Statistische Methoden für Bauingenieure WS 13/14. Einführungsbeispiel

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Statistische Methoden für Bauingenieure WS 13/14. Einführungsbeispiel"

Transkript

1 Statistische Methoden für Bauingenieure WS 13/14 Einheit 2: Statistische Schätzverfahren Univ.Prof. Dr. Christian Bucher Einführungsbeispiel Wir wollen Beton mit einer vorgegebenen Festigkeitsklasse produzieren Vorgegeben - Mittelwert 35 N/mm 2 - Standardabweichung 5 N/mm 2 5 Probekörper werden getestet mit Festigkeiten 25, 40, 31, 37, 30 Mittelwert 32.6 N/mm2, Standardabw N/mm 2 Sind diese Testergebnisse mit der angenommenen Festigkeitsklasse vereinbar? 2

2 Chebyshev sche Ungleichung Für Zufallsgrößen mit endlicher Varianz [ > ] Der unmittelbare Nutzen ist oft gering, z.b. für > Es ergibt sich [ ] Wichtig für Beweisführungen 3 Gesuchter Parameter Schätzverfahren Stichprobe Schätzverfahren (Schätzer) Erwartungstreuer Schätzer Konsistenter Schätzer (),... () Γ Γ( (),... () ) > : [ ] [ < ] 4

3 Schätzer für den Mittelwert (1) Arithmetisches Mittel Erwartungstreue [ ] Nachweis für Konsistenz basierend auf der Chebyshev schen Ungleichung () () [ () ] 5 Schätzer für den Mittelwert (2) Varianz des Schätzwertes [( ) ] Chebyshev sche Ungleichung ( + ) [ > () ( ) () + > ] () + 6

4 Schätzer für die Varianz Erwartungstreuer Schätzer Asymptotisch erwartungstreu ( () ) ( () ) Unterschied nur für kleine Stichprobenumfänge relevant 7 Maximum Likelihood Schätzer Stichprobe Likelihood Funktion (),... ( () ) Auswahl des Schätzers so, dass Likelihood (oder deren natürlicher Logarithmus) maximiert wird ( () ) 8

5 Beispiel: Exponentialverteilung Ein Verteilungsparameter ( ) Stichprobe (12, 14, 9, 7, 10) Loglikelihood Funktion ( ) + ( ) Lösung + ( ) Konfidenzintervalle Festlegung eines Konfidenzniveaus ; << Konfidenzintervall um den Schätzwert [, + ] mit der Eigenschaft S`Q#[ + ] oft symmetrische Intervalle Chebyshev sche Ungleichung S`Q#[ > ] 10

6 Größe des Konfidenzintervalls Kann deutlich eingeengt werden, wenn Infomationen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Schätzers vorhanden sind Bei (asymptotischer) Normalverteilung Gegenüberstellung Normalverteilung - keine Verteilungsinformation (Chebyshev) ( ) 11 Beispiel: Mittelwertschätzer Wie viele Stichproben werden benötigt, um den Mittelwert einer Zufallsgröße mit einem Variationskoeffizienten 0.2 so zu schätzen, dass das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 0.95 um den Mittelwert die Breite ± 10% besitzt? Für den asymptotisch normalverteilten Schätzer gilt... Aus der Chebyshev schen Ungleichung

7 Parametertest Prüfen, der Nullhypothese, dass ein statistischer Parameter der Stichprobe (z.b. Mittelwert) von dem entsprechenden Parameter einer hypothetischen Verteilungsfunktion nicht signifikant abweicht t-verteilte Testgröße Vergleich mit kritischem Wert zum Freiheitsgrad m-1 > 13 Matlab code Resultat Beispiel Betonwürfel sample[25, 40, 31, 37, 30]' msize(sample)(1) smmean(sample) ssstd(sample) stderrss/sqrt(m) mittel35 standard5 t(mittel-sm)/stderr t_a t_inv(0.95, m-1) t t_a

8 Verteilungstests Prüfen, ob Stichprobe von einer hypothetischen Verteilungsfunktion signifikant abweicht Nullhypothese : () () Stichprobe (),... Histogramm mit Klasseneinteilung ;... Abzählen der Werte m j in jeder Klasse, es gilt ; 15 Chi-Quadrat-Test Berechnung einer Testgröße Diese Größe ist asymptotisch Freiheitsgrad ( ) -verteilt mit Die Hypothese ist abzulehnen, wenn die Testgröße einen kritischen Wert überschreitet. Der kritische Wert hängt vom Freiheitsgrad m und dem Signifikanzniveau ab. > 16

