Die vier Grundoperationen

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1 Die vier Grundoperationen Formen des Rechnens - mündliches Rechnen - halbschriftliche Strategien - schriftliches Rechnen nach Normalverfahren - schätzen, runden, überschlagen - Rechnen mit Taschenrechner Halbschriftliches Rechnen Flexible Strategien, die den Besonderheiten der jeweiligen Aufgaben resp. Zahlen angepasst werden können. Teilrechnungen, Zwischenschritte und Zwischenergebnisse werden notiert. Halbschriftliche Strategien (wie andere Rechenmethoden auch) sind Werkzeuge der Schülerinnen und Schüler zur Bewältigung von Rechenanforderungen (Krauthausen 2003, 89). Sie tragen zum Aufbau von Zahlvorstellungen, zum Operationsverständnis sowie zur Entdeckung elementarer Rechengesetze bei. Beim halbschriftlichen Rechnen werden die Zahlen ganzheitlich als dezimale Einheiten verwendet (Einer- Zehner-, Hunderterzahlen). Schriftliches Rechnen nach Normalverfahren Im Gegensatz zum halbschriftlichen Rechnen werden bei den schriftlichen Verfahren, unabhängig vom Zahlenmaterial, immer die gleichen Schritte in der immer gleichen Reihenfolge durchgeführt. Zwar wird ebenfalls der dezimale Zahlaufbau verwendet, es wird aber ziffernweise vorgegangen, d.h., alle Einheiten werden vorübergehend wie Einer verarbeitet, der dezimale Stellenwert wird während des Rechenprozesses nicht berücksichtigt. Kritische Überlegungen zur Gewichtung schriftlicher Operationsfertigkeiten im Mathematikunterricht - Die Bedeutung des schriftlichen Rechnens hat abgenommen. Einsicht in die Verfahren ist demnach wichtiger als viel Übung und Drill. - Kontroll- und Überschlagsrechnen ist wichtig auch beim Rechnen mit dem Taschenrechner,dieses erfordert aber Verstehen. - Auch bei Normalverfahren kann der Akzent auf mathematisches Tätigsein gelegt werden und die Schüler/innen können angeleitet werden zu Entdeckungen. Leitlinien/ Prinzipien bei der Erarbeitung von Operationen - an Vorkenntnissen anknüpfen - von interessanten, passenden Sachsituationen ausgehen - die Verfahren handelnd erarbeiten - die einzelnen Schritte immer wieder sprachlich begleiten, durch den/die Schüler/in erklären lassen - Bei Schüler/innen mit mathematischen Lernstörungen ist individuell sorgfältig zu prüfen, ob es Sinn macht, die schriftlichen Operationen einzuführen. 1

2 Vom halbschriftlichen zum schriftlichen Rechnen Addition und Subtraktion Operationsverständnis Jede Operation hat verschiedene Aspekte. Sie stellt immer eine Situation oder eine Handlung dar. Die verschiedenen Aspekte sollen die Schüler/innen in Form einfacher Rechengeschichten erarbeiten: Rechengeschichten spielen, zeichnen, legen, aufschreiben; Rechnungen den Geschichten zuordnen und umgekehrt; anknüpfen an Vorerfahrungen, diese erweitern und später systematisieren Halbschriftliche Addition bzw. Subtraktion Drei unterschiedliche Strategien - schrittweise - Stellenwerte extra - Vereinfachen Förderhinweise: - handelnd erarbeiten (Dienes) - Rechenstrich als Veranschaulichung Schriftliche Addition - kleines 1 + 1, zumindest teilweise automatisiert (Kernaufgaben) - halbschriftliche Verfahren verstanden, v.a. Stellenwerte extra - Überschlagsrechnen - Dezimalsystem verstanden, v.a. Bündeln und Stellenwertschreibweise Stolpersteine - von rechts nach links rechnen (bisher umgekehrt!) - Übertrag/ Schreibweise wird nicht verstanden Förderhinweise - Überschlagsrechnung im Voraus - genügend Platz für Übertrag lassen - immer wieder Bedeutung von Übertrag thematisieren - ev. Null an leere Stellen setzen Additionen mit Nullen repetieren - handeln, sprachlich begleiten, schrittweise protokollieren - zur Vorstellung/ zum mentalen Operieren auffordern 2

