 enthält. Man schreibt A = A A 2. Bemerkung.7. Ähnlich wie bei der Produkttopologie enthält die Produkt-σ-Algebra A mehr als nur A A 2 = {(x, x 2 ; x A und x 2 A 2 } mit A A und A 2 A 2. Satz.8 Wenn (, A und ( 2, A 2 messbare Räume sind, (x, x 2 2 und A A A 2, dann gilt S (x 2, A := {x ; (x, x 2 A} A, S 2 (x, A := {x 2 ; (x, x 2 A} A 2. Bemerkung.8. S (x 2, A nennt man den Schnitt von A in bezüglich x 2. Ähnlich nennt man S 2 (x, A den Schnitt von A in 2 bezüglich x. x,x 2 Beweis. Sei B P ( 2 die Menge aller Mengen B A A 2 derart, dass für alle (x, x 2 2 gilt: S (x 2, B A und S 2 (x, B A 2.

14 8. Februar 2 Woche, Teilmengen und Strukturen Nehmen wir an, dass B eine σ-algebra ist. Es gilt B A A 2. Weil für A A 2 mit A A und A 2 A 2 gilt { A falls x S (x 2, A A 2 = 2 A 2 falls x 2 / A 2 und ähnliches für S 2 (x, A A 2 gilt, findet man A A 2 B. Weil A A 2 die kleinste σ-algebra ist, die alle Mengen A A 2 enthält, gilt A A 2 B. Es bleibt noch zu beweisen, dass B eine σ-algebra ist.. S (x 2, 2 = A und S 2 (x, 2 = 2 A 2 liefert 2 B. 2. Weil S (x 2, B c = S (x 2, B c und S 2 (x, B c = S 2 (x, B c folgt B B B c B. 3. Ähnlich hat man ( i S (x 2, B i = S x 2, B i i und damit zeigt man die dritte Bedingung. und i S 2 (x, B i = S 2 (x, i B i.4 Topologie und σ-algebra Vergleicht man also σ-algebra mit Topologie, sieht einiges ähnlich aus, aber es gibt auch wesentliche Unterschiede: so sind bei einer σ-algebra mehr Schnitte und weniger Vereinigungen erlaubt. Die beiden Strukturen werden verknüpft in der folgenden Definition. Definition.9 Sei eine Menge und T P( eine Topologie. Dann nennt man A T, d.h. die kleinste σ-algebra, die T enthält, die zu (, T gehörende Borel-σ-Algebra. Der Französische Mathematiker und Politiker Émile Borel lebte von 87 bis 956. Bemerkung.9. Sei (, T ein topologischer Raum. Die zugehörige Borel-σ-Algebra enthält u.a. alle offenen und abgeschlossenen Mengen. Die Mengen in diese Borel-σ- Algebra nennt man Borel-messbar.

15 Analysis 3, Woche 2 Maße I Wir haben in Analysis 2 gesehen, dass man für beschränkte konvexe Teilmengen von R n einen Inhalt definieren kann. Auch für endliche Vereinigungen von solchen Teilmengen kann man den Inhalt definieren. Diese speziellen Gebiete bilden aber eine relativ kleine Klasse; man möchte dies verallgemeinern, eigentlich möchte man am liebsten einen Inhalt definieren für jedes A P(. Es wird sich herausstellen, dass das zu viel verlangt ist. Mehr als nur Vereinigungen von endlich vielen beschränkten konvexen Teilmengen ist aber möglich. Diesen verallgemeinerten Inhaltsbegriff nennt man Lebesgue-Maß. Bevor wir dieses Lebesgue-Maß betrachten, werden wir uns mit dem Begriff Maß beschäftigen. Vorher kommen noch die messbare Funktionen und zum Vergleich auch noch die stetige Funktionen. 2. Stetige Funktionen Definition 2. Seien (, S und (Y, T zwei topologische Räume. Dann nennt man eine Funktion f : Y S-T -stetig, wenn für jedes T T gilt, dass f (T S. Lemma 2.2 Seien (, d und (Y, d Y metrische Räume und seien S und T die durch die Metriken d beziehungsweise d Y definierte Topologien. Dann stimmt die klassische Definition der Stetigkeit mit der in Definition 2. überein. Beweis. Wir erinnern uns der klassischen Definition einer stetigen Abbildung zwischen metrischen Räume: f : (, d (Y, d Y heißt stetig, wenn a ε> δ> d (a, b < δ = d Y (f (a, f (b < ε. Sei T T nicht leer und sei a f (T. Weil T offen ist, gibt es ε > mit U ε (f (a := {y Y ; d Y (f (a, y < ε} T. Aus der klassischen Definition der Stetigkeit folgt, dass es δ > gibt mit f (U δ (a U ε (f (a für U δ (a := {y Y ; d (a, x < δ}. Es folgt U δ (a f (U ε (f (a f (T. Weil dies für beliebige a f (T gilt, bedeutet es f (T S. Sei a, ε > und betrachte U ε (f (a. Weil U ε (f (a T gilt, folgt aus der Annahme, dass f (U ε (f (a S. Das heisst f (U ε (f (a ist offen, und weil a f (U ε (f (a, hat es δ > mit U δ (a f (U ε (f (a. Anders gesagt, für jedes a, ε > gibt es δ > derart, dass aus d (a, x < δ folgt d y (f (a, f (x < ε. 9

16 . Februar 2 Woche 2, Maße I 2.2 Messbare Funktionen Definition 2.3 Seien (, A und (Y, B zwei messbare Räume. Dann nennt man eine Funktion f : Y A-B-messbar, wenn für jedes B B gilt, dass f (B A. Proposition 2.4 Seien (, T und (Y, S zwei topologische Räume und sei f : Y T -S-stetig. Dann ist f A T -A S -messbar. Bevor wir diese Proposition beweisen, schauen wir uns das folgende Lemma an. Lemma 2.5 Sei S P (Y und sei f : Y eine Funktion. Dann ist f (A S eine σ-algebra auf und f (A S = A f (S. Beweis., Y A S liefert = f ( f (A S und = f (Y f (A S. 2 A A S liefert A c A S und f (A c = {x ; f(x A c } = {x ; f(x A} c = ( f (A c. 3 Für A i A S gilt f ( i N A i = f (A i. i N Also ist f (A S eine σ-algebra. Weil S A S folgt f (S f (A S und weil f (A S eine σ-algebra ist, hat man sofort A f (S f (A S. (2. Für die andere Richtung setzt man Dieses B ist derart definiert, dass B = { B P (Y ; f (B A f (S}. A f (S = f (B, (2.2 und es folgt, dass f (B eine σ-algebra ist. Weil f (S A f (S, gilt außerdem S B. Wir behaupten, dass schon B eine σ-algebra ist. Weil f (, f (Y A f (S folgt, Y B. Wenn B B, dann folgt B c B aus f (B c = ( f (B c Af (S. Wenn B i B für i N, dann folgt i N B i B aus f ( i N B i = i N f (B i A f (S. Also ist B eine σ-algebra. Weil S B und weil A S S A S, folgt A S B und die kleinste σ-algebra ist mit f (A S f (B = A f (S. (2.3 Zusammen zeigen (2. und (2.3 das gewünschte Ergebnis. Beweis von Proposition 2.4. Wir sollen zeigen, dass wenn f (S T gilt, auch f (A S A T gilt. Mit Hilfe von Lemma 2.5 folgt f (A S = A f (S A T.

17 2.3 Definition eines Maßes 2.3 Definition eines Maßes Definition 2.6 Sei (, A ein messbarer Raum. Dann heißt µ : A [, ] ein (positives Maß, wenn. µ( =, 2. µ ist σ-additiv: für jede paarweise disjunkte Folge {A n } n N A gilt µ( n N A n = n N µ(a n. Bemerkung 2.6. (, A, µ nennt man einen Maßraum. Bemerkung Wenn außerdem µ( <, dann nennt man das Maß µ endlich. Wenn µ( =, nennt man µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Bemerkung Weil µ ist, ist die Reihe n N µ(a n auch unbedingt konvergent, wenn sie konvergiert. Unbedingt konvergent heisst, dass man die Folge umändern kann, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Bemerkung Man nennt eine Mengenfunktion µ additiv, wenn für jede paarweise disjunkte A,..., A k A gilt µ( k σ-additivität impliziert Additivität. n= A n = k n= µ(a n. Diese Definition vom Maß liefert die folgenden Eigenschaften: Satz 2.7 Sei (, A, µ ein Maßraum. Dann gilt für A, B, A i A:. A B = µ(a µ(b; 2. µ (A B + µ (A B = µ(a + µ(b; 3. wenn A n A n+ für alle n N, dann ist {µ(a n } n N eine wachsende Folge 2 und ( lim µ(a n = µ A k ; n k N 4. wenn A n A n+ für alle n N und µ(a <, dann ist {µ(a n } n N eine fallende Folge und ( lim µ(a n = µ A k. n k N Sei A i P( für i I. Dann heißt {A i } i I paarweise disjunkt, wenn A i A j = für alle i, j I mit i j. 2 Man erlaubt hier Grenzwerte in [, ]. Für l = definiert man den uneigentlichen Limes wie folgt: Man sagt lim n a n =, wenn R > N R N : n > N R = a n > R.

18 2. Februar 2 Woche 2, Maße I Bemerkung 2.7. Die vierte Aussage braucht eine Bedingung wie µ(a < (es reicht µ(a k < für irgendein k. Denn es ist möglich, dass sowohl µ(a k = für alle k N als auch µ ( k N A k = gilt. Ein solches Beispiel findet man in (Z, P (Z, Z mit Z das Zählmaß. Dieses Zählmaß wird definiert durch { n falls A genau n Elemente enthält, Z(A = falls A unendlich viele Elemente enthält. Betrachtet man A k = 2 k Z = { n2 k ; n Z }, so findet man A k A k+ für alle k N, ( Z (A k = für alle k N und Z = Z ({} =. k N A k Beweis. Weil B = A (B A c und A (B A c = gilt, folgt aus der Additivität, dass µ(b = µ(a + µ (B A c µ(a. 2 Man bemerke, dass A B = (A B c B und (A B c B =. Dann gilt µ (A B = µ (A B c + µ (B. Weil (A B (A B c = A gilt, hat man auch Es folgt, dass µ (A B c + µ (A B = µ (A. µ (A B + µ (A B c + µ (A B = µ (A B c + µ (B + µ (A. Wenn µ (A B c =, dann gilt auch µ (A B = = µ(a, und es steht auf beiden Seiten. Wenn µ (A B c <, dann bekommt man µ (A B + µ (A B = µ (B + µ (A. 3 Weil gilt, findet man, dass die} Folge wachsend ist. Setzt man à = A und à k = A k A c k {Ãk für k, dann ist eine disjunkte Folge und es gilt ( ( µ A k = µ à k = ( lim k N k N n k N n k= ( n µ (Ãk = ( lim µ à k = lim µ(a n. n k= n In = ( verwendet man die σ-additivität und in = ( die daraus folgende Additivität. 4 Man findet, weil gilt, dass die Folge fallend ist. Dann folgt µ(a k µ(a < und {µ(a k } k N ist eine fallende nach unten (durch beschränkte Folge und deshalb konvergent. Weil µ (A A c k + µ (A k = µ (A A c k + µ (A A k = µ (A gilt und µ(a k endlich ist, folgt µ (A A c k = µ (A µ (A k. (2.4 Jetzt definiert man B k = A A c k und wendet 3 an. Es gilt Ac k Ac k+ und also auch B k = (A A c k ( A A c k+ = Bk+.

19 2.3 Definition eines Maßes 3 Weil B k = A ( k N k N Ac k = A gilt, bekommt man ( ( c ( ( µ (A = µ A A k + µ A k N ( ( = µ + µ = k N B k k N A k k N A k c k N A k (man verwende 3. ( ( = lim µ(b k + µ A k = lim µ(a A c k k N k k + µ (man verwende (2.4 ( = lim (µ(a µ (A k + µ k (der Limes existiert in [, ( = µ(a lim µ (A k + µ k k N A k k N A k =. = k N A k = Weil µ (A < folgt ( lim µ (A k = µ A k. k k N Beispiel 2.8 Sei a R und definiere den Maßraum (R, P(R, δ a durch { falls a A, δ a (A = falls a / A. Dieses Maß nennt man das Dirac-Maß mit Träger in a. Beispiel 2.9 In Analysis 2 haben wir gezeigt, dass gilt g α,y(xdx =. Für die offenen Inter- Man findet, dass für g α,y (x = (x y2 α 2 e α 2 π valle (a, b definiert man µ α,y ((a, b = e x2 dx = π. b a g α,y (xdx. Also gilt für jedes α > und y R, dass µ α,y (R =. Außerdem gilt lim µ α,y ((a, b = δ y ((a, b. α Wir werden noch zeigen, dass man µ α,y erweitern kann zu einem Maß auf allen Borelmengen von R. Die Standard-Gaußkurve g, oder Normalverteilung bekommt man als Limes beim Dreieck von Pascal. Das heißt, wenn man eine ehrliche Münze n mal wirft, dann ist die Wahrscheinlichkeit m mal Kopf zu erhalten ( ( n n 2. Zentriert man den Graph in m (schiebe das Interval [, n] durch m m n auf [ n, n] und skaliert man mit 2 2 2

20 4. Februar 2 Woche 2, Maße I ( 2/n Faktor n (genauer gesagt (x, y 2 x, n/2 y, dann approximiert man mit den folgenden Paaren die Gaußkurve: ( 2 (m 2 n n n, 2 ( 2 n ( ( n x, m e x2 π (2.5 Das heißt: Sei x R und {m n } n N N derartig, dass lim n lim n 2 2 n n ( n ( n = e x2. 2 m n π ( mn 2 n = x, dann gilt Wir beweisen dies nicht, aber versuchen mit einigen Bilder das Ergebnis zu illustrieren Die Bilder zu (2.5 für n = 6, n = 6 und n = 6. Ein Bild zu dieser Funktion findet man auch mitten auf der letzten -DM-Banknote zusammen mit Carl Friedrich Gauß.

21 2.4 Nullmengen und Vollständigkeit Nullmengen und Vollständigkeit Definition 2. Sei (, A, µ ein Maßraum. Man nennt A A eine Nullmenge, wenn µ(a =. Ein Maßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge wiederum eine Nullmenge ist. Lemma 2. Abzählbare Vereinigungen von Nullmengen sind wiederum Nullmengen. Beweis. Dieses Ergebnis folgt aus der σ-additivität. Satz 2.2 Sei (, A, µ ein Maßraum. Setzt man A = {A A ; A A und es gibt eine Nullmenge N A mit A N} und µ(a A = µ(a, dann gilt. A ist ein σ-algebra, 2. µ ist ein wohldefiniertes Maß, und 3. (, A, µ ist ein vollständiger Maßraum. Beweis. Weil eine Nullmenge ist und A = A gilt, gilt A A. So ist gleich die erste Bedingung einer σ-algebra erfüllt. Sei A A und A N mit N eine Nullmenge. Weil auch N A c N und gilt es, dass A c = (N c A c (N A c = N c (N A c (A A c = A c A c = A c (N c (N A c = = (A c N c (A c N A c. Man hat A c N c A und A c N A c N. So hat man bewiesen, dass (A A c A. Die letzte Eigenschaft einer σ-algebra folgt aus Lemma Wenn A A = B B mit A, B A und A und B Teilmengen von Nullmengen N beziehungsweise M sind, dann gilt A N M = B N M. Weil A c (N M und B c (N M Nullmengen sind, hat man µ(a = µ(a + µ (A c (N M = µ (A N M = = µ (B N M = µ(b + µ (B c (N M = µ(b

22 6. Februar 2 Woche 2, Maße I und es gilt µ(a A = µ(b B. So ist µ wohldefiniert. Es ist sogar ein Maß: i ist eine Nullmenge und µ( = µ( = µ( =. ii Für eine disjunkte Folge {A i A,i } i N mit A i A und A,i Teilmenge einer Nullmenge, hat man: ( ( µ (A i A,i = µ A i ( A,i = µ A i = i N i N i N i N = i N µ (A i = i N µ (A i A,i. 3 Diese letzte Eigenschaft folgt aus der Definition und den ersten beiden Eigenschaften.

23 Analysis 3, Woche 3 Maße II 3. Äußeres Maß Man könnte hoffen, nachdem man durch die Erweiterung von (, A, µ zu (, A, µ einen vollständigen Maßraum konstruiert hat, dass auch alle Mengen messbar sein sollten. Diese Hoffnung ist vergeblich; es gibt immer noch nicht-messbare Mengen. Möchte man aber ein konkretes Beispiel für eine nicht-messbare Menge hinschreiben, dann braucht man das Auswahlaxiom. Eine Möglichkeit um für alle Teilmengen in P( etwas ähnliches wie ein Maß zu definieren ist folgende: Definition 3. Eine Abbildung µ : P( [, ] nennt man ein äußeres Maß auf, wenn. µ ( =, 2. für alle A, B P(: A B = µ (A µ (B, und 3. µ ist σ-subadditiv: für alle {A i } i N P( gilt: µ ( i N A i µ (A i. i N Bemerkung 3.. Bei der σ-subadditivität wird nicht verlangt, wie bei der σ-additivität, dass die A i paarweise disjunkt sind. Das ist jedoch nicht der Grund wieso statt = in der Definition erscheint. Man möchte hier zulassen, dass eine strikte Ungleichung erscheinen kann, sogar bei paarweise disjunkte Mengen A i. Wenn man genügend Teilmengen von hat für die man eine Grösse definiert, dann lässt sich daraus ein äußeres Maß konstruieren. Genau beschrieben wird dieses Resultat im nächsten Lemma. Auswahlaxiom Wenn A eine Menge nichtleerer Mengen ist, dann gibt es eine Auswahlfunktion: für alle Mengen A A kann man ein Element a A bestimmen. Anders gesagt: f : A A mit A A gilt f(a A. A A Die meisten Mathematiker nehmen dieses Axiom als Voraussetzung. In der Mathematik ist ein Axiom ein nicht deduktiv ableitbarer und widerspruchsfreier Grundsatz. 7

24 8. Februar 2 Woche 3, Maße II Lemma 3.2 Seien B P( und ν : B [, ] derart, dass:. B und ν( =, 2. kann mit abzählbar vielen B i B überdeckt werden: {B i } i N B derart, dass B i =. i N Dann ist µ : P( [, ], definiert durch { µ (A = inf ν(b i ; B i B und A } B i, i N i N ein äußeres Maß auf. Beweis. Aus dieser Definition folgt gleich, dass die erste Bedingung von Definition 3. erfüllt ist. Denn falls A A 2 gilt, nimmt man für A 2 das Infimum über eine kleinere Klasse von B i. Um die σ-subadditivität zu zeigen, sei {A n } n N P( und ε >. Für jedes n N kann man {B n,i } i N B finden derart, dass A n i N B n,i und µ (A n ν(b n,i 2 n+ ε. i N Es folgt, dass n N A n n N i N B n,i und µ ( n N A n ν(b n,i ( µ (A n + 2 n+ ε = ε + µ (A n. n N i N n N n N Weil diese Ungleichung gilt für alle ε >, gilt auch µ ( n N A n µ (A n. n N So ist µ ein äußeres Maß. 3.. Das äußere Lebesgue-Maß Wie wir in Lemma 3.2 gesehen haben kann man ein äußeres Maß definieren, wenn man eine Art Prämaß definiert auf genügend viele Mengen. Nehmen wir R n und die Blöcke, die wir auch schon bei der Riemann-Integrierbarkeit verwendet haben, folgt das äußere Lebesgue-Maß. Für a i, b i R für i =,..., n mit a i b i setzen wir Volumen ([a, b [a n, b n = n i= (b i a i. Wir nennen [a, b [a n, b n einen Block in R n. Henri Léon Lebesgue Definition 3.3 Sei B die Menge aller Blöcke in R n. Wir definieren das äußere Maß λ n : P(R n [, ] durch { } λ n(a = inf R i ; i N Volumen(R i ; R i B und A i N λ n heißt das n-dimensionale äußere Lebesgue-Maß auf R n.

25 3. Äußeres Maß 9 Bemerkung 3.3. Wegen Lemma 3.2 kann man folgern, dass λ n tatsächlich ein äußeres Maß ist. Bemerkung Man kann zeigen, dass das äußere Lebesgue-Maß invariant ist unter Verschiebungen und Drehungen Äußere Hausdorff-Maße Statt mit rechteckigen Blöcken eine Teilmenge von R n zu überdecken, könnte man auch Kugeln verwenden. Man kann zeigen, dass { λ n(a = σ n inf ri n ; B ri (x i B und A } B ri (x i i N i N mit σ n =Volumen(B ( das gleiche äußere Lebesgue-Maß auf R n liefert. Wenn man statt des Volumens die Länge haben möchte, sollte statt σ n i N rn i etwas wie 2 i N r i erscheinen. Für eine s-dimensionale Menge in R n wäre es c s i N rs i. Dies passt aber nur, wenn man beliebig kleine Kugel zuläßt und die größeren verbietet. Diese Überlegung führt zu { λ s-dim. in R n(a = c s lim inf ri s ; B ri (x i B und A } B ri (x i mit r i < ε. ε i N i N Auf diese Art könnte man sogar Maße für nicht-ganzzahlige Dimensionen definieren: Definition 3.4 Sei s >, ε > und B ε die Menge aller Kugeln in R n (inklusive die leere mit r [, ε]: B r (x := {y R n ; x y < r}. Wir definieren h ε s : P(R n [, ] durch { h ε s(a = inf (Radius(B i s ; B i B ε und A } B i i N i N und (3. h s(a = lim ε h ε s(a. (3.2 h s heißt das s-dimensionale äußere Hausdorff 2 -Maß auf R n. Bemerkung 3.4. Eigentlich ist dies nicht das s-dimensionale äußere Hausdorff-Maß, sondern eine sphärische Version davon. Das übliche äußere Hausdorff-Maß verwendet mehr als nur Kugeln und für einige pathologische Mengen bringt dies einen Unterschied. Man kann jedoch zeigen, dass beide Definitionen äquivalente Maße geben. Bemerkung Aus der Definition folgt sofort, dass < ε 2 ε = h ε 2 s (A h ε s (A. Weil h ε s(a folgt, dass lim ε h ε s(a existiert als Grenzwert in [, ]. Dann gilt auch lim ε h ε s(a = sup ε> h ε s(a. 2 Felix Hausdorff, Breslau 868 Bonn 942

26 2. Februar 2 Woche 3, Maße II Bemerkung In (3. ist tatsächlich ein äußeres Maß definiert, denn die Klasse B ε und die Größen ν s mit ν s (B r (x = r s erfüllen die Bedingungen in Lemma 3.2. Also ist h ε s ein äußeres Maß für ε > und s (, n]. Für s = definiert man in (3. h ε durch ν ( = und ν (B r (x = falls r >. Auch h ε ist ein äußeres Maß; h ist das Zählmaß. Für alle s [, n] sollte man sich überlegen, warum h s tatsächlich ein äußeres Maß ist. Bemerkung Für die Bilder glatter injektiver Kurven γ : [, ] R 2 oder R 3 gilt 2h (γ [, ] = l(γ, wo l(γ die Bogenlänge von γ darstellt. Man überdeckt das Bild der Kurve mit Kreisscheiben und zweimal die Summe der Radien approximiert die Länge der Kurve. Bemerkung Wenn man für ganzzahlige s und schöne Mengen die Standardinhalte wiederfinden möchte, dann muss man in (3. einen Faktor σ s anbringen; σ s ist das s- dimensionale Volumen der Einheitskugel in R s. Oft wird das Hausdorff-Maß inklusive dieses Faktors definiert. Übrigens kann man statt Kugeln auch Würfel verwenden. Den Faktor muss man wiederum anpassen. Beispiel 3.5 Sierpinskis Teppich. Wir nehmen eine Teilmenge S von [, ] 2 wie folgt. Man teile das Gebiet in 3 3 Teilquadrate und entfernt das Mittlere. Man wiederholt dies auf die restlichen 8 Quadrate und setzt das fort: S = [, ] 2 \ n= 3 n k= 3 n l= [ 3k + 3k + 2, 3n+ 3 n+ ] [ 3l + 3l + 2, 3n+ 3 n+ Es gilt λ (S ( =, denn in jedem Schritt der Konstruktion entfernt man des Gebietes 9 und lim 8 n n 9 =. Weil man S überdecken kann mit 8 n Kugeln, die Radius 2 3 n haben, finden wir Weil 8 3 s < für s > s d = log(8 log(3 Für ε < folgt s s 2 h 2 3 n s (S 8 n (2 2 3 n s = 2 3/2 s ( 8 3 s n. = gilt es, dass h s(s = falls s > s d. (3.3 = h ε s (S h ε s 2 (S, also auch s s 2 = h s (S h s 2 (S. Nehmen wir an h ε s(s = C s (, ] für s < s d, dann folgt aus die Selbstähnlichkeit von S (S besteht aus 8 kleineren Kopien von sich selber, dass h ε/3 s (S = 8 ( s 3 h ε s (S. Durch Wiederholung folgt h ε/3n s (S = (8 3 s n C s und wir finden, dass Es bleibt noch zu zeigen, dass h ε s(s >. h s(s = falls s < s d. (3.4 Definition 3.6 Wenn es für S R n eine Zahl s d [, n] gibt derart, dass (3.3 und (3.4 erfüllt sind, sagt man: S hat Hausdorff-Dimension s d. ].