9 Chi-Quadrat-Verteilung χ α Dichtefunktion Verteilungsfunktion χ α 17 Test eines Würfelspiels Durchführung von 60 Würfen, Test auf Gleichverteilung Berechnung der Testgröße ( ) Vergleich mit kritischem Wert (Freiheitsgrad 5, Signifikanz 0.05). Matlab: chi_a chi2inv(0.95, 5) 18

10 Sonnenflecken Langjährige tägliche Aufzeichungen Zeitreihe und Histogramm Zeitreihe (59077 Werte) Nullhypothese: Exponentialverteilung mit zu schätzendem Parameter Histogramm 20

11 Nullhypothese: Exponentialverteilung mit Parameter Klasseneinteilung. 40 Klassen mit gleichen Wahrscheinlichkeiten gemäß Nullhypothese Test, (., ). 21 Matlab-code dataload('- ascii','sunspot.dat'); timedata(:,1); spotdata(:,2); %plot(time, spot); %figure %hist(spot, 20); lambdamean(spot) msize(spot)(1) nc40 mjzeros(nc,1); for k1:m! indexround((nc-1)*(1- exp(-spot(k)/lambda)))+1;! mj(index) mj(index)+1;! end mj mpjones(nc,1)*m/nc diff(mj-mpj).^2./mpj; chisum(diff) chi_a chi2inv(0.95, nc-2) plot(mj) hold on plot(mpj, '1') pause 22

Fit for Abi & Study Stochastik

Fit for Abi & Study Stochastik Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen

Mehr

Zweiseitiger Test für den unbekannten Mittelwert µ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz

Zweiseitiger Test für den unbekannten Mittelwert µ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz Grundlage: Zweiseitiger Test für den unbekannten Mittelwert µ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz Die Testvariable T = X µ 0 S/ n genügt der t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden. Auf der Basis

Mehr

3) Testvariable: T = X µ 0

3) Testvariable: T = X µ 0 Beispiel 4.9: In einem Molkereibetrieb werden Joghurtbecher abgefüllt. Der Sollwert für die Füllmenge dieser Joghurtbecher beträgt 50 g. Aus der laufenden Produktion wurde eine Stichprobe von 5 Joghurtbechern

Mehr

1. Grundbegri e der Stochastik

1. Grundbegri e der Stochastik Wiederholung von Grundwissen der Stochastik. Grundbegri e der Stochastik Menge der Ereignisse. Die Elemente! der Menge heißen Elementarereignisse und sind unzerlegbare Ereignisse. Das Ereignis A tritt

Mehr

5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)

5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 5.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Dr. Jochen Köhler 1 Inhalt der heutigen Vorlesung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Zusammenfassung der vorherigen Vorlesung Übersicht über Schätzung und

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 13

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 13 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 13 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 4. Juli 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 11. Vorlesung Jochen Köhler 10.05.011 1 Inhalt der heutigen Vorlesung Zusammenfassung Parameterschätzung Übersicht über Schätzung und Modellbildung Modellevaluation

Mehr

5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)

5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 5.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte

Mehr

7. Übung: Aufgabe 1. b), c), e) Aufgabe 2. a), c), e) Aufgabe 3. c), e) Aufgabe 4. Aufgabe 5. Aufgabe 6. Aufgabe 7. Aufgabe 8. Aufgabe 9.

7. Übung: Aufgabe 1. b), c), e) Aufgabe 2. a), c), e) Aufgabe 3. c), e) Aufgabe 4. Aufgabe 5. Aufgabe 6. Aufgabe 7. Aufgabe 8. Aufgabe 9. 7. Übung: Aufgabe 1 b), c), e) Aufgabe a), c), e) Aufgabe 3 c), e) Aufgabe 4 b) Aufgabe 5 a) Aufgabe 6 b) Aufgabe 7 e) Aufgabe 8 c) Aufgabe 9 a), c), e) Aufgabe 10 b), d) Aufgabe 11 a) Aufgabe 1 b) Aufgabe

Mehr

3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS)