3 Schriftliche Subtraktion - Subtraktion verstanden: Minuend (obere Zahl) muss grösser sein als Subtrahend (untere Zahl) - halbschriftliche Verfahren verstanden - Dezimalsystem verstanden, v.a. Bündeln, Entbündeln, Stellenwertschreibweise Subtrahieren durch Ergänzen oder Wegnehmen Schriftliche Subtraktionsverfahren basieren grundsätzlich entweder auf dem Ergänzen (von unten nach oben) oder auf dem Wegnehmen (von oben nach unten). Es sollen von Anfang an Rechnungen mit und ohne Übertrag bearbeitet werden, damit der Übertrag nicht als etwas besonders Schwieriges erscheint. 1. Ergänzen durch Erweitern Wenn Ergänzen nicht direkt möglich ist, dann wird die betreffende Stelle des Minuenden um 10 erweitert. Zum Ausgleich wird beim Subtrahenden an der nächsten Stelle eine Einheit hinzugefügt. Schwierigkeiten - Sowohl im Minuenden (erweitern) als auch im Subtrahenden (ausgleichen) werden Veränderungen vorgenommen. - Ergänzen im Zahlenraum bis 20 muss automatisiert sein, vor allem Rechnungen, bei denen der Zehner überschritten wird, z.b. 8 + = Zählermodell (ZB4, S. 33) Das Zählermodell ist eine spezielle Form des Ergänzens: Der Subtrahend wird sukzessive an den Minuenden angeglichen, beginnend bei den Einern. Dabei wird nicht um dezimale Einheiten oder auf dezimale Einheiten ergänzt! Aufgeschrieben wird die jeweils aufzufüllende Differenz. Schwierigkeiten - Komplexer Vorgang, der schwierig in konkrete Handlung umzusetzen ist. - Ergänzen ist für die meisten Schüler/innen schwieriger als wegnehmen. 3. Abziehmodell Das Abziehmodell geht vom Wegnehmen aus. Wenn an einer Stelle des Minuenden die Anzahl zu klein ist zum Abziehen, wird von der nächsten Stelle des Minuenden eine dezimale Einheit entbündelt und der zu kleinen Stelle beigefügt. Vorteile - Abziehen entspricht den Vorerfahrungen der Schüler/innen beim Kopfrechnen und beim halbschriftlichen Rechnen. - Das Abziehverfahren ist über Handlung mit konkretem Material leicht einsehbar und begründbar. - Entbündeln bei der schriftlichen Subtraktion ist die Umkehr des Bündelns bei der schriftlichen Addition. - Umformungen werden ausschliesslich beim Minuenden vorgenommen, so können weniger Verwechslungen mit dem Übertrag entstehen. - Das Abziehverfahren kommt Schüler/innen aus anderen Kulturen oft entgegen, da fast nur in deutschsprachigen Ländern das Ergänzungsverfahren gelehrt wird. Nachteile - Aufgaben mit mehreren Nullen im Minuenden können Probleme verursachen. - Schwierigkeit bei der Notation 3