27 3.2 Vom äußeren Maß zum Maß 2 Abbildung 3.: Sierpinskis Teppich S; {x; (x, 2 S}. 3.2 Vom äußeren Maß zum Maß Definition 3.7 Sei µ ein äußeres Maß auf. Man nennt A P( µ -messbar, wenn für jedes B P( gilt: µ (A B + µ (A c B µ (B. (3.5 Die Menge aller µ -messbaren Mengen wird mit A (µ bezeichnet. Bemerkung 3.7. Hier wird µ -messbar definiert ohne etwas über eine σ-algebra zu sagen. Wenn Sie sich wundern, wieso das geht, haben Sie völlich recht. Im nächsten Theorem wird dieses problem aus der Welt geschafft, denn da wird A (µ als das passende σ-algebra identifiziert und ist µ ein dazu passendes Maß. Bemerkung Weil die σ-subadditivität impliziert, dass für A, B P( µ (B = µ ((A B (A c B µ (A B + µ (A c B

28 22. Februar 2 Woche 3, Maße II gilt, kann man die Ungleichung in (3.5 ersetzen durch ein Gleichheitszeichen. ( Satz 3.8 (Caratheodory 3 Sei µ ein äußeres Maß auf. Dann ist, A (µ, µ A(µ ein vollständiger Maßraum. Bemerkung 3.8. Insbesonders gilt, dass A (µ eine σ-algebra ist und dass µ A(µ ein Maß ist auf diese σ-algebra. ( Definition 3.9 Wenn µ ein äußeres Maß auf ist und, A (µ, µ A(µ der zugehörige vollständige Maßraum, dann nennt man µ = µ A(µ das von µ induzierte Maß. Beweis von Satz 3.8. Wir zeigen erst, dass A (µ eine σ-algebra ist. Aus µ ( B + µ ( c B = µ (B + µ ( = µ (B folgt A (µ. Aus der Symmetrie der Bedingung folgt A A (µ = A c A (µ. Sei {A i } i N A (µ ; es soll gezeigt werden, dass (3.5 auch gilt für A = i N A i. Wir fangen an mit zwei Teilmengen A, A 2 A (µ und dürfen annehmen, dass A A 2 = und dass µ (B <. Verwendet man σ-additivität, dass A A 2 = und zweimal (3.5, dann folgt µ (B µ ((A A 2 B + µ ((A A 2 c B µ (A B + µ (A 2 B + µ ((A A 2 c B = = µ (A B + µ (A 2 A c B + µ (A c 2 A c B Also gilt A A 2 A (µ und µ (A B + µ (A c B µ (B. µ ((A A 2 B = µ (A B + µ (A 2 B. Mit vollständiger Induktion folgt für paarweise disjunkte {A,..., A n } A (µ, dass n i= A i A (µ und ( n µ A i B = i= n µ (A i B. (3.6 Wir müssen nun noch zeigen, dass (3.5 auch für eine abzählbare Vereinigung gilt. Sei {A i } i N A (µ eine disjunkte Folge und setze A = i N A i. Es gibt zwei Möglichkeiten. Wenn µ (B =, hat man nichts zu beweisen. Wenn µ (B <, dann gilt auch µ (A B < und es folgt aus der Subadditivität und (3.6 und die zweite Eigenschaft eines äusseren Maßes, dass µ (A B i= = lim n µ ( n i= A i B i= µ (A i B = lim n n µ (A i B = i= lim n µ (A B = µ (A B. (3.7 3 Constantin Caratheodory war ein Griechischer Mathematiker. Er wurde geboren 873 in Berlin und starb 95 in München.

29 3.2 Vom äußeren Maß zum Maß 23 Es folgt µ (A B = i= µ (A i B und ebenso gilt ( n µ (A B = µ A i B + i= i=n+ µ (A i B. Weil A c = i N Ac i n i= Ac i gilt, folgt ( n µ (A c B + µ (A B µ i= Ac i B + µ (A B = (( n c ( = µ A n i B + µ A i B + µ (A i B = i= i= µ (B + i=n+ i=n+ µ (A i B für alle n N. (3.8 In (3.7 findet man, dass i= µ (A i B konvergiert falls µ (B <, anders gesagt, dass lim µ (A i B =. n i=n+ Dann folgt aus (3.8, dass µ (A c B + µ (A B µ (B. Damit haben wir gezeigt, dass A (µ eine σ-algebra ist. In (3.7 findet man, dass µ ( i N A i B = i= µ (A i B für A i A (µ. Setze B = A und es folgt, wenn µ (A <, dass µ ( i N A i = µ (A i. (3.9 Für µ (A = folgt (3.9 aus der Subadditivität. Also ist µ ein Maß auf A (µ. Schlussendlich zeigen wir noch die Vollständigkeit. Wenn µ (A =, dann gilt für à A, dass µ (à = und für B P ( gilt (Ãc µ B + µ (à B µ (B + µ (A = µ (B. Das heißt à A (µ und A (µ ist vollständig. i=

30 24. Februar 2 Woche 3, Maße II

31 Analysis 3, Woche 4 Lebesgue-Maß Henri Léon Lebesgue: Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contenu. Oder auf Deutsch: Reduziert auf allgemeine Theorien wäre die Mathematik eine schöne Form ohne Inhalt. 4. Lebesgue-Maß und Borel-Mengen Für R n haben wir mit Hilfe des Volumens ν : B [,, und dabei ist B die Menge aller Blöcke, das äußere Maß λ : P (R n [, ] definiert durch { λ (A = inf ν(b i ; B i B und A } B i. i N i N Lemma 3.2 besagt, dass λ tatsächlich ein äußeres Maß ist, welches wir das äußere Lebesgue-Maß nennen. In Definition 3.7 wird A (λ festgelegt und in Satz 3.8 wird beschrieben, dass A (λ eine σ-algebra ist und dass ( R n, A (λ, λ A(λ ein vollständiger Maßraum ist. Definition 4. Sei = R n. Das vom äußeren Lebesgue-Maß induzierte Maß nennt man das Lebesgue-Maß. Man schreibt (R n, L, λ. Man hat sich einige Mühe gegeben, eine Größe, die auf Blöcke definiert ist, zu einem Maß auf einer σ-algebra zu erweitern. Die natürliche Frage, die aufkommt, ist: wie groß ist diese σ-algebra, oder präziser gefragt: Welche Mengen sind denn nun Lebesgue-messbar? Satz 4.2 Sei T P (R n die Klasse der üblichen offenen Mengen in R n, d.h. für alle T T und x T gibt es r > derart, dass {y R n ; y x < r} T. Sei (R n, L, λ wie oben. Es gilt: T L. Bemerkung 4.2. Weil L = A (λ ein σ-algebra ist, folgt aus T L, dass A T L. Man kann T L auch formulieren als offene Mengen sind Lebesgue-messbar. Die Aussage A T L lässt sich beschreiben als die Mengen in der Borel-σ-Algebra sind Lebesgue-messbar. Die Mengen in der Borel-σ-Algebra nennt man Borel-Mengen. 25

32 26. Februar 2 Woche 4, Lebesgue-Maß Bemerkung Man kann zeigen, dass A T L. Das heißt, es gibt Lebesgue-messbare Mengen die keine Borel-Mengen sind. Andererseits hat man auch, dass A T = L. Genauer gesagt, (R n, L, λ ist die Vervollständigung von ( R n, A T, λ AT. Bevor wir Satz 4.2 beweisen, werden wir uns erst ein Lemma anschauen und brauchen dazu die Distanz zweier Mengen in R n. Definition 4.3 Die Distanz d : P (R n P (R n [, definiert man wie folgt: d (Ω, Ω 2 = inf { x y ; x Ω, y Ω 2 }. Außerdem definiert man d : R n P (R n [, durch d (x, Ω 2 = d ({x}, Ω 2. Lemma 4.4 Seien A, A 2 P (R n derart, dass d (A, A 2 >, dann gilt λ (A A 2 = λ (A + λ (A 2. Hier ist λ das äußere Lebesgue-Maß auf R n. Bemerkung 4.4. Mit Induktion zeigt man λ ( n i= A i = n i= λ (A i, wenn {A i } n i= P (R n derart ist, dass d (A i, A j > für i j. Beweis. Sei d (A, A 2 = c >. Das äußere Lebesgue-Maß ist definiert als ein Infimum bei Überdeckungen mit Blöcken: { λ (A = inf ν(b i ; B i B und A } B i. i N i N Sei nun ε > und U = {B i } i N eine Überdeckung durch Blöcke von A A 2 mit i N ν(b i < λ (A A 2 + ε. Wenn man die Blöcke gegebenenfalls in kleinere Blöcke aufteilt, kann man annehmen, dass jeder Block B i einen Durchmesser kleiner als c hat. Dann gilt entweder A B i = oder A 2 B i =. Das heißt U = {B i ; A 2 B i = } eine Überdeckung von A und U\U eine von A 2. Es folgt and dann auch, dass λ (A λ (A + λ (A 2 B i U ν(b i und λ (A 2 B i U ν(b i + B i U\U ν(b i B i U\U ν(b i < λ (A A 2 + ε. Weil dies für jedes ε > gilt, folgt λ (A + λ (A 2 λ (A A 2. Die Subadditivität bringt λ (A A 2 λ (A + λ (A 2. Beweis von Satz 4.2. Man soll zeigen, dass für jede offene Menge A die Bedingung in Definition 3.7 erfüllt ist, d.h. λ (A B + λ (A c B λ (B für alle B P (R n. Hier ist λ das äußere Lebesgue-Maß. Wir dürfen annehmen, dass λ (B <.

33 4. Lebesgue-Maß und Borel-Mengen Abbildung 4.: Ein Bild zu A 2 n A n+ A n+2... A. 2 Sei nun A eine offene Menge. Wir werden A ein wenig verkleinern, indem wir eine Schicht am Rande entfernen: { A n = x A; d (x, A c > }. n Weil A offen ist, findet man A = n= A n und A B = n= (A n B. Wir setzen außerdem S n = A n+ \A n und bemerken, dass d (S n, S n+2 (n + n >. Denn x S n+2 A c n+ bedeutet, dass es b A c gibt mit x b und y S n+ n A n, dass y b. Es folgt n und x y y b x b n n + = (n + n. Wegen Bemerkung 4.4. gilt ( n n λ (S 2i B = λ S 2i B λ (B < i= i= ( n n λ (S 2i B = λ S 2i B λ (B <. i= i= Diese Abschätzungen zeigen, dass i= λ (S i B beschränkt ist durch 2λ (B und darum konvergiert. Es folgt, dass ( λ ((A\A n B = λ S i B λ (S i B für n. i=n Sei ε > und nehme n derart, dass λ ((A\A n B < ε. Dann gilt wegen Subadditivität und Lemma 4.4, dass λ (A B + λ (A c B λ ((A\A n B + λ (A n B + λ (A c B = i=n = λ ((A\A n B + λ ((A n A c B < ε + λ (B.

34 28. Februar 2 Woche 4, Lebesgue-Maß Weil diese Abschätzungen für beliebige ε > gemacht werden können, gilt λ (A B + λ (A c B λ (B und so haben wir erreicht, dass A L. 4.2 Approximieren von Aussen und von Innen Satz 4.5 Für jedes M L gilt: λ(m = inf {λ(o; M O offen}, λ(m = sup {λ(k; M K kompakt}. Beweis. Wenn λ(m =, dann liefert M O auch λ(o =, und man ist fertig. Wir dürfen also annehmen, dass λ(m <. Es gilt, dass { λ(m = λ (M = inf Vol (B i ; } B i M mit B i Blöcke. i N i N Sei ε >. Dann gibt es Blöcke {B i } i N mit i N B i M und Vol (B i < λ (M + 2 ε. i N Man ersetzt durch B i = [a i,, b i, [a i,n, b i,n B i = (a i, δ i, b i, (a i,n δ i, b i,n und nimmt δ i > genügend klein, nämlich derart, dass Vol( B i Vol (B i + 2 i 2 ε. So findet man O := B i N i ist offen, M i N B i O und λ(o Vol( B i Vol (B i + 2 i 2 ε < λ(m + 2 ε + 2 ε. i N i N i N Weil ε > beliebig ist, ist die erste Behauptung bewiesen. 2 Wenn M beschränkt ist, sagen wir M B R (, dann betrachtet man B R (\M und nimmt eine offene Menge O B R (\M mit λ(o < λ(b R (\M + ε. Man definiert K = B R ( O c. Dann ist K kompakt, liegt innerhalb von M und ( ( λ(k = λ B R ( λ B R ( O λ (B R ( λ (O > > λ (B R ( λ(b R (\M ε = λ(m ε. Wenn M unbeschränkt ist, betrachten wir M n = M B n ( und nehmen eine kompakte Menge K n M n mit λ(k n > λ(m n ε. Es gibt zwei Möglichkeiten, entweder λ(m = 2

35 4.2 Approximieren von Aussen und von Innen 29 oder λ(m <. Wenn λ(m = dann hat man λ(m n und auch λ(k n für n. Wenn λ(m <, dann gilt λ(m n λ(m, und {λ(m n } n N ist sogar eine wachsende Folge. Es gibt also n ε N derart, dass λ(m n > λ(m 2 ε für n n ε. Es gilt für K nε, dass K nε M nε M und λ(k nε > λ(m nε ε > λ(m ε. 2 Weil dies für beliebige ε > gilt, hat man die zweite Behauptung bewiesen. Beispiel 4.6 Obwohl Lebesgue-messbare Mengen von außen mit offenen Mengen und von innen mit kompakten Mengen approximiert werden können, kann so eine Lebesguemessbare Menge noch ziemlich wild aussehen. Die Cantor-Menge C konstruiert man, indem man das mittlere Drittel von [, ] entfernt, und aus den beiden Restintervalle wiederum das mittlere Drittel entfernt usw: Man setzt C = [, ], C = [, 3 ] [ 2 3, ], C 2 = C = n N C n. [, ] [ 2 9 9, ] [ 2 3 3, 7 ] [ ] 8 9 9,,... Weil λ (C n+ = 2 3 λ (C n und λ (C = folgt λ (C n = ( 2 3 n. Weil λ (C λ (Cn findet man λ (C =. Trotzdem ist C nicht abzählbar. Abbildung 4.2: Die ersten 6 Schritte in der Konstruktion der Cantor-Menge Beispiel 4.7 Man kann in der Konstruktion der Cantor-Menge im n-ten Schritt statt Intervalle mit Länge ( n ( 3 Intervalle mit Länge n 4 entfernen: [ C = [, ], C =, 3 ] [ ] [ 5 8 8,, C2, 5 ] [ , 3 ] [ 5 8 8, 25 ] [ ] ,,... Diese Menge C f = n N C n wird auch die fette Cantor-Menge genannt. Man hat λ (Cn = n ( k= 2k k 4 und weil man von Aussen mit offenen Mengen C n und auch C f approximieren kann, folgt 2 k λ(c f = = 4 k 2. k=

36 3. Februar 2 Woche 4, Lebesgue-Maß Trotzdem enthält C f kein Intervall mit positiver Länge und es gilt (C f =. Abbildung 4.3: Die fette Cantor-Menge 4.3 Nicht alles ist Lebesgue-messbar Satz 4.2 sagt aus, dass alle Teilmengen von R n, die man bekommt durch abzählbare Mengenoperationen (Vereinigung, Schnitt oder Komplementbildung von offenen und abgeschlossenen Mengen, Lebesgue-messbar sind. Das sind sehr viele Teilmengen. Gibt es denn überhaupt nicht-lebesgue-messbare Mengen? Um diese Frage zu beantworten, verwenden wir das folgende Ergebnis. Satz 4.8 (Steinhaus Wenn für A L P (R n gilt, dass λ (A >, dann gibt es δ > derart, dass B δ ( A A := {x y; x, y A}. Beweis. Weil lim n λ (A B n ( = λ(a wegen Satz 2.7, dürfen wir annehmen, dass es r > gibt mit λ (A B r ( >. Für à = A B r( gibt es wegen Satz 4.5 für jedes ε > eine kompakte Menge K und eine offene Menge O derart, dass K à O und mit λ(o ε < λ(ã < λ(k + ε. Nehmen wir ε = λ(ã, dann folgt 3 λ(o < 4 3 λ(ã und 2 λ(ã < λ(k 3 und wir finden, dass λ(o < 4 λ(ã < 2λ(K. (4. 3 Weil K O und O{ offen ist, gibt es} für jedes x K ein r x > mit B rx (x O. Die Menge K wird auch von B rx(x; x K überdeckt und B rx(x O. Weil K kompakt ist, 2 2 gibt es endlich viele { B 2 rx i (x i } l i= gibt es i {,..., l} mit x B (x i und es gilt 2 rx i Es folgt, die K schon überdecken. Das heißt, für jedes x K d(x, O c d (x i, O c x x i r xi 2 r x i = 2 r x i. { } δ := d(k, O c min r i l >. 2 i; x Wir behaupten B δ ( A A. Sei x B δ ( und nehmen wir an x K K. Dann gilt für x + K = {x + y; y K} O, dass Es folgt K (x + K O und K (x + K =. λ(o λ (K (x + K = λ(k + λ(x + K λ (K (x + K = 2λ(K, (4.2 und dies ist ein Widerspruch zu (4.. Also gilt B δ ( K K A A.

37 4.3 Nicht alles ist Lebesgue-messbar 3 Beispiel 4.9 (Eine nicht-lebesgue-messbare Menge. Für x R setzen wir x = x + Q und R = { x ; x R}. (R ist als Menge isomorph zu R/Q Bemerke, dass x = y genau dann, wenn x y Q. Das Auswahlaxiom lässt uns für jedes R R ein x R finden mit R = x. Nennen wir diese Vorschrift f. Wir werden zeigen, dass f(r nicht Lebesgue-messbar ist. R. f R Für einen Widerspruchsbeweis nimmt man an, dass f(r Lebesgue-messbar ist. Wenn λ(f(r >, dann folgt aus dem Satz von Steinhaus, dass die Menge f(r f(r eine Umgebung von enthält. Weil für x, y f(r mit x y gilt, dass x y Q, folgt Q (f(r f(r = {} und man hat einen Widerspruch. Wenn λ(f(r =, dann gilt auch λ (q + f(r = und hat man wegen f(r + Q = {q + f(r; q Q} und der Abzählbarkeit von Q, dass λ (f(r + Q =. Weil R = { x ; x f(r} = f(r + Q gibt das einen Widerspruch zu λ(r =. Die Annahme, dass f(r Lebesgue-messbar ist, muss falsch sein. R

38 32. Februar 2 Woche 4, Lebesgue-Maß

39 Analysis 3, Woche 5 Lebesgue-Integral 5. Definition des Lebesgue-Integrals 5.. Für einfache Funktionen Wenn wir f : R n R betrachten, nehmen wir an, dass L. Definition 5. Eine Funktion f : R n abzählbar ist. [, ] heißt einfach, wenn f( Wenn die Bildmenge unendlich abzählbar ist, sagen wir f( = {y i } i N mit y i [, ], dann bedeutet das, dass die disjunkte Vereinigung der Urbilder {f (y i } i N ist. Setzen wir A i := f (y i, dann folgt f(x = i N y i Ai. (5. Die Funktion A : R n R ist definiert durch { falls x A, A (x = falls x A. Man nennt A : R n R die Indikatorfunktion von A R n. In der Abbildung findet man eine Darstellung von f = K + 2 R mit K einer Kreisscheibe und R einem Rechteck. Es gilt übrigens, dass f = K\R + 2 R\K + 3 R K. Eine Funktion f : Y ist L -L Y -messbar, wenn für alle L Y -messbare B gilt, dass A := f (B L -L Y -messbar ist. Die einfache Funktion f : R n R in (5. ist also L-L-messbar genau dann, wenn die A i L-messbar sind für alle i N. Die Indikatorfunktion zu A wird auch die charakteristische Funktion zu A genannt. Oft schreibt man auch χ A statt A. 33

40 34. Februar 2 Woche 5, Lebesgue-Integral Definition 5.2 Für eine nichtnegative einfache Funktion f : R n [, ] der Form f(x = y i Ai, i N mit A i L-messbar für alle i N, definiert man y i λ(a i falls λ (f ({ } =, i N mit y f dλ = i [, falls λ (f ({ } >. (5.2 Bemerkung 5.2. Auch wenn λ (f ({ } = kann die Summe werden. Weil in der Summe in (5.2 jedoch nur über nicht-negative Zahlen summiert wird, gibt es in jedem Fall keine Ambivalenz bezüglich der Reihenfolge in dieser Summe. Als nächstes wollen wir auch Funktionen zulassen, die das Vorzeichen wechseln. Wenn man sich nicht einschränkt kann es passieren, dass erscheint. Um derartige Probleme zu vermeiden, gehen wir wie folgt voran. Lemma 5.3 Sei f : R n [, ] eine einfache L-L-messbare Funktion. Dann sind f + und f, definiert durch f + (x = max (f(x, und f (x = max ( f(x, einfache L-L-messbare Funktionen und sind f + dλ und f dλ wohldefiniert in [, ]. Man hat f = f + f und f = f + + f. Abbildung 5.: Links der Graph einer Funktion f : R R und rechts der für f + und f. Beweis. Wenn A L, dann gilt auch A + = A (, L, A = A {} L und A = A (, L. Weil A = A + A A gilt auch ( f + (A = ( f + (A+ ( f + (A ( f + (A. Weil ( f + (A+ = f (A + L, ( f + ({} = f ((, ] L, ( f + (A = L,

41 5. Definition des Lebesgue-Integrals 35 findet man, wenn A = {}, dass ( f + (A = f (A + f ((, ] L, und wenn A = folgt ( f + (A = f (A + L. Definition 5.4 Sei f : R n [, ] eine einfache L-L-messbare Funktion. Man nennt f Lebesgue-integrierbar auf, wenn f + dλ < und f dλ <. Man setzt in diesem Fall f dλ = f + dλ f dλ. Bemerkung 5.4. Wenn eine Funktion f Lebesgue-integrierbar ist, dann darf sie zwar und als Werte annehmen, aber nur auf Nullmengen: λ ({x ; f(x = } =. Weil das Lebesgue-Integral eine Nullmenge nicht sieht, kann man in diesem Fall die Lebesgue-integrierbare Funktion f : R n [, ] ersetzen durch eine ebenfalls Lebesgue-integrierbare Funktion f : R n R mit { f(x falls f(x, f (x = falls f(x =, und findet f dλ = f dλ. Das heißt wiederum, dass wir uns bei den Lebesgue-integrierbaren Funktionen weiter einschränken können auf Funktionen mit f( R statt f( [, ] Für allgemeinere Funktionen Die folgende Konstruktion sollte einem bekannt vorkommen. Der Unterschied zum Integral aus den Analysis-&2-Vorlesungen ist, dass nun viel mehr Teilmengen beim Approximieren zugelassen sind. Definition 5.5 Sei f : R n [, ]. Wir definieren das obere Integral durch { } f dλ = inf g dλ; g : R ist einfach, Lebesgue-integrierbar und f g, und das untere Integral durch { } f dλ = sup g dλ; g : R ist einfach, Lebesgue-integrierbar und g f. Bemerkung 5.5. Das Supremum von G R ist definiert als die kleinste obere Schranke und s ist eine obere Schranke für G, wenn x s für alle x G. Wenn G die leere Menge ist, ist jedes s R eine obere Schranke und man definiert sup =. Ebenso setzt man inf =. Wenn es also keine einfache Lebesgue-integrierbare Funktion oberhalb von f gibt, setzt man f dλ =.

42 36. Februar 2 Woche 5, Lebesgue-Integral Bemerkung Für einfache Lebesgue-integrierbare Funktionen g gilt f dλ = f dλ = f dλ R. Lemma 5.6 Sei f : R n [, ]. Dann gilt f dλ f dλ. Ein Beweis wird dem Leser überlassen. Definition 5.7 (Lebesgue-Integral Sei f : R n [, ]. Wenn f dλ = f dλ =: I R, (5.3 heißt f Lebesgue-integrierbar über. Dieses I nennt man das Lebesgue-Integral von f über und man schreibt f dλ := I. Bemerkung 5.7. Auch hier trifft Bemerkung 5.4. zu und ab jetzt werden wir nur Funktionen f : R n R betrachten. Das bedeutet aber nicht, dass f beschränkt sein muss. Definition 5.8 Für die Menge aller Lebesgue-integrierbaren Funktionen auf R n schreibt man L ( oder L ( Man nennt eine Funktion f : R n R lokal Lebesgue-integrierbar auf, wenn f K : K R n R Lebesgue-integrierbar über jede kompakte Teilmenge K ist. Für die Menge aller lokal Lebesgue-integrierbaren Funktionen auf R n schreibt man L lok ( oder L lok (. Lemma 5.9 Sei f : R n (,. Wenn man für jedes ε > zwei einfache Lebesgue-integrierbare Funktionen g, g 2 : (, finden kann derart, dass. g f g 2 und 2. g 2 dλ g dλ + ε, dann ist f Lebesgue-integrierbar über und g dλ f dλ g 2 dλ. Beweis. Sei ε >, dann hat man einfache, Lebesgue-integrierbare Funktionen g, g 2 mit g dλ f dλ f dλ g 2 dλ g dλ + ε. Also gilt f dλ R und auch f dλ f dλ f dλ + ε.

