Klausur zum Fach GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK. für Studierende der INFORMATIK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Klausur zum Fach GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK. für Studierende der INFORMATIK"

Transkript

1 Institut für Stochastik Prof. Dr. Daniel Hug Name: Vorname: Matr.-Nr.: Klausur zum Fach GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK Datum: 08. Februar 0 Dauer: 90 Minuten Achtung: Bei dieser Klausur werden nur diejenigen Ergebnisse gewertet, die in die vorgesehenen Kästchen auf dem extra ausgegebenen Lösungsblatt eingetragen sind! Die Herleitung wird nicht bewertet, es sei denn, dies wird auf dem Lösungsblatt explizit gefordert! Die Aufgabenblätter werden nicht abgegeben und korrigiert! Diese Klausur hat bestanden, wer mindestens 8 Punkte von 50 möglichen Punkten erreicht.

2 Aufgabe (0 Punkte) Gegeben sei eine Urliste mit den Paaren (x, y ),..., (x 8, y 8 ) j x j y j a) Berechnen Sie die Stichprobenmittel x, ȳ, die Stichproben-Standardabweichungen s x, s y und den empirischen Korrelationskoeffizienten r xy. Hinweis: 8 x j =.5, 8 x j = 6.37, 8 y j = 9.8, 8 yj = 4.68, 8 x j y j = b) Bestimmen Sie die zugehörige Regressionsgerade y = a + b x von y auf x. c) Berechnen Sie das 0.-getrimmte Stichprobenmittel ȳ 0. von (y,..., y 8 ). d) Bestimmen Sie das Stichproben-0.3-Quantil ỹ 0.3 von (y,..., y 8 ). Lösung: a) Direkt aus den Daten ergeben sich aufgrund der Abschnitte.4 und.5 im Skript mit Hilfe der Beziehung n n (x j x) (y j ȳ) = x j y j n x ȳ die Ergebnisse ( ( n )) x =.6875 s x = x i n x n ȳ = 3.75 s y = r xy = b) Nach Abschnitt.5 des Skripts ist b = r xy sy s x und a = ȳ b x, also b = a =.7 und die Regressionsgerade y = x. i= = 0.76 c) Für die Lösung der nächsten drei Aufgabenteile benötigen wir die aufsteigend sortierten y-werte. Es ist y () = (.6,.9, 3.4, 3.7, 3.9, 4., 4.5, 4.6). Mit k = [8 0.] = [.6] = ergibt sich ȳ 0. = 8 (y () y (7) ) = 3.77.

3 d) Da =.4 nicht ganzzahlig ist, ist mit k = [.4] = ỹ 0.3 = y (k+) = y (3) = 3.4. e) Da = und = 6 beide ganzzahlig sind, ergibt sich mit k = und k = 6 ỹ 0.5 = y (k ) + y (k +) ỹ 0.75 = y (k ) + y (k +) = y () + y (3) = y (6) + y (7) = 3.5 = 4.35 und damit der Quartilsabstand zu ỹ 0.75 ỹ 0.5 =.. 3

4 Aufgabe (0 Punkte) Es seien X eine Zufallsvariable mit Werten in {,, } und P(X = ) = 3, P(X = ) = P(X = ) = 6 sowie Y eine Zufallsvariable mit Werten in {0, } und den bedingten Wahrscheinlichkeiten P(Y = 0 X = ) =, P(Y = 0 X = ) = 4, P(Y = X = ) = 3 4. a) Hinweis: beachten Sie, dass P(Y = 0 X = ) + P(Y = X = ) = gilt. Berechnen Sie P(Y = X = ), P(Y = X = ) und P(Y = 0 X = ). b) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y sowie die Verteilung von Y, d.h. P(X = x, Y = y) und P(Y = y) für alle x {,, } und y {0, }. c) Bestimmen Sie die Erwartungswerte E(X), E(Y ), E(X + Y ). d) Berechnen Sie E(X Y ) und die Varianz V (X) von X. e) Sind X und Y stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort. Lösung: a) Nach Skript/Vorlesung ist P( X = ) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, also gilt P(Y = 0 X = ) + P(Y = X = ) = P(Y {0, } X = ) =. (Nachweis war nicht gefordert!) Wir erhalten hiermit P(Y = X = ) = P(Y = 0 X = ) = =, P(Y = X = ) = P(Y = 0 X = ) = 4 = 3 4, P(Y = 0 X = ) = P(Y = X = ) = 3 4 = 4. b) Wir erhalten P(Y = 0, X = ) = P(Y = 0 X = )P(X = ) = P(X = ) = 6 = und mit analoger Rechnung P(Y = 0, X = ) = 4 3 = 6, P(Y = 0, X = ) = 4 6 = 4, P(Y =, X = ) = 6 =, P(Y =, X = ) = =, P(Y =, X = ) = = 8. 4