4 Multiplikation Aspekte der Multiplikation Multiplikation - Verständnis Addition und Subtraktion, zumindest Kernaufgaben automatisiert - Kenntnis Hunderterraum (siehe Aspekte Dezimalsystem) Drei Aspekte der Multiplikation: a) Zeitlich-sukzessiver Aspekt Ein Vorgang wiederholt sich mehrmals Handlungsketten entstehen Beispiel: Eliane geht vier Mal in den Keller und bringt jedes Mal zwei Flaschen mit. Für den zeitlich-sukzessiven Aspekt ergeben sich lineare Darstellungsmöglichkeiten. Im zeitlich-sukzessiven Aspekt ist das Verständnis der Multiplikation als fortgesetzte Addition enthalten ( = 8). b) Räumlich-simultaner Aspekt Das räumliche Nebeneinander von gleichartigen Mengen mit gleicher Mächtigkeit wird beschreiben. Beispiel: Auf dem Tisch stehen vier Teller, in jedem Teller hat es zehn Ravioli. Die Darstellung erfolgt räumlich, oft als Felddarstellung. c) Kombinatorischer Aspekt Mögliche Verbindungen zwischen den Elementen zweier Mengen. Beispiel: Reto hat zwei Windjacken und drei Mützen. Wie viele Möglichkeiten zum Anziehen hat er? Förderung - Multiplikatives Verständnis aufbauen. - Zu Beginn mit dem räumlich-simultanen Aspekt arbeiten. - Der zeitlich-sukzessive Aspekt kommt zum Verständnis des Aufbaus der Reihen (nicht aber zum Reihenlernen!) zum Zuge. Das Erlernen der einzelnen Zahlenfolgen und ein einseitiges Betonen der fortgesetzten Addition ist für die SchülerInnen nicht hilfreich und kann Abzählstrategien fördern (hohe Anforderungen an die Merkfähigkeit). Zudem besteht die fortgesetzte Addition aus einem Aneinanderreihen von Summanden, das Malnehmen (im Sinn von "Faktor mal Faktor") wird dadurch oft nicht erkannt. - Merkaufgaben via Verdoppeln und Halbieren erarbeiten. - 4

5 Vor- und Nachteile verschiedener Lösungsverfahren bei der Erarbeitung des Einmaleins a) Fortgesetzte Addition (6 x = 16, + 8 = 24, + 8 = 32, + 8 =...) + Addition als Operation ist bekannt; die erste Addition fällt leicht vorausgesetzt die Verdoppelungen sind bekannt - Eineradditionen im Hunderterraum müssen sicher im Kopf beherrscht werden - Verfahren ist zeitaufwändig und fehleranfällig - Kurzzeitgedächtnis wird überfordert; Fingerzählen muss zu Hilfe genommen werden, um die Orientierung nicht zu verlieren - Multiplikation wird nur als zeitlich-sukzessives Aneinanderreihen von gleichen Additionen erlebt b) Einmaleinsreihen aufsagen = Zählen in Schritten (6 x 8 8, 16, 24, 32,...) + Wenn das Zählen in Schritten verinnerlicht ist, dann sind die Zweier- Zehner- und ev. Die Fünferreihe bereits bekannt - Alle Reihen müssen sicher auswendig beherrscht werden - Bei schwierigeren Aufgaben müssen wieder die Finger mithelfen, um das Kurzzeitgedächtnis zu entlasten - Multiplikatives Verständnis wird erschwert - Manche Schüler/innen automatisieren nicht, da sie sich aufs rasche Abzählen verlassen c) Multiplikationsaufgaben ableiten von Merkaufgaben (6 x 8 5 x x 8) + Verdoppeln/ halbieren zerlegen/ zusammensetzen wurden in 1. Klasse intensiv geübt + Einsicht in operative Beziehungen/ Strategien wird aufgegriffen und geschult + Nützliche Strategien, die später beim grossen Einmaleins erforderlich sind, werden trainiert - Setzt sichere Kenntnis der kurzen Reihen voraus (1x; 2x; 5x; 10x) - Setzt sicheres Addieren und Subtrahieren von einstelligen Zahlen voraus - Fordert Einsicht in operative Beziehungen Automatisieren Aus den Vor- und Nachteilen der verschiedenen Rechenarten ergibt sich: Das Erlernen der einzelnen Zahlenfolgen und das einseitige Betonen der fortgesetzten Addition sind für die Schüler/innen nicht unbedingt hilfreich und können Abzählstrategien fördern. Zudem werden extrem hohe Anforderungen an die Merkfähigkeit gestellt. Wichtig sind vielmehr das Wahrnehmen multiplikativer Strukturen und ein Konzentrieren