Lernumgebungen zu den binomischen Formeln

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1 Lernumgebungen zu den binomischen Formeln Die Fchmittelschule des Kntons Bsel-Lnd ist ein dreijähriger Bildungsgng der zum Fchmittelschulzeugnis führt. Dbei entspricht die 1.FMS dem 10. Schuljhr. Zu Beginn der Mthemtikusbildung werden typischerweise Themen us der Sekundrstufe 1 wiederholt, drunter uch die binomischen Formeln. Im 11. Schuljhr (2. FMS) stehen u.. qudrtische Gleichungen uf dem Lehrpln. In der 3. FMS werden u.. Wchstumsvorgänge und zum Teil Folgen behndelt. Die folgenden Lernumgebungen können deshlb in llen drei Jhren curriculr sinnvoll eingesetzt werden (siehe den Abschnitt Weiterführende Aktivitäten). Zentrl ist ds Zusmmenspiel von rithmetischen, lgebrischen und geometrischen Aspekten der binomischen Formeln oder llgemeiner des Distributivgesetzes. Die Drstellung von Klmmerusdrücken durch Rechtecksflächen ht eine lnge Trdition (siehe den Abschnitt Weiterführende Aktivitäten) und wird uch im Zhlenbuch und Mthbu.ch, den im Knton obligtorischen Lehrmitteln, zentrl verwendet: zum Beispiel mit mthbu.ch 8, Lernumgebung 21 und 22 zu negtiven Zhlen und Binomen. Die hier vorgeschlgenen Lernumgebungen sind direkt nschlüssfähig n die Behndlung im mthbu.ch können ber uch sehr gut von Schülerinnen und Schülern verstnden werden, die die Themen uf ndere Art behndelt hben. Im Fokus der 1. Lernumgebung steht ds Begreifen mthemtischer Drstellungen und ds Argumentieren. Bei der zweiten Lernumgebung steht ds Erforschen und Eplorieren und ds Modellbilden im Vordergrund.

2 Lernumgebung Mlkreuze und Flächen Eine typische Rechnung in der Algebr ist (+b) (c+d)=c+d+ bc+bd (0.1) In diesem Abschnitt geht es um eine geometrische Interprettion der Formel (0.1). Dbei wird klr, wie sich obiges Ergebnis begründen lässt. Schönes Nebenprodukt sind die Rechenregeln für Multipliktionen mit negtiven Zhlen und die binomischen Formeln. Mlkreuzrechnungen Auftrg Binome multiplizieren Im Rechteck links ist =6, b=2, c=5 und d = 4. Die vier Teilflächen und die Gesmtfläche lssen sich durch die folgenden vier Multipliktionen m Mlkreuz vernschulichen c d b Füllen Sie zunächst die Felder im Mlkreuz us und mrkieren Sie frblich gleich im Rechteck und im Mlkreuz welche Ergebnisse zu welchen Flächen pssen. Überlegen Sie sich mit Hilfe der Beziehung von Rechteckfläche und Mlkreuz, dss die Formel (0.1) gilt und wie Sie ds einem Achtklässler erklären könnten. Weitere konkrete Zhlenbeispiele können helfen. Formulieren Sie dnn die Begründung für den Achtklässler. Gegebenenflls uch mit Hilfe von Skizzen. Auftrg Erste binomische Formel Ein Spezilfll des letzten Auftrgs. Hier ist = c = 5 und b = d = 3. Erklären Sie dmit die erste b binomische Formel: =c (+b) 2 = 2 + 2b+b 2 Wieder müssen Sie sich die Beziehung der Flächen der Teilrechtecke und der Multipliktion der Vriblen klr mchen. b=d 2