5 Hieraus folgt weiter P(Y = 0) = = 7 4, P(Y = ) = = 7 4. c) Es gilt d) Zunächst ist Ferner gilt und daher E(X) = 3 + ( ) = 5 6, E(Y ) = 7 4 = 7 4, E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = E(X Y ) = ( ) = 3. E(X ) = = 3 V (X) = E(X ) (E(X)) = 3 (5/6) = e) Die Zufallsvariablen X und Y sind nicht stochastisch unabhängig, da E(X Y ) = = E(X) E(Y ). 5

6 Aufgabe 3 (0 Punkte) An einer -Adresse kommen erwünschte s und Spam-Mails an. Jede ankommende sei unabhängig von den vorangehenden mit der Wahrscheinlichkeit p (0, ) erwünscht. Sei S n die zufällige Anzahl von nicht erwünschten Spam-Mails bei n eingegangenen s. a) Welche Verteilung hat die Zufallsvariable S n? Berechnen Sie P(S n ) für p = 0.7 und n = 0. b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(S n ) und die Varianz V (S n ) für p = 0.7 und n = 0. c) Schätzen Sie für p = 0.7 = q, n = 500 und ε = 0.05 die Wahrscheinlichkeit ( ) P n S n q ε nach oben mit Hilfe der Tschebyschev-Ungleichung ab. d) Sei nun p (0, ) wieder beliebig. Ferner bezeichne T k die zufällige Anzahl an Spam-Mails bis zur k-ten erwünschten , k =,. Welche Verteilungen haben die Zufallsvariablen T beziehungsweise T? Geben Sie E(T ) und E(T ) an. e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(T ) für allgemeines p sowie für p = 0.7. Lösung: a) Wegen der vorausgesetzten Unabhängigkeit und der festen Wahrscheinlichkeit q = p einer nicht erwünschten Spam-Mail ( Treffer ) ist S n binomialverteilt mit S n Bin(n, q), also ( ) n P(S n = k) = q k p n k, k = 0,..., n. k Ferner ist P(S n ) = P(S n = 0) P(S n = ) = q 0 p 0 = ( ) 0 q p 9 b) Es gilt E(S n ) = n q = = 3 und V (S n ) = n q p = =.. c) Die Tschebyschev-Ungleichung (Skript!) ergibt ( ) P n S n q ε q p = n ε = d) Es gilt P(T = j) = P(zunächst j Spam-Mails, dann eine erwünschte ) = q j p, 6

7 also folgt T einer Nb(, p)-verteilung (negative Binomialverteilung), welche auch als geometrische Verteilung G(p) bezeichnet wird. Ferner ist P(T = j) = P(die ersten j + s enthalten genau j Spam-Mails und eine erwünschte , dann folgt die zweite erwünschte ) ( ) j + = q j p p = (j + )p q j, also folgt T einer Nb(, p)-verteilung (negative Binomialverteilung). Nach Skript gilt daher E(T ) = p p und E(T ) = p p. e) Es gilt P(T ) = P(T = 0) P(T = ) = p qp = q qp = q( p) = q = 0.3 =

8 Aufgabe 4 (0 Punkte) Die Zufallsvariable X besitze die Verteilung N (, ). Weiter sei Y := X. a) Berechnen Sie den Erwartungswert E(Y ) und die Varianz V (Y ). b) Welche Verteilung hat Y? c) Drücken Sie die Wahrscheinlichkeit P( Y 3) mit Hilfe der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung N (0, ) aus. d) Bestimmen Sie die Kovarianz C(X, Y ) und den Korrelationskoeffizienten ρ(x, Y ). e) Sei U eine auf [0, ] gleichverteilte Zufallsvariable, das heißt U U(0, ). Welche Verteilung hat die Zufallsvariable Φ (U) +? Begründen Sie Ihre Antwort. Lösung: Wir verwenden die aus der Vorlesung bekannten Eigenschaften der Normalverteilung aus Abschnitt 9.. a) E(Y ) = E( X) = E(X) = = 4 = 3 und V (Y ) = V ( X) = V ( X) = 4V (X) = 4 = 4. b) Aus Satz 9.7 des Skriptums folgt Y N ( 3, 4). Bemerkung: Man kann a) und b) auch zugleich mit Satz 9.7 beantworten, wenn man die Information über die Maßzahlen (Erwartungswert und Varianz) der Normalverteilung aus dem Skriptum verwendet. c) Für eine Zufallsvariable N N (0, ) gilt 3 + N N ( 3, 4) und daher folgt zusammen mit b) P( Y 3) = P( 3 + N 3) = P( N 3) = Φ(3) Φ() [= = 0.574]. d) C(X, Y ) = C(X, X) = C(X, X) = C(X, X) = V (X) =, ρ(x, Y ) = C(X, Y )/ V (X)V (Y ) = ( )/ 4 =. e) Nach Skript (Kapitel 5) gilt zunächst Φ (U) N (0, ). Wiederum nach Skript (Satz 9.7) folgt daher Φ (U) + N (, 4). 8

