Adrian Lanz, 19. Oktober Waldinventur (SHL Zollikofen) Adrian Lanz, Überblick über die Lehrveranstaltung

Transkript

1 (SHL (SHL 19. Oktober 2012

2 Unterricht im Überblick Doppelstunde 1 Ziel und Zweck der typen Elemente der Stichproben im Wald: Grundgesamtheit und Populationsparameter Ziehung der Stichprobe (Design) Schätzverfahren Doppelstunde 2 Inventurplanung Optimierung Design Übung mit Fiesta Doppelstunde 3 Stratifizierung Schätzen von Veränderungen Doppelstunde 4 Auswertung Kontrollstichprobe Kleingebietsschätzung (SHL Inhalt Unterlagen und Unterrichtsmaterial Ziel des Unterrichts

3 Unterlagen und Unterrichtsmaterial (SHL Alle Materalen werden als PDF abgegeben. Folien Skript Formelsammlung Unterrichts- und Forschungssoftware Fiesta Kontrollstichproben: Aufnahmeinstruktion, EAFV-Bericht Kontrollfragen zum Unterrichtsstoff Inhalt Unterlagen und Unterrichtsmaterial Ziel des Unterrichts

4 Ziel des Unterrichts Die Studierenden kennen die Einsatzmöglichkeiten und Ziele der sind befähigt selbständig einfache Betriebsinventuren zu planen und durchzuführen, resp. deren Durchführung zu instruieren und zu überwachen (Instrumentenkunde, Messvorschriften und Orientierung im Gelände in separatem Modul) verstehen die mathematisch-statistischen Grundlagen der sind fähig, Betriebsinventurdaten selbständig am Computer auszuwerten und können die Genauigkeit der Ergebnisse zuverlässig interpretieren verstehen den Nutzen von stratifizierten und Traktstichproben, können solche Inventuren instruieren und Daten aus solchen Inventuren auswerten (SHL Inhalt Unterlagen und Unterrichtsmaterial Ziel des Unterrichts

5 Vorwissen (SHL Kennen Sie en? Wie unterscheiden sich diese? Könnten Sie selber eine Inventur planen und durchführen? Welches Fachwissen ist notwendig? Welche Fachspezialisten brauchen Sie? Aus welchen Fachgebieten stammen die Grundlagen der? Ziel und Zweck der typen Grundgesamtheit der

6 typen (SHL en werden nach verschiedenen Kriterien unterschieden: Grösse des Untersuchungsgebiets (global, kontinental, national, regional, Betrieb, Bestand) Umfang der gewünschten Informationen (Holzressourcen, Waldwirkungen: gebundene Biomasse, Biodiversität, Schutz, Erholung,...) Stichprobenverfahren (Details später) Ziel und Zweck der typen Grundgesamtheit der

7 Grundgesamtheit der kennenlernen (Gruppenarbeit) (SHL Wählen Sie 5 verschiedene Informationen (Ergebnisse, Kennzahlen), welche Sie nach Abschluss einer gerne hätten. Machen Sie Beispiele für den Wald global, den Schweizer Wald oder den Wald eines Forstbetriebs Beschreiben Sie in Worten (Sätzen), wie diese fünf Informationen definiert sind, d.h. wie sie die Kennzahlen berechnen würden, wenn Sie alle erforderlichen Daten aus dem Wald zur Verfügung hätten (zum Beispiel die Waldfläche oder die Anzahl Bäume und deren Volumen kennen würden) Überlegen Sie sich möglichst verständliche Kurznamen für die verschiedenen Informationen Ziel und Zweck der typen Grundgesamtheit der

8 Population und Stichprobe (SHL Population (Grundgesamtheit): Gesamtheit der Populationselemente Merkmal (Variable, Zielgrösse): Charakteristik, welche an jedem Element der Population eindeutig definiert ist, resp. gemessen werden kann Populationsparameter: Kennzahl der Grundgesamtheit (ist eine Funktion von an den Populationselementen definierten Merkmalen) Stichprobe: Teilmenge der Population Stichprobenumfang (Stichprobengrösse): Anzahl oder Menge der Populationselemente in der Stichprobe Population und Stichprobe Zufallsstichprobe Schätzer und Schätzungen