43 5. Definition des Lebesgue-Integrals 37 Weil diese Abschätzung für jedes ε > gilt, folgt (5.3 und die Lebesgue-Integrierbarkeit. Der wichtigste Unterschied vom Lebesgue-Integral zum Riemann-Integral ist die Vielzahl der Approximationsmöglichkeiten. Die elementaren Funktionen sind nun auf Lebesguemessbare Mengen definiert und dürfen abzählbar viele Werte annehmen. Zum Beispiel ist die Funktion { falls x R\Q, f(x = x falls x Q, Lebesgue-integrierbar. Weil Q abzählbar ist, ist diese Funktion sogar einfach. Weil λ(q = folgt f dλ =. R Bemerkung 5.9. Sei eine Teilmenge von R n, die uns erlaubt das Riemann-Integral über zu definieren. Wenn f : R n R Riemann-integrierbar ist, dann ist f Lebesgue-integrierbar, und es gilt f dλ = f(x dx. Diese Aussage trifft nicht unbedingt zu, wenn man sich das uneigentliche Riemann- Integral anschaut. Wenn man f (x dx für f (x = sin ( x x betrachtet, dann findet man für das uneigentliche Riemann-Integral ( lim ε ε x sin dx existiert in R x aber auch (, f dλ = und f dλ =, (, denn weil f + (x dx = = f (x dx gilt, gibt es keine einfache Lebesgue-integrierbare Funktionen sowohl oberhalb von f als auch unterhalb von f f 3 f + Abbildung 5.2: Der n-te Buckel von rechts für f (x = sin ( x x, gemeint ist der auf dem Intervall (,, hat eine Flächeninhalt der Größenordnung. Für das uneigentliche (n+π nπ n Riemann-Integral findet man so eine konvergente alternierende Folge, die jedoch nicht absolut konvergiert.

44 38. Februar 2 Woche 5, Lebesgue-Integral 5.2 Von stetig zu integrierbar Eine Funktion f : R n R ist stetig, wenn: B T P(R = f (B T P(R n Dann folgt auch B A T P(R = f (B A T P(R n. Satz 4.2 hat uns gezeigt, dass die Borel-Mengen in R n in der Lebesgue-σ-Algebra liegen. Also weil A T L P(R gilt, folgt und das liefert uns genau: B A T P(R = f (B L P(R n Lemma 5. Eine stetige Funktion f : R n R ist L-A T -messbar. Um zu zeigen, dass f L-L-messbar ist, müsste man beweisen, dass B L P(R = f (B L P(R n. Weil L mehr Mengen enthält als A T wäre dies eine schwerere Bedingung. Setzen wir A n,k = f ( [ k2 n, (k + 2 n und A = {x R n ; f(x = }. Wenn f : R n R L-A T -messbar ist, dann folgt aus die Tatsache, dass halboffene Intervalle [a, b Borel-Mengen sind, dass die A n,k P(R n L-messbar sind. Dann folgt wiederum, dass g n = k Z k2 n An,k und h n = k Z (k + 2 n An,k einfache L-L-messbare Funktionen sind und außerdem gilt für x A n,k, dass g n (x = k2 n f(x (k + 2 n = h n (x. Weil die {A n,k } k Z disjunkt sind und weil k Z A n,k = R, folgt g n f h n g n + 2 n auf. (5.4 Lemma 5. Sei λ( <. Dann ist eine beschränkte L-A T -messbare Funktion f : R n R Lebesgue-integrierbar über. Beweis. Man verwende (5.4 und λ( <. Bemerkung 5.. Weil stetige Funktionen auf kompakte Teilmengen beschränkt sind, ist f : K R n R, mit f stetig und K kompakt, Lebesgue-integrierbar über K.

45 5.3 Kombinationen messbarer Funktionen Kombinationen messbarer Funktionen Wir haben nun messbar und integrierbar definiert aber haben Fragen, wie man mit solchen Funktionen rechnet, bis jetzt unbeachtet gelassen. Einige Resultate, die nützlich sind wenn man mit L-A T -messbare Funktionen rechnet, folgen: Satz 5.2 Sei (, A, µ ein Maßraum. Seien f, g, f k : R A-A T -messbar für k N. Sei c R. Dann sind auch cf, f + g, fg, f, min (f, g, max (f, g, inf f k, lim inf k N k f k, sup k N A-A T -messbar. Wenn g(x für x ist auch g A-A T -messbar. f k und lim sup f k k Beweis. Weil die offenen Intervalle eine Basis für T bilden, reicht es, wenn wir nur die A-Messbarkeit der Urbilder von Intervallen (a, b zeigen. Weil (a, b = (a, \ n N ( b 2 n, können wir uns sogar beschränken auf Intervalle (a,. cf. Für c > findet man Für c < folgt ähnlich und für c = finden wir (cf (a, = {x mit cf (x (a, } = { x mit f (x ( c a, } = f ( c a, A. (cf (a, = f (, c a A (cf (a, = 2 f + g. Man kann kontrollieren, dass (f + g (a, = { A falls a, p,q Q p+q>a A falls a <. ( f (p, g (q,, und diese Menge ist A-messbar als eine abzählbare Vereinigung von A-messbaren Mengen. 3 fg. Weil fg = 2 (f + g2 2 f 2 2 g2 genügt es, wenn wir nur f 2 betrachten: ist A-messbar. 4 f. Man hat ( f 2 (a, = { f ( a, f (, a für a, f (a, = für a <, { f (a, f (, a für a, für a <.

46 4. Februar 2 Woche 5, Lebesgue-Integral 5 Weil min (f, g = f + g f g und max (f, g = f + g + f g folgt die Messbarkeit aus den vorhergehenden Ergebnissen. 6 inf k N f k. Man verwende: 7 sup k N f k. Man verwende: 8 lim inf k f k. Man verwende: ( inf f k [a, = (f k [a,. k N k N ( sup f k (a, = (f k (a,. k N k N lim inf k 9 lim sup k f k. Ähnlich wie beim lim inf.. Das wird eine Hausaufgabe. g f k = sup inf f k. k m m N 5.4 Von integrierbar zu fast stetig Lemma 5.3 Eine lokal Lebesgue-integrierbare Funktion f : R n R ist L-A T -messbar. Beweis. Auf jeder abgeschlossenen Kugel B R ( ist f Lebesgue-integrierbar. Dann existieren für jede n N + einfache Lebesgue-integrierbare Funktionen g n, h n : B R ( R mit g n f h n und B R ( g n dλ B R ( h dλ B R ( h n dλ B R ( g n dλ + n. (5.5 Setzen wir g = sup n N g n und h = inf n N h n, dann sind g und h L-A T -messbar auf B R ( und außerden gilt Setzt man D n = Weil B R ( g f h, g dλ = h dλ. B R ( { } x B R (; g (x h (x > n, dann gilt D = λ (D n =. hat man λ(d =. Für jedes a R hat man { } x B R (; g (x h (x = D n n N + g (a, ( f (a, B R ( h (a,,

47 5.4 Von integrierbar zu fast stetig 4 und weil λ(d = gilt, ist h (a, \g (a, eine Nullmenge. Weil ( h (a, \ f (a, B R ( eine Teilmenge einer Nullmenge ist und weil L vollständig ist, ist diese Menge und auch f (a, B R ( L-messbar. Dann ist auch f (a, = R N + f (a, B R ( L-messbar. Wir finden, dass die Funktion f L-A T -messbar ist. Beispiel 5.4 Funktion Q : R R Q (x = { falls x R\Q, falls x Q, ist L-L-messbar, sogar Lebesgue-integrierbar auf R, aber auch nirgends stetig. Denn für jedes x R und δ > gibt es y R mit x y < δ und Q (x Q (y > 2. Jedoch Q ist eine messbare Funktion und nicht sehr weit entfernt von einer stetigen Funktion. Für jedes beschränkte Interval [a, b] und ε > kann man eine kompakte Teilmenge K [a, b] finden mit λ ([a, b] \K < ε derart, dass Q : K R stetig ist. Eine Konstruktion von K ist zum Beispiel die folgende. Sei {q i } i N eine Abzählung von Q [a, b] und setze K = [a, b] \ i N(q i 2 2 i ε, q i i ε. Man zeigt direkt, dass K beschränkt, abgeschlossen und darum auch kompakt ist, und dass λ ([a, b] \K < ε gilt. Weil ( Q K =, ist diese Funktion sogar konstant auf K. Obwohl dieses Beispiel zeigt, dass messbare und intergrierbare Funktionen nirgends stetig zu sein brauchen, zeigt das folgende Ergebnis, dass eine messbare Funktion doch auch wieder nicht sehr weit entfernt ist von einer stetigen Funktion. Satz 5.5 (Lusin Sei f : R n R L-A T -messbar, sei A R n, mit A L und λ(a <, und sei ε >, dann existiert eine kompakte Menge K A derart, dass. λ(a\k < ε und 2. f K ist stetig. Bemerkung 5.5. Der ursprüngliche Satz ist allgemeiner formuliert. den Satz von Lusin zurecht geschnitten für das Lebesgue-Maß. Wir haben uns Abbildung 5.3: Man kann eine beliebig kleine Menge aus dem Definitionsgebiet herausnehmen und bekommt eine stetige Funktion auf dem Rest.

48 42. Februar 2 Woche 5, Lebesgue-Integral Beweis. Setze B i,j = [ j i+ für i N und j Z. Für jedes i N hat man R = j Z B i,j. Als nächstes definieren wir i+, j+ A i,j = A f (B i,j. Bemerke, dass j Z A i,j = A. Weil f eine messbare Funktion ist, sind sowohl f (B i,j als auch A ij messbar. Wegen Satz 4.5 gibt es kompakte K i,j A i,j mit λ (A i,j \K i,j < 2 3 i j ε. Es folgt, dass ( λ A\ ( K i,j = λ A i,j \ K i,j j Z j Z j Z ( λ (A i,j \K i,j 2 3 i j ε < 2 i ε. j Z j Z Dann gibt es N ε,i N mit λ A\ j N ε,i K i,j < 2 i ε. Definieren wir K i = j N ε,i K i,j und f i : K i R durch f i (x = j i + falls x K ij. Weil die {A i,j } j Z und desshalb auch die {K i,j } j Z disjunkt sind, sind diese Funktionen wohldefiniert. Weil die K i,j kompakt sind, gilt d (K i,j, K i,j2 > für j j 2 und die f i sind stetig auf K i. Außerdem sind die f i so definiert, dass f(x f i (x < i + für alle x K i. Nun setzen wir K = i N K i. Die Menge K ist kompakt und λ (A\K i N λ (A\K i i N 2 i ε = ε. Außerdem gilt, dass die f i stetig sind auf K und dass Dann ist auch f stetig auf K. lim f i = f gleichmäßig auf K. i 5.5 Eigenschaften des Lebesgue-Integrals Für das Lebesgue-Integral gibt es ähnliche Ergebnisse wie beim Riemann-Integral. Lemma 5.6 Seien f, f 2 : R n R Lebesgue-integrierbar über und sei α, β R, dann ist αf + βf 2 Lebesgue-integrierbar über und (αf + βf 2 dλ = α f dλ + β f 2 dλ.

49 5.5 Eigenschaften des Lebesgue-Integrals 43 Bemerkung 5.6. Die Menge der Lebesgue-integrierbaren Funktionen über, also L (, bilden einen Vektorraum. Wenn man dabei eine Norm haben möchte, könnte man sich überlegen, ob. L( definiert durch f L( = f dλ vernünftig wäre. Die meisten Eigenschaften eines Norms sind erfüllt. Aus f L( = folgt aber nicht, dass f = sondern nur λ ({x ; f(x } =. Beweis. Wenn α und β positiv sind, kann man aus einfachen Funktionen g = i N y,i A,i oberhalb von f und g 2 = i N y 2,i A2,i oberhalb von f 2 eine neue konstruieren, die oberhalb der Summe αf + βf 2 liegt. Man definiere g = (αy,i + βy 2,j A,i A 2,j. (5.6 i,j N Mit (5.6 und Lemma 5.9 kann man nun das gewünschte Resultat bekommen. Wenn zum Beispiel α <, dann verwendet man für diese Konstruktion eine unterhalb liegende einfache Funktion. Eine ähnliche Änderung ist notwendig falls β <. Lemma 5.7 Sei f : 2 R n R Lebesgue-integrierbar über und über 2. Wenn λ ( 2 =, dann gilt f ist Lebesgue-integrierbar über 2 und f dλ = 2 f dλ + f dλ. 2 Beweis. Für den Leser. Lemma 5.8 Falls f, f 2 : R n R Lebesgue-integrierbar sind über und f f 2, dann gilt f dλ f 2 dλ. Beweis. Für den Leser. Lemma 5.9 Falls f : R n R Lebesgue-integrierbar ist über, dann ist f Lebesgue-integrierbar über und es gilt f dλ f dλ. Beweis. Für den Leser.

50 44. Februar 2 Woche 5, Lebesgue-Integral

51 Analysis 3, Woche 6 Konvergenz in Sorten 6. Lebesgue-Klassen Von den messbaren Mengen sind die Nullmengen eigentlich nicht sehr interessant. Man bemerkt sie kaum, weil sie so klein sind. Ebenso ist es, wenn man messbare Funktionen betrachtet, meistens nicht sehr interessant, was diese auf Nullmengen machen. Werden Funktionen integriert, dann ist der Wert des Integrals unabhängig von den Funktionswerten auf Nullmengen. Für Funktionen, die nur auf Nullmengen verschieden sind, definiert man daher folgendes. Definition 6. Sei (, A, µ ein Maßraum. Sei A A und seien f, g : A R A-A T - messbare Funktionen. Man sagt f = g µ-fast-überall auf A, wenn µ {x A; f(x g(x} =. Abgekürzt: f = g µ-f.ü. Für die L-A T -messbaren Funktionen auf R n definiert man so eine Äquivalenzrelation: f g auf genau dann, wenn f = g µ-f.ü. auf. Für die Menge der Äquivalenzklassen von L ( bezüglich wird die folgende Schreibweise verwendet: L ( := L ( /. Das Auswahlaxiom erlaubt uns, aus jeder Klasse f L ( einen Vertreter f L ( zu finden, und man definiert f L ( := f dλ. Für diesen Vektorraum L ( ist. L ( eine Norm. Man bemerke, dass diese Norm nicht abhängt vom gewählten Vertreter: Wenn f und f 2 beide f vertreten, dann heißt das f = f 2 λ-f.ü. und bedeutet, dass eine einfache Funktion oberhalb von f nur auf Nullmengen geändert werden muss (man ersetzt den Funktionswert dieser einfachen Funktion auf diesen Nullmengen durch, um eine einfache Funktion oberhalb von f 2 zu finden. Ähnliches gilt für einfache Funktionen unterhalb von f und man findet f dλ = f 2 dλ. In Englisch: f.ü = a.e. (almost everywhere 45

52 46. Februar 2 Woche 6, Konvergenz in Sorten Lemma 6.2 Sei R n L-messbar. Dann ist ( L (, L ( ein normierter Raum. Beweis. Wir haben schon gesehen, dass f L ( wohldefiniert ist für f L ( und müssen nur noch zeigen, dass die Eigenschaften einer Norm erfüllt sind.. Wenn f L ( =, dann bedeutet dies, dass f dλ = für einen Vertreter f von f. Wenn f dλ = folgt f = λ-f.ü. und das bedeutet wiederum f = in L (. 2. Sei α R. Wenn f ein Vertreter von f ist, ist αf ein Vertreter von αf, und es folgt αf L ( = αf dλ = α f dλ = α f L (. 3. Ähnlich folgt, dass f + g ein Vertreter von f + g ist, und f + g L ( = f + g dλ ( f + g dλ = f L ( + g L (. 6.2 Konvergenz bei messbaren Funktionen In dem Beweis von Satz 5.5 haben wir die Konvergenz von (gleichmäßig stetigen Funktionen verwendet. Wir erinnern uns an den Satz aus Analysis 2, dass für eine Folge von stetigen Funktionen {f i : K R} i N, die gleichmäßig konvergieren, auch die Grenzfunktion f mit f(x := lim i f i (x wieder stetig ist. Wie geht man bei Konvergenz von λ-messbaren Funktionen vor? Für ein Maß µ definieren wir die µ-f.ü.-konvergenz wie folgt: Definition 6.3 (Fast-überall-Konvergenz Sei (, A, µ ein Maßraum. Sei A A und seien f k, f : A R mit k N A-A T -messbare Funktionen. Man sagt: f k f für k µ-fast-überall auf A, wenn es eine messbare Menge B A gibt mit µ(a\b = und f k (x f(x für alle x B. Bemerkung 6.3. Für x A\B darf die Folge f k (x divergieren oder auch konvergieren gegen einen beliebigen Wert. Beispiel 6.4 Definieren wir für n N + die Funktionen f n : [, ] R durch f n (x = x n, dann gilt f n λ-f.a. auf [, ]. Sogar gilt f n λ-f.a. auf [, ].

53 6.2 Konvergenz bei messbaren Funktionen f n : f n: Definition 6.5 (Konvergenz in L ( Sei f, f k L ( für k N. Man sagt f k f in L (, wenn lim f k f L k ( =. Bemerkung 6.5. Die Grenzfunktion ist nicht eindeutig; man kann nur sagen, dass alle möglichen Grenzfunktionen zu f k genau eine Klasse aus L ( bilden. Für die Funktionen f n (x des letzten Beispiels gilt lim n f n L ([,] =. Weil f n L ([,] = konvergieren die Ableitungen nicht nach. Konvergieren sie vielleicht gegen eine andere Funktion g? Man kann zeigen, dass f n L ([, ε] für ε >. Dann folgt g = λ-f.ü. auf [, ε], also auf [, ], und g L ([,] = liefert einen Widerspruch: f n g L ([,] f n L ([,] g L ([,] = f n L ([,]. Definition 6.6 (Konvergenz im Maß Sei (, A, µ ein Maßraum. Sei A A und seien f k, f : A R mit k N A-A T -messbare Funktionen. Man sagt: wenn für jedes ε > gilt, dass f k f nach dem Maß µ auf A, lim µ {x A; f k(x f(x ε} =. k

54 Februar 2 Woche 6, Konvergenz in Sorten punktweise gleichmäßig }{{} λ( < λ-f.ü. in L ( in λ-maß Abbildung 6.: Zusammenhang der Konvergenzbegriffe Diese verschiedenen Arten von Konvergenz sind nicht unabhängig. In Abbildung 6. findet man einige Zusammenhänge. Weiter ist es so, dass wenn f k f konvergiert in Typ und f k g konvergiert in Typ 2, nicht unbedingt f = g gelten muss. Wenn beide Konvergenztypen mit Hilfe des λ-maßes definiert sind, folgt meistens nur f = g λ-f.ü. Es folgen einige Beispiele zu den,, -en in dem Bild. Die Implikationen in dem Bild kann man direkt zeigen. Beispiel 6.7 Die Funktionenfolge f k : R R mit f k (x = e x k 2 konvergiert punktweise (nach, aber nicht gleichmäßig. Sie konvergiert auch nicht nach dem Maß λ. Out[2]= Beispiel 6.8 Die Funktionenfolge f k : R R mit f k (x = ke kx2 konvergiert λ-f.ü. und nach dem Maß λ (nach, aber nicht punktweise und nicht in L (R. Out[43]= Beispiel 6.9 Setzen wir g k,m (x = [k2 m,(k+2 m ] für m N und k {,, 2,..., 2 m }. Die Funktionenfolge f k : [, ] R mit {f k } k N := {g,, g,, g,, g,2, g,2, g 2,2, g 3,2, g,3, g,3, g 2,3,... } konvergiert in L ([, ] und nach dem Maß λ (nach, aber nicht punktweise.

55 6.3 Egoroff s Konvergenzsatz Beispiel 6. Die Funktionenfolge h k : [, ] R mit h k (x = kf k (x und f k, wie im letzten Beispiel, konvergiert nach dem Maß λ (nach, aber nicht in L ([, ] oder λ-f.ü. 6.3 Egoroff s Konvergenzsatz Wenn eine Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert auf A R n und λ(a <, dann folgt auch Konvergenz im Maß und in L (A. Gleichmäßige Konvergenz ist eine sehr starke Konvergenz. Trotzdem ist sie nicht sehr weit von Fast-überall-Konvergenz entfernt. Satz 6. (Egoroff 2 Sei (, A, µ ein Maßraum. Sei A A mit µ(a < und seien f k, f : A R, mit k N, A-A T -messbare Funktionen mit f k f µ-fast-überall auf A für k. Dann gibt es für jedes ε > eine A-messbare Menge B A derart, dass. µ (A\B < ε und 2. f k f gleichmäßig auf B. Beweis. Sei ε >. Wir definieren für i, j N die A-messbare Mengen C i,j = k j { x A; fk (x f(x 2 i}. Weil C i,j C i,j+ für alle i, j N folgt > µ (A µ (C i, µ (C i,j µ (C i,j+. Also existiert lim j µ (C i,j als Grenzwert einer fallenden beschränkten Folge. Wenn für x A gilt, dass f k (x f (x für k, dann gilt f k (x f(x < 2 i für alle k k i mit k i genügend groß, und es folgt x C i,j für j k i. Weil f k f µ-fast-überall auf A, 2 Am Anfang des letzten Jahrhunderts wurden kyrillische Buchstaben anders übersetzt als heutzutage. Statt Lusin und Egoroff würde man jetzt Luzin und Egorov schreiben. Aus Gewohnheit hat man die alte Schreibweise beibehalten.

56 5. Februar 2 Woche 6, Konvergenz in Sorten hat man lim j µ (C i,j = für jedes i N. Dann gibt es für jedes i N ein N i,ε N derart, dass µ(c i,ni,ε < 2 i ε. Wir setzen B = A\ i N C i,ni,ε und können folgern, dass ( µ (A\B = µ C i,ni,ε µ ( C i,ni,ε < ε. i N i N Für alle x B, k > N i,ε hat man f k (x f(x < 2 i und das besagt, dass f k f gleichmäßig konvergiert auf B. Korollar 6.2 Sei (, A, µ ein Maßraum. Sei A A mit µ(a < und seien f k, f : A R, mit k N, A-A T -messbare Funktionen. Wenn f k f λ-f.ü. auf A für k, dann gilt f k f im µ-maß auf A für k. λ-f.ü. λ( < }{{} in λ-maß Abbildung 6.2: Eine Erweiterung von Abbildung 6. Beweis. Sei ε >. Wir werden zeigen, dass es für beliebiges δ > ein k ε,δ derart, dass für k > k ε,δ gilt N gibt µ {x A; f k (x f (x > ε} < δ. (6. Wegen des Satzes von Egoroff gibt es A δ A mit λ (A \ A δ < δ und f k f gleichmäßig auf A δ. Dann gibt es also ein k δ,ε derart, dass für k > k δ,ε gilt Dies bedeutet, dass für k k δ,ε und wir finden (6.. sup f k (x f (x < ε. x A δ {x A; f k (x f (x > ε} A \ A δ,

57 6.4 Integrale mit Werten in [, ] Integrale mit Werten in [, ] Wir haben das Lebesgue-Integral in Definition 5.2 erst für einfache positive Funktionen definiert und haben Werte in [, ] erlaubt. Wenn man vorzeichenwechselnde Funktionen betrachtet, dann hat man ein Problem, wenn sowohl f + dλ =, als auch f dλ = gilt. Das haben wir vermieden, indem wir nur endliche Werte zugelassen haben. Für die nächsten Kapitel, wo manchmal Integrale für nicht-negative Funktionen betrachtet werden, ist es bequem, hierauf zurück zu kommen und wiederum Werte in [, ] zu erlauben. Das heißt, wenn f Lebesgue-messbar auf ist und { } sup g dλ; g : R n ist einfach, Lebesgue-integrierbar und g f = (6.2 dann setzen wir f dλ =. (6.3 Lemma 6.3 Für jede nicht-negative L-A T -messbare Funktion f : R n R gilt f dλ [, ]. Genauer gesagt, entweder. f ist Lebesgue-integrierbar wie in Definition 5.5 und f dλ [,, oder 2. (6.2 gilt und man setzt f dλ =. Bemerkung 6.3. Nur im ersten Fall, also wenn f dλ [, gilt, nennt man f Lebesgue-integrierbar. Beweis. Sei ε >. Wir betrachten k = {x ; k x < k + }. Dann gilt = k N k und λ( k (2k + 2 n. Wir setzen ε k = (2k + 2 n 2 k ε und A j,k = f [jε k, (j + ε k k und definieren die einfachen Funktionen g ε = jε k Aj,k und h ε = (j + ε k Aj,k. Es folgt, dass g ε dλ k j,k N und weil wir ε k so definiert haben, dass j,k N f dλ f dλ h ε dλ g ε dλ + ε k λ( k k k k k ε k λ( k 2 k ε folgt sogar g ε dλ f dλ f dλ h ε dλ g ε dλ + ε. Also entweder g ε dλ und h ε dλ sind endlich und wir können aus Lemma 5.9 folgern, dass die erste Möglichkeit zutrifft. Wenn g ε dλ = zutrifft, folgt die zweite Möglichkeit.