9 Aufgabe 5 (0 Punkte) Es soll der unbekannte Parameter ϑ > 0 für die Verteilung mit der Dichte 4t ( 3 f ϑ (t) = ϑ exp ϑ ) t4, t > 0, 0, sonst bestimmt werden. a) Geben Sie die zur Stichprobe x = (x,..., x n ) gehörende Likelihood-Funktion L x (ϑ) und die Loglikelihood-Funktion M x (ϑ) an. b) Berechnen Sie die Ableitung M x(ϑ). c) Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer ˆϑ(x) für ϑ zur Stichprobe x. d) Bestimmen Sie zunächst die Verteilungsfunktion von X, wenn X die Dichte f ϑ hat. Zeigen Sie dann, dass X 4 einer Exp( )-Verteilung folgt. ϑ e) Ist ˆϑ ein erwartungstreuer Schätzer für ϑ? Lösung: Für die Lösung kann man annehmen, dass x j > 0 für j =,..., n. Andernfalls wäre L x (ϑ) = 0 und M x (ϑ) = für alle ϑ > 0. a) Die zur Stichprobe x = (x,..., x n ) gehörende Likelihood-Funktion L x (ϑ) lautet n n ( ( )) ( ) L x (ϑ) = f ϑ (x j ) = ϑ (4x3 j) exp x4 j = ϑ ϑ exp n n x 4 n j (4x 3 ϑ j). Die Loglikelihood-Funktion M x (ϑ) lautet entsprechend M x (ϑ) = log L x (ϑ) = n log ϑ ϑ n n x 4 j + log(4x 3 j). b) Differenzieren von M x (ϑ) nach ϑ liefert M x(ϑ) = n ϑ + ϑ ( n x 4 j = n ϑ ϑ n n x 4 j ). c) Die Bedingung M x(ϑ) = 0 führt auf ϑ = n n x4 j. Dann ist ˆϑ(x) = n n x4 j ein Maximum-Likelihood-Schätzer für ϑ, da M x( ) in der einzigen Nullstelle ˆϑ(x) einen Vorzeichenwechsel von + nach hat. 9

10 d) Für z 0 ist und folglich F X (z) = z 0 4 ϑ t3 e t4 /ϑ dt = [ e t4 /ϑ ] z z4 /ϑ4 0 = e F X 4 (z) = P(X 4 z) = P(X z /4 ) = e z/ϑ. Beide Verteilungsfunktionen sind offensichtlich Null für z < 0. Insbesondere gilt daher, dass X 4 Exp(/ϑ). e) Der Schätzer ist erwartungstreu, da aufgrund des vorangehenden Aufgabenteils gilt: E ϑ ( ˆϑ(x)) = n n E(Xj 4 ) = E(X) 4 = (/ϑ) = ϑ. 0

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK vom 17. Juli 01 (Dauer: 90 Minuten) Übersicht über

Mehr

Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK)

Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK) Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK) für Studierende des Maschinenbaus vom 7. Juli (Dauer: 8 Minuten) Übersicht über die

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2007 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. oec. W. Lao Klausur (Maschineningenieure) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom 2.9.2007 Musterlösungen

Mehr

Scheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik

Scheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik Universität Karlsruhe (TH) Institut für Stochastik Dr. Bernhard Klar Dipl.-Math. oec. Volker Baumstark Name Vorname Matr.-Nr.: Scheinklausur Stochastik für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2

Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2 Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaften, Teil Zusatzblatt SS 09 Dr. J. Schürmann keine Abgabe Aufgabe : Eine Familie habe fünf Kinder. Wir nehmen an, dass die

Mehr

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für Studierende der Informatik

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für Studierende der Informatik INSTITUT FÜR STOCHASTIK WS 07/08 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 4 Dr. B. Klar Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für Studierende der Informatik Musterlösungen Aufgabe

Mehr

Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen

Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen David Geier und Sven Middelberg RWTH Aachen, Sommersemester 27 Inhaltsverzeichnis Information 2 Aufgabe 4 Aufgabe 2 6 4 Aufgabe

Mehr

7.5 Erwartungswert, Varianz

7.5 Erwartungswert, Varianz 7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k

Mehr

Nachhol-Klausur - Schätzen und Testen - Wintersemester 2013/14

Nachhol-Klausur - Schätzen und Testen - Wintersemester 2013/14 Prof. Dr. Rainer Schwabe 08.07.2014 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Institut für Mathematische Stochastik Nachhol-Klausur - Schätzen und Testen - Wintersemester 2013/14 Name:, Vorname: Matr.-Nr.

