Prof. Dr. Holger Dette Musterlösung Statistik I Sommersemester 2009 Dr. Melanie Birke Blatt 5

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1 Prof. Dr. Holger Dette Musterlösug Statistik I Sommersemester 009 Dr. Melaie Birke Blatt 5 Aufgabe : 4 Pukte Sei X eie Poissoλ verteilte Zufallsvariable mit λ > 0, ud die Verlustfuktio L sei defiiert durch L λ,λ λ λ +λ. a Ma betrachte de lieare Schätzer ˆλx a + bx für a,b 0 ud bestimme desse Risiko R a,b λ zur Verlustfuktio L. b Ma zeige folgede Äquivalez: lim R a,bλ 0 b. λ c Ma zeiche die Risikofuktio zu folgede Schätzer: ˆλ x x; ˆλ x x ; ˆλ3 x x; ˆλ4 x 0; ˆλ5 x. Lösug: a Es sei ˆλx a + bx, a,b 0. Da gilt Lˆλx,λ a + bx λ + λ b x + ba λx + a λ + λ ud für das Risiko erhalte wir R a,b λ [ b X + ba λx + a λ E λ [LˆλX,λ E λ b Es ist ud Liearität E λ [Xλ E λ [X λ λ + λ + λ b E λ [X + ba λe λ [X + a λ + λ b λ λ + ba λλ + a λ R a,b λ b b + + b λ + ab λ + a λ a λ + λ lim R a,bλ b. λ Damit sieht ma leicht, dass der Grezwert 0 ist geau da, we b gilt. c Die Risikofuktioe zu de 5 Schätzer sid 3.5 R λ R 4 λ λ + λ, R 0.5 λ + 0.5, R λ4 + λ 3λ + λ λ + λ, R λ 5λ + λ..5 R 3 blau R 4 gelb R 5 hellblau R grü R rot

2 Aufgabe : 4 Pukte Seie X,...,X,Y,...,Y m uabhägige Zufallsvariable mit X i Nµ,σ i ud Y i Nµ,σ i m für ubekate Parameter µ,µ,σ. a Ma bestimme de Maximum Likelihood Schätzer für θ µ,µ,σ. b Ma zeige, dass für jedes α [0, S α : αs X + αs Y, wobei SX ud X durch SX : X i X ud X X i SY, Ȳ etspreched für m defiiert sid, ei erwartugstreuer Schätzer für σ ist. c Ma bereche das Riskio vo S α für α [0,. d Ma zeige, dass der Schätzer S : Sα mit α : m+ i {Sα : α [0, hat. das kleiste Riskio vo alle Schätzer Lösug: a Die gemeisame Dichte ist { +m fx,...,x,y,...,y exp m πσ σ x i µ + y i µ ud die Loglikelihood-Fuktio somit { log fx,...,x,y,...,y + m logσ + logπ m σ x i µ + y i µ. Die partielle erste Ableituge ergebe µ log fx,...,x,y,...,y σ µ log fx,...,x,y,...,y σ x i + µ m y i + mµ σ log fx,...,x,y,...,y + m σ + σ Als Nullstelle erhält ma daraus die Maximum-Likelihood-Schätzer ˆµ X, ˆµ { Ȳm, ˆσ X i + m X m + Y i Ȳm mit de Bezeichuge aus Teil b. b Der Erwartugswert vo S α ist E[S α αe[s X + αe[s Y. { m x i µ + y i µ. + m S X + m + m S Y Wir zeige u och, dass SX ud S Y erwartugstreu für σ sid. Vo Blatt, Aufgabe 3 wisse wir, dass σ S X χ ud m σ S Y χ m gilt. Der Erwartugswert eier χ -verteilte Zufallsvariable mit k Freiheitsgrade ist k, dere Variaz brauche wir später k. E[S X E[S Y σ [ E σ SX σ [ m m E σ S Y σ σ σ m σ m