3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3.1 Beispiel zum Hypothesentest Beispiel: Betrachtet wird eine Abfüllanlage für Mineralwasser mit dem Sollgewicht µ 0 = 1000g und bekannter Standardabweichung

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 25. April 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung

Mehr

DWT 2.1 Maximum-Likelihood-Prinzip zur Konstruktion von Schätzvariablen 330/467 Ernst W. Mayr

DWT 2.1 Maximum-Likelihood-Prinzip zur Konstruktion von Schätzvariablen 330/467 Ernst W. Mayr 2.1 Maximum-Likelihood-Prinzip zur Konstruktion von Schätzvariablen Wir betrachten nun ein Verfahren zur Konstruktion von Schätzvariablen für Parameter von Verteilungen. Sei X = (X 1,..., X n ). Bei X

Mehr

Mathematische Statistik Aufgaben zum Üben. Schätzer

Mathematische Statistik Aufgaben zum Üben. Schätzer Prof. Dr. Z. Kabluchko Wintersemester 2016/17 Philipp Godland 14. November 2016 Mathematische Statistik Aufgaben zum Üben Keine Abgabe Aufgabe 1 Schätzer Es seien X 1,..., X n unabhängige und identisch

Mehr

Statistisches Testen

Statistisches Testen Statistisches Testen Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Differenzen Anteilswert Chi-Quadrat Tests Gleichheit von Varianzen Prinzip des Statistischen Tests Konfidenzintervall

Mehr

4.1. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung

4.1. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 4. Testtheorie 4.. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung ypothesen Annahmen über die Verteilung oder über einzelne arameter der Verteilung eines Merkmals

Mehr

6. Schätzverfahren für Parameter

6. Schätzverfahren für Parameter 6. Schätzverfahren für Parameter Ausgangssituation: Ein interessierender Zufallsvorgang werde durch die ZV X repräsentiert X habe eine unbekannte Verteilungsfunktion F X (x) Wir interessieren uns für einen

Mehr

Chi-Quadrat-Verteilung

Chi-Quadrat-Verteilung Chi-Quadrat-Verteilung Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/chi-quadrat-verteilung 1 von 7 6/18/2009 6:13 PM Chi-Quadrat-Verteilung aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Die Chi-Quadrat-Verteilung ist

Mehr

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Stetige Zufallsvariable Verteilungsfunktion: Dichtefunktion: Integralrechnung:

Mehr

Statistische Methoden für Bauingenieure WS 2013/14. Literatur

Statistische Methoden für Bauingenieure WS 2013/14. Literatur Statistische Methoden für Bauingenieure WS 2013/14 Einheit 1: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Univ.Prof. Dr. Christian Bucher Literatur C. Bucher: Computational analysis of randomness in structural

Mehr

Klassifikation von Signifikanztests

Klassifikation von Signifikanztests Klassifikation von Signifikanztests Nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängig: parametrischer [parametric] Test verteilungsunabhängig: nichtparametrischer [non-parametric] Test Bei parametrischen Tests

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 10. Vorlesung - 2018 Grundbegriffe der Statistik statistische Einheiten = Objekte an denen interessierende Größen erfaßt werden z.b. Bevölkerung einer Stadt; Schüler einer bestimmten Schule; Patienten

Mehr

Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie

Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie SS 2013 Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie Javier Esparza Fakultät für Informatik TU München http://www7.in.tum.de/um/courses/dwt/ss13 Sommersemester 2013 Teil V Induktive Statistik Induktive Statistik

Mehr

Grundlagen der Statistik

Grundlagen der Statistik www.nwb.de NWB Studium Betriebswirtschaft Grundlagen der Statistik Band 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik Von Professor Dr. Jochen Schwarze 9., vollständig überarbeitete Auflage STUDIUM

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 11. Juli 016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung

Mehr

Stoffverteilungsplan Mathematik Leistungskurs. Lambacher Schweizer Stochastik ISBN Klassenarbeit

Stoffverteilungsplan Mathematik Leistungskurs. Lambacher Schweizer Stochastik ISBN Klassenarbeit Lambacher Schweizer Q3.1 Grundlegende Begriffe der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie: Beschreiben von Zufallsexperimenten (Laplace-Experimente) unter Verwendung der Begriffe Ergebnis, Ergebnismenge,