Mehr

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am von 10:00 bis 11:00 Uhr

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am von 10:00 bis 11:00 Uhr Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am 5..201 von 10:00 bis 11:00 Uhr Bearbeiten Sie zwei der drei folgenden Aufgaben! Sätze aus der Vorlesung und den Übungen dürfen Sie ohne

Mehr

Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1

Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester 2013 Aufgabe 1 In einer Urne

Mehr

Klausur Stochastik und Statistik 18. September 2012

Klausur Stochastik und Statistik 18. September 2012 Klausur Stochastik und Statistik 18. September 2012 Prof. Dr. Matthias Schmid Institut für Statistik, LMU München Wichtig: ˆ Überprüfen Sie, ob Ihr Klausurexemplar vollständig ist. Die Klausur besteht

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11.

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11. Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11 Namensschild Dr. Martin Becker Hinweise für die Klausurteilnehmer

Mehr

(8 + 2 Punkte) = = 0.75

(8 + 2 Punkte) = = 0.75 Aufgabe 1 (8 + 2 Punkte) Von 20 Teilnehmern einer Bergwanderung geben 8 Personen an Knieschmerzen zu haben. 6 Teilnehmer leiden an Sonnenbrand. 8 Teilnehmer blieben unversehrt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

Mehr

Beweis: Mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt, dass

Beweis: Mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt, dass Beweis: Mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt, dass f Z (z) = Pr[Z = z] = x W X Pr[X + Y = z X = x] Pr[X = x] = x W X Pr[Y = z x] Pr[X = x] = x W X f X (x) f Y (z x). Den Ausdruck

Mehr

Varianz und Kovarianz

Varianz und Kovarianz KAPITEL 9 Varianz und Kovarianz 9.1. Varianz Definition 9.1.1. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω eine Zufallsvariable. Wir benutzen die Notation (1) X L 1, falls E[ X ]

Mehr

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere

Mehr

Übung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt 6

Übung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt 6 Übung zur Vorlesung Statistik I WS 2012-2013 Übungsblatt 6 26. November 2012 Aufgabe 17 (4 Punkte): Sei X B(n, p) eine binomial verteilte Zufallsvariable, die ein Zufallseperiment mit n unabhängigen Wiederholungen

Mehr

Kapitel 1: Elemente der Statistik

Kapitel 1: Elemente der Statistik 1 Kapitel 1: Elemente der Statistik 1.1 Beispiel Ein Elektromarkt erhält eine Lieferung von N = 10000 Glühbirnen. Darunter ist eine unbekannte Anzahl h defekt, wobei h 0 1 = {0, 1,..., N}. Um Kenntnisse

Mehr

Schätzer und Konfidenzintervalle

Schätzer und Konfidenzintervalle Kapitel 2 Schätzer und Konfidenzintervalle Bisher haben wir eine mathematische Theorie entwickelt, die es uns erlaubt, gewisse zufällige Phänomene zu modellieren. Zum Beispiel modellieren wir die Anzahl

Mehr

Asymptotische Stochastik (SS 2010)

Asymptotische Stochastik (SS 2010) Institut für Stochastik PD. Dr. Dieter Kadelka Daniel Gentner Asymptotische Stochastik (SS 2010) Lösungen zu Übungsblatt 4 Aufgabe 1 (lokaler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace und eine Verallgemeinerung)

Mehr

Institut für Stochastik, SoSe K L A U S U R , 13:

Institut für Stochastik, SoSe K L A U S U R , 13: Institut für Stochastik, SoSe 2014 Mathematische Statistik Paravicini/Heusel 1. K L A U S U R 12.7.2014, 13:00-16.00 Name: Geburtsdatum: Vorname: Matrikelnummer: Übungsgruppe bei: Studiengang & angestrebter

Mehr

Klausur Stochastik und Statistik 31. Juli 2012

Klausur Stochastik und Statistik 31. Juli 2012 Klausur Stochastik und Statistik 31. Juli 2012 Prof. Dr. Matthias Schmid Institut für Statistik, LMU München Wichtig: ˆ Überprüfen Sie, ob Ihr Klausurexemplar vollständig ist. Die Klausur besteht aus fünf

Mehr

5. Spezielle stetige Verteilungen

5. Spezielle stetige Verteilungen 5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für

Mehr

Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen

Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska

Mehr

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6 1 Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6 Aufgaben zu Kapitel 5 Zu Abschnitt 5.1 Ü5.1.1 Finden Sie eine maximum-likelihood-schätzung

Mehr

1 Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren

1 Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren. Definition Ist X X,...,X p ein p-dimensionaler Zufallsvektor mit E X j < für alle j, so heißt

Mehr

Unabhängige Zufallsvariablen

Unabhängige Zufallsvariablen Kapitel 9 Unabhängige Zufallsvariablen Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen wird auf die Unabhängigkeit von Ereignissen zurückgeführt. Im Folgenden sei Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definition

Mehr

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Aufgabenstellung und Ergebnisse Dr. Martin Becker Hinweise für die

Mehr

Klausur zur Mathematik für Biologen

Klausur zur Mathematik für Biologen Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität DÜSSELDORF WS 2002/2003 12.02.2003 (1) Prof. Dr. A. Janssen / Dr. H. Weisshaupt Klausur zur Mathematik für Biologen Bitte füllen Sie das Deckblatt

Mehr

Statistik III. Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie

Statistik III. Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie Statistik III Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie Inhaltsverzeichnis 1 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 1 1.1 Diskrete Zufallsvariablen........................... 1 1.2 Stetige Zufallsvariablen............................