9 Ziehung und Auswertung (SHL Stichprobenauswahlverfahren (Stichprobenplan, Stichprobendesign): Art der Ziehung der Stichprobe aus der Grundgesamtheit Schätzverfahren: Methode der Hochrechnung, das heisst die Art der Schätzung der Populationsparameter aus der Stichprobe (die verwendeten Formeln nennt man Schätzer) Stichprobenauswahlverfahren und Schätzverfahren müssen übereinstimmen, d.h. für jedes Auswahlverfahren muss das dazu passende Schätzverfahren entwickelt, respektive angewendet werden Population und Stichprobe Zufallsstichprobe Schätzer und Schätzungen

10 Zufallsstichprobe Zufallsstichprobe (Wahrscheinlichkeitsstichprobe) steht im Gegensatz zur willkürlichen Auswahl der Stichprobe aus der Population bei willkürlicher Auswahl sind keine gesicherten Angaben über die Grundgesamtheit möglich eine (gute) Zufallsstichprobe erfüllt folgende Grundvoraussetzungen: jedes Populationselement hat eine Chance in die Stichprobe aufgenommen zu werden für die Populationselemente in der Stichprobe ist bekannt mit welcher Wahrscheinlichkeit sie in die Stichprobe aufgenommen wurden diese Aufnahmewahrscheinlichkeit wird mit dem Symbol π bezeichnet und es gilt für alle Populationslemente: 0 < π 1 Populationselemente dürfen mit unterschiedlicher Aufnahmewahrscheinlichkeit gezogen werden (Beispiel Winkelzählprobe) (SHL Population und Stichprobe Zufallsstichprobe Schätzer und Schätzungen

11 Erwartungstreue (unverzerrte) Schätzer ein Schätzverfahren (Schätzer) welches im Mittel exakt den gesuchten Populationsparameter θ liefert nennt man erwartungstreu (oder unverzerrt) unter dem gegebenen Stichprobenauswahlverfahren (Design) im Mittel bedeutet, dass der arithmetische Mittelwert der Schätzungen ˆθ aus (hypothetisch) unendlich vielen Wiederholungen der Inventur exakt dem gesuchten Populationsparameter θ entspricht erwartungstreue Schätzer gibt es nur für Zufallsstichproben die Schätzer (die Formeln) enthalten neben den interessierenden (gemessenen) Merkmalen (Variablen) der Populationelemente in der Stichprobe immer auch deren Aufnahmahrscheinlichkeiten π in die Stichprobe (SHL Population und Stichprobe Zufallsstichprobe Schätzer und Schätzungen

12 Genauigkeit der Schätzung (Schätzfehler) mit nur einer Zufallsstichprobe kann nicht gesagt werden, welcher Wert der gesuchte Populationsparameter θ hat würde die Zufallsstichprobe (hypothetisch oder mit einem Simulator) vielmals wiederholt, würden die einzelnen (erwartungstreuen) Schätzungen ˆθ streuen die ˆθ folgen einer Normalverteilung mit Mittelwert θ und Standardabweichung σ, und zwar unabhängig von der Verteilung der Populationslemente in der Grundgesamtheit (zentraler Grenzwertsatz) eine einzelne Zufallsstichprobe liefert eine erwartungstreue Schätzung ˆθ des Populationsparameters θ (Punktschätzung) und eine erwartungstreue Schätzung Ŝ ˆθ der unbekannten Streuung σ der Schätzungen ˆθ (Intervallschätzung, Standardfehler) (SHL Population und Stichprobe Zufallsstichprobe Schätzer und Schätzungen

13 Standardfehler und Vertrauensintervall mit der Punktschätzung ˆθ und dem Standardfehler Ŝ ˆθ werden Vertrauensintervalle hergeleitet diese legen fest, in wie vielen (hypothetischen) Wiederholungen der Inventur sich der wahre Wert θ (nicht) innerhalb des Vertrauensintervalls befinden würde Vertrauensintervalle können für beliebige Signifikanzniveaus angegeben werden; üblich sind 68% (einfacher Standardfehler), 90%, 95% (doppelter Standardfehler) oder 99% die halbe Breite des 95%-Vertrauensintervall ist ungefähr doppelt so gross wie der Standardfehler Ŝ ˆθ und besagt also, dass erwartet werden darf, dass sich der gesuchte Populationsparameter θ in 95% der Wiederholungen der Inventur innerhalb des berechneten Vetrauensintervalls befinden würde (SHL Population und Stichprobe Zufallsstichprobe Schätzer und Schätzungen