Mehr

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Stetige Verteilungen. Chi-Quadrat-Verteilung Studentverteilung Fisher-Verteilung

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Stetige Verteilungen. Chi-Quadrat-Verteilung Studentverteilung Fisher-Verteilung Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Stetige Verteilungen Chi-Quadrat-Verteilung Studentverteilung Fisher-Verteilung Typisierung der stetigen theoretischen Verteilungen Bibliografie:

Mehr

Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe. Eigenschaften der Stichprobe. Klasseneinteilung, Histogramm. Arithmetisches Mittel, empirische Varianz

Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe. Eigenschaften der Stichprobe. Klasseneinteilung, Histogramm. Arithmetisches Mittel, empirische Varianz - 1 - Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe Dimension, Umfang Skalierung Eigenschaften der Stichprobe kennzeichnende Größen Eigenschaften der Stichprobe kennzeichnende Größen Punktediagramm, Regressionsgerade,

Mehr

die wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen

die wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen Kapitel 8 Schätzung von Parametern 8.1 Schätzmethoden Gegeben seien Beobachtungen Ü Ü ¾ Ü Ò die wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen ¾ Ò auffassen. Die Verteilung

Mehr

Stochastik für Mathematiker Teil 2: Wahrscheinlichkeitstheorie

Stochastik für Mathematiker Teil 2: Wahrscheinlichkeitstheorie Stochastik für Mathematiker Teil 2: Wahrscheinlichkeitstheorie Sommersemester 2018 Kapitel 8: Elemente der mathematischen Statistik Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik

Mehr

Kapitel XIII - p-wert und Beziehung zwischen Tests und Konfidenzintervallen

Kapitel XIII - p-wert und Beziehung zwischen Tests und Konfidenzintervallen Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XIII - p-wert und Beziehung zwischen Tests und Konfidenzintervallen Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller

Mehr

4.1. Verteilungsannahmen des Fehlers. 4. Statistik im multiplen Regressionsmodell Verteilungsannahmen des Fehlers

4.1. Verteilungsannahmen des Fehlers. 4. Statistik im multiplen Regressionsmodell Verteilungsannahmen des Fehlers 4. Statistik im multiplen Regressionsmodell In diesem Kapitel wird im Abschnitt 4.1 zusätzlich zu den schon bekannten Standardannahmen noch die Annahme von normalverteilten Residuen hinzugefügt. Auf Basis

Mehr

Klausur zu Statistik II

Klausur zu Statistik II GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT FB Wirtschaftswissenschaften Statistik und Methoden der Ökonometrie Prof. Dr. Uwe Hassler Wintersemester 03/04 Klausur zu Statistik II Matrikelnummer: Hinweise Hilfsmittel

Mehr

Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung

Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D.

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Michael Havbro Faber 8.04.009 1 Inhalt der heutigen Vorlesung Zusammenfassung der letzten Vorlesung Übersicht über Schätzung und Modellbildung Modellevaluation

Mehr

Theorie Parameterschätzung Ausblick. Schätzung. Raimar Sandner. Studentenseminar "Statistische Methoden in der Physik"

Theorie Parameterschätzung Ausblick. Schätzung. Raimar Sandner. Studentenseminar Statistische Methoden in der Physik Studentenseminar "Statistische Methoden in der Physik" Gliederung 1 2 3 Worum geht es hier? Gliederung 1 2 3 Stichproben Gegeben eine Beobachtungsreihe x = (x 1, x 2,..., x n ): Realisierung der n-dimensionalen

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. 11. Vorlesung /2019

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. 11. Vorlesung /2019 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 11. Vorlesung - 2018/2019 Quantil der Ordnung α für die Verteilung des beobachteten Merkmals X ist der Wert z α R für welchen gilt z 1 2 heißt Median. P(X < z

Mehr

Stichwortverzeichnis. Stichwortverzeichnis

Stichwortverzeichnis. Stichwortverzeichnis Stichwortverzeichnis 377 Stichwortverzeichnis A Abhangigkeit von Ereignissen 44 ff. Ablehnung einer Hypothese 285 Ablehnungsbereich 284, 286 ff. Additionssatz 36 ff. Alternativhypothese 283, 285 ff. analytische

Mehr

Statistik Zusätzliche Beispiele SS 2018 Blatt 3: Schließende Statistik

Statistik Zusätzliche Beispiele SS 2018 Blatt 3: Schließende Statistik Statistik Zusätzliche Beispiele SS 2018 Blatt 3: Schließende Statistik 1. I Ein Personalchef führt so lange Vorstellungsgespräche durch bis der erste geeignete Bewerber darunter ist und stellt diesen an.