58 52. Februar 2 Woche 6, Konvergenz in Sorten

59 Analysis 3, Woche 7 Limes und Integral 7. Das Lemma von Fatou Satz 7. (Das Lemma von Fatou Sei L und f k : R n [, mit k N eine Folge L-A T -messbarer Funktionen. Dann gilt lim inf f k dλ lim inf f k dλ. (7. k k Beweis. In Satz 5.2 haben wir gezeigt, dass auch lim inf k f k L-A T -messbar ist. Dann können wir lim inf k f k von unten approximieren durch einfache Funktionen g = i N g i Ai, wobei g i [, und A i disjunkte L-messbare Mengen in sind: g lim inf f k und g dλ lim inf f k dλ. k k Nehme t (, und setze B i,k = {x A i ; f l (x > tg i für alle l k}. Man hat B i, B i,k B i,k+ A i und weil t <, folgt lim k λ(b i,k = λ(a i. Man findet, dass f k dλ f k dλ tg i λ (B i,k i N B i,k i N und auch i N lim inf k tg i lim inf k f k dλ lim inf k λ (B i,k i N Weil dies für beliebige t (, gilt, hat man lim inf f k dλ k tg i λ (B i,k i N tg i λ (A i = t g dλ. g dλ. Wegen Lemma 6.3 kann man das Integral links in (7. von unten mit einfachen L-A T - messbaren Funktionen g approximieren in [, ]. Es folgt lim inf f k dλ = sup g dλ lim inf f k dλ. k g f k g einf. L A T -m. 53

60 54. Februar 2 Woche 7, Limes und Integral Beispiel 7.2 Die Ungleichung im Lemma von Fatou ist echt, das heißt, im Allgemeinen kann man nicht ersetzen durch =. Betrachte f k : [, ] R mit f k (x = k 2 xe kx. Man hat lim k k 2 xe kx = für jedes x [, ] und es folgt lim k k 2 xe kx dx = lim k k lim k k2 xe kx dx = ( ye y dy = lim (k + e k, k dx = Abbildung 7.: Einige Funktionen f k aus dem Beispiel: k = 4, 9, 6, 25, Monoton oder majorisiert Die Ungleichung in Fatous Lemma kann durch eine Gleichung ersetzt werden, wenn man weitere Bedingungen für die Funktionenfolge annimmt. Eine erste Möglichkeit betrifft Funktionenfolgen, die wachsend sind. Für solche monotonen Funktionenfolgen hat man das folgende bessere Ergebnis. Satz 7.3 (Monotone Konvergenz Sei L-messbar und f k : R n [, mit k N eine monoton wachsende Folge L-A T -messbarer Funktionen: Dann gilt f f 2 f k f k+.... lim f k dλ = lim f k dλ. (7.2 k k Bemerkung 7.3. So wie dieser Satz formuliert ist, ist er nur auf nicht-negative Funktionen direkt anwendbar. Für solche Funktionenfolgen kann man in (7.2 ein Ergebnis in [, ] erwarten. Für vorzeichenwechselnde Funktionen wäre es möglich, dass man den Satz auf f + k und f k anwenden kann und wenn man dabei nicht erhält, hätte man auch da das Ergebnis in (7.2. Beweis. Weil {f k (x} k N für jedes x und { f k dλ } wachsende Folgen sind, k N konvergieren sie entweder zu einem Wert in R oder streben nach. Auf jeden Fall ist dann lim inf gleich lim, möglicherweise als uneigentlicher Limes. Wegen des Lemmas von Fatou gilt lim f k dλ lim f k dλ. k k Für die andere Richtung verwendet man, dass f l lim k f k. Es folgt, dass f l dλ lim f k dλ k also auch lim f l dλ lim f k dλ. l k

61 7.2 Monoton oder majorisiert 55 Eine zweite Möglichkeit ist die zusätzliche Bedingung, dass alle Funktionen durch eine feste Lebesgue-integrierbare Funktion majorisiert werden. Satz 7.4 (Majorisierte Konvergenz Sei L-messbar und f k : R n R mit k N eine Folge L-A T -messbarer Funktionen mit folgenden Eigenschaften:. Es gibt eine Lebesgue-integrierbare Funktion g : [,, also g dλ <, die die Funktionen f k,,majorisiert : f k g λ-fast-überall für alle k N, und 2. f k f λ-fast-überall in für k. Dann gilt lim f k dλ = f dλ. (7.3 k Bemerkung 7.4. Auf Englisch heißt dieser Satz: the dominated convergence theorem. Dieser Satz ist anwendbar auf vorzeichenwechselnde Funktionen. Die Einschränkung durch eine Lebesgue-integrierbare Funktion g sorgt dafür, dass der Fall nicht vorkommt. Beweis. Weil f k g λ-fast-überall und f k f λ-fast-überall gilt, folgt auch f g λ-fast-überall. Also folgt aus der Dreiecksungleichung, dass 2g f f k 2g f k f λ-fast-überall. Wegen des Lemmas von Fatou hat man 2 g dλ = lim inf (2g f k f dλ k lim inf (2g f k f dλ = 2 g dλ lim sup f k f dλ. k k Es folgt lim sup f k f dλ =. k Dann ist der Limes Superior sogar ein Limes und weil (f k f dλ f k f dλ gilt, folgt (7.3. Als eine Folge dieser Konvergenzsätze bekommt man das folgende Ergebnis. Korollar 7.5 Sei f, f k L ( mit k N derart, dass f k f in L (. Dann gibt es eine Teilfolge {f ki } i N derart, dass f ki f λ-fast-überall. Beweis. Weil f k f L ( für k gibt es eine Teilfolge {f k i } i N mit f ki f L ( 2 i.

62 56. Februar 2 Woche 7, Limes und Integral Wir wenden Satz 7.3 an auf g l = l i= f k i f und bekommen f ki f dλ = lim g l dλ = lim g l dλ = i N l l l l = lim f ki f dλ = lim f ki f dλ = l l i= i= = f ki f dλ = f ki f L ( 2. i N i N Weil i N f k i f dλ < folgt i N f k i f < λ-fast-überall. Weil in eine konvergente Folge die Termen nach konvergieren, gilt auch: und es folgt lim i f ki = f λ-fast-überall. lim f k i f = λ-fast-überall i 7.3 Vollständigkeit von L ( Die Eigenschaften des Lebesgue-Integrals zeigen, dass L ( und auch L ( eine Vektorraumstruktur haben. Definiert man für f L ( f L ( = f dλ (7.4 mit f ein Vertreter von f, dann ist dies eine Norm auf L (. Wir wiederholen die Bedingungen, die eine Norm erfüllen soll. Die Funktion p : V [, heißt eine Norm für den Vektorraum V (eigentlich (V, +, R,. falls:. p (cf = c p (f für alle c R und f V ; 2. p (f + g p (f + p (g für alle f, g V ; 3. p (f = für f V genau dann, wenn f =. Wenn nur die ersten zwei Bedingungen erfüllt sind, nennt man p eine Seminorm. Definition 7.6 Sei (V, +, R,. ein Vektorraum und p eine Seminorm auf diesem Vektorraum. Eine Folge {f k } k N V heißt Cauchy-Folge bezüglich der Seminorm p, wenn es für alle ε > ein N ε N gibt derart, dass für k, l N ε gilt p (f k f l < ε. Definition 7.7 Ein Vektorraum (V, +, R,. heißt vollständig bezüglich der Seminorm p, wenn es für jede p-cauchy-folge {f k } k N V mindestens eine Funktion f V gibt so, dass lim k p (f f k =. Definition 7.8 Ein normierter Vektorraum (V, +, R,.,, der vollständig ist bezüglich der Norm, heißt Banachraum.

63 7.3 Vollständigkeit von L ( 57 Satz 7.9 L ( ist vollständig bezüglich der Seminorm p definiert durch p(f = f dλ. Bemerkung 7.9. Wenn L ( vollständig ist bezüglich der Seminorm p, ist L ( vollständig bezüglich der Norm L ( (L, anders gesagt: (, +, R,., L ( ist ein Banachraum. Die Theorie der Banachräume ist das zentrale Thema der Funktionalanalysis. Banachräume spielen eine sehr wichtige Rolle in den Anwendungen. Wenn man nämlich imstande ist, die Lösung eines Problems zu approximieren, dass heißt, eine Cauchy-Folge von approximative Funktionen in einen passenden Banachraum zu finden, garantiert die Vollständigkeit, dass diese Folge eine Grenzfunktion im gleichen Vektorraum besitzt. Wenn man dann auch noch zeigen kann, dass die gewünschte Eigenschaft (der Lösungsbegriff auf irgendeine Art stetig ist unter ein solches Approximationsverfahren, ist die Grenzfunktion sogar eine Lösung. Bemerkung Weil es kaum zu Irrtümern führt, schreiben wir ab hier auch f L ( für f L ( obwohl es keine Norm, sondern nur eine Seminorm ist. Beweis. Sei f k L ( eine Cauchy-Folge bezüglich der Seminorm definiert in (7.4. Dann kann man eine streng wachsende Folge {k m } finden derart, dass für k, l k m gilt f k f l dλ < 2 m. (7.5 Weil konvergiert die Reihe l m= m= fkm+ f km dλ < l 2 m 2, m= fkm+ f km λ-fast-überall. Also ist g = m= fkm+ f km (7.6 λ-fast-überall wohldefiniert, sage überall auf A mit λ (\A = und setze g = auf \A. Wegen Fatou gilt g dλ = lim l l m= f km+ f km dλ lim l m= l f km+ f km dλ 2. Wenn (7.6 auf A konvergiert, konvergiert auch {f kl } l N auf A, denn f kl = f k + l ( fkm f km. m=

64 58. Februar 2 Woche 7, Limes und Integral Wir setzen f(x = { lim l f kl für x A, sonst. Diese Funktion ist wohldefiniert und weil die f k L-A T -messbar sind, ist auch f L-A T - messbar. Wegen majorisierter Konvergenz, denn f km f g + f k gilt auf A, also λ-fastüberall, und g + f k ist Lebesgue-integrierbar, folgt Auch gilt lim m f km f dλ = f k f dλ = lim f k m f dλ =. m f k f km dλ + f km f dλ. Sei nun ε >. Man nimmt N ε N genügend groß, damit f k f l dλ < ε gilt für 2 k, l > N ε und anschließend M ε N ε damit f k m f dλ < ε für m > M 2 ε gilt. Für k > N ε folgt f k f dλ < ε. Das heißt, f k f in L (. Definition 7. Sei (V, +, R,. ein Vektorraum mit (SemiNorm. Eine Teilmenge V V heißt dicht in V bezüglich dieser (SemiNorm, wenn es für jedes v V und ε > mindestens ein v V gibt derart, dass v v < ε. Bemerkung 7.. Q ist dicht in R bezüglich. Bemerkung 7..2 Die einfachen Lebesgue-integrierbaren Funktionen liegen dicht in L ( bezüglich L (. Für diese letzte Behauptung bemerke man, dass es für jede ε > und f L ( einfache Lebesgue-integrierbare Funktionen g und h gibt mit g f h und g dλ f dλ h dλ < g dλ + ε. Es folgt, dass f g L ( = f g dλ = Übrigens gilt auch f h L ( < ε. (f g dλ = (f h dλ + (h g dλ < ε. 7.4 Der Vektorraum L p ( Definition 7. Sei p (,. Man definiert L p ( für L-A T -messbare Funktionen f : R n R wie folgt f L p ( = ( Man sagt f L p (, wenn f L p ( <. f p p dλ. Bemerkung 7.. Man sagt f L p lok (, wenn für jede kompakte Teilmenge K gilt f L p (K <.

65 7.5 Die Ungleichung von Hölder 59 Bemerkung 7..2 Wenn f L p (, dann gilt f p L ( und umgekehrt. Bemerkung 7..3 Weil für α R und f, g L p ( gilt αf p dλ α p f p dλ, ( f + g p dλ ( f + g p dλ 2 p f p dλ + folgt αf, f + g L p (. Das heißt, L p ( ist ein Vektorraum. 7.5 Die Ungleichung von Hölder g p dλ, Bevor wir zeigen können, dass L p ( ein Seminorm auf Lp ( ist, brauchen wir die folgende Ungleichung. Satz 7.2 (Die Höldersche Ungleichung Sei f L p ( und g L q ( mit p, q > und + =, dann gilt p q fg L( f Lp( g Lq(. (7.7 Bemerkung 7.2. Wenn man die Seminormen in (7.7 explizit schreibt, hat man ( ( fg dλ f p p dλ g q q dλ. Der Beweis von Satz 7.2 braucht mehrere Schritte. Diese Schritte werden wir als einzelne Lemmas aufführen. Lemma 7.3 Sei a, b > und p, q > mit p + q ab p ap + q bq. =. Dann gilt Beweis. Weil a >, darf man durch a p dividieren und sieht man, weil p/q = p, dass diese Ungleichung äquivalent ist zu b a p/q p + ( q b. q a p/q Setzt man x = ba p/q, dann reicht es, wenn wir für x > zeigen, dass x q + q xq. (7.8 Betrachten wir f : R + R mit f(x = q xq q + x. Hier rechts steht ein Bild zu f bei verschiedenen q. Es gilt f( = und f (x = x q. Weil f (x < für x (, und f (x > für x (,, hat f ein Minimum in und es gilt f(x f( = für alle x R Dann ist (7.8 bewiesen und auch das Lemma

66 6. Februar 2 Woche 7, Limes und Integral Lemma 7.4 Sei a i, b i R für i {,, 2,..., m} und p, q > mit p + q =. Dann gilt ( m m ( p m q a i b i a i p b i q. i= i= Beweis. Wir setzen A = ( m i= a i p p und B = ( m i= b i q q und dürfen annehmen, dass A und B. Wenn nämlich A = oder B =, stünde links und rechts zweimal. Aus Lemma 7.3 folgt a i b i A B p ( p ai + A q ( bi B i= q = a i p p A + b i q p q B. q Summiert man für i von bis m, bekommt man m a i b i AB m i= a i p + m i= b i q = p A p q B q p + q =. i= Multiplizieren mit AB liefert das Ergebnis. Beweis von Satz 7.2. Seien {a i } i N und {b i } i N Folgen von reellen Zahlen so, dass i= a i p und i= b i q beide konvergieren. Dann konvergiert wegen Lemma 7.4 auch i= a ib i und es gilt ( ( p q a i b i a i p b i q. i= i= Sei f L p ( und g L q ( und ε >. Dann folgt f p, g q L ( und es gibt einfache Lebesgue-integrierbare Funktionen f u f p f o und g u g q g o mit f u dλ f p dλ f o dλ < f u dλ + ε und g u dλ g p dλ g o dλ < g u dλ + ε. Außerdem gilt i= f /p u g /q u fg f /p o g /q o. Durch eventuelle Verfeinerung darf man annehmen, dass es Lebesgue-messbare Mengen A i und c i, d i [, gibt so, dass f o = i N c i Ai und g o = i N d i Ai. Setzen wir a i = (c i λ(a i /p und b i = (d i λ(a i /q, dann gilt f o dλ = i N g o dλ = i N c i λ(a i = d i λ(a i = a i p, i= b i q und i= fo /p go /q dλ = c /p i d /q i λ(a i = i N a i b i. i=

67 7.5 Die Ungleichung von Hölder 6 Es folgt fg dλ = ( f /p o g /q o dλ = a i b i i= ( p f o dλ g o dλ q ( ( ( p q a i p b i q i= f p dλ + ε i= p ( g p = q dλ + ε. Weil wir ε > beliebig wählen können, folgt das Ergebnis.

68 62. Februar 2 Woche 7, Limes und Integral

69 Analysis 3, Woche 8 Die Lebesgue-Räume 8. Der Lebesgue-Raum L p ( Für eine Lebesgue-messbare Menge R n und p (, wird L p ( definiert als die Menge aller L-A T -messbaren Funktionen f : R n, für die gilt f p dλ <. In Bemerkung 7..3 haben wir gezeigt, dass L p ( mit der üblichen Addition und skalaren Multiplikation ein Vektorraum ist. Wir wollen noch zeigen, dass, definiert durch f L p ( = ( f p dλ p eine Seminorm ist. Die erste Bedingung ist sofort erfüllt: ( ( αf L p ( = αf p p dλ = α f p p dλ = = α f L p ( für α R und f Lp (. Die zweite Bedingung liefert uns die Ungleichung von Minkowski. Satz 8. (Die Ungleichung von Minkowski Sei f, g L p ( mit p >, dann gilt f + g L p ( f L p ( + g L p (. (8. Beweis. In Bemerkung 7..3 haben wir gezeigt, dass f, g L p ( impliziert, dass f+g L p (. Wir dürfen also annehmen, dass f + g L p ( <. Wenn f + g L p ( =, ist nichts zu beweisen, denn die rechte Seite in (8. ist nichtnegativ. Also nehmen wir an, dass f + g L p ( R+. Setzen q = p, so gilt + =. Wir verwenden die Höldersche p p q Ungleichung: f + g p L p ( = f + g p dλ f f + g p dλ + g f + g p dλ ( ( ( f p p dλ + g p p ( dλ f + g (p q q dλ = = ( f L p ( + g L p ( f + g p L p (. Weil f + g L p ( R+ gilt, kann man dividieren durch f + g p L p ( Ungleichung in (8.. und es folgt die 63

70 64. Februar 2 Woche 8, Die Lebesgue-Räume Beispiel 8.2 Die Funktion f : R n R mit f(x = ( + x 2 α/2 ist genau dann in L p (R n, falls αp > n. Sei ε >. Wenn man r k = kε setzt und R n radialsymmetrisch zerlegt durch R n = k N A k mit A k := {x R n ; r k x r k+ }, findet man für α, weil r ( + r 2 α/2 fallend ist auf [,, dass R n f p dλ = k N A k f p dλ { k= f (r k p λ(a k, k= f (r k+ p λ(a k. Wegen des Mittelwertsatzes gilt (r k+ n (r k n r k+ r k = n (r k + O (ε n und λ(a k = σ n ((r k+ n (r k n = nσ n (r k + O (ε n (r k+ r k wobei σ n das Volumen der Einheitskugel in R n ist. Wenn man ε nimmt, folgt f p dλ = f(r p ( nσ n r n dr = nσ n + r 2 αp/2 r n dr. R n r= Dieses Integral ist kleiner genau dann, wenn αp + n <. Beispiel 8.3 Wenn man nicht am genauen Wert des Integrals interessiert ist, sondern nur an beschränkt (< oder unbeschränkt (=, dann kann man oft auch eine gröbere einseitige Abschätzung zeigen. Zum Beispiel gilt für f : R 3 R mit f(x = ( + x 4, dass f L 2 (. Wir können f 2 abschätzen durch die einfache Funktion g = n= ( + n 8 Bn+ (\B n( und es folgt R 3 f 2 dλ = = n= ( + n 8 Bn+ (\B n(dλ = ( + n 8 λ (B n+ (\B n ( = n= ( + n 8 ( σ 3 (n + 3 n 3 = n= = σ 3 n= 3n 2 + 3n + (n + 8 3σ 3 n= (n + 6 <. Satz 8.4 L p ( ist ein vollständiger Vektorraum bezüglich der L p ( -Seminorm. Beweis. Sei {f k } k N L p ( eine Cauchy-Folge bezüglich der L p (-Seminorm. Wie im Beweis der Vollständigkeit von L ( nimmt man k m derart, dass f k f l L p ( 2 m für k, l > k m.

71 8.2 Der Lebesgue-Raum L ( 65 Dann ist g := m= f km+ f km L-A T -messbar und weil man l m= hat, gilt wegen Fatou, dass g L p ( = lim Außerdem konvergiert f km+ f km Lp( l l m= { l l m= fkm+ f km Lp( lim m= } f km+ f km l N f km+ f km L p ( 2 l l m= fkm+ f km Lp( 2. absolut λ-fast-überall, sagen wir auf A, und ist auf die gleiche Menge A auch f = f k +lim l ( l m= fkm+ f km wohldefiniert. Auf die Nullmenge \A setzt man f (x =. Mit Hilfe der majorierten Konvergenz folgt lim f f km m L p ( = lim (f f km = m L p ( und schlussendlich ( lim f f m m L p ( lim f f km m L p ( + f k m f m L p ( =. 8.2 Der Lebesgue-Raum L ( Definition 8.5 Sei f : R n R eine L-A T -messbare Funktion. Man definiert für L-messbare A das λ-wesentliche Supremum auf A durch ess-sup A f = inf {t R; λ ({x A; f(x > t} = }. Ähnlich kann man auch das λ-wesentliche Infimum auf A definieren. Bemerkung 8.5. Für das λ-wesentliche Supremum gilt: ( ess-sup A f = Es folgt, dass ess-sup A f sup A f. inf N A λ(n= Definition 8.6 Man definiert L ( für L-A T -messbare Funktionen f : R n R wie folgt f L ( = ess-sup f. Man sagt f L (, wenn f L ( <. Beispiel 8.7 Für die Funktionen f, g : R R mit sup A\N f. f(x = { x falls x Q\ {}, falls x R\Q oder x =, und g(x = { x falls x, falls x =, gilt ess-sup R f = und ess-sup R g =. In Englisch: essential supremum.

72 66. Februar 2 Woche 8, Die Lebesgue-Räume sup ess sup ess inf inf Abbildung 8.: Das Supremun und das wesentliche Supremum können verschieden sein. Lemma 8.8 Für f L ( und g L ( gilt Für f, g L ( gilt fg L ( f L ( g L (. (8.2 f + g L ( f L ( + g L (. (8.3 Beweis. Sei ε > und M g,ε =ess-sup g +ε. Setze B g,ε = {x ; g(x > M g,ε }. Dann gilt λ (B = und fg L ( = fg dλ = fg dλ M g,ε f dλ = f L ( ( g L ( + ε. \B g,ε \B g,ε Weil diese Ungleichung für alle ε > gilt, folgt (8.2. Bei der zweiten Ungleichung soll man bemerken, dass für x \ (B f,ε B g,ε gilt, dass f(x + g(x f(x + g(x M f,ε + M g,ε = f L ( + g L ( + 2ε. Weil λ (B f,ε B g,ε λ (B f,ε + λ (B g,ε = hat man f + g L ( f L ( + g L ( + 2ε. Weil diese Ungleichung für alle ε > gilt, folgt (8.3. Die Ungleichung in (8.3 zeigt die zweite Bedingung einer Seminorm. Die erste ist sofort erfüllt und man bekommt: Lemma 8.9 L ( ist eine Seminorm auf L (. Auch hier kann man den Vektorraum L ( = L ( / definieren. Definiert man die Norm L ( wie folgt: f L ( := f L ( für f L ( einen Vertreter von f L (, ( dann ist L (, L ( nicht nur ein normierter Vektorraum sondern sogar ein Banachraum.

73 8.3 Der Lebesgue-Raum L 2 ( Der Lebesgue-Raum L 2 ( Wir wiederholen die Eigenschaften eines inneren Produktes. Sei (V, +, R,. ein Vektorraum und, : V V R derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:. v, w = w, v für alle v, w V ; 2. αv, w = α v, w und u + v, w = u, w + v, w für alle u, v, w V und α R; 3. v, v für alle v V und v, v = genau dann, wenn v =. Aus und 2 folgt, dass, bilinear 2 ist. Wenn, : V V R ein inneres Produkt ist, dann ist : V R, definiert durch eine Norm. v = v, v, (8.4 Definition 8. Wenn der Vektorraum (V, +, R,. ein inneres Produkt, hat und vollständig ist bezüglich der vom inneren Produkt definierten Norm, nennt man ihn Hilbertraum. Lemma 8. Für (L 2 (, +, R,. erfüllt,, definiert durch u, v = uv dλ (8.5 die ersten beide Bedingungen eines inneren Produktes. Außerdem gilt v, v für alle v V. Bemerkung 8.. Weil (L 2 (, +, R,. vollständig ist bezüglich L 2 ( und man durch ( ein zugehörendes inneres Produkt hat, und die letzte Eigenschaft nun auch erfüllt ist, ist (L 2 (, +, R,. ein Hilbertraum. Beweis. Die Bedingungen für ein inneres Produkt folgen aus den Eigenschaften des Lebesgue-Integrals. 8.4 Stetige lineare Abbildungen Definition 8.2 Seien (V, V und (W, W normierten Vektorräume. Man schreibt L ((V, V ; (W, W für die Menge aller stetigen linearen Abbildungen T : (V, V (W, W. Wir wiederholen nochmals, dass eine Abbildung T linear ist, wenn T (αf + βg = αt (f + βt (g für alle α, β R und f, g V und dass T stetig ist, wenn ε > δ ε > : f g < δ ε = T (f T (g < ε. 2 Das Funktional F : U V W heißt bilinear, wenn u F (u, v linear ist für alle v V und v F (u, v linear ist für alle u U.

74 68. Februar 2 Woche 8, Die Lebesgue-Räume Lemma 8.3 Seien (V, +, R,., V und (W, +, R,., W zwei normierte Vektorräume und sei T : V W eine lineare Abbildung. Dann sind äquivalent:. T ist stetig in ; 2. T ist stetig auf V ; 3. T ist beschränkt als lineares Funktional 3 : es gibt M T [, mit T (v W M T v V für alle v V ; { } T (v W 4. sup ; v V \ {} < ; v V 5. sup { T (v W ; v V = } <. Beweis. (. 2. Für ε > sei δ > derart, dass aus die Ungleichung v V folgt, dass T (v T ( W < ε. Dann gilt für v v 2 V < δ, dass < δ T (v T (v 2 W = T (v v 2 W < ε. (2. 3. Es gibt δ > derart, dass für v V < δ gilt T (v W <. Setze M T = δ und es folgt für v V T (v W = v δ v V T ( δ v = δ v v V T ( δ V v δ v V. V W Für v V = gilt T (v = und die Ungleichung ist auch { erfüllt. } T (v W (3. 4. Weil T (v W M T v V gilt, folgt sup ; v V \ {} M v T. V (4. 5. Das Ergebnis folgt aus ( T (v W = v v T. V v V W (5.. Setze M = sup { T (v W ; v V = }. Man sieht fast sofort, dass man für ε > die folgende δ nehmen kann: δ = Denn für v V < δ (und v V gilt v T (v W = v V T ( v V Der Kreis ist geschlossen. ε M +. W v V M W ε M + M < ε. Lemma 8.3 sagt aus, dass,,stetig und linear gleicht,,beschränkt linear. Die kleinste obere Schranke M T, für die gilt, dass kann man als Norm für T verwenden. T (v W M T v W für alle v V, (8.6 3 Man nennt eine Funktion f : V R beschränkt, wenn es M R + gibt mit f (v M für alle v V. Man nennt ein lineares Funktional f : V R beschränkt, mit (V, V einem Vektorraum, wenn es M R + gibt mit f (v M v V für alle v V.