Mehr

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung. 3 Statistische Inferenz. 4 Intervallschätzung

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung. 3 Statistische Inferenz. 4 Intervallschätzung 0 Einführung 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Intervallschätzung Motivation und Hinführung Der wahre Anteil der rot-grün Wähler 009 war genau

Mehr

Einführung in die Maximum Likelihood Methodik

Einführung in die Maximum Likelihood Methodik in die Maximum Likelihood Methodik Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Alfred Weber Institut Ruprecht Karls Universität Heidelberg Gliederung 1 2 3 4 2 / 31 Maximum Likelihood

Mehr

Die Momentenmethode. Vorteil: Oft einfach anwendbar. Nachteil: Güte kann nur schwer allgemein beurteilt werden; liefert zum Teil unbrauchbare

Die Momentenmethode. Vorteil: Oft einfach anwendbar. Nachteil: Güte kann nur schwer allgemein beurteilt werden; liefert zum Teil unbrauchbare 17.1.3 Die Momentenmethode Vorteil: Oft einfach anwendbar. Nachteil: Güte kann nur schwer allgemein beurteilt werden; liefert zum Teil unbrauchbare Lösungen. Sei ϑ = (ϑ 1,...,ϑ s ) der unbekannte, s-dimensionale

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 15.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Die Längenabweichungen X produzierter Werkstücke von der Norm seien gleichmäßig verteilt zwischen a = mm und b = 4mm. Die Dichtefunktion lautet also f(x) = für a

Mehr

Statistik II. Statistische Tests. Statistik II

Statistik II. Statistische Tests. Statistik II Statistik II Statistische Tests Statistik II - 12.5.2006 1 Test auf Anteilswert: Binomialtest Sei eine Stichprobe unabhängig, identisch verteilter ZV (i.i.d.). Teile diese Stichprobe in zwei Teilmengen

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 8. Dezember 2010 Teil V Schließende Statistik 1 Parameterschätzung Erwartungstreue und Konsistenz Maximum-Likelihood

Mehr

Doz. Dr. H.P. Scheffler Sommer 2000 Klausur zur Vorlesung Stochastik I

Doz. Dr. H.P. Scheffler Sommer 2000 Klausur zur Vorlesung Stochastik I Doz. Dr. H.P. Scheffler Sommer 2000 Klausur zur Vorlesung Stochastik I Wählen Sie aus den folgenden sechs Aufgaben fünf Aufgaben aus. Die maximal erreichbare Punktezahl finden Sie neben jeder Aufgabe.

Mehr

Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik

Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Statistik Dr. Thomas Zehrt Ausblick Motivation Wir werfen einen Würfel 000-mal und wir möchten die Wahrscheinlichkeit P bestimmen, dass zwischen

Mehr

11.4 Korrelation. Def. 44 Es seien X 1 und X 2 zwei zufällige Variablen, für die gilt: 0 < σ X1,σ X2 < +. Dann heißt der Quotient

11.4 Korrelation. Def. 44 Es seien X 1 und X 2 zwei zufällige Variablen, für die gilt: 0 < σ X1,σ X2 < +. Dann heißt der Quotient 11.4 Korrelation Def. 44 Es seien X 1 und X 2 zwei zufällige Variablen, für die gilt: 0 < σ X1,σ X2 < +. Dann heißt der Quotient (X 1,X 2 ) = cov (X 1,X 2 ) σ X1 σ X2 Korrelationskoeffizient der Zufallsgrößen

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite. 1.0 Erste Begriffsbildungen Merkmale und Skalen 5

Inhaltsverzeichnis. Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite. 1.0 Erste Begriffsbildungen Merkmale und Skalen 5 Inhaltsverzeichnis Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite 1.0 Erste Begriffsbildungen 1 1.1 Merkmale und Skalen 5 1.2 Von der Urliste zu Häufigkeitsverteilungen 9 1.2.0 Erste Ordnung

Mehr

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,... 2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel

Mehr

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.1 Wahrscheinlichkeitsräume, Ereignisse und Unabhängigkeit Definition: Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (Ω, Pr), wobei Ω eine endliche oder