auf die Merkaufgaben bzw. auf die kurzen Reihen. Die Übungszeit soll später in das effiziente Ableiten der übrigen Aufgaben investiert werden. So werden zunehmend mehr 1x1-Aufgaben automatisiert. Kleines Einmaleins Wichtige Aspekte - Wichtig ist das Erarbeiten der Multiplikation mit dem räumlich-simultanen Aspekt (Punktfeld konzeptuelles Verständnis der Multiplikation). - Das Automatisieren des kleinen Einmaleins soll über die Merkaufgaben (2 n, 5 n, 10 n) erfolgen und nicht über das Auswendiglernen der Reihen! - Sichere Orientierung im Hunderterraum (vor-, rückwärts, Mengenerfassung, 10ergänzungen) - Verständnis Addition und Subtraktion - halbieren/verdoppeln - einstellige Additionen/Subtraktionen, 1+1 weitgehend automatisiert 5

6 Mögliche Schwierigkeiten - Kein Verständnis der Multiplikation (Addition anstatt Multiplikation) - Automatisierungsschwierigkeiten - Zählendes Rechnen Förderhinweise - Einführung der Multiplikation erst dann, wenn sicher beherrscht werden - Bei der Einführung Schwergewicht auf räumlich-simultanen Aspekt bwz. das Erfassen multiplikativer Figuren legen - Zeitlich-sukzessiven Aspekt im Zusammenhang mit multiplikativer Handlung verwenden - Das Ableiten von Kernaufgaben (1x; 2x; 5x; 10x) intensiv und immer wieder üben anstatt Reihen büffeln - Arbeit mit Malstreifen (zerschnittene Hunderterfelder) anstelle des Hunderterfeldes + Malwinkels Zehner-Einmaleins und Stelleneinmaleins Verständnis gehört zum Basisstoff. Kleines Einmaleins ist Voraussetzung! Beziehung zwischen Einmaleins und Zehner-Einmaleins muss im Zentrum stehen. Regel Null anhängen darf nicht auf der Ebene des Tricks vermittelt werden, sondern muss verstanden sein. Dienes-Material eignet sich gut, um das Zehner- (und Hunderter-Einmaleins) zu veranschaulichen und Strukturen selber entdecken zu lassen. Grosses Einmaleins Ist für Kinder mit Lernschwierigkeiten oft eine Überforderung. Einzelne Aufgaben können unter Umständen handelnd mit dem Dienes-Material oder am 400-er Feld erarbeitet werden, ist jedoch nicht Basisstoff. Halbschriftliche Multiplikation - Erkennen multiplikativer Strukturen - Kleines Einmaleins, zumindest Kernaufgaben automatisiert - Kenntnis Tausenderraum (siehe Dezimalsystem) - Quadratzahlen - Einsicht in Rechengesetze (vor allem Distributivgesetz) Mögliche Schwierigkeiten - Multiplikation nur als Reihe repräsentiert - fehlende Automatisierung des kleinen Einmaleins - Raumorientierung - Übertragung ins Malkreuz - Didaktogen: fehlende Veranschaulichung/ Handlung zu schnelle Einführung der schriftlichen Multiplikation Kann mittels des 400-er Feldes oder dem Dienes-Material anschaulich erarbeitet werden. Zum Ableiten schwieriger Aufgaben ist neben dem Erarbeiten der kurzen Reihen und dem Erlernen der Quadratzahlen auch die Einsicht in bestimmte Rechengesetze wichtig. Wichtig ist das Verständnis (nicht der Begriff!) der Gesetze. 6