Mehr

Prüfungsfächer: Die Prüfung erstreckt sich auf die folgenden Prüfungsfächer: Maß- und Integrationstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Statistik

Prüfungsfächer: Die Prüfung erstreckt sich auf die folgenden Prüfungsfächer: Maß- und Integrationstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Statistik B Zulassungsprüfung in Stochastik Zielsetzung: Durch die Zulassungsprüfung in Stochastik soll der Nachweis geführt werden, dass die Bewerber über solide Grundkenntnisse in Wahrscheinlichkeitstheorie und

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 13. Juli 017 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 8. Juli

Mehr

So berechnen Sie einen Schätzer für einen Punkt

So berechnen Sie einen Schätzer für einen Punkt htw saar 1 EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK: SCHÄTZEN UND TESTEN htw saar 2 Schätzen: Einführung Ziel der Statistik ist es, aus den Beobachtungen eines Merkmales in einer Stichprobe Rückschlüsse über die Verteilung

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Henze Dipl.-Math. V. Riess

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Henze Dipl.-Math. V. Riess Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Henze Dipl.-Math. V. Riess Name: Vorname: Matrikelnummer: Lösungsvorschlag zur Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (Stochastik) Datum: 07.

Mehr

10. Die Normalverteilungsannahme

10. Die Normalverteilungsannahme 10. Die Normalverteilungsannahme Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher haben wir vorausgesetzt, daß die Beobachtungswerte normalverteilt sind. In diesem Fall kann man

Mehr

Inhaltsverzeichnis DESKRIPTIVE STATISTIK. 1 Grundlagen Grundbegriffe Skalen... 15

Inhaltsverzeichnis DESKRIPTIVE STATISTIK. 1 Grundlagen Grundbegriffe Skalen... 15 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen... 13 1.1 Grundbegriffe...13 1.2 Skalen... 15 DESKRIPTIVE STATISTIK 2 Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen...16 2.1 Häufigkeiten... 16 2.1.1 Grundbegriffe... 16 2.1.2

Mehr

Die Familie der χ 2 (n)-verteilungen

Die Familie der χ 2 (n)-verteilungen Die Familie der χ (n)-verteilungen Sind Z 1,..., Z m für m 1 unabhängig identisch standardnormalverteilte Zufallsvariablen, so genügt die Summe der quadrierten Zufallsvariablen χ := m Z i = Z 1 +... +

Mehr

Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert

Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert Beispiel für Konfidenzintervall Im Prinzip haben wir

Mehr

Die Familie der χ 2 (n)-verteilungen

Die Familie der χ 2 (n)-verteilungen Die Familie der χ (n)-verteilungen Sind Z 1,..., Z m für m 1 unabhängig identisch standardnormalverteilte Zufallsvariablen, so genügt die Summe der quadrierten Zufallsvariablen χ := m Z i = Z 1 +... +

Mehr

Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften

Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften Stetige und diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Lageparameter Streuungsparameter Diskrete und stetige Zufallsvariablen Eine Variable (oder Merkmal

Mehr

Statistische Tests für unbekannte Parameter

Statistische Tests für unbekannte Parameter Konfidenzintervall Intervall, das den unbekannten Parameter der Verteilung mit vorgegebener Sicherheit überdeckt ('Genauigkeitsaussage' bzw. Zuverlässigkeit einer Punktschätzung) Statistischer Test Ja-Nein-Entscheidung

Mehr

Statistik II. Version A. 1. Klausur Sommersemester 2011 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN!

Statistik II. Version A. 1. Klausur Sommersemester 2011 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Statistik II Version A 1. Klausur Sommersemester 2011 Hamburg, 27.07.2011 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Nachname:............................................................................

Mehr

I. Deskriptive Statistik 1

I. Deskriptive Statistik 1 I. Deskriptive Statistik 1 1. Einführung 3 1.1. Grundgesamtheit und Stichprobe.................. 5 1.2. Merkmale und Verteilungen..................... 6 1.3. Tabellen und Grafiken........................