Mehr

Stochastik I - Formelsammlung

Stochastik I - Formelsammlung Stochastik I - Formelsammlung Ereignis Ergebnisraum: Ω von Julian Merkert, Wintersemester 2005/06, Prof. Bäuerle Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Ereignis: A Ω Elementarereignis: {ω}, ω Ω A B := AB

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 13

Ü b u n g s b l a t t 13 Einführung in die Stochastik Sommersemester 06 Dr. Walter Oevel 5. 6. 006 Ü b u n g s b l a t t 3 Mit und gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen von -Aufgaben

Mehr

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig) ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels

Mehr

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) :=

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := Definition 2.34. Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := x f(x)dx der Erwartungswert von X, sofern dieses Integral existiert. Entsprechend wird die Varianz V(X)

Mehr

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009 Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene Steen Elstner, Klaus Wohlrabe, Steen Henzel SS 9 1 Wichtige Verteilungen Die Normalverteilung Eine stetige Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Mehr

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen 47 5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen Zur Charakterisierung von Verteilungen unterscheidet man Lageparameter, wie z. B. Erwartungswert ( mittlerer Wert ) Modus (Maximum der Wahrscheinlichkeitsfunktion,

Mehr

Vorlesung 8a. Kovarianz und Korrelation

Vorlesung 8a. Kovarianz und Korrelation Vorlesung 8a Kovarianz und Korrelation 1 Wir erinnern an die Definition der Kovarianz Für reellwertige Zufallsvariable X, Y mit E[X 2 ] < und E[Y 2 ] < ist Cov[X, Y ] := E [ (X EX)(Y EY ) ] Insbesondere

Mehr

Klausur Entscheidungstheorie WS 2010/2011 S. 1 von 11

Klausur Entscheidungstheorie WS 2010/2011 S. 1 von 11 Klausur Entscheidungstheorie WS 2010/2011 S. 1 von 11 Fach: Prüfer: Veranstaltung: Finanzierung und Investition Prof. Dr. Dr. A. Löffler W2263 Entscheidungstheorie Name Vorname Matrikelnummer Punkte Beachten

Mehr

Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen.

Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen. Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel 2.5-2. besser zu verstehen. Frage Wir betrachten ein Würfelspiel. Man wirft einen fairen, sechsseitigen Würfel. Wenn eine oder eine 2 oben liegt, muss man 2 SFr zahlen.

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 12.02.2010 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec

Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec Binomialverteilung Jakob Bernoulli (1654-1705) Ars Conjectandi Klassisches Verteilungsmodell für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Häufigkeit des Eintretens von Ereignissen in bestimmten noch

Mehr

Vorlesung 9b. Bedingte Verteilungen und bedingte Wahrscheinlichkeiten

Vorlesung 9b. Bedingte Verteilungen und bedingte Wahrscheinlichkeiten Vorlesung 9b Bedingte Verteilungen und bedingte Wahrscheinlichkeiten 1 Voriges Mal: Aufbau der gemeinsamen Verteilung von X 1 und X 2 aus der Verteilung ρ von X 1 und Übergangswahrscheinlichkeiten P(a

Mehr

Univariates Datenmaterial

Univariates Datenmaterial Univariates Datenmaterial 1.6.1 Deskriptive Statistik Zufallstichprobe: Umfang n, d.h. Stichprobe von n Zufallsvariablen o Merkmal/Zufallsvariablen: Y = {Y 1, Y 2,..., Y n } o Realisationen/Daten: x =

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 2 Kurzbeschreibung von SPSS Der SPSS-Dateneditor Statistische Analysen mit SPSS DieDaten...

Inhaltsverzeichnis. 2 Kurzbeschreibung von SPSS Der SPSS-Dateneditor Statistische Analysen mit SPSS DieDaten... Inhaltsverzeichnis Teil I Einführung 1 Kleine Einführung in R... 3 1.1 Installieren und Starten von R... 3 1.2 R-Befehleausführen... 3 1.3 R-Workspace speichern... 4 1.4 R-History sichern........ 4 1.5

Mehr

3.4 Asymptotische Evaluierung von Sch atzer Konsistenz Konsistenz Definition 3.4.1: konsistente Folge von Sch atzer

3.4 Asymptotische Evaluierung von Sch atzer Konsistenz Konsistenz Definition 3.4.1: konsistente Folge von Sch atzer 3.4 Asymptotische Evaluierung von Schätzer 3.4.1 Konsistenz Bis jetzt haben wir Kriterien basierend auf endlichen Stichproben betrachtet. Konsistenz ist ein asymptotisches Kriterium (n ) und bezieht sich

Mehr

Statistik Klausur Wintersemester 2012/2013 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN!

Statistik Klausur Wintersemester 2012/2013 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Statistik 1 1. Klausur Wintersemester 2012/2013 Hamburg, 19.03.2013 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Nachname:............................................................................ Vorname:.............................................................................