14 Mathematische Notation für die Grundgesamtheit der (SHL Notation F λ F i : 1... N u i X i Z i Beschreibung Waldgebiet in R 2 (Projektion auf die Ebene) Fläche von F normalerweise in Hektaren Zähler für die N Bäume in F ; es werden nur Bäume berücksichtigt, die im Waldareal F liegen und die Kluppschwelle erreicht haben Koordinate (Standort) des iten Baumes in F Wert der Variable für den iten Baum (zum Beispiel Grundfläche) Wert einer zweiten untersuchten Variable für den iten Baum (zum Beispiel Schaftholzvolumen) Population Populationsparameter Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheiten Aufnahmewahrscheinlichkeiten Bäume am Waldrand Lokale Dichte Schätzer

15 Die wichtigsten Populationsparameter Notation λ F T X = N i=1 X i Y X = T X /λ F R X/Z = Y X /Y Z X = T X /N Beschreibung Waldfläche (ist bei Betriebsinventuren häufig bekannt, bei Grosrauminventuren in der Regel nicht) Total von X in F mittlere räumliche Dichte (Hektardichte) von X in F Quotient von zwei Variablen X und Z in F Mittelwert von X in F (wird in der selten verwendet, respektive als R X/Z = T X /T Z geschätzt, wobei für alle Populationsemente Z 1 gesetzt wird) (SHL Population Populationsparameter Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheiten Aufnahmewahrscheinlichkeiten Bäume am Waldrand Lokale Dichte Schätzer

16 Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheiten oft ist es nicht möglich die Populationselemente direkt aus der Population auszuwählen (zu ziehen) zum Beispiel steht in der Meinungsforschung oftmals nur eine Liste aller Haushalte, aber nicht aller Personen zur Verfügung die Liste aus welcher zufällig ausgewählt wird, nennt man den Stichprobenrahmen, dessen Elemente sind die Stichprobeneinheiten die Assoziationsregel zwischen zufällig ausgewählten Stichprobeneinheiten und Populationselementen müssen (exakt) bekannt sein, damit die Aufnahmewahrscheinlichkeiten berechnet werden können mit welchen die Populationselemente in die Stichprobe aufgenommen wurden (SHL Population Populationsparameter Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheiten Aufnahmewahrscheinlichkeiten Bäume am Waldrand Lokale Dichte Schätzer

17 Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheit in der Bäume einzeln aus einer Liste auswählen (SHL Liste aller Bäume erstellen (Population ist identisch mit dem Stichprobenrahmen, Stichprobeneinheiten sind die Populationselemente, d.h. die Bäume) Bäume werden dann zufällig aus der Liste gezogen diese Auswahlverfahren funktioniert nur für sehr kleine Gebiete, weil ja als Grundlage die Liste aller Bäume notwendig ist zum Beispiel in Versuchsflächen Population Populationsparameter Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheiten Aufnahmewahrscheinlichkeiten Bäume am Waldrand Lokale Dichte Schätzer

18 Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheit in der Wald in (disjunkte) Teilgebiete unterteilen Stichprobeneinheiten sind etwa die Bestände der Bestandeskarte, oder die Zellen eines (feinen) Gitterrasters, welches das Untersuchungsgebiet vollständig abdeckt Stichprobeneinheiten werden zufällig aus der Liste aller Stichprobeneinheiten (dem Stichprobenrahmen) gezogen innerhalb der Stichprobeneinheiten: Auswahl und Messung aller Bäume, oder Zufalls-Unterstichprobe von Bäumen (Populationselementen) diese zweistufige Ziehung wird in der selten angewandt; in der Landwirtschaft (Versuchsflächen) oder in demographischen Studien ist sie verbreitet (SHL Population Populationsparameter Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheiten Aufnahmewahrscheinlichkeiten Bäume am Waldrand Lokale Dichte Schätzer