3 c das Risiko vo S α ist R α σ E[Sα σ VSα {Xi,{Yiuabh. α VSX + α VSY α σ 4 V σ SX + α σ 4 m m V σ α σ 4 α + m d Ma erhält leicht ud erhält daraus die Miimalstelle α α R ασ αm + m m+. S Y Aufgabe 3: 4 Pukte Seie X,...,X uabhägig, idetisch verteilt mit X i Poissoλ i mit ubekatem Parameter λ > 0. a Zeige Sie, dass X X ei erwartugstreuer Schätzer für λ ist. b Verbesser Sie de obige Schätzer durch Awedug der Rao Blackwell Prozedur mit der Statistik S X i. Zur Kotrolle: Ma erhält de Schätzer SS. Hiweis: Bestimme Sie die bedigte Verteilug vo X,...,X bzgl. S. Lösug: a Es ist E λ [X X E λ [X E λ [X λ λ λ. Somit ist X X erwartugstreu für λ. b Wir sehe schell mit der Neyma-Charakterisierug f λ x,...,x e λ λ Σ xi I IN x i, x i! dass S X i suffiziet für λ ist. Die bedigte Verteilug vo X,...,X gegebe S k ist P X x,...,x x S k PX x,...,x x,s k PS k x 3,...,x Σ i3 x i k x x e λ λ k x!... x!k Σ x i! x!... x!k Σ x i! PX x,...,x k Σ x i PS k e λ λ k k. Damit ist P X,...,X Sk M k,,..., -verteilt. Die gemeisame Verteilug vo X,X T gegebe S k ist damit k P X x,x x S k x!... x!k Σ x i! x!x!k x x! x!x!k x x! x+x k x x x+x k x x. x 3,...,x Σ i3 x i k x x k x x! k x x x 3!... x!x! {{ da Dichte dermk x x,,..., -Verteilug

4 Der bedigte Erwartugswert ergibt damit E λ [X X S k x,x IN 0 x +x k x,x IN x +x k kk Mit Rao-Blackwell ist also kk x x x!x!k x x! x!x!k x x! x,x IN 0 x +x k x+x k x x x x k! x!x!k x x! x+x k x x x+x k x x {{ da Dichte dermk,,, -Verteilug T X E[X X S SS ei erwartugstreuer Schätzer mit gleichmäßig kleierem Risiko als X X. Aufgabe 4: 4 Pukte Seie X,...,X uabhägig, idetisch verteilt mit X i U0,θ i ud ubekatem Parameter θ > 0.. Ma betrachte de Maximum Likelihoodschätzer MX...,X max i X i ud zeige, dass ei UMVU-Schätzer für θ ist. T X,...,X + max i X i. Ma fide eie Schätzer T mit Rθ,T < mi{rθ,m,rθ,t ud kommetiere kurz, welche weitere Eigeschafte T besitzt ud weshalb sei kleieres Risiko icht im Widerspruch zu der UMVU-Eigeschaft vo T steht. Hiweis: Ma verwede de Asatz T αm, ud wähle α geschickt. Lösug:. Wir wede de Satz vo Lehma-Scheffé a. Dafür beötige wir eie erwartugstreue Schätzer für θ ud eie suffiziete ud vollstädige Statistik für θ. Beispiel.4 zeigt, dass X i erwartugstreu ist für θ. Nach Beispiel.3 ist [ T MX X,...,X E X i...,x ud MX...,X ist suffiziet für θ. Wir zeige u, dass MX...,X auch vollstädig ist, da folgt mit Lehma-Scheffé, dass T X,...,X UMVU-Schätzer ist. Es sei E θ [gmx...,x E θ [g max i X i θ θ 0 gtt dt 0 für alle θ IR +. Mit Lebesgue-Itegratio folgt da, dass gt 0 fast überall ist. Das bedeutet Pgmax i X i 0 ud damit ist MX...,X vollstädig.

5 . Das Risiko vo M bzw. T ist ach Beispiel.4 θ MSE θ M + + MSE θ T e-treu + V θ T θ VM +. Für sid beide Risike gleich θ θ 3, für ist das Miimum +. Um u eie Schätzer mit θ kleierem Risiko als + zu fide, bereche wir zuerst für am, a > 0 das Risiko i Abhägigkeit vo a ud vergleiche mit dem Risiko vo T MSE θ am V θ am + bias θ am a θ a + θ θ Die Ugleichug ist erfüllt für a a + a θ < θ. +, , also isbesodere für a Wir erhalte i diesem Fall MSE θa 0 M +. Das steht icht im Widerspruch zu der UMVU-Eigeschaft vo T, de es gilt E θ [a 0 M + + θ. Damit ist a 0 M icht erwartugstreu, liegt also icht i der Klasse vo Schätzer, i dee der UMVU-Schätzer kleistes Risiko hat.