Mehr

Übungsscheinklausur,

Übungsscheinklausur, Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 27 Prof. Dr. F. Liese Übungsscheinklausur, 3.7.27 Dipl.-Math. M. Helwich Name:...

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 11. November 2010 1 Erwartungswert und Varianz Erwartungswert Varianz und Streuung Rechenregeln Binomialverteilung

Mehr

Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt

Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS M. Kohler 3. Mai A. Fromkorth D. Furer Gruppen und Hausübung Aufgabe (a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine S Bahn Verspätung hat, betrage.3.

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.77: Normalverteilung & Standardnormalverteilung Es sei µ R und 0 < σ 2 R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f(x) = 1 2 πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2, x R, so heißt X normalverteilt

Mehr

Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur

Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - robeklausur Sommersemester 2007 - Lösung Name: Vorname: Matrikelnr.: Studiengang: Hinweise Sie sollten insgesamt Blätter erhalten haben. Tragen Sie bitte Ihre Antworten

Mehr

Biometrie und Methodik (Statistik) - WiSem08/09 Probeklausur 1

Biometrie und Methodik (Statistik) - WiSem08/09 Probeklausur 1 Biometrie und Methodik (Statistik) - WiSem08/09 Probeklausur 1 Aufgabe 1 (10 Punkte). 10 Schüler der zehnten Klasse unterziehen sich zur Vorbereitung auf die Abschlussprüfung einem Mathematiktrainingsprogramm.

Mehr

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable

Mehr

Statistische Tests. Kapitel Grundbegriffe. Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe

Statistische Tests. Kapitel Grundbegriffe. Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe Kapitel 4 Statistische Tests 4.1 Grundbegriffe Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe X 1,..., X n. Wir wollen nun die Beobachtung der X 1,...,

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

7.2 Moment und Varianz

7.2 Moment und Varianz 7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p

Mehr

Spezielle stetige Verteilungen

Spezielle stetige Verteilungen Spezielle stetige Verteilungen schon bekannt: Die Exponentialverteilung mit Parameter k R, k > 0 hat die Dichte f (x) = ke kx für x 0 und die Verteilungsfunktion F (x) = 1 e kx für x 0. Eigenschaften Für

Mehr

Klausur zu Statistik II

Klausur zu Statistik II GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT FB Wirtschaftswissenschaften Statistik und Methoden der Ökonometrie Prof. Dr. Uwe Hassler Wintersemester 03/04 Klausur zu Statistik II Matrikelnummer: Hinweise Hilfsmittel

Mehr

Klausur zur Vorlesung Statistik für BWL Name Vorname Matrikelnr.

Klausur zur Vorlesung Statistik für BWL Name Vorname Matrikelnr. Hochschule Darmstadt Fachbereich MN Prof. Dr. Dietrich Baumgarten Darmstadt, den 9.7.2012 Klausur zur Vorlesung Statistik für BWL Name Vorname Matrikelnr. Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Summe Note Punkte 1 Aufgabe

Mehr

1.6 Der Vorzeichentest

1.6 Der Vorzeichentest .6 Der Vorzeichentest In diesem Kapitel soll der Vorzeichentest bzw. Zeichentest vorgestellt werden, mit dem man Hypothesen bezüglich des Medians der unabhängig und identisch stetig verteilten Zufallsvariablen

Mehr

Grundlagen der Mathematik II (LVA U)

Grundlagen der Mathematik II (LVA U) Dr. Marcel Dettling 21.05.2010 Dr. Daniel Haase FS 2010 daniel.haase@math.ethz.ch Grundlagen der Mathematik II (LVA 401-0622-00 U 11 Zur Übungsstunde vom 21.05.2010 Aufgabe 31 (Rechnen mit der Normalverteilung

Mehr

Vorlesung 8b. Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten

Vorlesung 8b. Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten Vorlesung 8b Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten 1 Wie gehabt, denken wir uns ein zufälliges Paar X = (X 1,X 2 ) auf zweistufige Weise zustande gekommen:

Mehr

Begriffe aus der Informatik Nachrichten

Begriffe aus der Informatik Nachrichten Begriffe aus der Informatik Nachrichten Gerhard Goos definiert in Vorlesungen über Informatik, Band 1, 1995 Springer-Verlag Berlin Heidelberg: Die Darstellung einer Mitteilung durch die zeitliche Veränderung

Mehr

Kapitel 7. Regression und Korrelation. 7.1 Das Regressionsproblem

Kapitel 7. Regression und Korrelation. 7.1 Das Regressionsproblem Kapitel 7 Regression und Korrelation Ein Regressionsproblem behandelt die Verteilung einer Variablen, wenn mindestens eine andere gewisse Werte in nicht zufälliger Art annimmt. Ein Korrelationsproblem

Mehr

Kapitel V - Erwartungstreue Schätzfunktionen

Kapitel V - Erwartungstreue Schätzfunktionen Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel V - Erwartungstreue Schätzfunktionen Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh

Mehr

3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS)

3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3.1 Beispiel zum Hypothesentest Beispiel: Betrachtet wird eine Abfüllanlage für Mineralwasser mit dem Sollgewicht µ 0 = 1000g und bekannter Standardabweichung

Mehr

Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung

Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D.