19 Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheit in der Auswahl von Zufallspunkten im Waldgebiet Stichprobenrahmen ist das Waldgebiet (F ), die Stichrobeneinheiten sind die Punkte (ω) im Waldgebiet dieser Ansatz heisst infinite population approach der (ist heute Standard und wird hier weiter behandelt) Voraussetzung ist eine wohl definierte Assoziationsregel zwischen Stichprobenpunkt ω und den Bäumen in seiner Umgebung bekannte und zulässige Baumauswahlverfahren sind die Festkreisprobe oder die Winkelzählprobe zulässig sind Assoziationsregeln, welche die Bäume so auswählen, dass (nachträglich) fehlerfrei bestimmt werden kann, wie gross deren Aufnahmewahrscheinlichkeit π in die Stichprobe war (SHL Population Populationsparameter Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheiten Aufnahmewahrscheinlichkeiten Bäume am Waldrand Lokale Dichte Schätzer

20 Aufnahmewahrscheinlichkeiten Duale Betrachtung der Zufall besteht einzig darin, dass der einzelne Stichprobenpunkt ω zufällig (gleichwahrscheinlich) im Waldgebiet F gezogen wird duale Betrachtung: Festkreis- oder Winkelzählproben definieren implizit ein kreisförmiges Gebiet um jeden Baum in der Population (Details später) für Baum i wird dieses Aufnahmegebiet mit A i bezeichnet (λ Ai ist die Fläche von A i ) wird ein Stichprobenpunkt ω zufällig in F ausgewählt, wird der Baum i in die Stichprobe aufgenommen, falls ω per Zufall in sein Aufnahmegebiet A i zu liegen kommt die Wahrscheinlichkeit das der i-ten Baum gezogen wird ist also π i = λ Ai /λ F (SHL Population Populationsparameter Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheiten Aufnahmewahrscheinlichkeiten Bäume am Waldrand Lokale Dichte Schätzer

21 Aufnahmewahrscheinlichkeiten Festkreisprobe und Winkelzählprobe bei der Festkreisprobe mit Radius r ist die Aufnahmewahrscheinlichkeit π i für Baum i: π i = λ A i λ F = 1 π r 2 [m 2 ] λ F [ha] (π auf der rechten Seite der Gleichung ist die Zahl π = 3.14) bei der Winkelzählprobe mit Öffnungswinkel α, resp. Zählfaktor k ist die Aufnahmewahrscheinlichkeit π i für Baum i eine Funktion dessen Grundfläche G i : (SHL Population Populationsparameter Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheiten Aufnahmewahrscheinlichkeiten Bäume am Waldrand Lokale Dichte Schätzer π i = λ A i λ F = 1 G i [m 2 ] λ F [ha] sin 2 (α/2) = 1 G i [m 2 ] λ F [ha] k

22 Waldrandkorrektur Bäume am Waldrand haben eine kleinere Aufnahmewahrscheinlichkeit, weil nur Stichprobenpunkte welche innerhalb des Waldgebietes F generiert werden, in die Stichprobe aufgenommen werden es gilt also π i = λ Ai F /λ F, wobei A i F derjenige Teil des Aufnehmegebietes A i von Baum i ist, welcher innerhalb des Waldgebiets F liegt da das Ausmessen der reduzierten Aufnahmegebiete A i F für Bäume am Waldrand im Gelände aufwändig ist, sind in der Praxis Näherungslösungen verbreitet: etwa die Spiegelung des zentrums am Waldrand oder die Walk-Through-Methode (SHL Population Populationsparameter Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheiten Aufnahmewahrscheinlichkeiten Bäume am Waldrand Lokale Dichte Schätzer

23 Der Horwitz-Thompson Schätzer wird der Punkt ω zufällig im Waldgebiet F ausgewählt, hat jeder Baum eine Chance in die Stichprobe zu gelangen (π i > 0, i) bei einer WZP oder FKP kann π i für jeden Baum i in der Stichprobe bestimmt werden der Horwitz-Thompson-Schätzer ˆT X = t X (ω) = i S(ω) ist dann ein erwartungstreuer Schätzer für das Total der Variable X in F (T x ) die Summe muss über alle Bäume gerechnet werden, welche am Zufallsspunkt ω erfasst werden (i S(ω)), das heisst sich in der lokalen Stichprobe S(ω) befinden π i sind die Aufnahmewahrscheinlichkeiten der Bäume, X i sind die Werte der Zielgrösse X i π i (SHL Population Populationsparameter Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheiten Aufnahmewahrscheinlichkeiten Bäume am Waldrand Lokale Dichte Schätzer