Mehr

Induktive Statistik Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung

Induktive Statistik Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung Induktive Statistik Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung Georg Bol bol@statistik.uni-karlsruhe.de Markus Höchstötter hoechstoetter@statistik.uni-karlsruhe.de

Mehr

Einführung in die Statistik

Einführung in die Statistik Einführung in die Statistik Analyse und Modellierung von Daten Von Prof. Dr. Rainer Schlittgen 4., überarbeitete und erweiterte Auflage Fachbereich Materialwissenschaft! der Techn. Hochschule Darmstadt

Mehr

Kapitel XIV - Anpassungstests

Kapitel XIV - Anpassungstests Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XIV - Anpassungstests Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh 2. Grundannahme:

Mehr

1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente...

1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente... Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 1 1 Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten 5 1.1 Zufallsvorgänge.......................... 5 1.1.1 Ergebnismengen..................... 6 1.1.2 Ereignisse und ihre Verknüpfung............

Mehr

Aufgabe 1 (8= Punkte) 13 Studenten haben die folgenden Noten (ganze Zahl) in der Statistikklausur erhalten:

Aufgabe 1 (8= Punkte) 13 Studenten haben die folgenden Noten (ganze Zahl) in der Statistikklausur erhalten: Aufgabe 1 (8=2+2+2+2 Punkte) 13 Studenten haben die folgenden Noten (ganze Zahl) in der Statistikklausur erhalten: Die Zufallsvariable X bezeichne die Note. 1443533523253. a) Wie groß ist h(x 5)? Kreuzen

Mehr

Klausurnachbesprechung

Klausurnachbesprechung Klausurnachbesprechung 8.0.006 nicht bestanden bestanden sehr gut gut befriedigend ausreichend 0 5 0 5 0 5 Aufgabe B Aufgabe : 0 Punkte Der Anteil an Grundwasserneubildung (GWN in %) an der Gesamtabflussbildung

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Günther Bourier Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Praxisorientierte Einführung Mit Aufgaben und Lösungen 3. F überarbeitete Auflage GABLER Inhaltsverzeichnis Vorwort Inhaltsverzeichnis

Mehr

Computergestützte Datenanalyse in der Kern- und Teilchenphysik

Computergestützte Datenanalyse in der Kern- und Teilchenphysik Computergestützte Datenanalysein der Kern- und Teilchenphysik p. 1/?? Computergestützte Datenanalyse in der Kern- und Teilchenphysik Vorlesung 4 Jan Friedrich Computergestützte Datenanalysein der Kern-

Mehr

1 GRUNDLAGEN Grundbegriffe Skalen...15

1 GRUNDLAGEN Grundbegriffe Skalen...15 Inhaltsverzeichnis 1 GRUNDLAGEN...13 1.1 Grundbegriffe...13 1.2 Skalen...15 DESKRIPTIVE STATISTIK 2 EINDIMENSIONALE HÄUFIGKEITSVERTEILUNGEN...16 2.1 Häufigkeiten...16 2.1.1 Grundbegriffe...16 2.1.2 Klassieren

Mehr

2. Formulieren von Hypothesen. Nullhypothese: H 0 : µ = 0 Gerät exakt geeicht

2. Formulieren von Hypothesen. Nullhypothese: H 0 : µ = 0 Gerät exakt geeicht 43 Signifikanztests Beispiel zum Gauß-Test Bei einer Serienfertigung eines bestimmten Typs von Messgeräten werden vor der Auslieferung eines jeden Gerätes 10 Kontrollmessungen durchgeführt um festzustellen,

Mehr

Biometrie und Methodik (Statistik) - WiSem08/09 Probeklausur 1

Biometrie und Methodik (Statistik) - WiSem08/09 Probeklausur 1 Biometrie und Methodik (Statistik) - WiSem08/09 Probeklausur 1 Aufgabe 1 (10 Punkte). 10 Schüler der zehnten Klasse unterziehen sich zur Vorbereitung auf die Abschlussprüfung einem Mathematiktrainingsprogramm.