75 8.4 Stetige lineare Abbildungen 69 Lemma 8.4 Seien (V, V und (W, W zwei normierte Vektorräume. Dann wird (L ((V, V ; (W, W, mit ein normierter Vektorraum. { } T (v W T = sup ; v V \ {} v V (8.7 Beweis. Für jedes T L ((V, V ; (W, W gibt es ein M T R + derart, dass (8.6 erfüllt ist. Dann ist das Supremum in (8.7 wohldefiniert. Man zeigt sofort, dass die Eigenschaften einer Norm erfüllt: { } { } ct (v W c T (v W. ct = sup ; v V \ {} = sup ; v V \ {} = c T ; v V v V 2. Aus der Dreiecksungleichung für W und einer Eigenschaft des Supremums folgt: { } T (v + T 2 (v T + T 2 = sup W ; v V \ {} v { V } T (v + T 2 (v sup W ; v V \ {} v { } V { } T (v sup W T2 (v ; v V \ {} + sup W ; v V \ {} = T + T 2. v V v V 3. Und T = impliziert, dass T (v W = für alle v und dann auch, dass T v = für alle v. Das heißt, T ist das -Funktional. Beispiel 8.5 Sei K R n kompakt mit K. Für (C(K, mit f = sup { f (x ; x K}, ist das Funktional T : C(K R, definiert durch eine stetige lineare Abbildung: T f = f(, linear: T (αf + βg = (αf + βg ( = αf ( + βg ( = αt (f + βt (g. stetig: T (f = f( f. ( Beispiel 8.6 Obwohl L (R, L (R kein normierter Vektorraum ist, denn L (R ist ja nur ein Seminorm auf dem Vektorraum L (R, kann man schauen, ob T : L (R R, definiert durch T f = f(, beschränkt ist bezüglich den Seminorm. Das ist nicht so. Man betrachte f L (R und g = f + {}. Dann gilt T (f T (g = und f g L (R =. Ein Funktional wie T kann man nicht auf L (R definieren. Die Funktionen f und g vertreten das gleiche Element in L (R und T f T g.

76 7. Februar 2 Woche 8, Die Lebesgue-Räume Beispiel 8.7 Das Funktional T : L (R R, definiert durch T f = f [,] dλ, R ist auch L (R zu definieren, denn wenn f = g λ-f.ü. gilt, folgt T f = T g. Nennen wir T das zugehörige Funktional auf L (R, dann gilt T (f = f [,] dλ f [,] dλ = f dλ f L (R = f L (R, R und sehen wir, dass T beschränkt und deshalb auch stetig ist. R Beispiel 8.8 Betrachten wir die stetige Funktionen auf [, ] mit L ([,] als Norm. ( C [, ], L ([,] ist ein normierter Vektorraum. Weil C [, ] L ([, ] gilt, reicht es wenn wir zeigen können, dass f L ([,] = impliziert f =. Für stetige Funktionen gilt dies. Bei dieser Norm ist die Abbildung T : C [, ] R definiert durch T f = f( immer noch linear, aber keine stetige Abbildung. [,] 8.5 Der Darstellungssatz von Riesz Für einen normierten Vektorraum (V, V definiert man den Dualraum V als die Menge aller stetigen linearen Abbildungen T : V R, oder anders gesagt: V = L ((V, V ; (R,. (8.8 Korollar 8.9 Sei (V, V ein normierter Vektorraum. Dann ist V, definiert durch eine Norm auf V. T V = sup { T (v ; v V = } (8.9 Beweis. Dieses Ergebnis folgt wegen (8.8 aus den letzten Lemmas. Satz 8.2 (Der Darstellungssatz von Frigyes Riesz Sei p [, und R n Lebesgue-messbar. Sei + = falls p (, und q = falls p =. Dann gilt p q folgendes:. Für jede g L q ( gehört T g : L p ( R, definiert durch T g (f = gf dλ (8. zu (L p (. 2. Für jede T (L p ( gibt es g L q ( mit T (f = gf dλ.

77 8.5 Der Darstellungssatz von Riesz 7 Beweis. Die erste Aussage ist ein direktes Korollar der Hölder-Ungleichung und Lemma 8.3. Ein Beweis der zweiten Aussage wird es möglicherweise bei der Funktionalanalysis geben. Man kann sich auch Paragraphen 36 von Functional Analysis durch Frigyes Riesz und Béla Sz.-Nagy anschauen. Dieser Satz besagt, dass für p [, und q wie oben gilt ( ((L p (, (L p( L q (, L q (. Das Symbol bezeichnet ist isomorph zu. Isomorph für normierte Vektorräume bedeutet, dass es eine bijektive Abbildung gibt, die die Vektorraumstruktur erhält und die Normen vergleichen lässt. Die bijektive Abbildung ist hier g T g : L q ( (L p ( mit T g definiert in (8.. Die Vektorraumstruktur bleibt erhalten, weil T αf+βg = αt f + βt g für alle f, g L q ( und α, β R. Die Normen lassen sich vergleichen, weil es c, c 2 R + gibt derart, dass c f L q ( T f (L p ( c 2 f L q ( für alle f Lq (. Man findet sogar folgendes. Lemma 8.2 Für alle g L q ( gilt T g (L p ( = g L q ( (8. Bemerkung 8.2. Wenn für eine Isomorphie I : (V, V (W, W gilt, dass I (f W = f V, dann nennt man I eine isometrische Isomorphie. Beweis. Für p (, zeigt man in (8. wie folgt: { } T g (L p ( = sup T g (v ; v L p ( = = { } = sup gv dλ ; v L p ( = { } sup gv dλ; v L p ( = } sup { g L q( v L p( ; v L p( = Um in (8. zu zeigen, betrachtet man v g = g q/p sign(g. = g L q (. Es gilt v g L p ( und v g L p ( = g q/p L q (.

78 72. Februar 2 Woche 8, Die Lebesgue-Räume Angenommen g L q (, so betrachtet man ṽ g = v g. v g L p ( Man findet ṽ g L p ( = und es folgt, weil + q/p = p und q q/p =, dass { } T g (L p ( = sup T g (v ; v L p ( = T g (ṽ g = g ṽ g dλ = v g g v g dλ = L p ( = v g g g q/p sign(g dλ = g g q/p dλ = L p ( g q/p L q ( = g q L q ( = g L q (. g q/p L q ( Im Fall g = folgt das Ergebnis sofort. Man soll sich überlegen, was sich ändert falls p = und q =. Haben Sie übrigens bemerkt, dass wir im Beweis des letzten Satzes mit Lebesgue- Klassen gerechnet haben als wären es Funktionen?

79 Analysis 3, Woche 9 Berechnen der Integrale 9. Einleitung Um ein Integral explizit berechnen zu können, greift man fast immer auf ein Ergebnis zurück: den Hauptsatz der Integralrechnung. Er stellt die Verbindung her zwischen Integration und Stammfunktion. Wenn F = f auf [a, b] R, dann gilt b a f(sds = F (b F (a. Beim Riemann-Integral haben wir schon gesehen, dass sich ein n-dimensionales Integral umformen lässt zu einem n-fachen eindimensionalen Integral: [a,b ] [a n,b n] f(xdx = b a... bn a n f(x,..., x n dx n... dx. Für diese eindimensionalen Integrale kann es möglich sein, den oben genannten Satz zu verwenden und so einen expliziten Wert zu bekommen. Es sollte einem aber bewusst sein, dass nur die wenigsten Integrale explizit zu lösen sind. Das bedeutet, dass man sich meistens beschränkt auf einen Beweis der Beschränktheit und vielleicht sogar versucht, eine Abschätzung für die Größe zu finden. Manchmal ist es hilfreich die Symmetrie des Gebietes zu benutzen und Pol- oder Kugelkoordinaten zu verwenden. In diesem Fall braucht man auch noch einen Transformationssatz. Die drei Hauptbestandteile für das Berechnen eines Integrals kann man so wie folgt zusammenfassen: Der Hauptsatz der (eindimensionalen Integralrechnung. Der Satz von Fubini-Tonelli, um mehrdimensionale Integrale auf mehrfache eindimensionale Integrale zurückzuführen. Der Transformationssatz, um Integrationsgebiet und Funktion besser passend zu gestalten. Beispiel 9. Sei f α : R n R definiert durch f(x = ( + x 2 α. Wir wollen uns die folgende Frage anschauen: Für welche α R + gilt f L p (R n? 73

80 74. Februar 2 Woche 9, Berechnen der Integrale Indem man f approximiert mit kreisförmig definierten einfachen Funktionen, ( + (ε [ x /ε + ] 2 α f(x ( + (ε [ x /ε] 2 α, kann man sich davon überzeugen, dass die Frage umformuliert werden kann zu: Wann ist ( + r 2 pα r n dr endlich? Übrigens ist [ ] wiederum die Ganzzahlfunktion und der Faktor r n taucht auf durch die Skalierung: Vol (B r+ε (\B r ( = σ n ((r + ε n r n = σ n εr n ( + O (ε. Statt dieses Integral genau zu berechnen, verwenden wir eine der Abschätzungen 2 pα r 2pα+n ( + r 2 pα r n r 2pα+n für r. Weil ( + r 2 pα r n dr endlich ist genau dann, wenn ( + r 2 pα r n dr endlich ist, bleibt noch herauszufinden, wann r 2pα+n dr endlich ist. Hier lässt sich jetzt der Hauptsatz verwenden: M r 2pα+n dr = { 2α+n (M 2pα+n falls n 2pα, log (M falls n = 2pα. Man sieht, dass man für M nur einen endlichen Wert bekommt, wenn 2pα > n. Die Antwort auf die Frage lautet also: für α > n 2p. Übrigens war Cavalieri einer der ersten, der Volumen berechnete, indem er die Flächeninhalte von infinitesimal dünnen Scheiben addierte. Diese Prozedur ist bekannt als das Cavalierische Prinzip. 9.2 Fubini und Tonelli Wir haben bei der Riemann-Integation die technischen Schwierigkeiten gesehen, die man bekommt, wenn man den Satz von Fubini-Tonelli anwenden möchte auf ein nicht rechteckiges Gebiet. Beim Lebesgue-Integral von f : R n R auf einer Lebesguemessbaren Menge kann man ohne weiteres f auf R n \ erweitern durch. Man braucht sich keine Sorgen zu machen, ob eine mögliche Unstetigkeit am Rande Probleme macht, denn das Lebesgue-Integral braucht keine Stetigkeit. Wir können uns also beschränken auf eine Formulierung der Sätze von Fubini und Tonelli auf ganz R n. Bonaventura Francesco Cavalieri, italienischer Mathematiker, lebte von 598 bis 647.

81 9.2 Fubini und Tonelli 75 Abbildung 9.: Der Ansatz von Cavalieri: mit Scheiben zum Volumen. Satz 9.2 (Tonelli Für eine L (n+m -A T -messbare 2 Funktion f : R n+m [, ] gilt:. x f(x, y : R n [, ] ist L (n -A T -messbar für λ (m -fast alle y R m und y f(x, y : R m [, ] ist L (m -A T -messbar für λ (n -fast alle x R n ; 2. y x R n f(x, y dλ (n : R m [, ] ist L (m -A T -messbar und x y R n f(x, y dλ (m : R n [, ] ist L (n -A T -messbar; 3. und = y R m f (x, y dλ (n+m = (x,y R ( n+m ( f(x, y dλ (n dλ (m = f(x, y dλ (m dλ (n. x R n y R m x R n Satz 9.3 (Fubini Für eine L (n+m -integrierbare Funktion f : R n+m R gilt:. x f(x, y : R n R ist L (n -integrierbar für λ (m -fast alle y R m und y f(x, y : R m R ist L (m -integrierbar für λ (n -fast alle x R n ; 2. y x R n f(x, y dλ n : R m R ist L (m -integrierbar und x y R n f(x, y dλ m : R n R ist L (n -integrierbar; 3. und = y R m f (x, y dλ (n+m = (x,y R ( n+m ( f(x, y dλ (n dλ (m = f(x, y dλ (m dλ (n. x R n x R n y R m Ein erster Schritt zum Beweis von Tonelli als auch von Fubini ist der folgende Satz: 2 Wir haben L (k -A T -messbar definiert für Funktionen von R k R. Hier muss man diese Definition erweitern für Funktionen die werden können. Dazu erweitert man die Basis für T der offenen Intervalle {(a, b ; a, b R, a < b} mit {(t, ]} t R als offene Umgebungen von. Der Index in L (k und λ (k ist angebracht um deutlich zu machen, dass es Lebesgue-Messbarkeit und Lebesgue-Maß in R k betrifft.

82 76. Februar 2 Woche 9, Berechnen der Integrale Abbildung 9.2: Cavalieri, Tonelli, Fubini und Murphy hatten Schnäuzer und mit Integration zu tun. Satz 9.4 Für jede Menge A L (n+m gilt:. A x := {y R m ; (x, y A} L (m für λ (n -fast alle x R n ; 2. x λ (m (A x ist L (n -A T -messbar; 3. λ (m+n (A = R n λ (m (A x dλ (n. Bemerkung 9.4. Dieser Satz ist eine Erweiterung des Cavalierischen Prinzips. Der zweite Schritt besteht aus der Anwendung des letzten Satzes auf elementare Funktionen, um so das Ergebnis von Fubini und Tonelli für elementare Funktionen zu bekommen. Der letzte Schritt verwendet die Limessätze (Fatou und Folgen um zu zeigen, dass man auch allgemeinere Funktionen zulassen kann. 9.3 Transformationen Beim Riemann-Integral hat man schon, sowohl Polar- und Zylinderkoordinaten als auch allgemeine Koordinatensysteme verwendet, um bestimmte Integrale explizit berechnen zu können. Einzelne Stellen, an denen die auftauchenden Transformationfaktoren singulär werden, hat man lokal mit einem Limesverfahren bewältigen können. Wir werden sehen, dass sich auch da das Lebesgue-Integral großzügiger verhält. Wir werden die Beweise nur in groben Zügen erklären. Die ersten Schritte sind ähnlich wie beim Riemann-Integral: Schritt. Sei A : R n R n eine invertierbare lineare Abbildung und R = [a, b ] [a n, b n ]. Dann gilt Vol (A (R = det A Vol (R. In zwei Dimensionen gilt für den Flächeninhalt I P Ecken (,, (a, a 2, (a + b, a 2 + b 2 und (b, b 2 : ( I P = det a b. a 2 b 2 des Parallelogramms P mit den

83 9.3 Transformationen 77 In drei Dimensionen gilt für das Volumen V P des Parallelepipeds, aufgespannt durch die Vektoren a, b und c mit a b c a = a 2 a 3, b = b 2 b 3 und c = c 2 c 3, dass V P = det a b c a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3. x 2 x3 x Abbildung 9.3: Das Volumen vom Parallelepiped kann man mit einer Determinante berechnen. Schritt 2. Sei A : R n R n eine invertierbare lineare Abbildung und Ω L (R n. Dann gilt A (Ω L (R n und falls λ(ω < gilt λ(a (Ω = det A λ(ω. Schritt 3. Als nächstes ersetzen wir invertierbare lineare Abbildungen durch Diffeomorphismen. Wir erinnern uns an die Definition: Definition 9.5 Seien, Y R n offen. Eine bijektive Abbildung Φ : Y mit Φ und Φ inv C -Abbildungen (differenzierbar mit stetiger Ableitung, nennt man ein Diffeomorphismus von auf Y. Für einen solchen Diffeomorphismus finden wir, dass der n n-matrix Φ (x Φ x (x x n Φ (x =..... Φ n(x x invertierbar ist und dass ( Φ inv (y = Φ (x Φ n(x x n Φ (x x n x..... Φ n(x x Φ n(x x n x=φ inv (y.

84 78. Februar 2 Woche 9, Berechnen der Integrale Abbildung 9.4: Darstellung eines Diffeomorphismus von (, 2 zu (, 2. Weil eine Matrix dann und genau dann invertierbar ist wenn ihre Determinante ungleich ist, folgt det (Φ (x. Außerdem finden wir für y = Φ (x, dass ( (Φ inv det ( (y = det (Φ (x = det (Φ (x. Lemma 9.6 Sei, Y R n und sei Φ : Ȳ ein Diffeomorphismus, dann gilt für jedes R = [a, b ] [a n, b n ] mit R, dass λ (Φ (R = R det (Φ dλ. Um dieses Lemma zu beweisen, verwendet man, dass lokal eine differenzierbare Abbildung fast eine lineare Abbildung ist. Das heißt, für jedes ε > kann man R in kleine Teilblöcke verteilen und zahlt dafür wie folgt mit ein extra ε: λ (Φ (R = (Differenzierbarkeit (Verschiebungsinvarianz = (Schritt 2 = (Verschiebungsinvarianz = (Definition Integral = (Differenzierbarkeit m λ (Φ (R α α= m λ (Φ (x α + Φ (x α (R α x α + ε = α= m λ (Φ (x α (R α x α + ε = α= m det (Φ (x α λ (R α x α + ε = α= m det (Φ (x α λ (R α + ε = α= m det (Φ (x α dλ + ε R α m det (Φ ( dλ + 2ε = R α α= α= R det (Φ ( dλ + 2ε. Auf ähnliche Art hat man, wenn man mit ε bezahlt.

85 9.3 Transformationen 79 Schritt 4. Lemma 9.7 Sei, Y und Φ wie oben beschrieben, dann gilt für jedes Ω L (R n mit Ω, dass λ (Φ (Ω = det (Φ dλ. (9. Ω Man kann Ω mit abzählbar vielen Blöcken überdecken. Für endlich viele verwendet man das letzte Lemma. Für den Limes verwendet man den Satz für majorisierte Konvergenz ( ( lim λ m Φ R i m i= = lim = m m lim m λ (Φ (R i = lim i= m m m i= R i det (Φ dλ = lim m R i det (Φ dλ = i= m i= R i det (Φ dλ. Es folgt ( ( λ Φ R i = det (Φ dλ i= i= R i und wenn i= R i die Menge Ω approximiert, folgt (9.. Schritt 5. Sei jetzt f : Y [, eine einfache Funktion. Wenn f = m i= c i Ai kann man sofort das Ergebnis aus dem letzten Schritt anwenden. Wenn man aber m nach unendlich gehen läßt, folgt nur für nichtnegative, denn da gilt monotoner Konvergenz, dass Y f dλ = Y lim m = lim m = m c i Ai i= m c i i= lim m Y dλ = lim m Y Ai dλ = lim m m c i Ai dλ = i= m c i i= m c i Φ (A i det (Φ dλ = i= Φ (A i det (Φ dλ = (f Φ det (Φ dλ. Bemerke, dass wenn f = i N c i Ai mit A i disjunkt, dann gilt f Φ = i N c i Φ (A i. Schritt 6. Schlussendlich soll man zeigen, dass das folgende Diagramm stimmt für eine Folge von elementaren Funktion {f k } k N, die nach f konvergieren: f dλ f k dλ = (f k Φ det (Φ dλ (f Φ det (Φ dλ. Y Y

86 8. Februar 2 Woche 9, Berechnen der Integrale Satz 9.8 (Transformationssatz Seien, Y R n und sei Φ : Ȳ ein C - Diffeomorphismus. Wenn f : Y [, L-A T -messbar ist, dann gilt f dλ = (f Φ det Φ dλ. (9.2 Y Bemerkung 9.8. Also ist die Funktion f Lebesgue-integrierbar auf Y genau dann, wenn (f Φ det Φ integrierbar ist auf. Dies gilt auch für Funktionen f : Y R mit Vorzeichenwechsel und es folgt dann, dass (9.2 auch gilt für L-integrierbare Funktionen. Man kann sogar einige Stellen zulassen, an denen Φ lokal nicht bijektiv ist. Satz 9.9 (Erweiterter Transformationssatz Seien, Y R n und sei Φ : Y eine C -Abbildung. Falls Ω L (R n mit Ω derart ist, dass Φ Ω : Ω Φ (Ω ein C -Diffeomorphismus ist, dann gilt für jede L-A T -messbare Funktion f : Ω [,, dass f dλ = (f Φ det Φ dλ. Φ(Ω Ω Bemerkung 9.9. Für L-integrierbare Funktionen gilt dies auch, wenn sie das Vorzeichen wechseln. 9.4 Kugeln und Zylinder Definition 9. Kugelkoordinaten in R n kann man beschreiben durch ( r, ϕ, ϕ 2,..., ϕ n mit x r sin ϕ sin ϕ 2 sin ϕ sin ϕ n x 2 r cos ϕ sin ϕ 2 sin ϕ sin ϕ n x 3 r cos ϕ 2 sin ϕ sin ϕ n. x n 2 x n x n =. r cos ϕ n 3 sin ϕ n 2 sin ϕ n r cos ϕ n 2 sin ϕ n r cos ϕ n mit r [,, ϕ [, 2π und ϕ 2,..., ϕ n [, π, oder auch durch x = r ω mit r [, und ω B ( := {ω R n ; ω = }.

87 9.4 Kugeln und Zylinder 8 Die Umkehrabbildung kann man grob wie folgt konstruieren: r 2 = x x 2 n, cot ϕ = x 2 x, cot ϕ 2 = x 3, x 2 + x 2 2 cot ϕ 3 = cot ϕ n = x 4, x 2 + x x 2 3. x n. x x 2 n Dabei ist ϕ durch cot ϕ = x 2 x nicht eindeutig festgelegt, sondern man nimmt ϕ (, π, falls x 2 > und ϕ (π, 2π falls x 2 <. Falls x 2 = oder x = ist cot ϕ = x 2 x auch nicht definiert. Ähnliches passiert bei ϕ 2 bis ϕ n. Verallgemeinerte Zylinderkoordinaten bekommt man, indem man Kugelkoordinaten nur auf eine Teildimension anwendet: R n = R m R n m und man nimmt Koordinaten ( r, ϕ,..., ϕ m, x m+,..., x n. Lemma 9. Das Volumen der Einheitskugel in R n π ist gleich n/2. Γ(+n/2 Der Flächeninhalt der Oberfläche der Einheitskugel in R n ist gleich n πn/2 Γ(+n/2 n : π n/2 : 2 π 4π Γ(+n/2 3 2 π2 8 5 π2 6 π3 6 5 π3 32 π π4 64 π π5 Die Gammafunktion Γ : R + R ist definiert durch Man hat Γ (x + = xγ(x für x >, Γ ( = und Γ ( 2 = π. Γ (x = M t x e t dt. Aus den ersten beiden Ergebnissen folgt n! = Γ (n +. Man beweist dies wie folgt: ( [ t Γ (x + = t x e t dt = lim x e t] M M + Weiter gilt Γ ( = = x t x e t dt = x Γ (x. e t dt = und Γ ( 2 = t /2 e t dt = 2 x t x e t dt = e x2 dx = π.

