Statistische Methoden für Bauingenieure WS 13/14. Einführungsbeispiel
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1 Statistische Methoden für Bauingenieure WS 13/14 Einheit 2: Statistische Schätzverfahren Univ.Prof. Dr. Christian Bucher Einführungsbeispiel Wir wollen Beton mit einer vorgegebenen Festigkeitsklasse produzieren Vorgegeben - Mittelwert 35 N/mm 2 - Standardabweichung 5 N/mm 2 5 Probekörper werden getestet mit Festigkeiten 25, 40, 31, 37, 30 Mittelwert 32.6 N/mm2, Standardabw N/mm 2 Sind diese Testergebnisse mit der angenommenen Festigkeitsklasse vereinbar? 2
2 Chebyshev sche Ungleichung Für Zufallsgrößen mit endlicher Varianz [ > ] Der unmittelbare Nutzen ist oft gering, z.b. für > Es ergibt sich [ ] Wichtig für Beweisführungen 3 Gesuchter Parameter Schätzverfahren Stichprobe Schätzverfahren (Schätzer) Erwartungstreuer Schätzer Konsistenter Schätzer (),... () Γ Γ( (),... () ) > : [ ] [ < ] 4
3 Schätzer für den Mittelwert (1) Arithmetisches Mittel Erwartungstreue [ ] Nachweis für Konsistenz basierend auf der Chebyshev schen Ungleichung () () [ () ] 5 Schätzer für den Mittelwert (2) Varianz des Schätzwertes [( ) ] Chebyshev sche Ungleichung ( + ) [ > () ( ) () + > ] () + 6
4 Schätzer für die Varianz Erwartungstreuer Schätzer Asymptotisch erwartungstreu ( () ) ( () ) Unterschied nur für kleine Stichprobenumfänge relevant 7 Maximum Likelihood Schätzer Stichprobe Likelihood Funktion (),... ( () ) Auswahl des Schätzers so, dass Likelihood (oder deren natürlicher Logarithmus) maximiert wird ( () ) 8
5 Beispiel: Exponentialverteilung Ein Verteilungsparameter ( ) Stichprobe (12, 14, 9, 7, 10) Loglikelihood Funktion ( ) + ( ) Lösung + ( ) Konfidenzintervalle Festlegung eines Konfidenzniveaus ; << Konfidenzintervall um den Schätzwert [, + ] mit der Eigenschaft S`Q#[ + ] oft symmetrische Intervalle Chebyshev sche Ungleichung S`Q#[ > ] 10
6 Größe des Konfidenzintervalls Kann deutlich eingeengt werden, wenn Infomationen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Schätzers vorhanden sind Bei (asymptotischer) Normalverteilung Gegenüberstellung Normalverteilung - keine Verteilungsinformation (Chebyshev) ( ) 11 Beispiel: Mittelwertschätzer Wie viele Stichproben werden benötigt, um den Mittelwert einer Zufallsgröße mit einem Variationskoeffizienten 0.2 so zu schätzen, dass das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 0.95 um den Mittelwert die Breite ± 10% besitzt? Für den asymptotisch normalverteilten Schätzer gilt... Aus der Chebyshev schen Ungleichung
7 Parametertest Prüfen, der Nullhypothese, dass ein statistischer Parameter der Stichprobe (z.b. Mittelwert) von dem entsprechenden Parameter einer hypothetischen Verteilungsfunktion nicht signifikant abweicht t-verteilte Testgröße Vergleich mit kritischem Wert zum Freiheitsgrad m-1 > 13 Matlab code Resultat Beispiel Betonwürfel sample[25, 40, 31, 37, 30]' msize(sample)(1) smmean(sample) ssstd(sample) stderrss/sqrt(m) mittel35 standard5 t(mittel-sm)/stderr t_a t_inv(0.95, m-1) t t_a
8 Verteilungstests Prüfen, ob Stichprobe von einer hypothetischen Verteilungsfunktion signifikant abweicht Nullhypothese : () () Stichprobe (),... Histogramm mit Klasseneinteilung ;... Abzählen der Werte m j in jeder Klasse, es gilt ; 15 Chi-Quadrat-Test Berechnung einer Testgröße Diese Größe ist asymptotisch Freiheitsgrad ( ) -verteilt mit Die Hypothese ist abzulehnen, wenn die Testgröße einen kritischen Wert überschreitet. Der kritische Wert hängt vom Freiheitsgrad m und dem Signifikanzniveau ab. > 16
9 Chi-Quadrat-Verteilung χ α Dichtefunktion Verteilungsfunktion χ α 17 Test eines Würfelspiels Durchführung von 60 Würfen, Test auf Gleichverteilung Berechnung der Testgröße ( ) Vergleich mit kritischem Wert (Freiheitsgrad 5, Signifikanz 0.05). Matlab: chi_a chi2inv(0.95, 5) 18
10 Sonnenflecken Langjährige tägliche Aufzeichungen Zeitreihe und Histogramm Zeitreihe (59077 Werte) Nullhypothese: Exponentialverteilung mit zu schätzendem Parameter Histogramm 20
11 Nullhypothese: Exponentialverteilung mit Parameter Klasseneinteilung. 40 Klassen mit gleichen Wahrscheinlichkeiten gemäß Nullhypothese Test, (., ). 21 Matlab-code dataload('- ascii','sunspot.dat'); timedata(:,1); spotdata(:,2); %plot(time, spot); %figure %hist(spot, 20); lambdamean(spot) msize(spot)(1) nc40 mjzeros(nc,1); for k1:m! indexround((nc-1)*(1- exp(-spot(k)/lambda)))+1;! mj(index) mj(index)+1;! end mj mpjones(nc,1)*m/nc diff(mj-mpj).^2./mpj; chisum(diff) chi_a chi2inv(0.95, nc-2) plot(mj) hold on plot(mpj, '1') pause 22
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