24 Die lokale Dichte In der Praxis wird nicht mit der Schätzung t X (ω) = i S(ω) X i/π i gearbeitet, sondern mit der lokalen Dichte (Hektardichte) y X (ω) = 1 λ F t X (ω) = 1 λ F λ F X i λ i S(ω) Ai F = i S(ω) die Waldfläche λ F muss für die Berechnung der lokalen Hektardichte y X (ω) nicht bekannt sein die f i = 1/λ Ai F sind die Hochrechnungsfaktoren unter der Festkreisprobe ist f i mit Ausnahme der Bäume am Waldrand konstant für einen zufällig und gleichwahrscheinlich in F gezogenen Zufallspunkt ω ist die lokale Dichte y X (ω) ein erwartungstreuer Schätzer des Populationsparameters Y X in F X i f i (SHL Population Populationsparameter Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheiten Aufnahmewahrscheinlichkeiten Bäume am Waldrand Lokale Dichte Schätzer

25 Lokale Dichte und Populationsparameter wir haben gezeigt, dass die lokale Dichte y X (ω) ein erwartungstreuer Schätzer für Y X ist, falls ω zufällig und gleichwahrscheinlich in F gezogen wird der Beweis gelang über die Herleitung der Aufnahmewahrscheinlichkeiten und die bekannten Eigenschaften des Horwitz-Thompson Schätzers die lokale Dichte y X (ω) kann auch als Wert des Populationselements ω in der unendlichen Population aller Punkte ω in F aufgefasst werden, und es gilt: y X (ω) dω = T X = X i i F F (SHL Population Populationsparameter Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheiten Aufnahmewahrscheinlichkeiten Bäume am Waldrand Lokale Dichte Schätzer der Populationsparameter T X kann also nicht nur als Summe der Variable X über alle Bäume in F aufgefasst werden, sondern auch als Integral der Variable y X (ω) über alle Punkte in F

26 Punkt- und Intervallschätzung mit einer Stichprobe von m unabhängig und gleichwahrscheinlich im Untersuchungsgebiet F gezogenen Stichprobenpunkten () die Stichprobe bilden die m zufällig und unabhängig voneinander gezogene Stichprobenpunkte (lokale Dichten) aus der unendlichen Population aller ω in F der erwartungstreue Punkt-Schätzer ŶX (für den Populationsparameter Y X ) und Intervall-Schätzer Ŝ Ŷ X (für die Standardabweichung σ der Schätzungen Ŷ X ) sind: Ŝ Ŷ X = Ŷ X = ȳ X = 1 m y X (ω j ) m j=1 mj=1 sx 2 m = (y X (ω j ) ȳ X ) 2 m (m 1) (SHL Population Populationsparameter Stichprobenrahmen und Stichprobeneinheiten Aufnahmewahrscheinlichkeiten Bäume am Waldrand Lokale Dichte Schätzer s 2 X bezeichnet die Varianz der lokalen Dichten y X (ω) in der Stichprobe; Ŝ ŶX ist der Standardfehler der Schätzung ŶX

27 Veränderungskomponenten in der Population Change and change components between time point t 1 and time point t 2 (t 1 < t 2 ) in the sub-population of living stems. (SHL Growth of: - Survivors - Ingrowth - Forest area gain - Drain Forest area gain Ingrowth Accretion Gross ingrowth Drain Gross increment (Natural) Losses Net increment Fellings Net change Remaining stems as dead stems Destroyed stems (natural, anthropogenic) Forest area loss Utilized stems (residues, removals) N 2 N 1 t 1 N 1 + Gross increment = N 2 + Drain t 2 vs: al cf Abbildung: Definition der Veränderungskomponenten in den en Europas (Entwurf).