Mehr

Statistische Tests (Signifikanztests)

Statistische Tests (Signifikanztests) Statistische Tests (Signifikanztests) [testing statistical hypothesis] Prüfen und Bewerten von Hypothesen (Annahmen, Vermutungen) über die Verteilungen von Merkmalen in einer Grundgesamtheit (Population)

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 13

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 13 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 13 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 6. Juli 2017 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 13 Version: 7. Juli

Mehr

Stochastik Praktikum Parametrische Schätztheorie

Stochastik Praktikum Parametrische Schätztheorie Stochastik Praktikum Parametrische Schätztheorie Thorsten Dickhaus Humboldt-Universität zu Berlin 05.10.2010 Prolog Momentenmethode X : Ω 1 Ω Zufallsgröße, die Experiment beschreibt. Ein statistisches

Mehr

Biomathematik für Mediziner

Biomathematik für Mediziner Institut für Medizinische Biometrie, Informatik und Epidemiologie der Universität Bonn (Direktor: Prof. Dr. Max P. Baur) Biomathematik für Mediziner Klausur SS 2002 Aufgabe 1: Franz Beckenbauer will, dass

Mehr

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg. für Betriebswirtschaft und internationales Management

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg. für Betriebswirtschaft und internationales Management für Betriebswirtschaft und internationales Management Sommersemester 2015 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Testverteilungen Chi-Quadrat-Verteilung Sind X 1,..., X n iid N(0; 1)-verteilte

Mehr

T-Test für unabhängige Stichproben

T-Test für unabhängige Stichproben T-Test für unabhängige Stichproben Wir gehen von folgendem Beispiel aus: Wir erheben zwei Zufallstichproben, wobei nur die Probanden der einen Stichprobe einer speziellen experimentellen Behandlung (etwa

Mehr

Statistik Zusätzliche Beispiele WS 2018/19

Statistik Zusätzliche Beispiele WS 2018/19 Statistik Zusätzliche Beispiele WS 2018/19 Blatt 3: Schließende Statistik 1. I Ein Personalchef führt so lange Vorstellungsgespräche durch bis der erste geeignete Bewerber darunter ist und stellt diesen

Mehr

Statistik: Klassisch oder Bayes

Statistik: Klassisch oder Bayes Wolfgang Tschirk Statistik: Klassisch oder Bayes Zwei Wege im Vergleich 4Q Springer Spektrum Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Beschreibende und schließende Statistik 1 1.2 Schließende Statistik: Klassik

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Karl Mosler Friedrich Schmid Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Vierte, verbesserte Auflage Springer Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 1 1 Zufalls Vorgänge und Wahrscheinlichkeiten 5 1.1

Mehr

KLAUSUR_MAI_08 LÖSUNGEN Stat2. 1. Eine Einkommensstatistik (Jahresbruttoeinkommen, klassiert), zeigte folgende Ergebnisse: (in 1000 Euro)

KLAUSUR_MAI_08 LÖSUNGEN Stat2. 1. Eine Einkommensstatistik (Jahresbruttoeinkommen, klassiert), zeigte folgende Ergebnisse: (in 1000 Euro) 1. Eine Einkommensstatistik (Jahresbruttoeinkommen, klassiert), zeigte folgende Ergebnisse: (in 1000 Euro) 10 bis unter 20 20 30 30 40 über 40 bis 100 U (Unselbständige) 46 89 90 45 S (Selbständige) 63

Mehr

5. Seminar Statistik

5. Seminar Statistik Sandra Schlick Seite 1 5. Seminar 5. Seminar Statistik 30 Kurztest 4 45 Testen von Hypothesen inkl. Übungen 45 Test- und Prüfverfahren inkl. Übungen 45 Repetitorium und Prüfungsvorbereitung 15 Kursevaluation

Mehr

Anpassungstests VORGEHENSWEISE

Anpassungstests VORGEHENSWEISE Anpassungstests Anpassungstests prüfen, wie sehr sich ein bestimmter Datensatz einer erwarteten Verteilung anpasst bzw. von dieser abweicht. Nach der Erläuterung der Funktionsweise sind je ein Beispiel

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 10. Vorlesung - 017 Quantil der Ordnung α für die Verteilung des beobachteten Merkmals X ist der Wert z α R für welchen gilt z 1 heißt Median. P(X < z α ) α P(X z α ). Falls X stetige zufällige Variable

Mehr

4.1 Stichproben, Verteilungen und Schätzwerte. N(t) = N 0 e λt, (4.1)

4.1 Stichproben, Verteilungen und Schätzwerte. N(t) = N 0 e λt, (4.1) Kapitel 4 Stichproben und Schätzungen 4.1 Stichproben, Verteilungen und Schätzwerte Eine physikalische Messung ist eine endliche Stichprobe aus einer Grundgesamtheit, die endlich oder unendlich sein kann.