Mehr

Statistische Grundlagen

Statistische Grundlagen Statistische Grundlagen 2 2.1 Motivation Dieses Kapitel gibt eine kurze Übersicht über die im weiteren Verlauf des Buches benötigten mathematischen und statistischen Grundlagen. Zu Beginn wird der Begriff

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

Wiederholung der Hauptklausur STATISTIK

Wiederholung der Hauptklausur STATISTIK Name, Vorname: Matrikel-Nr. Die Klausur enthält zwei Typen von Aufgaben: Teil A besteht aus Fragen mit mehreren vorgegebenen Antwortvorschlägen, von denen mindestens eine Antwort richtig ist und von denen

Mehr

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit

Mehr

8. Stetige Zufallsvariablen

8. Stetige Zufallsvariablen 8. Stetige Zufallsvariablen Idee: Eine Zufallsvariable X ist stetig, falls ihr Träger eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen R ist. Beispiel: Glücksrad mit stetigem Wertebereich [0, 2π] Von Interesse

Mehr

Regression und Korrelation

Regression und Korrelation Kapitel 7 Regression und Korrelation Ein Regressionsproblem behandeltdie VerteilungeinerVariablen, wenn mindestens eine andere gewisse Werte in nicht zufälliger Art annimmt. Ein Korrelationsproblem dagegen

Mehr

2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2]

2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 20 2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 2.1 Kap. 25: Beschreibende Statistik 25.3 Übungsaufgabe 25.3 a i. Arithmetisches Mittel: 10.5 ii. Median: 10.4 iii. Quartile: x 0.25 Y 4 10.1, x 0.75 Y 12 11.1 iv. Varianz:

Mehr

Das (multiple) Bestimmtheitsmaß R 2. Beispiel: Ausgaben in Abhängigkeit vom Einkommen (I) Parameterschätzer im einfachen linearen Regressionsmodell

Das (multiple) Bestimmtheitsmaß R 2. Beispiel: Ausgaben in Abhängigkeit vom Einkommen (I) Parameterschätzer im einfachen linearen Regressionsmodell 1 Lineare Regression Parameterschätzung 13 Im einfachen linearen Regressionsmodell sind also neben σ ) insbesondere β 1 und β Parameter, deren Schätzung für die Quantifizierung des linearen Zusammenhangs

Mehr

1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente...

1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente... Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 1 1 Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten 5 1.1 Zufallsvorgänge.......................... 5 1.1.1 Ergebnismengen..................... 6 1.1.2 Ereignisse und ihre Verknüpfung............

Mehr

5. Statistische Schätztheorie

5. Statistische Schätztheorie 5. Statistische Schätztheorie Problem: Sei X eine Zufallsvariable (oder X ein Zufallsvektor), die einen interessierenden Zufallsvorgang repräsentiere Man möchte die tatsächliche Verteilung von X (oder

Mehr

Zusammenfassung Stochastik I + II

Zusammenfassung Stochastik I + II Zusammenfassung Stochastik I + II Stephan Kuschel Vorlesung von Dr. Nagel Stochastik I: WS 007/08 Stochastik II: SS 008 zuletzt aktualisiert: 7. Juli 009 Da diese Zusammenfassung den Menschen, die sie

Mehr

Box. Mathematik ZU DEN KERNCURRICULUM-LERNBEREICHEN:

Box. Mathematik ZU DEN KERNCURRICULUM-LERNBEREICHEN: Box Mathematik Schülerarbeitsbuch P (μ o- X μ + o-) 68,3 % s rel. E P (X = k) f g h A t μ o- μ μ + o- k Niedersachsen Wachstumsmodelle und Wahrscheinlichkeitsrechnung ZU DEN KERNCURRICULUM-LERNBEREICHEN:

Mehr

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt 0 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests

Mehr

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Einführung in die (induktive) Statistik

Einführung in die (induktive) Statistik Einführung in die (induktive) Statistik Typische Fragestellung der Statistik: Auf Grund einer Problemmodellierung sind wir interessiert an: Zufallsexperiment beschrieben durch ZV X. Problem: Verteilung

Mehr

I. Deskriptive Statistik 1

I. Deskriptive Statistik 1 I. Deskriptive Statistik 1 1. Einführung 3 1.1. Grundgesamtheit und Stichprobe.................. 5 1.2. Merkmale und Verteilungen..................... 6 1.3. Tabellen und Grafiken........................

Mehr

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert 2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments

Mehr