28 Veränderungskomponenten, nach Biolley Tabelle: Die wichtigsten Veränderungskomponenten ausgedrückt für die Veränderung der Stammzahl (N) und die Veränderung des Volumens (V ). Zustände sind mit 1 und 2 indiziert, 1 < 2. Die abgehenden Bäume werden zum Zeitpunkt t (1 < t < 2) des Abgangs aus der Population gemessen (Stehendkontrolle der Nutzungen), der Einwuchs ist das Volumen V P (oder die Grundfläche) zum Zeitpunkt des Überschreitens der Kluppschwelle (Eintritt in die Population). Begriff Symbol Definition Veränderung N1<2 N 2 N 1 = P N1<2 E N1<2 (augmentation ou diminution) V1<2 V 2 V 1 (SHL Abgang E N1<2 E N t (matériel exploité) E V1<2 E V t Einwuchs P N1<2 N 2 N 1 + E N1<2 (passage à la futaie) P V1<2 P N1<2 V P Gesamtzuwachs (Zunahme) I N1<2 N 2 N 1 + E N1<2 = P N1<2 (accroissement total) I V1<2 V 2 V 1 + E V1<2 Zuwachs (des Anfangsbestandes) I N11<2 N 2 N 1 + E N1<2 P N1<2 = 0 (accroissement du matériel initial) I V 11<2 V 2 V 1 + E V1<2 P V1<2

29 Veränderungskomponenten, nach Beers Tabelle: Kontrollstichprobe mit permanent eingerichteten und konstanten Baumauswahlwahrscheinlichkeiten (Festkreisprobeflächen). Komponenten ausgedrückt für die Stammzahl (N) und das Volumens (V ) oder eine andere Baumvariable, wie etwa die Grundfläche. Zustände sind mit 1 und 2 indiziert, 1 < 2. Der Abgang wird zum Zeitpunkt 1, der Einwuchs zum Zeitpunkt 2 bestimmt, was mit entsprechenden tiefgestellten Indexen gekennzeichnet ist. Weil die Bäume bei der Kontrollstichprobe, im Gegensatz zur Kontrollmethode, einzeln identifiziert sind, ist auch die Subpopulation der überlebenden Bäume bekannt (S, survivor) und die Veränderungskomponenten lassen sich neu schreiben Begriff Symbol Definition Veränderung N1<2 N 2 N 1 (net change) V1<2 V 2 V 1 (SHL Abgang E N1<2 E N1 (cut and mortality) E V1<2 E V1 Einwuchs P N1<2 P N2 (ingrowth) P V1<2 P V2 Gesamtzuwachs I N1<2 S N2 S N1 + P N1<2 = P N1<2 (gross growth) I V1<2 S V2 S V1 + P V1<2 Zuwachs ohne Einwuchs I N11<2 S N2 S N1 = 0 (survivor growth) I V 11<2 S V2 S V1

30 Veränderungskomponenten Berechnen Sie die Hektardichten der Veränderung, des Einwuchs, des Brutto- und Nettozuwachs, des Abgangs, der Nutzung, der Mortalität nach Methode Beers (Schmid-Haas) und Eriksson für die Stammzahl und die Grundfläche. Tabelle: Vorhandene Bäume mit gemessenen BHD zum Zeitpunkt t 1 und zum Zeitpunkt t 2 auf einer permanent eingerichteten Probefläche von 300 m 2 Fläche. Kluppschwelle: 12 cm. Kursive BHD: Vermutete (modellierte) BHD zum Zeitpunkt des Abgangs. # d 13(t 1) d 13(t 2) Status (t 2) (SHL lebend Stock mit Fällschnitt lebend lebend 5-18 lebend Dürrständer liegend tot 8-15 liegend tot nicht mehr da

31 Veränderungskomponenten Lösung zur Aufgabe. (SHL # d 13(t 1) d 13(t 2) f 1 N 1 N 2 E N1 P N2 S N1 S N2 E Nt P Nt Summe ohne # # g 13(t 1) g 13(t 2) G 1 G 2 E G1 P G2 S G1 S G2 E Gt P Gt Summe ohne #

32 Veränderungskomponenten Lösung zur Aufgabe. Tabelle: Lokale Hektardichten der Veränderungskomponenten nach Beers (wie bei den Kontrollstichproben nach Schmid-Haas) und Eriksson. Definition Stz Gfl Differenz N2 N1 (G2 G1) (SHL Abgang B E E E t Einwuchs B P E P t Bruttozuwachs B S 2 S 1 + P E S 2 S 1 + E t E 1 + P Zuwachs ohne Einwuchs B S 2 S E S 2 + S 1 + E t E 1 + P 2 P t Bruttozuwachs Abgang B (Kontrolle: = Differenz?) E