Mehr

Master of Science in Pflege

Master of Science in Pflege Master of Science in Pflege Modul: Statistik Einführung in die schliessende Statistik Oktober 212 Prof. Dr. Jürg Schwarz Folie 2 Programm 31. Oktober 212: Vormittag (9.15 12.3) Vorlesung - Einführung,

Mehr

MATHEMATISCHE STATISTIK IN DER TECHNIK

MATHEMATISCHE STATISTIK IN DER TECHNIK MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFT UND TECHNIK HERAUSGEGEBEN VON H. HEINRICH UND H. SCHUBERT Band 9 MATHEMATISCHE STATISTIK IN DER TECHNIK KURZER LEHRGANG VON N.W. SMIRNOW UND I.W. DUNIN-BARKOWSKI Neu bearbeitet

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 19. Oktober 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung

Mehr

Bereiche der Statistik

Bereiche der Statistik Bereiche der Statistik Deskriptive / Exploratorische Statistik Schließende Statistik Schließende Statistik Inferenz-Statistik (analytische, schließende oder konfirmatorische Statistik) baut auf der beschreibenden

Mehr

Fallzahlplanung bei unabhängigen Stichproben

Fallzahlplanung bei unabhängigen Stichproben Fallzahlplanung bei unabhängigen Stichproben Seminar Aktuelle biometrische Probleme Benjamin Hofner benjamin.hofner@stat.uni-muenchen.de 12. Januar 2005 Übersicht 1. Einführung und Grundlagen der Fallzahlplanung

Mehr

Bereiche der Statistik

Bereiche der Statistik Bereiche der Statistik Deskriptive / Exploratorische Statistik Schließende Statistik Schließende Statistik Inferenz-Statistik (analytische, schließende oder konfirmatorische Statistik) baut auf der beschreibenden

Mehr

p = h n (K)= Juli vl smart vp qk notebook Praktische Lösung des Problems: mit den Werten

p = h n (K)= Juli vl smart vp qk notebook Praktische Lösung des Problems: mit den Werten I. Eigenschaften von Schätzfunktionen Wir wollen den unbekannten Anteil p von Autos ermitteln, die mit Katalysator fahren. Mathematisch können wir das Problem wie folgt beschreiben: Sei X der Autotyp eines

Mehr

Statistik II. IV. Hypothesentests. Martin Huber

Statistik II. IV. Hypothesentests. Martin Huber Statistik II IV. Hypothesentests Martin Huber 1 / 41 Übersicht Struktur eines Hypothesentests Stichprobenverteilung t-test: Einzelner-Parameter-Test F-Test: Multiple lineare Restriktionen 2 / 41 Struktur

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Punkt- und Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften Prof. Dr.

Mehr

Statistische Tests für unbekannte Parameter

Statistische Tests für unbekannte Parameter Konfidenzintervall Intervall, das den unbekannten Parameter der Verteilung mit vorgegebener Sicherheit überdeckt ('Genauigkeitsaussage' bzw. Zuverlässigkeit einer Punktschätzung) Statistischer Test Ja-Nein-Entscheidung

Mehr

Lösungen zum Aufgabenblatt 14

Lösungen zum Aufgabenblatt 14 Lösungen zum Aufgabenblatt 14 61. Das Gewicht von Brötchen (gemessen in g) sei zufallsabhängig und werde durch eine normalverteilte Zufallsgröße X N(µ, 2 ) beschrieben, deren Varianz 2 = 49 g 2 bekannt

Mehr

3.Wiederholung: Toleranzbereiche Für EX Geg:

3.Wiederholung: Toleranzbereiche Für EX Geg: 3.Wiederholung: Toleranzbereiche Für EX Geg: Vl. 24.2.2017 Schätzfunktion für Güte: Ist X Problem: Feb 17 13:21 > Wir berechnen Bereiche (Toleranzbereiche) für sind untere und obere Grenzen, berechnet

Mehr