88 82. Februar 2 Woche 9, Berechnen der Integrale Beweis. Wir setzen σ n = V ol {x R n ; x } und verwenden die vollständige Induktion getrennt für gerade und ungerade Indizes. Man kennt σ = 2 und σ 2 = π. Weiter gilt σ n = dx = dy dz = x R n z R 2 y R n 2 x x y z 2 ( = σ n 2 z 2 n 2 2 dz = Es folgt z R 2 z = σ n 2 r= 2π = 2πσ n 2 [ n ( r 2 n 2 rdϕdr = ( r 2 n/2] = 2π n σ n 2. σ 2k = σ 2k+ = (2π k 2k (2k σ 2 = πk k! = π k Γ ( + k, (2π k (2k + (2k... 3 σ = Γ ( 2 π k Γ ( πk+ = + k Γ ( 3 + k. 2 Die beiden Formeln kann man zusammenfassen zu σ n = πn/2. Γ(+n/2 Vom Volumen zum Oberflächeninhalt der n-dimensionalen Sphäre (wenn wir mal annehmen, wir wissen wie er definiert wäre kommt man durch ( V ol (B r ( V ol (B ( lim = σ n r r r rn = nσ n. r=

89 Analysis 3, Woche Mannigfaltigkeiten I. Definition einer Mannigfaltigkeit Die Definition einer Mannigfaltigkeit braucht den Begriff Diffeomorphismus, den wir in Definition 9.5 festgelegt haben. Seien U, V R n offene Gebiete, dann nennt man eine Funktion f : U V einen Diffeomorphismus, wenn f bijektiv und stetig differenzierbar ist, und auch f inv stetig differenzierbar ist. Beispiel. f : (, (, π { (x, y ; x < und < y < x 2} mit ist ein Diffeomorphismus. f (r, ϕ = (r cos ϕ, r sin ϕ Π 2 Π 4 2 Abbildung.: Das Bild zu Beispiel. Beispiel.2 f : (, (, mit f (x = x 3 ist kein Diffeomorphismus. Man sieht sofort, dass f bijektiv und stetig differenzierbar ist. Jedoch ist f inv nicht differenzierbar in. Das letzte Beispiel zeigt, dass die Tatsache alleine, dass f bijektiv und stetig differenzierbar ist, nicht impliziert, dass auch f inv differenzierbar ist. Jedoch, wenn f und f inv stetig differenzierbar sind und f hat eine höhere Differenzierbarkeit, dann folgt dies auch für f inv. 83

90 84. Februar 2 Woche, Mannigfaltigkeiten I Lemma.3 Seien U, V R n offene Gebiete. Wenn f : U V ein Diffeomorphismus ist und f C k (U mit k 2, dann gilt auch f inv C k (V. Beweis. Wenn f und f inv stetig differenzierbar sind, gilt ( f inv (y = (f ( f inv (y. Sei < m k. Mit Hilfe der Kettenregel, kann man jede Ableitung m-ter Ordnung von f inv zurückführen auf Zusammenstellungen von (f m mit m m, von Ableitungen höchstens m-ter Ordnung von f und Ableitungen höchstens (m -ter Ordnung von f inv. Mit Induktion nach m folgt die Behauptung für m {2,..., k}. Definition.4 Eine Teilmenge M R n heißt m-dimensionale Mannigfaltigheit in R n, wenn zu jedem x M eine offene Umgebung U x R n von x existiert, eine offene Menge V R n existiert und es einem C -Diffeomorphismus f : U x V gibt derart, dass f (U x M = V (R m {,..., }. (. Bemerkung.4. Kurzgefasst kann man sagen: Zu jedem x M gibt es lokal (auf U x einen Diffeomorphismus f von U x auf V mit (.. Bemerkung.4.2 Wenn man für jedes x so einen Diffeomorphismus f finden kann, für den sogar f C k gilt, nennt man M eine C k -Mannigfaltigkeit. Beispiel.5 Die Sphäre S 2 = {x R 3 ; x = } ist eine Mannigfaltigkeit. Die Abbildung f : R 3 R 3 definiert durch f (x, x 2, x 3 = ( x, x 2, x 2 x 2 2 x 2 3 ist für x mit x 3 lokal ein Diffeomorphismus und f (S 2 R 2 {} Die Differenzierbarkeit von f ist hoffentlich klar. Dann braucht man bloß noch die Invertierbarkeit ( zu ( kontrollieren. Nach dem Satz über inverse Funktionen reicht es zu f zeigen, dass det i x j : ij ( ( 2x fi det = det 2x 2 = 2x 3. x j ij 2x 3 Für x mit x 3 = und x 2 nimmt man stattdessen: f (x, x 2, x 3 = ( x, x 3, x 2 x 2 2 x

91 .2 Heuristik und Mathematik 85 Für x mit x 3 = x 2 = kann man nehmen. f (x, x 2, x 3 = ( x 2, x 3, x 2 x 2 2 x 2 3 Beispiel.6 Der Kegel K = {x R 3 ; x 2 + x 2 2 = x 2 3} ist keine Mannigfaltigkeit. In einer Ungebung von (,, gibt es keinen C -Diffeomorphismus, der K auf nette Art plattschlägt. Wenn man (,, aus dem Kegel entfernt, hat man eine Mannigfaltigkeit. Lemma.7 Sei eine offene Menge in R m und g : R m R k eine C -Funktion. Dann ist der Graph G = {(x, g(x ; x } eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit in R m+k. Beweis. Man nehme f : R k R m+k R m mit f (x, y = (x, y g(x für x, y R k. Dann gilt f(g = {,..., } und det (( j f i ij = det ( Im g x i I k =..2 Heuristik und Mathematik Eindimensionales. Den einfachsten Mannigfaltigkeiten sind wir schon begegnet: den stetig differenzierbaren Kurven. Wenn man eine Kurve beschrieben hat, ist eine der ersten Fragen, die aufkommt, wie lang sie ist. Und wenn die Kurve einen Weg beschreibt, entlang welchen man einer Kraft ausgesetzt ist, möchte man die Arbeit berechnen können. Wir haben uns eine Formel für die Länge einer Kurve gebastelt, die für glatte Bögen das Ergebnis brachte, das man im alltäglichen Leben haben möchte. Definition.8 Für eine stetig differenzierbare Funktion x : [, T ] R n definiert man die Länge als l(x := T x (t dt. Man möchte, dass diese Länge für eine Gerade [a, b] = {x; x = ta + ( t b mit t [, ]} übereinstimmt mit der üblichen eindimensionalen Länge: I ([a, b] = a b. Approximieren wir eine Kurve mit Geraden dann kommt man bei einer stetig differenzierbaren Kurve tatsächlich im Limes zu einer vernünftigen Antwort. Setze l m (x := m k= I [x (t k+ x (t k ], mit t k = k T und Schrittweite t = T. Wenn x differenzierbar ist, dann gilt für jede m m Komponente von x: x i (t k+ x i (t k = x i (t k + θ i,k t + O( t

92 86. Februar 2 Woche, Mannigfaltigkeiten I (O ist das kleine Größenordnungssymbol von Landau und l m (x = = = m k= m I [x (t k+ x (t k ] = m k= ( x (t k + θ i,k t + O( t = k= m x (t k + θ i,k t + O(. k= x (t k+ x (t k = Weil x und also auch die Komponenten stetig differenzierbar sind, gilt ( m lim l m(x = lim x (t k + θ i,k t + O( = m m k= T x (t dt = l(x. Beispiel.9 Die Länge der Normalparabel y = x 2 zwischen (, und (, findet man dann wie folgt: Die Kurve kann man beschreiben durch k : [, ] R 2 mit k(x = (x, x 2. Man hat l(x = k (x dx = 2 + (2x 2 dx = 2 = ( 4 ln ( 4 ln Zweidimensionales. Zweidimensionale Mannigfaltigkeiten in R 3 sind zum Beispiel die Sphäre oder das Paraboloid. Beide lassen sich noch relativ einfach beschreiben. Man kann sich aber auch fragen, wie gross der Oberflächeninhalt (eines Teils ist. Auch hier möchten wir zu einer Definition kommen, die zu unserer Vorstellung passt. Dazu werden wir eine Formel ableiten für die Oberfläche des zweidimensionalen Parallellogramms in drei Dimensionen, aufgespannt durch zwei Vektoren. Das kleine Größenordnungssymbol von Landau: Man schreibt f(x = O (x n bei x =, wenn lim x x n f(x =. Es gibt auch das große Größenordnungssymbol von Landau. Man schreibt f(x = O (x n bei x =, wenn es M R gibt mit x n f(x M in einer Umgebung von x =. Beide Symbole werden ähnlich auch für x benutzt. 2 Mit der Substitution 2x = sinh t = 2 (et e t folgt = = (2x 2 dx = 2 ln( 5+2 [ 6 e2t + 4 t 6 e 2t ln( 5 2 (cosh t2 dt = 8 ] ln( 5+2 ln( 5 2 = 2 ln( 5+2 ln( 5 2 ln( 5+2 ln( (sinh t 2 cosh t dt ( e 2t e 2t dt = ln ( ln (

93 .2 Heuristik und Mathematik 87 Α Β Α Β Definition. Seien α, β R n. Dann definieren wir den Flächeninhalt von P = {x R n ; x = tα + sβ mit s, t [, ]} durch I 2 (P = (α α (β β (α β 2. (.2 Wenn das Zweibein einen senkrechten Winkel bilden würde, dann würde man I 2 (P = α β erwarten. Für nicht rechtwinkelige Zweibeine, kann man β ersetzen durch β = β α β α α α. Man erinnere sich, dass (α, α β ein rechtwinkeliges α α { } Zweibein, und P = x R n ; x = tα + s β mit s, t [, ] hat den gleichen Flächeninhalt. Es gilt I 2 (P = I 2 ( P = α β = α β α β α α α = = α β β 2 α β (α β2 (α β + 2 (α α = α α (α α = (α α (β β (α β 2. (.3 Wenn wir explizite Koordinaten in R 3 verwenden, folgt I (3 2 (P = (α 2 + α α 2 3 ( β 2 + β β3 2 (α β + α 2 β 2 + α 3 β 3 2 = = α 2 2β α 2 3β β 2 α α 2 β α 2 β α 2 2β 2 2α 2 α 3 β 2 β 3 2α β α 3 β 3 2α α 2 β β 2 = = (α 2 β 3 α 3 β (α 3 β α β (α β 2 α 2 β 2. Das letzte kann man auch wie folgt schreiben: α β e I (3 2 (P = det α 2 β 2 e 2 = α β. α 3 β 3 e 3

94 88. Februar 2 Woche, Mannigfaltigkeiten I Definition. Für eine stetig differenzierbare zweidimensionale Kurve (auch Fläche genannt x : D R 2 R n definiert man den Oberflächeninhalt durch Vol (n 2 (x = det D Bemerkung.. Für n = 2 gilt = = det det ( x x t t x x s t ( x det t t x s t (( x x 2 t x t x 2 s s ( x x 2 t x t x 2 s s ( x = det t x x x t s x x s s ( x det s x x t s x x s s = x t x 2 t s x 2 s ( x x t x 2 s x 2 t s x 2 t x 2 s und wir erhalten die bekannte Jacobi-Determinante. d (t, s. = = Beispiel.2 Das Paraboloid z = x 2 + y 2 abgeschnitten bei z =. Man beschreibt es zum Beispiel durch k : B ( R 3 mit k (x, y = (x, y, x 2 + y Weil k x = 2x und k y = 2y, hat man Vol (3 2 (k = B ( det 2x 2y 2x 2x 2x 2y 2y 2y d (x, y =

95 .3 Integral über eine Mannigfaltigkeit 89 = = = 2π B ( B ( [ 2 det ( + 4x 2 4xy 4xy + 4y 2 4x2 + 4y 2 + d (x, y = d (x, y = r= 2π ϕ= ( 4r 2 + 3/2] = (5 6 π 5. 4r2 + r dϕdr = Beispiel.3 Die Sphäre S 2 = {x R 3 ; x = } kann man parametrisieren durch s (ϕ, ψ = (cos ϕ sin ψ, sin ϕ sin ψ, cos ψ mit ϕ [, 2π und ψ [, π. Man findet mit s ϕ s ψ = ( sin ϕ sin ψ, cos ϕ sin ψ,, = (cos ϕ cos ψ, sin ϕ cos ψ, sin ψ, dass Vol (s = = = [,2π [,π [,2π [,π 2π π det ( s s ϕ ϕ s s ψ ϕ ( (sin ψ 2 det s s ϕ ψ s s ψ ψ d (ϕ, ψ = d (ϕ, ψ = sin ψdψdϕ = 2π [cos ψ] π = 4π. Dieses Ergebnis hat man erwartet..3 Integral über eine Mannigfaltigkeit Wie man bei einer eindimensionalen Mannigfaltigkeit die Länge und allgemeinere Größen auf dieser Mannigfaltigkeit durch kleine Geraden approximiert, werden auf zwei-(und mehr-dimensionale Mannigfaltigkeiten definiert durch eine Riemann-Summe, die mit Hilfe von kleinen ebenen Flächen (Parallelepipede und mit stückweise stetigen Funktionen gebildet werden: M = lim n,l f(x dv m = lim n ( pn i= = q n j= D p n i= f(x i,j (n det (f k (y = D q n j= ( x k det (( ( f(x i,j (n det x i+,j (n x i,j (n x i,j+ (n x i,j (n = ( ( x i,j (n x2 k x i,j (n t n,i s n,j + O( t n,i + O( s n,j = i,j (( i k j k ij (y dy + (f k (y det lim (O( + O( = t n,i s n,j (( i k j k ij (y dy.

96 9. Februar 2 Woche, Mannigfaltigkeiten I Definition.4 Sei M eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit in R n, die man mit der C -Funktion k : D R m R n eindeutig beschreiben kann: M = k (D := {x = k (y R n ; y D R m }. Dann setzt man M f(x dv m = D (f k (y det (( i k j k ij (y dy. Die Funktion k ist eine Parametrisierung von M. Die Matrix ( i k (y j k (y ij nennt man die (erste Fundamentalmatrix zu der Parametrisierung k an der Stelle p = k(y. Bemerkung.4. Eine Mannigfaltigkeit, die man nicht mit einer Funktion k beschreiben kann, teilt man auf in Teilmannigfaltigkeiten, die mit einer Funktion zu beschreiben sind und addiert diese Integrale für M f(x dv m. Bemerkung.4.2 Man soll noch zeigen, dass diese Definition nicht von der Parametrisierung abhängt. Wenn man zwei verschiedene Parametrisierungen k und h hat, für die es ein Diffeomorphismus Φ gibt derart, dass h = k Φ, so folgt das gewünschte Ergebnis aus den Transformationssatz. Denn an der Stelle y gilt: ( det (( i h j h ij = det ( h T ( h = y ( y ( T ( = det (k Φ (k Φ Weil y = (wegen des Kettenregels ( (( T = det ( k Φ Φ ((( k Φ Φ = y (denn für Matrizen gilt (AB T = B T A T und (AB C = A (BC ( ( T ( = det (Φ T ( k Φ ( k Φ Φ = y (für quadratische Matrizen gilt det (AB = det (A det (B ( ( ( T ( = det (Φ T det ( k Φ ( k Φ det (Φ y = y y = (det (Φ (y 2 det (( i k j k ij. Φ(y ( ( det i k j k ij y = det (Φ (y det (( i k j k ij Φ(y folgt der Term det (Φ (y, welcher nach dem Transformationssatz die beiden Integrale übereinstimmen lässt. Für beliebige C -Parametrisierungen h und k von M ist die Funktion Φ wohldefiniert durch Φ = k inv h aber nicht unbedingt ein Diffeomorphismus.

97 Analysis 3, Woche Mannigfaltigkeiten II. Immersionen Definition. Sei m n N und R m offen. Eine Abbildung f C (; R n heißt Immersion, wenn für jedes x die Matrix f(x injektiv ist. Bemerkung.. Man hat f f (x f x (x x m (x. f(x =. = f f n (x n f x (x n x m (x und f(x M n m mit n m. Wenn eine Matrix in M n m injektiv ist, muss gelten n m. Übrigens kann man statt f auch f schreiben. Satz.2 Sei R m offen und sei f C k (; R n mit k eine Immersion. Dann existiert für jedes x eine Umgebung U x R m derart, dass f(u x eine m-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit von R n ist. Beweis. Sei x und setze z = f(x. Ohne Verlust der Allgemeinheit dürfen wir annehmen, dass die ersten m Zeilen von f(x eine injektive Matrix liefern: f f x (x x m (x M = f m f x (x m x m (x Wir betrachten die Abbildung g C ( R n m ; R n, definiert für x R n und y R n m durch g (x, y = f(x + (, y. Es folgt ( M O g (x, = A I n m und det ( g (x, = det (M. Der Satz über Umkehrfunktionen liefert offene Umgebungen U (x, in R n m und U z in R n und eine Umkehrfunktion g invers : U z U (x,. Insbesondere gilt g invers (U z f(u x {,..., }. 9

98 92 Woche, Mannigfaltigkeiten II. Februar 2 f = Ψinv Ψ(U Ψ α M f Satz.2 Abbildung.: Zu der lokalen Definition einer Mannigfaltigkeit: links mit Hilfe eines Diffeomorphismus und rechts mit einer Immersion. Bemerkung.2. Dieser Satz bedeutet nicht, dass f ( eine C k -Mannigfaltigkeit ist. Er sagt nur aus, dass f (Ux (lokal eine C k -Mannigfaltigkeit ist. Siehe na chstes Beispiel. Beispiel.3 Fu r a > liefern die Abbildungen fa : (, 2π R2 mit ( + a cos x cos x fa (x = ( + a cos x sin x + a Cos@xDL 8Cos@xD, Sin@xD<, 8x,, 2 Pi<, PlotStyle Thickness@.5D, PlotRange + a Cos@xDL 8Cos@xD, Sin@xD<, 8x,, 2 Pi<, PlotStyle Thickness@.5D, PlotRange , 3.75<, 8 die sogenannten Limac ons von Pascal. Sie werden auch Pascalsche Schnecken genannt Out[7]= Abbildung.2: Limac on von Pascal mit a = k/4 und k =,, 2,.... Weil fa (x = ( + 2a cos x sin x a + ( + 2a cos x cos x folgt k fa (xk = nur, wenn sin x =. Denn wenn + 2a cos x =, ist die zweite Komponente nur dann auch gleich, wenn a = gilt, und wir haben einen Widerspruch. Also muß sin x = gelten, und das heißt x = kπ mit k Z. Dann gilt cos x = ( k und die zweite Komponente ist, wenn a + ( k + 2a =. Weil a nicht negativ ist, folgt dass k ungerade ist und a =. Das heißt, fu r a 6= ist fa eine Immersion und fa (x ε, x + ε ist fu r genu gend kleines ε eine Mannigfaltigkeit. Fu r a [, ist fa (R sogar eine Mannigfaltigkeit. Fu r a > gibt es Selbstdurchschneidungen.

99 . Immersionen 93 Beispiel.4 Die Sphäre S 2 in R 3 : S 2 = { x R 3 ; x = } kann man, mit Ausnahme von (,,, mit Hilfe einer stereographischen Projektion beschreiben: x ( 2x ϕ x 2 x = 3 2x 2, x x 3 3 oder genauer gesagt, mit der Inverse zu dieser Projektion. Man vergleiche dazu die ähnlichen Dreiecke = [(,, (x, x 3, (, x 3 ] und 2 = [(,, (y,, (, ] und findet so y 2 = x x 3. Auch findet man so y 2 2 = x 2 x 3.,,x 3 x,x 3, y, Abbildung.3: Die stereographische Projektion aus dem Nordpol auf die tragende Ebene. Diese Abbildung ϕ ist C für x 3 < und ψ = ( invers ϕ S 2 soll eine Immersion sein. Man kann ψ wie folgt berechnen: Aus y = x 2 x 3, y 2 = x 2 2 x 3 und x 2 + x x 2 3 = folgt y 2 + y 2 2 = 4 x2 + x 2 2 ( x 3 2 = 4 x2 3 ( x 3 2 = 4 + x 3 x 3 = 8 x und x 3 =. Auch folgt 4+y 2+y2 2 x = 2 ( x 3 y = 4y 4 + y 2 + y 2 2 und x 2 = 4y y 2 + y2 2 Also hat man ( y ψ y 2 = 4y 4+y 2 +y2 2 4y 2 4+y 2 +y y 2 +y2 2.

100 94. Februar 2 Woche, Mannigfaltigkeiten II Man kann direkt kontrollieren, dass ψ eine Immersion ist, denn ψ = 6 4y 2 +4y2 2 (4+y 2 +y y y 2 (4+y 2 +y y y 2 6+4y2 4y2 2 (4+y 2+y2 2 2 (4+y 2+y y (4+y 2 +y y 2 (4+y 2 +y2 2 2 und dividiert man durch den Faktor 4 (4+y 2 +y2 2 2, so findet man 4 y 2 + y2 2 2y y 2 2y y 2 4y 4 + y 2 y2 2 4y 2. Für y folgt det ( 2y y y 2 y 2 2 4y 4y 2 ( = 4y 4 + y 2 + y2 2, für y 2 folgt ( 4 y 2 det + y2 2 2y y 2 4y 4y 2 ( = 4y 2 y 2 + y und für y 2 + y2 2 4 folgt ( 4 y 2 det + y2 2 2y y 2 2y y y 2 y2 2 = ( y 2 + y Weil diese drei Ausnahmen einen leeren Durchschnitt haben ist ψ : R 2 S 2 \ {,, } eine Immersion. Beispiel.5 Sei < r < a. Die C -Abbildung g a,r : R 2 R 3 mit (a + r cos t cos s g a,r (s, t = (a + r cos t sin s r sin t liefert für alle < r < a einen Torus. Abbildung.4: Graphische Darstellungen zu g 2, und g,2.

101 .2 Lokale Karten und Parametrisierungen 95.2 Lokale Karten und Parametrisierungen Nicht alle Mannigfaltigkeiten lassen sich so leicht durch eine Parametrisierung definieren. Auch wollen wir abstraktere Definitionen von Mannigfaltigkeiten zulassen, die nicht von vornherein in einen euklidischen Raum R n eingebettet sind. Beispiel.6 Wir definieren M = [, 2π] R, wobei wir wie folgt Randpunkte identifizieren: (, t = (2π, t für t R. Versucht man M als Oberfläche in R 3 darzustellen, findet man das Möbiusband. Ein Streifen von M, das heißt (s, t M mit t < t, läßt sich in R 3 als ein Band darstellen, das man am Ende verdreht zusammengeklebt hat. Abbildung.5: Ein Streifen aus dem Möbiusband. Das Möbiusband ist nicht orientierbar: es gibt keinen stetigen Normalenvektor auf dem Möbiusband Abbildung.6: Wenn man mehr vom Möbiusband zeigt, wird es unübersichtlich. Hier findet man das Bild, wenn man das Band in Abbildung.5 fortsetzt innerhalb eines Würfels um O.

102 96. Februar 2 Woche, Mannigfaltigkeiten II Definition.7 Sei M R n eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit. Man nennt {(ϕ α, U α ; α A} mit ϕ α C (U α ; R m und U α R n offen einen Atlas für M, wenn α A U α M (M wird überdeckt von den U α und für jede α, β A gilt: ϕ α Uα M ist injektiv; ( ϕ α Uα M invers : Vα M mit V α = ϕ α (U α M ist eine Immersion. Bemerkung.7. ϕ α Uα M ist die Einschränkung von ϕ α auf U α M, das heißt, ϕ α Uα M : U α M R m ist definiert durch ϕ α Uα M (x = ϕ α (x für x U α M. Abbildung.7: Einige der Funktionen ϕ α Uα M. Die Funktion ϕ α ist definiert auf U α. Bemerkung.7.2 Das Paar ( ϕ α Uα M, U α M nennt man Karte. Die Funktion ( ϕ α Uα M invers ist eine lokale Parametrisierung. Bemerkung.7.3 Um die ganze Mannigfaltigkeit betrachten zu können, reicht eine Karte meistens nicht aus. Denn wandert man zum Beispiel über den Torus, dann muss man wahrscheinlich gelegentlich die Karte wechseln. Eine Mannigfaltigkeit kann übrigens auch durch mehrere Atlanten beschrieben werden. Bemerkung.7.4 Die Definition von Mannigfaltigkeit sagt uns, dass zu jedem x M lokal eine Karte existiert. Beispiel.8 Die Sphäre S 2 in R 3 : S 2 = { x R 3 ; x = } kann man mit zwei Karten beschreiben. Man nehme zum Beispiel für ϕ die stereographische Projektion aus dem Nordpol auf die Fläche x 3 = und für ϕ 2 die stereographische Projektion aus dem Südpol auf die Fläche x 3 =..3 Vektorfelder und Pfaffsche Formen Wir wollen Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten definieren und benutzen können. Das heißt, wir wollen Vektorfelder definieren, die an jeder Stelle der Mannigfaltigkeit tangential zur Oberfläche zeigen. Wenn wir als Beispiel die n-dimensionale Sphäre S n in R n+ betrachten, dann kann man in jedem Punkt p tangential einen Vektor in R n+ anhängen. Tangential bedeutet aber, dass man diese Vektoren nur wählen darf aus einem n-dimensionalen Unterraum von R n+.

103 .3 Vektorfelder und Pfaffsche Formen Der Tangentialraum Abbildung.8: Ein Vektorfeld auf der Sphäre. Definition.9 Sei M eine m-dimensionale C -Mannigfaltigkeit in R n (mit m n und sei p M. Sei ψ eine Immersion mit ψ( = p, die M lokal parametrisiert, und sei R der Bildraum (Spaltenraum von ψ(. Man nennt T p M = (p, R den Tangentialraum an M im Punkt p. T p M ist ein Vektorraum mit der folgenden Vektorraumstruktur: s (p, v + t (p, u = (p, sv + tu für s, t R und u, v R. Definition. Ein Element (p, v T p M nennt man Tangentialvektor. Die Vereinigung T M = p M T pm nennt man das Tangentialbündel zu M. Bemerkung.. Man kann zeigen, dass der Tangentialraum unabhängig ist von der gewählten lokalen Parametrisierung ψ, wenn diese nur eine Immersion ist. Bemerkung..2 T p M ist ein m-dimensionaler Untervektorraum von T p R n = (p, R n. Satz. Sei M eine m-dimensionale C -Mannigfaltigkeit in R n (mit m n und sei p M. Für jede (p, v T p M gibt es eine Kurve γ C (( ε, ε ; R n mit γ ( ε, ε M, γ( = p und γ ( = v. Wenn es eine Kurve γ C (( ε, ε ; R n gibt mit γ ( ε, ε M und γ( = p, dann gilt (p, γ ( T p M. Beweis. Sei ( ϕ p, U p eine Karte. Wir dürfen annehmen, dass ϕp (p =. Wir nehmen ( invers ψ := ϕ p Up M : R m M. Sei T p M = (p, R. Setzen wir γ(t = ψ (tξ mit ξ R m. Es folgt, dass γ( = ψ ( = p und γ ( = ( ψ( ξ. Weil ψ eine Immersion ist, ist ( ψ( : R m R bijektiv und wir können ξ R m finden mit ( ψ( ξ = v.