7 Kommutativgesetz (Vertauschgesetz): a b = b a Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz): (a b) c = a (b c) Distributivgesetz (Verteilungsgesetz): a (b + c): a b + a c Wird eine Summe mit einer Zahl multipliziert, kann jeder Summand einzeln mit der Zahl multipliziert werden, und beide Produkte werden addiert. a (b + c) = a b + a c Die Multiplikation von zwei 2-stelligen Zahlen kann aufgeteilt werden in (a+b) (c+d) = a c + a d + b c + b d wobei a und c den Zehnern, b und d den Einern entsprechen. Förderhinweise Wichtig ist, dass die Schüler/innen Lösungsstrategien herausfinden und anwenden können, und dass sie verstehen, dass jede Ziffer des Multiplikators mit jeder Ziffer des Multiplikanden gemäss dem jeweiligen Stellenwert multipliziert werden muss. - Veranschaulichung: 400er-Feld - Die Linien des Malkreuzes gut sichtbar machen - Die Teilaufgaben auf Kärtchen schreiben - Mit Dienes-Material Aufgabe räumlich oder in der Stellentafel darstellen Schriftliche Multiplikation Die schriftliche Multiplikation ist ein komplexes Verfahren und es muss im Einzelfall entschieden werden, ob es Sinn macht, diese zu erarbeiten oder ob es hilfreicher ist, das halbschriftliche Verfahren handelnd zu erarbeiten und den Taschenrechner zu verwenden. Wenn die zur schriftlichen Multiplikation vorhanden sind, kann nach dem Vorgehen, wie es in Schulbüchern vorgeschlagen wird, vorgegangen werden. - Einmaleins verstanden - Halbschriftliche Multiplikation verstanden - Dezimalsystem verstanden 7

8 Förderhinweise - mit Dienes und Stellentafel Aufgabe darstellen T H Z E - Stellentafel unter Aufgabe notieren und Ergebnisse darin festhalten T H Z E Division Die Grundprinzipien der Division 1. Dividieren heisst, eine Menge gleichmässig - gerecht - verteilen bzw. aufteilen. 2. Das Ergebnis einer Division ist immer das, was Einer erhält, bzw. sagt mir, wie oft ich aufgeteilt habe. Erarbeiten der Division Die Division soll erst eingeführt werden, wenn die Multiplikation gründlich verstanden und zumindest teilweise automatisiert ist. Sie soll vorerst handelnd erarbeitet und nicht zu früh auf formaler Ebene als Umkehroperation der Multiplikation erklärt werden. Wichtig ist, dass das Kind das Prinzip des gerechten Teilens versteht. Das Teilen mit Rest soll von Anfang an mit einbezogen und als Normalfall behandelt werden auch für Schüler/innen mit besonderem Förderbedarf. Das Prinzip des gerechten Verteilens bzw. des gleichmässigen Aufteilens kommt durch das Übrigbleiben eines Rests deutlicher zum Ausdruck. Am Hunderterfeld kann analog zur Multiplikation das Schätzen/ Überschlagen geübt werden, z.b.: Wie viele Vierergruppen kann ich ungefähr bilden? Automatisieren Wenn die Beziehung zwischen Division und Multiplikation verstanden ist, dann kann auf die automatisierten Multiplikationen zurückgegriffen werden, um eine Division erfolgreich zu lösen. Hilfreich kann auch das Abrufen innerer Bilder von multiplikativen Strukturen sein. Bei der Division ist das Schätzen/Überschlagen wichtiger als das perfekte Automatisieren. Die Umkehr-rechnung (Multiplikation) dient jeweils zur Kontrolle. 8

9 Unterscheidung aufteilen/verteilen Verteilen: Eine gegebene Grundmenge wird in eine vorgeschriebene Anzahl von Teilmengen so geteilt, dass jede Teilmenge (Gruppe) die gleiche, grösst mögliche Anzahl von Elementen enthält. Es kann ein nicht mehr verteilbarer Rest übrig bleiben. Die Frage lautet: Wie viele Elemente sind in einer Teilmenge (Gruppe) bzw. wie viele hat ein Kind bekommen? Beispiel: Im Sack hat es 40 Täfeli. Die Lehrerin verteilt sie gerecht an acht Kinder. Wie viele Täfeli erhält das einzelne Kind? Das Verteilen kann als fortgesetzte Subtraktion (von der Menge) oder als fortgesetzten Addition (beim Empfänger) verstanden werden. Aufteilen: Eine gegebene Grundmenge wird in die grösst mögliche Zahl von Teilmengen (Gruppen) mit gleicher, vorgeschriebener Grösse aufgeteilt. Ein diese Grösse unterschreitender Rest kann übrig bleiben. Die Frage lautet: Wie viel Mal ist die Teilmenge (der Divisor) in der Grundmenge (dem Dividenden) enthalten? Beispiel: 40 Leute wollen mit Booten auf den See. Pro Boot haben nur 5 Personen Platz. Wie viele Boote werden benötigt? Das Aufteilen kann als Ordnen in gleich grosse Gruppen dargestellt werden. Division Kopfrechnen - Einmaleins weitgehend automatisiert - Zusammenhang Division - Multiplikation verstanden - Prinzip des gerechten Teilens (aufteilen bzw. verteilen) verstanden - Bedeutung des Resultats (Anzahl Gruppen bzw. das, was eine/r bekommt) verstanden Häufige Schwierigkeiten - Didaktogen: Division wird auf formaler Ebene als Umkehrung der Multiplikation eingeführt und ist nicht verstanden. - Vermischen von Aufteil- und Verteilstrategien (z.b. auch durch Lehrperson). - Kinder verstehen nicht, warum das Resultat einer Division kleiner ist als der Dividend. - Es ist nicht klar, dass der Rest immer kleiner als der Divisor sein muss. Halbschriftliche Division - Division (Ebene Kopfrechnen) verstanden - Dezimalsystem verstanden, v.a. Entbündeln - Zehner-Einmaleins anwenden können - Überschlagsrechnen Kann über Verteilhandlungen gut mit dem Dienes-Material veranschaulicht werden (allerdings wird immer der grösstmögliche Quotient gesucht). Konkrete Hinweise siehe Moser Opitz/Schmassmann (2004): Heilpädagogischer Kommentar zum Zahlenbuch 4, S

10 Schriftliche Division - halbschriftliche Division - Schriftliche Addition, Subtraktion verstanden und sicher anwenden können - Einmaleins automatisiert - Division (Ebene Kopfrechnen) verstanden Schwierigkeiten - Raumorientierung bei der Einhaltung bzw. den Wechseln der Rechenrichtung - Vermischen der einzelnen Operationen - Reihenfolge bei der Ausführung der diversen Schritte Die schriftliche Division ist ein anspruchsvolles Verfahren, welches verschiedene Rechenoperationen beinhaltet: Bestimmen des Teildividenden, Dividieren, Multiplizieren, Subtrahieren. Mit Kindern mit Lernschwächen ist es oft sinnvoller, das Prinzip des Dividierens anhand halbschriftlicher Aufgaben zu erarbeiten und dann den Taschenrechner zu benutzen. Falls die Schülerinnen und Schüler motiviert sind, die schriftliche Division zu lernen, kann diese sehr gut mit dem Dienes-Material und entsprechenden Protokollierungsformen erarbeitet werden. Stellenwerttafel für die schriftliche Division ZT T H Z E T H Z E : = Literatur - Krauthausen, G.; Scherer, P. (2004): Einführung in die Mathematikdidaktik. Berlin/ Heidelberg - Moser Opitz, E.; Schmassmann, M. ( ): Heilpädagogischer Kommentare zu den ZB 2-6. Zug - Radatz, H. et al. ( ): Handbücher für den Mathematikunterricht. 2./3. Schuljahr. Anregungen für die Unterrichtspraxis. Hannover - Scherer, P (2003): Produktives Lernen für Kinder mit Lernschwächen. Fördern durch Fordern. Band 2: Addition und Subtraktion im Hunderterraum. Persen Band 3: Multiplikation und Division im Hunderterraum. Persen - Wittman, E.Ch./ Müller, G.N. (1993): Handbuch produktiver Rechenübungen. Band 2: Vom halbschriftlichen zum schriftlichen Rechnen.Leipzig/ Stuttgart/ Düsseldorf 10