104 98. Februar 2 Woche, Mannigfaltigkeiten II Wenn es eine Kurve γ C (( ε, ε ; R n gibt mit γ ( ε, ε M und γ( = p, dann gilt ψ ( ϕ p (γ(t = γ(t und die Kettenregel liefert denn ψ ( : R m R. γ ( = ψ ( ( ϕ p (p γ ( R, Für Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten kommt man zur folgenden Definition. Definition.2 Sei M eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit in R n (mit m n. Eine Abbildung v : M T M mit v(p = (p, v(p T p M nennt man Vektorfeld auf M..3.2 Der Kotangentialraum Wenn V ein Vektorraum ist, dann definiert man den dualen Vektorraum V als die Menge aller stetigen linearen Abbildungen L : V R. Ist V endlich dimensional, dann ist jede lineare Abbildung stetig. Hat man V als Unterraum von R n mit Basis {v,..., v m }, dann kann man jedes Element L V definieren, indem man es festlegt auf die Basiselemente: Lv i = α i R. Für v = m i= c iv i folgt dann aus der Linearität ( m Lv = L c i v i = i= m c i Lv i = i= m c i α i. i= Nimmt man das Standardskalarprodukt zur Hilfe, kann man L in Matrixform schreiben mit der Matrix zusammengestellt aus den Basisvektoren v v m v 2 v m2 V = (... v n v mn als Denn so gilt ( m c L c i v i = L V. i= c m L = (α,..., α m ( V T V V T. (.2 = (α,..., α m ( V T V V T V c. c m = m c i α i Man soll bemerken, dass die Unabhängigkeit von {v,..., v m } impliziert, dass die m m-matrix V T V invertierbar ist, denn aus diese Unabhängigkeit folgt die Injektivität von V und dann auch, dass V T V positiv definit ist x V T V x = V x 2 > für x R m \ {}. Dann sind alle Eigenwerte von V T V strickt positiv und es folgt det ( V T V >. i=

105 .3 Vektorfelder und Pfaffsche Formen 99 Definition.3 Sei M eine m-dimensionale C -Mannigfaltigkeit in R n und sei p M. Den Dualraum T p M zu T p M nennt man den Kotangentialraum an M im Punkt p. Genauer gesagt, wenn T p M = (p, V, dann setzt man T p M = (p, V. Definition.4 Ein Element (p, v T p M nennt man Kotangentialvektor. Die Vereinigung T M = p M T p M nennt man das Kotangentialbündel zu M. Dual zum Vektorfeld definiert man anschließend die Pfaffsche Form. Sie wird auch Differentialform von Grad genannt. Definition.5 Sei M eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit in R n (mit m n. Eine Abbildung α : M T M mit α(p = (p, α(p T p M nennt man Pfaffsche Form auf M..3.3 Dualität Für eine lokale Parametrisierung ψ : U x R m M R n mit ψ(x = p M findet man eine Basis für T p M durch {v i } m i=, oder genauer {(p, v i} m i=, mit ( ψ v i = (x R n. x i Eine duale Basis für T p M ist dann {(p, v i } m i=, wobei v i definiert ist durch v i, v j p = δ ij. Die Dualität von Vektorfeldern und Pfaffschen Formen an der Stelle p wird bezeichnet mit, p : T p M T p M R. Es folgt aus (.2, mit e i = (,...,,,,..., T der i-te Basisvektor in R m und (., dass für w = V x mit V = ψ (x, also gilt (p, w T p M, dass v i, w p = e T i ( V T V V T w. Will man diese Dualität global definieren, dann ist es notwendig die Stetigkeit oder differenzierbare Abhängigkeit der Ortsvariablen ins Spiel zu bringen. Man sagt f : M R l liegt in C q ( M; R l, wenn für jede lokale Parametrisierung ψ : U x M, die eine Immersion ist, gilt f ψ C q ( U x ; R l. Definition.6 Sei M R n eine Mannigfaltigkeit und k N. Die Vektorfelder v : M T M mit v(p = (p, v(p T p M und p v(p C k (M; R n bezeichnet man mit V k (M. Die Pfaffschen Formen α : M T M mit α(p = (p, α(p T p M und p α(p C k (M; R n bezeichnet man mit Ω k (M.

106 . Februar 2 Woche, Mannigfaltigkeiten II Bemerkung.6. Auf V q (M und Ω q (M kann man eine skalare Multiplikation mit C q (M; R n -Funktionen definieren: (fv (p = (p, f(pv(p und (fα (p = (p, f(pα(p. Sei ψ : U R m M R n eine lokale Parametrisierung mit ψ( = p, und sei {e,..., e m } die Standardbasis für R m. Dann findet man { } ψ(, ψ(,..., ψ( x x 2 x m als Basis für T p M. Lässt man die lokale Parametrisierung weg und behält man nur ψ( = p, dann kann man verstehen, dass man oft { } p, p,..., p x x 2 x m als Basis für T p M schreibt. Ein Tangentialvektor an der Stelle p wird dann ( p, f (p p + + f m (p p. x x m Für die zugehörige Basis für T p M schreibt man {dx,..., dx m }. Eine Pfaffsche Form wird an der Stelle p dann beschrieben durch oder formell dg = g (pdx + + g m(pdx m, (p, g (pdx + + g m(pdx m, und man findet so dg, f (p p + + f m (p p = x x m p m gi (pf i (p. i=

107 Analysis 3, Woche 2 Differentialformen I 2. Multilineare Algebra Sei V ein Vektorraum über R. Dann definiert man V als den Vektorraum der stetigen linearen Abbildungen L : V R. Allgemeiner kann man multilineare Abbildungen ω : V V V R definieren. Im Zusammenhang mit Mannigfaltigkeiten spielen insbesondere die antisymmetrischen, multilinearen Abbildungen eine wichtige Rolle. Definition 2. Sei V ein Vektorraum über R und k N +. Eine Abbildung ω : V V V }{{} k R. heißt multilinear, wenn für jedes i {,..., k} die Abbildung linear ist; v i ω ( v,..., v i,..., v k 2. heißt antisymmetrisch, wenn für jedes i, j {,..., k} mit i j gilt: ω ( v,..., v i,..., v j,..., v k = ω ( v,..., v j,..., v i,..., v k. (Die Vertauschung zweier Vektoren liefert ein extra Minuszeichen. So eine Abbildung ω nennt man eine äußere Form von Grad k. Die Menge aller äußeren k-formen bezeichnet man mit Λ k (V. Lemma 2.2 Definiert man Addition und Multiplikation mit Skalaren wie üblich: (ω + ω 2 ( v,..., v k = ω ( v,..., v k + ω 2 ( v,..., v k, (λω ( v,..., v k = λω ( v,..., v k, dann ist Λ k (V ein Vektorraum über R. Bemerkung 2.2. Man setzt Λ (V = R. Es folgt direkt, dass Λ (V = V.

108 2. Februar 2 Woche 2, Differentialformen I Beweis. Direktes Ausschreiben zeigt die Multilinearität und die Antisymmetrie von ω + ω 2 und λω, wenn ω, ω 2 und ω diese Eigenschaften haben. Sei {e,..., e n } eine Basis für V. Dann ist L V durch die Werte auf den Basiselementen festgelegt. Anders gesagt {ε,..., ε n } V mit bildet eine Basis für V. Dies bedeutet ε i (c e + + c n e n = c i für alle c,..., c n R (2. dim ( Λ (V = dim V = dim V = n. Wegen der Linearität reicht es übrigens für (2., wenn man ε i (ε j = δ ij setzt. Aus der Multilinearität folgt, dass jede k-multilineare Abbildung durch die Werte angenommen auf {e,..., e n } k festgelegt ist. Die Antisymmetrie sorgt dafür, dass der Wert unter Permutationen festliegt. Das heißt, ω Λ k (V ist genau festgelegt, wenn alle c i,i 2,...,i k := ω (e i, e i2,..., e ik mit i < i 2 < < i k n bekannt sind. Das heißt, man kann genau ( n k Koeffizienten frei wählen und dies bedeutet Λ k (V ist ( n k -dimensional. Lemma 2.3 Für dim V = n hat man dim ( Λ k (V = ( n k. Definition 2.4 Seien ω Λ k (V und η Λ m (V. Man definiert ω η Λ m+k (V durch (ω η ( v,..., v k+m = sgn (σ ω ( v σ(,..., v σ(k η ( v σ(k+,..., v σ(k+m. k!m! σ P erm k+m Hier sind P erm k+m alle Permutationen von {,..., k + m} und nimmt man { bei einer geraden Permutation σ, sgn (σ = bei einer ungeraden Permutation σ. Man nennt ω η das äußere Produkt von ω und η. Jede Permutation einer endlichen Menge kann man bekommen durch endlich viele Vertauschungen zweier Elementen. Ein Permutation heißt (ungerade, wenn man eine (ungerade Zahl von Vertauschungen braucht. Beispiel 2.5 Für ω, η Λ (V folgt Für ω Λ (V und η Λ 2 (V folgt (ω η ( v, v 2 = ω ( v η ( v 2 ω ( v 2 η ( v. (ω η ( v, v 2, v 3 = ω ( v η ( v 2, v 3 ω ( v 2 η ( v, v 3 + ω ( v 3 η ( v, v 2. Satz 2.6 (Rechenregel für das äußere Produkt Sei ω (i Λ k (V, η Λ l (V und ν Λ m (V. Es gilt:. (ω + ω 2 η = ω η + ω 2 η; 2. ω η = ( kl η ω;

109 2. Multilineare Algebra 3 3. (ω η ν = ω (η ν. Beispiel 2.7 Für ω, ω 2, ω 3 Λ (V hat man (ω ω 2 ω 3 ( v, v 2, v 3 ω (v ω (v 2 ω (v 3 = det ω 2 (v ω 2 (v 2 ω 2 (v 3. ω 3 (v ω 3 (v 2 ω 3 (v 3 Beweis. Die erste Behauptung folgt sofort aus der Definition. Für die zweite soll man bemerken, dass (η ω ( v,..., v l, v l+,..., v l+k = (ω η ( v l+,..., v l+k, v,..., v l und dass man mit kl Vertauschungen ( v,..., v l vor ( v l+,..., v l+k bekommt: (ω η ( v l+,..., v l+k, v,..., v l = ( kl (ω η ( v,..., v l, v l+,..., v l+k. Um die letzte Behauptung zu beweisen, muß man ein guter Buchhalter sein. Wenn man bedenkt, dass = k!m! sgn (σ ω ( v σ(,..., v σ(k η ( v σ(k+,..., v σ(k+m = σ P erm k+m sgn (σ ω ( v σ(,..., v σ(k η ( v σ(k+,..., v σ(k+m, σ P erm k+m σ(<σ(2< <σ(k σ(k+<σ(k+2< <σ(k+m bemerkt man, dass die Definition nur davon abhängt, welche k Kugeln sich in dem ω- Beutel und welche m-kugeln sich in dem η-beutel befinden. Es wird über diese Verteilungen summiert und nicht über die Folge in jedem Beutel. Weil es für die Verteilung egal ist, ob man erst in Häufchen mit k +l und m Kugeln verteilt und dann das k +l Häufchen nochmals in ein k und in ein l Häufchen aufteilt, oder gleich in drei Häufchen mit k, l und m Kugeln, gilt ((ω η ν ( v,..., v k+l+m = = sgn (σ ω ( v σ(,..., v σ(k η ( v σ(k+,..., v σ(k+l ν ( v σ(k+l+,..., v σ(k+l+m σ P erm k+l+m σ(<σ(2< <σ(k σ(k+<σ(k+2< <σ(k+l σ(k+l+<σ(k+l+2< <σ(k+l+m = (ω (η ν ( v,..., v k+l+m. Wir können sogar eine Basis für Λ k (V konstruieren. Sei {e,..., e n } eine Basis für V und sei {ε,..., ε n } der duale Basis für V wie in (2.. Sei jetzt I = {i, i 2,..., i k } ein geordneter k-tupel aus {,..., n}; das heißt i < i 2 < < i k n. Wir definieren ε I = ε i ε i2 ε ik. (2.2 Satz 2.8 {ε I ; I geordneter k-tupel} mit ε I definiert in (2.2 ist eine Basis für Λ k (V.

110 4. Februar 2 Woche 2, Differentialformen I Beweis. Man betrachte die Überlegungen bei Lemma 2.3. Seien V und W Vektorräume über R und sei L : W V eine lineare Abbildung. Mit dieser linearen Abbildung L lässt sich eine lineare Abbildung L : Λ k (V Λ k (W konstruieren: (L ω ( w,..., w k = ω ( Lw,..., Lw k. Notation 2.9 Man sagt, eine äußere Form ω auf V läßt sich mit einer linearen Abbildung L : W V zurückziehen zu einer äußeren Form L ω in W. W Λ k (W L V L Λ k (V Schlussendlich wollen wir noch zeigen, dass ein inneres Produkt von einem Vektor v V mit einer k-form ω eine (k -Form liefert: Definition 2. Sei v V und ω Λ k (V mit k. Dann setzt man (v ω ( v,..., v k = ω ( v, v,..., v k. Man findet, dass v ω Λ k (V, denn die Multilinearität und die Antisymmetrie von v ω folgt aus der von ω. 2.2 Determinante Die bekannteste äußere Form ist die Determinante. Für V = R n ist { v,..., v n} det ( v,..., v n eine äußere n-form, oder formell det Λ n ((R n. Man sieht sofort, dass diese Abbildung multilinear und anti-symmetrisch ist. Man hat det( = ε ε 2 ε n. Wir haben schon mal gesehen, dass det (v,..., v n das Volumen von dem Parallelepiped P = { θ v + + θ n v n ; θ i [, ] } ergibt. 2.3 Skalarprodukt und Orientierung Bis jetzt sind wir nur dem Standardskalarprodukt begegnet. Wir möchten ein allgemeineres Skalarprodukt zulassen. Definition 2. g : V V R nennt man ein nicht-ausgeartetes Skalarprodukt, wenn. v g (v, v 2 und v 2 g (v, v 2 linear sind; 2. g symmetrisch ist: g (v, v 2 = g (v 2, v ;

111 2.3 Skalarprodukt und Orientierung 5 3. B = {b,..., b n } eine Basis ist für V und M B (g die Matrix definiert durch M B (g ij = g (b i, b j, dann gilt det (M B (g. Weil g symmetrisch ist, ist M B (g auch symmetrisch und darum diagonalisierbar. Nennen wir die Zahl der positiven Eigenwerte p und die Zahl der negativen q, dann ist das Paar (p, q die Signatur des Skalarproduktes g auf der Basis B. Man kann zeigen, dass diese Signatur unabhängig vor der gewählten Basis ist. Für das Standardskalarprodukt g : R n R n R, definiert auf der Standardbasis E durch g (v, v 2 = v, v 2, ist M B (g positiv definit. Man möchte hier auch Skalarprodukte zulassen, die auf Produktvektorräume V W definiert sind durch (( ( v v 2 g, = v, v 2 w, w 2. V W w w 2 Ein Skalarprodukt g auf V V liefert ein zugehöriges Skalarprodukt ḡ auf V V durch n n ḡ (α, β = g ij α (e i β (e j (2.3 mit i= j= ( g ij ij = M B(g. (2.4 Auf diese Art hängt ḡ nicht von der Wahl der Basis ab, sondern nur von g selbst, denn wenn B = {f,..., f n } eine andere Basis ist, sagen wir f i = n F ik e k k= dann gilt, dass ( n n M B(g = (g (f i, f j ij = F ik F jl g (e k, e l k= l= ij = F M B (g F T und es folgt = F α (f. α (f n α (e. α (e n α (e =. α (e n β (f B(g. β (f n ( F MB (g F T F M T = β (e. β (e n β (e M B (g.. β (e n = Dieser letzte Formel ist genau ḡ (α, β wie in (2.3 und man sieht, dass die Definition in (2.3 nicht von der Basis abhängt.

112 6. Februar 2 Woche 2, Differentialformen I Lemma 2.2 Sei g : V V R ein nicht-ausgeartetes Skalarprodukt und sei v V. Wenn g (v, w = für alle w V, dann gilt v =. Beweis. Weil M B (g symmetrisch ist und det (M B (g, kann man ein Basis B finden derart, dass d M B (g = d nn mit d,..., d pp > und d p+,p+,..., d p+q,p+q <. Wenn (v,..., v p gilt, nimmt man auf diese Basis w = (v,..., v p,,..., und es folgt, dass g (v, w >, einen Widerspruch. Wenn (v p+,..., v p+q gilt, nimmt man w = (,...,, v p+,..., v p+q und es folgt, dass g (v, w <, wiederum einen Widerspruch. Dieses Skalarprodukt wird wie folgt erweitert auf die Räume Λ k (V : Definition 2.3 Sei g : V V R ein nicht-ausgeartetes Skalarprodukt und B = {e,..., e n } eine Basis für V. Dann definiert man ḡ : Λ k (V Λ k (V R, mit g ij wie in (2.4, wie folgt: ḡ (ω, ω 2 = g i j g i 2j 2... g i kj k ω (e i,..., e ik ω 2 (e j,..., e jk i <i 2 < <i k n j <j 2 < <j k n für ω, ω 2 Λ k (V. NB: Auch hier hängt ḡ nicht von der Basis ab. In R 2 und R 3 können wir uns eine Vorstellung davon machen, was wir unter einer rechts oder links orientierten Basis verstehen. In höheren Dimensionen haben wir keine Vorstellung, die uns dabei helfen würde, links oder rechts zu unterscheiden. Wir können aber schon alle Basen in zwei Klassen aufteilen. Wenn B = {e,..., e n } und B 2 = {f,..., f n } zwei verschiedene Basen sind, dann gibt es eine Matrix A = (a ij, die B überführt in B 2 : f i = a i e + + a in e n. Wenn det (A > sagen wir, dass B und B 2 gleich orientiert sind; wenn det (A < nennt man B und B 2 entgegengesetzt orientiert. Lemma 2.4 Sei V ein Vektorraum mit einem nicht-ausgeartetem Skalarprodukt g. Dann kann man eine Basis B definieren derart, dass M B (g =. ( Beweis. Weil g symmetrisch ist, kann man eine orthonormale Basis B finden, die M B(g diagonal macht. Skaliert man das i-te Basiselement von B durch (M B(g ii /2 und nimmt man dies als neues Basiselement, wird der dazugehörige Diagonaleintrag zu ±.

113 2.4 Hodge-Operator 7 Definition 2.5 Sei V ein Vektorraum mit einem nicht-ausgearteten Skalarprodukt g und sei B = {e,..., e n } eine Basis mit M B (g wie in (2.5. Dann nennt man dv Λ n (V, definiert durch die Volumenform zu g. dv ( g (v, e g (v n, e v,..., v n = det.. g (v, e n g (v n, e n Bemerkung 2.5. Diese Volumenform ist nicht ganz unabhängig von der gewählten Basis. Für alle Basen die gleich orientiert sind bekommt man die gleiche Form. Ist eine Basis gegengesetzt orientiert, so findet man zusätzlich ein Minus-Zeichen. Wenn man zum Beispiel e und e 2 vertauscht, passiert dies schon. Wenn {ε,..., ε n } die duale Basis auf V zu B ist, das heißt ε i (e j = δ ij, dann gilt, dv = ( q ε ε 2 ε n. (2.6 Um (2.6 zu zeigen bemerke man, dass es reicht, wenn man (2.6 für Basisvektoren beweist. Weil dim (Λ n (V = gilt, hat eine Basis für Λ n (V genau ein Element und das kann zum Beispiel das n-tupel (e,..., e n sein. Es gilt dv (e,..., e n = det (g (e i, e j ij = ( q = ( q (ε ε 2 ε n (e,..., e n. 2.4 Hodge-Operator Für den n-dimensionalen Vektorraum gilt ( ( n n dim (Λ m (V = = = dim ( Λ n m (V. m n m Definition 2.6 Sei V ein Vektorraum mit einem nicht-ausgearteten Skalarprodukt g und sei B = {e,..., e n } eine Basis mit M B (g, wie in (2.5. Man definiert den Hodge- Operator : Λ m (V Λ n m (V wie folgt. Für ω Λ m (V ist ω Λ n m (V die eindeutige (n m-form derart, dass ω η = ḡ ( ω, η dv für alle η Λ n m (V. Dieser Hodge-Operator ist wohldefiniert und das sieht man wie folgt. Für ω Λ m (V und η Λ n m (V gilt ω η Λ n (V. Außerdem ist für jedes η Λ n m (V die Abbildung (η ω η L ( Λ n m (V ; Λ n (V linear. Weil Λ n (V eindimensional ist, und die Volumenform dv eine Basis für Λ n (V liefert, gibt es c (Λ n m (V, also eine lineare Abbildung von Λ n m (V nach R, mit ω η = c (η dv für alle η Λ n m (V. Weil ḡ ein nicht-ausgeartetes Skalarprodukt auf Λ n m (V ist, gibt es wegen Lemma 2.2 genau eine Form ν Λ n m (V mit c (η = ḡ (ν, η für alle η Λ n m (V. So sieht man, dass ω := ν wohldefiniert ist.

114 8. Februar 2 Woche 2, Differentialformen I Lemma 2.7 Sei V ein Vektorraum mit einem nicht-ausgearteten Skalarprodukt g und sei B = {e,..., e n } eine Basis mit M B (g, wie in (2.5. Sei ω, η Λ m (V. Dann gilt. für eine Permutation ( 2... m m +... n σ = i i 2 i m j... j n m mit i < i 2 < < i m und j < j 2 < < j n m : (2.7 (ε i ε i2 ε im = ( q sgn (σ g j j... g j n mj n m ( εj ε j2 ε jn m ; 2. ω = ( m(n m+q ω; 3. ḡ ( ω, η = ( q ḡ (ω, η. Beweis. ( Wenn {i, i 2,..., i m, j,..., j n m } keine Permutation von {,..., n} ist, dann gibt es zweimal die gleiche Zahl und es folgt ε i ε i2 ε im ε j ε j2 ε jn m =. Wenn {i, i 2,..., i m, j,..., j n m } schon eine Permutation von {,..., n} ist, dann gilt Man kann daraus schließen, dass Weil ε i ε i2 ε im ε j ε j2 ε jn m = = sgn (σ ε ε ε n = ( q sgn (σ dv. (2.8 (ε i ε i2 ε im = c ε j ε j2 ε jn m. ḡ ( ε j ε j2 ε jn m, ε j ε j2 ε jn m = g j j g j 2j 2... g j n mj n m und g j kj k {, +} gilt, folgt für dass c = ( q sgn (σ g j j g j 2j 2... g j n mj n m, ḡ ( (ε i ε i2 ε im, ε j ε j2 ε jn m dv = = cḡ ( ε j ε j2 ε jn m, ε j ε j2 ε jn m dv = = ( q sgn (σ ( g j j g j 2j 2... g j n mj n m 2 dv = ( q sgn (σ dv = = sgn (σ ε ε 2 ε n = = ε i ε i2 ε im ε j ε j2 ε jn m. (2 Für ω = ε I = ε i ε i2 ε im mit I = {i, i 2,..., i 3 }, i < i 2 < < i m n und J das Komplement zu I, mit der Standardanordnung so wie es auch in (2.8 definiert ist, und mit ( 2... n m n m +... n σ = j j 2... j n m i... i m

115 2.5 Differentialformen zurückziehen und ableiten 9 gilt, dass ε I = ( ( q sgn (σ g j j g j 2j 2... g j n mj n m ε J = = ( 2q sgn (σ sgn ( σ g j j g j 2j 2... g j n mj n m g i i g i 2i 2... g imim ε I = = ( (n mm ( q ε I. Man verwendet, dass sgn (σ sgn ( σ = ( (n mm und g j j g j 2j 2... g j n mj n m g i i g i 2i 2... g imim = p ( q. Weil {ε I ; I geordneter m-tupel} eine Basis für Λ m (V bildet, ist der Beweis fast komplett. Man muss sich nur noch überlegen, dass mit zusätzliche Funktionen f I gilt: f I ε I = f I ( ε I. I =m I =m (3 Sei ω, η Λ m (V. Dann gilt mit dem zweiten Ergebnis oben, dass ḡ( ω, ηdv = ω ( η = ( (n mm ( η ω = = ( (n mm ḡ( η, ωdv = ( q ḡ(η, ωdv = ( q ḡ(ω, ηdv. Beispiel 2.8 Für M = R n mit Standardbasen und dem standard skalaren Produkt ist dieser Hodge-Operator nur halb so schlimm. Für ω = dx i dx i2 dx im mit I = {i, i 2,..., i m } und i < i 2 < < i m n findet man ω = ( sign(σ dx j dx j2 dx jn m mit σ wie in (2.7. Dann folgt auch sofort, weil sign (σ = sign (σ, dass ω = ω. ( Differentialformen zurückziehen und ableiten Für die Standardbasis {e,..., e n } in R n definiert man dx i Λ ((R n für v = v e + + v n e n durch dx i (v = v i. Eine Basis für Λ k ((R n ist dann {dx i dx i2 dx ik ; i < i 2 < < i k n}. Das wiederum heißt, dass jede äußere k-form ω die Gestalt ω = ω i i 2...i k dx i dx i2 dx ik (2. i <i 2 < <i k n hat. Wenn ω i i 2...i k C l (U für U R n, nennt man ω eine k-form der Klasse C l und schreibt ω Ω k l (U.

116 . Februar 2 Woche 2, Differentialformen I Definition 2.9 Das Differential von f C k+ (U mit k für offenes U R n definiert man durch df = f dx + + f dx n. x x n Es folgt df Ω k (U und für v = v e + + v n e n gilt df (v = f v. Genauer wäre es, wenn man schreiben würde df (p, v = f(p v. Definition 2.2 Sei U R n offen und f C l+ (U; R m. Man definiert für ω Ω k l (Rm die von f zurückgezogene k-form f (ω Ω k l (Rn durch f (ω ( v,..., v k = ω ( f (p v,..., f (p v k. Bemerkung 2.2. Wenn man die Abhängigkeit von der Stelle nach beibehalten möchte, dann müsste man eigentlich schreiben f (ω [p] ( v,..., v k = ω [f(p] ( f (p v,..., f (p v k, denn die Differentialform ω an der Stelle f (p hängt zusammen mit der Differentialform f (ω an der Stelle p. Deshalb sagt man auch,,zurückziehen. Hier ist f (p die Ableitung von f an der Stelle p, anders gesagt, die lineare Abbildung f (p : R n R m, ist also als eine m n-matrix darstellbar, mit Es folgt, dass f(x f(p f (p (x p lim x p x p =. f (dx i (v = dx i (f (p v = n j= f i (p x j v j = n j= f i (p x j dx j (v. (2. Lemma 2.2 Sei U R n offen und f C l+ (U; R m. Dann gilt:. f (ω + η = f (ω + f (η für ω, η Ω k l (Rm ; 2. f (gω = (g f f (ω für ω Ω k l (Rm und g C (R m ; 3. f (ω η = f (ω f (η für ω Ω k l (Rm und η Ω k 2 l (Rm. Beweis. Diese Aussagen folgen sofort aus der Definition. Aus der letzten Aussage und (2. folgt für den speziellen Fall m = n, dass f (dx dx 2 dx n = f (dx f (dx 2 f (dx n = n f (p n f 2 (p n f n (p = dx j dx j dx j = x j x j x j j= = = σ P ert σ P ert f (p x σ j= f 2 (p x σ2 sgn (σ f (p x σ j=... f n(p x σn dx σ dx σ2 dx σn = f 2 (p x σ2... f n(p x σn dx dx 2 dx n = = det (f (p dx dx 2 dx n.

117 2.5 Differentialformen zurückziehen und ableiten Definition 2.22 Sei ω Ω k l (U mit l wie in (2.: ω = ω i i 2...i k dx i dx i2 dx ik, (2.2 i <i 2 < <i k n Das äußere Differential dω definiert man durch dω = = i <i 2 < <i k n i <i 2 < <i k n j= dω i i 2...i k dx i dx i2 dx ik = n ω i i 2...i k x j dx j dx i dx i2 dx ik. Es folgt dω Ω k+ l (U. Das heißt, d ist ein linearer Operator von Ωk l (U zu Ωk+ l (U. Lemma 2.23 Es gilt:. d (ω + η = dω + dη für ω, η Ω k l (U mit l ; 2. d (ω η = dω η + ( k ω dη für ω Ω k l (U und η Ωk 2 l (U mit l ; 3. ddω = für ω Ω k l (U mit l 2; 4. f (dω = d (f ω für f C (U; R m und ω Ω k l (U mit l Beweis. Das erste Ergebnis zeigt man sofort mit Hilfe der Definition. Nehmen wir Teilmengen I, J {,..., n} und schreiben dx I = dx i dx ik für I = {i,..., i k }, dx J = dx j dx jl für J = {j,..., j l }, dann bemerke man für das zweite Ergebnis, dass d (fdx I gdx J = d (fgdx I dx J = = (gdf + fdg dx I dx J = = df dx I gdx J + ( k fdx I dg dx J = = d (fdx I gdx J + ( k fdx I d (gdx J. Für das dritte Ergebnis bemerke man, dass = d (d (fdx I = n i= n i ( 2 f x i x j i= j= n j= 2 f x i x j dx i dx j dx I = 2 f x j x i dx i dx j dx I =. Das letztere folgt aus der Definition. Nennen wir {y,..., y m } die Koordinaten auf R m und sei ω = g dy j dy jk. Es gilt dω = dg dy j dy jk

118 2. Februar 2 Woche 2, Differentialformen I und weil f (ω [p] ( v,..., v k = ω [f(p] ( f (p v,..., f (p v k = g [f(p] (dy j dy jk ( f (p v,..., f (p v k folgt (v d (f (ω [p],..., v k, v k+ = d ( ( g [f(p] dy j dy jk f (p v,..., f (p v k, f (p v k+ ( n ( g (f = dy i dy j dy jk (p v,..., f (p v k, f (p v k+ y i= i [f(p] ( n ( g (v = (dy i f (p (dy j f (p (dy jk f (p,..., v k, v k+ y i= i [f(p] n n ( ( = g fi dx j (dy j f (p (dy jk f (p ( v,..., v k, v k+ y i= j= i [f(p] x j [p] n ( = (g f dx j (dy j f (p (dy jk f (p ( v,..., v k, v k+ x j= j [p] ( (v = d (g f [p] (dy j f (p (dy jk f (p,..., v k, v k+ = ( dg [f(p] dy j dy jk ( f (p v,..., f (p v k, f (p v k+ = dω [f(p] ( f (p v,..., f (p v k, f (p v k+ = (f (dω [p] ( v,..., v k, v k Wieso? Warum all dieses? Wir möchten das Werkzeug bereitlegen, um auch bei Mannigfaltigkeiten zugehörende Integrale auf passende Weise festzulegen und gegebenfalls auch zu berechnen. Verwendet man Differentialformen, dann sieht die allgemeine Form des Satzes von Stokes harmlos aus: M dω = M ω Hier ist M eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit in R n mit (m -dimensionalem Rand M und ω Ω m l+ (M. In einer Dimension sieht dieser Satz übrigens wie folgt aus: b a dω = ω (b ω (a. 2.7 Gradient, Divergenz und Rotation in R n Bevor wir uns auf Mannigfaltigkeiten begeben, erinnern wir nochmal an einige Differentialoperatoren in R n.

119 2.8 Die klassischen Sätze von Gauß und Stokes 3 Definition 2.24 Der Gradient für f C (R n : grad f = f = f x f x 2. f x n. Die Divergenz für v C (R n ; R n : div v = v = v x + v 2 x v n x n. Die Rotation für v C (R 3 ; R n : rot v = v = det x v e x 2 v 2 e 2 x 3 v 3 e 3 = v 3 x 2 v 2 x 3 v x 3 v 3 x v 2 x v x 2. Auf englisch: rot v = curl v. Der Laplace-Operator für f C 2 (R n : ( 2 ( 2 ( 2 f = div grad f = f = f + f + + f. x x 2 x n 2.8 Die klassischen Sätze von Gauß und Stokes Der allgemeine Satz von Stokes liefert einige Spezialfälle, die wir hier betrachten werden. Man nennt das Dreibein {a, b, c} R 3 positiv orientiert, wenn (a b c >. Lemma 2.25 Wenn ψ : A R 2 R 3 eine Immersion ist, M = ψ(a eindeutig parametrisiert ist, und wenn v ein Vektorfeld auf M ist und dσ das Oberflächendifferential, dann gilt ( ψ v n dσ = (v ψ (x, y x ψ dxdy. y M A { } Das Dreibein n, ψ, ψ soll positiv orientiert sein; n ist ein stetiger Normaleneinheitsvektor auf x y M. Das Oberflächendifferential gehört zu der positiven Volumenform auf M, die wir später noch genau definieren wollen. Satz 2.26 (Gauß in 3 Dimensionen Sei U R 3 offen und beschränkt und sei U C. Sei v C (Ū; R3 und sei n der auswärts gerichtete Normaleneinheitsvektor auf U und dσ das Oberflächendifferential. Dann gilt v dλ = v n dσ. U U

120 4. Februar 2 Woche 2, Differentialformen I Satz 2.27 (Gauß in n Dimensionen Sei U R n offen und beschränkt und sei U C. Sei v C (Ū; Rn und sei n der auswärts gerichtete Normaleneinheitsvektor auf U und dσ das Oberflächendifferential. Dann gilt v dλ = v n dσ. U U Korollar 2.28 Sei U R n offen und beschränkt und sei U C. Sei f, g C 2 (Ū und sei n der auswärts gerichtete Normaleneinheitsvektor auf U und dσ das Oberflächendifferential. Dann gilt ( f (( f g f ( g dλ = n g f g dσ. n N.B. f n = f n. U Bemerkung Dieses Korollar ist auch bekannt als ein Satz von Green 2. U Abbildung 2.: Gauß, die Mühle von Green und Stokes. Satz 2.29 (Stokes 3 klassisch Sei M eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit in R 3. Sei v C (Ū; R3 und sei n ein stetiger Normaleneinheitsvektor auf M und dσ das Oberflächendifferential. Dann gilt ( v (x n dσ = v(x τ ds, M wobei der Tangentialvektor τ sich zu n links herum dreht. N.B. v = rot v. Siehe auch Abbildung 2.2. M Carl Friedrich Gauß, George Green, George Gabriel Stokes, 89 93

121 2.8 Die klassischen Sätze von Gauß und Stokes Abbildung 2.2: Eine Abbildung zu Satz 2.29: M als graues Haarnetz, M und τ in rot und ein n in grün.

122 6. Februar 2 Woche 2, Differentialformen I

123 Analysis 3, Woche 3 Differentialformen II 3. Geschlossene und exakte Differentialformen Definition 3. Eine k-form ω Ω k (U heißt geschlossen, wenn dω =. Eine k-form ω Ω k (U heißt exakt, wenn η Ω k 2 (U existiert mit dη = ω. Weil ddω = gilt, ist jede exakte k-form in Ω k (U auch geschlossen. Satz 3.2 (Das Lemma von Poincaré Sei U R n sternförmig und offen. Für jede geschlossene k-form ω Ω k (U gibt es eine (k + -Form η Ω k+ (U mit dη = ω. Bemerkung 3.2. Ein Gebiet U heißt sternförmig, wenn es a U gibt derart, dass für jedes x U gilt, dass [a, x] U. Abbildung 3.: Ein sternförmiges Gebiet. Beweis. Sei Wir definieren pω = ω = i <i 2 < <i k n i <i 2 < <i k n l= ω i i 2...i k dx i dx i2 dx ik. k ( ( l t k ω i i 2...i k (tx dt x il dx i... dx il dx il+ dx ik. 7

124 8. Februar 2 Woche 3, Differentialformen II Bemerke, dass hier angenommen wird, dass das Intervall [, x] innerhalb U liegt. Das heißt, U ist sternförmig mit als Zentrum. Nur so ist tk ω i i 2...i k (tx dt wohldefiniert. Bei einem anderen Zentrum benutze man eine zusätzliche Verschiebung. Es folgt = i <i 2 < <i k n l= + d (pω = k ( t k ω i i 2...i k (tx dt dx i... n i <i 2 < <i k n j= l= Ähnlich gilt für dass = dω = i <i 2 < <i k n j= = n ( dx il dx il dx il+ dx ik + (3. k ( ( l t k ω i i 2...i k (tx dt x il dx j dx i... x j i <i 2 < <i k n l= n i <i 2 < <i k n j= t k ω i i 2...i k x j k ( l dx il dx il dx ik. (3.2 ω i i 2...i k x j dx j dx i dx i2 dx ik, p (dω = (tx dt x j dx i dx il dx il dx il+ dx ik + n ( j= t k ω i i 2...i k x j Addiert man (3.2 und (3.3, dann findet man i <i 2 < <i k n ( = k (tx dt x il dx j dx i... dx il dx il+ dx ik. (3.3 d (pω + p (dω = n t k ω i i 2...i k (tx dt + t k ω i i 2...i k (tx dt x j dx i dx ik = j= x j ( ( t k ω i i t 2...i k (tx dt dx i dx ik = = ω i i 2...i k (x dx i dx ik = ω. i <i 2 < <i k n i <i 2 < <i k n Wenn ω geschlossen ist, hat man dω =, es folgt p (dω = und auch ω = d (pω. 3.2 Standardvolumen Wir haben schon zu einem Skalarprodukt g auf einer m-dimensionalen Mannigfaltigkeit M in R n die Volumenform dv Λ m (T x M an jeder Stelle x M definiert. Wenn man

125 3.2 Standardvolumen 9 das Standardskalarprodukt nimmt, das heißt für eine Basis {e,..., e m } T x M R n gilt g (e i, e j = e i e j = δ ij, schreibt man dm für diese Volumenform. Hier ist g das Skalarprodukt auf T x M und das Standardskalarprodukt auf R n. Das m-dimensionale Volumen vom Parallelepiped { } P = θ i v i ; θ i i m ist, mit den Koordinaten [v i ] e auf e-basis: Vol m (P = ([ ] det v,..., e [vm ] e = det v e. v m e. v e m v m e m. Weil eine Differentialform multilinear ist, und wir diese Struktur erhalten wollen, werden wir den Betrag nicht einschließen und wir setzen: dm ( v e v m e v,..., v m = det.., v e m v m e m anders gesagt, wenn {ε,..., ε m } dual zu {e,..., e m } ist: dm = ε ε 2 ε m. Man bemerke, dass dm so nur definiert ist an der Stelle x, weil {e,..., e m } eine Basis für T x M bildet. An jeder Stelle x könnte man beliebig eine Basis definieren und beliebige Vorzeichenwechsel bei der Determinante bekommen. Das wäre nicht sehr schön. Wir werden uns bemühen, dass die Abbildung x dm x eine stetige Funktion ist. Wenn ψ : U R m R n mit M = ψ (U eine reguläre Parametrisierung ist, kann man dm zurückziehen auf U und bekommt ψ (dm = (ε ψ (ε 2 ψ (ε m ψ = f dr m = f dx dx 2 dx m, (3.4 wo man sich nur noch überlegen sollte, wie die Funktion f zu definieren wäre. Siehe Abbildung 3.2. Um eine passende m-form in (3.4 zu bekommen, anders gesagt, um die Funktion f zu bestimmen, gehen wir voran wie bei Definition.4. Da findet man, dass f(y = det ([ψ ] e passt, mit [ψ ] e die Vektoren ψ x,... ψ x m in e-koordinaten geschrieben: = ± det f(y = det ([ψ ] e = det ψ x e. ψ x m e ψ x e. ψ x e m ψ x e m. det ψ x m e m ψ x m e. ψ x m e m ψ x e. ψ x e m = ψ x m e. ψ x m e m = Die Notation dm ist so üblich und bedeutet nicht, dass dm die Ableitung einer (m -Form M ist.

126 2. Februar 2 Woche 3, Differentialformen II Abbildung 3.2: In rot eine Basis {e, e 2 } für T p M und in grün der Standardbasis in R 2 ; ψ geht hinauf und ψ zieht der Differentialform ε ε 2 zurück zu f dx dx 2. ( ( m ψ ψ i= x e i x e i = ± det. ( ( m ψ ψ i= x m e i x e i = ± det ψ x ψ x. ψ x m ψ x ( ( m ψ ψ i= x e i x m e i. ( ( = m ψ ψ i= x m e i x m e i ψ ψ x x m. ψ ψ x m x m Diese letzte Formel ist unabhängig von der lokalen Basis {e,..., e m }. Das Vorzeichen hängt ab von der Orientierung der Parametrisierung. Nehmen wir an f >, und setzen für Standardkoordinaten F (x dx dx 2 dx m := F (x dx dx 2... dx m U dann kann man das Integral von g über die Mannigfaltigkeit M durch zurückziehen definieren: g dm = (g ψ ψ (dm = M U ( ( = (g ψ ψ det ψ dx dx 2... dx m. x i x j U U ij.

127 3.3 Grad, Div und Rot auf Mannigfaltigkeiten 2 Lemma 3.3 Sei M eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit in R n und sei dm die Volumenform. Sei N M eine (m -dimensionale Mannigfaltigkeit. Nehme an n (x T x M ist ein Normaleneinheitsvektor zu T x N, das heißt n (x v = für alle v T x N und n (x n (x =. Dann ist dn = (n dm T N eine Volumenform auf N. Bemerkung 3.3. Wenn man eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit M einschränkt, bekommt man meistens einen Rand, der eine m -dimensionale Mannigfaltigkeit ist. Dieses Lemma gibt eine Möglichkeit beide zugehörige Volumenformen zu vergleichen. Bemerkung Auch n (x hat die gleichen Eigenschaften und die zugehörige Volumenform wäre (n dm T M. Wenn man keine Orientierung festlegt, hat man a-priori genau diese zwei Möglichkeiten. Eigentlich gibt es immer zwei Volumenformen, die sich dann aber auch nur unterscheiden durch das Vorzeichen. Bemerkung Wenn N M eine k-dimensionale Mannigfaltigkeit ist mit k < m, dann gibt es m k Vektoren n (x,..., n m k (x, die eine orthogonale Basis für T x N erweitern zu einer Basis für T x M und dn = (n n 2... n m k dm T N. Beweis. Sei {e, e 2,..., e m } eine orthonormale Basis für T x N. Dann kann man diese Basis mit n (x erweitern und findet mit {n (x, e,..., e m } eine orthonormale Basis für T x N. Es gilt für v i T x N mit i =,..., m, dass (n dm ( v,..., v m = dm ( n, v,..., v m = n n v n v m n n e v e v m e = det = n e m v e m v m e m v e v m e = det = v e m v m e m v e v m e = det..... = dn ( v,..., v m. v e m v m e m 3.3 Grad, Div und Rot auf Mannigfaltigkeiten In diesem Paragraph ist M eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit in R n. Definition 3.4 Für ein Vektorfeld v : M T M wird die zum Vektorfeld duale Differentialform ω v vom Grad definiert durch ω v = v dm. (3.5

128 22. Februar 2 Woche 3, Differentialformen II Bemerkung 3.4. Weil der Hodge-Operator bijektiv ist, ist diese Definition eindeutig. Umgekehrt gilt auch, dass es zu jeder -Form ω genau ein Vektorfeld v : M T M gibt derart, dass v dm = ω gilt. Für M = R m mit der Standardbasis {e,..., e m } und mit {dx,..., dx m } als der dazugehörigen Dualbasis, findet man v dm = (v e + + v m e m dx dx m = v dx 2 dx m v 2 dx dx 3 dx m + + ( m v m dx dx m m = ( i v i dx {i} c mit dx {i} c = dx dx i dx i+ dx m i= und weil hier dx {i} c = ( i dx i gilt, folgt ω v = ω v = (v dm = v dx + v 2 dx v m dx m. (3.6 Definition 3.5 Für f C (M; R wird der Gradient grad f : M T M definiert durch ω grad f = df. Die Form df hat Grad. Für den Standardfall M = R m, wie auch oben, folgt df = m i= f x i dx i und mit (3.6 findet man den Gradienten für den Standardfall wie in Definition 2.24, nämlich ( f grad f =, f f,...,. x x 2 x m Definition 3.6 Für v C (M; T M wird die Divergenz div v : M R definiert durch d (v dm = (div v dm. Weil dm eine m-form ist, ist v dm eine (m -Form und d (v dm wieder eine m-form. Weil die äußeren m-formen auf T x M mit m-dimensionalem M an sich ein eindimensionaler Raum bilden, gibt es genau eine Funktion f : M R mit d (v dm = fdm und diese Funktion nennt man div v. Definition 3.7 Sei m = 3 (also M ist eine drei-dimensionale Mannigfaltigkeit und v C (M; T M. Dann wird die Rotation rot v : M T M definiert durch ω rot v = dω v.

129 3.3 Grad, Div und Rot auf Mannigfaltigkeiten 23 Nehme M = R 3 mit der Standardbasis {e, e 2, e 3 } und M mit der Standardbasis {dx, dx 2, dx 3 }. Dann folgt via (3.6 für v = v e + v 2 e 2 + v 3 e 3, dass dω v = d (v dx + v 2 dx 2 + v 3 dx 3 = dv dx + dv 2 dx 2 + dv 3 dx 3 = ( v = dx 2 + v ( v2 dx 3 dx + dx + v ( 2 v3 dx 3 dx 2 + dx + v 3 dx 2 dx 3 x 2 x 3 x x 3 x x ( 2 v3 = v ( 2 v dx 2 dx 3 v ( 3 v2 dx dx 3 + v dx dx 2. x 2 x 3 x 3 x x x 2 Mit Beispiel 2.8 findet man ω rot v = ω rot v = dω v = ( v3 = v ( 2 v dx + v ( 3 v2 dx 2 + v dx 3 x 2 x 3 x 3 x x x 2 und folgt rot v wie in Definition Lemma 3.8 Sei m = 3 (also M ist eine drei-dimensionale Mannigfaltigkeit und f C 2 (M; R und v C 2 (M; T M. Dann gilt. div (rot v = ; 2. rot (grad f = (,,. Beweis. Man verwende das dritte Ergebnis von Lemma 2.23 und findet: div (rot v dm = d (rot v dm = d ( ω rot v = ddω v =. Das zweite Ergebnis folgt aus ω rot(grad f = dω grad f = ddf =. Lemma 3.9 Sei U eine sternförmige offene Menge von R 3 und v C (U; R 3.. Wenn rot v =, dann existiert f C (U; R mit v = grad f; 2. Wenn div v =, dann existiert w C (U; R 3 mit v = rot w. Beweis.. Wenn rot v =, hat man dω v = und ω ν ist geschlossen. Poincaré sagt, dass eine Funktion f existiert mit df = ω v. Es gilt v = grad f. 2. Wegen der Annahme folgt d (v dm = (div v dm =. Dann ist die 2-Form v dm geschlossen und mit Poincaré ist v dm exakt und es gibt eine -Form ω derart, dass dω = v dm. Für eine differenzierbare -Form gibt es w C (R 3 ; R 3 derart, dass ω = ω w. Weil ω rot w = dω w = v dm = ω v gilt, folgt ω rot w = ω v und v = rot w.

130 24. Februar 2 Woche 3, Differentialformen II

131 Analysis 3, Woche 4 Gauß und Stokes 4. Integration von Differentialformen Wir nennen (ψ, U mit U R m und ψ : U M eine reguläre Parametrisierung der m-dimensionalen Mannigfaltigkeit M R n, wenn ψ C (U; R n, ψ(u = M, ψ im Innern von U eindeutig ist und ψ U o eine Immersion ist. Definition 4. Sei B := [a, b ] [a k, b k ] R k ein Block und sei ψ C (B; R n eine reguläre Parametrisierung von M. Für ω Ω k (M gibt es genau ein f C (B mit ψ (ω = f dx dx 2 dx k und man setzt ω = f dλ k. M,ψ B ψ Abbildung 4.: Das Integral von ω Ω k (M auf M (rechts wird definiert durch das Zurückziehen auf B (links. Bemerkung 4.. Dieses Integral hängt ab von der Parametrisierung ψ. Man kann aber zeigen, dass für jede andere zulässige Parametrisierung ψ gilt M,ψ ω = ± ω. (4. M, ψ 25

132 26. Februar 2 Woche 4, Gauß und Stokes Setzen wir φ = ψ ψ inv, dann gilt nämlich, dass und ψ (ω = (φ ψ (ω = φ (ψ (ω = = φ (f dx dx 2 dx k = = f φ φ (dx dx 2 dx k = = f φ det (Dφ dx dx 2 dx k, M, ψ ω = Wegen der Transformationsformel gilt f dλ k = B B B f φ det (Dφ dλ k f φ det (Dφ dλ k, und weil det (Dφ ein festes Vorzeichen hat, folgt (4.. Wenn ψ und ψ eine ähnliche Orientierung haben, das heißt sgn (det (Dφ =, dann hat man ω = ω. M,ψ Wenn M k-dimensional ist, und durch ψ wie in Definition 4. parametrisiert wird, also ψ (B = M, dann ist ψ ( B eine (m -dimensionale Menge. Wir wollen für ω Ω k (M ein orientiertes Randintegral definieren. Definition 4.2 Sei B := [a, b ] [a k, b k ] R k ein Block und sei ψ C (B; R n eine reguläre Parametrisierung von M. Man setzt B (i, = [a, b ] [a i, b i ] {a i } [a i+, b i+ ] [a k, b k ], B (i, = [a, b ] [a i, b i ] {b i } [a i+, b i+ ] [a k, b k ]. Sei ψ (i,j = ψ B(i,j M, ψ und M (i,j = ψ ( B (i,j. Dann definiert man für ω Ω k (M (M,ψ ω = ( k ( i+ ω M (i,,ψ (i, i= M (i,,ψ (i, ω. (4.2 ψ Abbildung 4.2: Das Integral von ω Ω k (M auf M wird mit Vorzeichen definiert. Für mehr allgemeine k-dimensionale Mannigfaltigkeiten M, die sich parametrisieren lassen durch endlich viele {(ψ i, U i ; i N} mit U i R k offen und derart, dass es abgeschlossenen Blöcke B i U i gibt mit

133 4. Integration von Differentialformen 27 x 2 Abbildung 4.3: (4.2 in R 2 : Randintegrale mit positivem Vorzeichen in rot; mit negativem in blau. x 3 x 3 Out[6]= x x 2 Abbildung 4.4: (4.2 in R 3 : Randintegrale mit positivem Vorzeichen in rot; mit negativem in blau. ( ψ i (Bi ψ j B j disjunkt; ψ i (B i = M, und i N und wenn ψ i (U i ψ j (U j, dann soll für φ j i = ψ i ψ inv j gelten, dass sgn ( det ( Dφ j i =, dann definiert man für ω Ω k (M mit M i = ψ i (B i M,{ψ i } ω = N Diese letzte Bedingung erfordert, dass M orientierbar ist: i= M i,ψ i ω. (4.3 Definition 4.3 Eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit M heißt orientierbar, wenn sie eine stetige Differentialform vom Grad m besitzt, die nirgends verschwindet. Ein Integral wie in (4.3 über das Möbiusband ist nicht wohldefiniert. Für ω Ω k (M definiert man (M,{ψ i } ω = N i= (M i,ψ i ω. (4.4 Man soll bemerken, dass bei anliegenden M i und M j das Integral über den gemeinsamen Rand wegfällt, da dieses Randteil mit entgegengesetzten Vorzeichen aufgeführt wird. Man könnte denken, dass man mit Blöcke nur eckigen Teilen von Mannigfaltigkeiten erreichen kann. An Hand von Abbildung 4.6 sieht man, dass dies nicht so ist.

134 28. Februar 2 Woche 4, Gauß und Stokes Abbildung 4.5: Gemeinsame Ränder von M i und M j liefern keinen Beitrag im Randintegral, weil sie entgegengesetzte Vorzeichen haben. Abbildung 4.6: Eine halbe Sphäre kann man mit 5 Rechtecken eindeutig Parametrisieren. 4.2 Beweis des Stokeschen Satzes Satz 4.4 (Stokes (fast allgemein Sei ω Ω k (M und sei {(ψ i, B i ; i N} eine eindeutige Parametrisierung für die k-dimensionale orientierbare Mannigfaltigkeit M = ψ i (B i. Dann gilt i N M,{ψ i } dω = (M,{ψ i } Bemerkung 4.4. Eigentlich sollte man (M,{ψ i } ω T M statt (M,{ψ i } ω schreiben. Beweis. Es reicht, wenn wir diesen Satz beweisen für eine Mannigfaltigkeit M, die sich durch eine (ψ, B parametrisieren läßt. Für die Form ω gibt es f,..., f k C (B; R derart, dass k ψ (ω = f i dx dx i dx i+ dx k. Man erhält sofort: i= ψ (dω = d (ψ (ω = ( k i= ( i+ f i x i ω. dx dx k.