3 Die beiden folgenden Aufträge fordern und fördern ein wesentlich tieferes Verständnis - es brucht ein Umgehen mit negtiven Zhlen. Im mthbu.ch wird uf diese Art eine Erklärung der Multipliktion negtiver Zhlen vorgeschlgen. Es ist insofern reizvoll, die für die meisten Schülerinnen und Schüler notwendige Wiederholung der Rechnungen mit negtiven Zhlen mit dieser Lernumgebung nzusetzen. Der Zeitbedrf und Erklärungsbedrf drf ber nicht unterschätzt werden. Auftrg Zweite binomische Formel Hier sind die Bezeichnungen nders: ist jetzt die Knte des grossen Qudrts, ds linke obere Qudrt (gefärbt) ht lso die Fläche ( b) 2. Erklären Sie dmit die zweite binomische Formel: ( b) 2 = 2 2b+b 2 ( b) b ( b) b Auftrg Multipliktion negtiver Zhlen Gefärbt ist die Multipliktion ( b) (c d). (In diesem Bild ist =8, c=9.) Ds zugehörige Mlkreuz ist lso b (c d) d ( b) b Dmit lässt sich einem Achtklässler begründen, wrum die Multipliktion einer negtiven mit einer positiven Zhl ein positives Resultt ht. Und ds Ergebnis der Multipliktion zweier negtiver Zhlen ist positiv. Lssen Sie sich Zeit mit den Überlegungen. Finden Sie weitere Beispiele und verstehen Sie die Zusmmenhänge gründlich. Formulieren Sie dnn die Begründung für den Achtklässler. Gegebenenflls uch mit Hilfe von Skizzen. 3

4 Lernumgebung Muster n der 11 Tfel Auftrg 11 Tfel In der Grphik sind lle Aufgben des 1 Ml 1 drgestellt. Es sollen einige Muster, die uftreten, näher betrchtet werden. Zur Begründung können die Rechtecke, die in den ersten Aufträgen berbeitet wurden, helfen. ) Auf der mittleren horizontlen Linie stehen die Qudrtzhlen (rot). Vergleichen Sie die Ergebnisse mit den genu drüber/drunter befindlichen Aufgben (zum Beispiel 6 6 und 7 5, blu). Ws fällt uf? Können Sie ds begründen? b) Im ersten Auftrg hben Sie sich von den Qudrten um eine Rute nch oben/unten bewegt. Ws ergibt sich, wenn Sie um zwei Ruten nch oben/unten gehen? Oder um 3, oder um noch mehr? Probieren Sie einige Rechnungen durch. Versuchen Sie, Regelmässigkeiten zu erkennen. Formulieren Sie Ihre Feststellungen. c) Versuchen Sie Gründe für die Regelmässigkeiten zu finden. 4

5 Weiterführende Aktivitäten 1.FMS Hier knn es um die Algebrisierung der Sitution gehen. Geeignete weiterführende Aufgben sind: ) Betrchtet werden Ruten mit vier Zhlen, wie nebenstehend. Vergleichen Sie jeweils die Summe us der oberen und unteren Aufgbe (7 6 und 6 7) mit der Summe der nebeneinnderliegenden Zhlen (6 6 und 7 7). Ws stellen Sie fest, wenn sie verschiedene Beispiele berechnen? Können Sie ds begründen? b) Betrchten Sie wgrechte Reihen von Aufgben. Zum Beispiel 3 1; 4 2; 5 3;... Finden Sie eine Regelmässigkeit? Können Sie eine Formel finden? Die erste Aufgbe führt uf den Vergleich von 2 +(+1) 2 mit 2(+1), die zweite uf (b+n), lso jeweils uf eine Zunhme von n 2. FMS Die Aufgbenserie ist tuglich ls Einstieg in die qudrtischen Gleichungen: Wiederholung der binomischen Formeln us der Sekundrstufe 1 in einem etws nderen Kontet ls üblich. Wertvoll ist hier die Betonung der Begründungen mit Rechtecken: Zentrl ist die qudrtische Ergänzung und diese lässt sich gut drstellen: Mn sieht, dss rechts oben ein Qudrt der Grösse ( p 2 2) stehen sollte, es steht ber nur die Fläche q zur Verfügung. Interessnterweise wurden im ntiken Griechenlnd qudrtische Gleichungen uf diese Art betrchtet. Al-Hwrizmi ht dies in seinem Buch «l-kitb l-muhtsr fi hisb l-gbr w-l-muqbl» (übrigens die Herkunft des Wortes Algebr) um 800 n. Chr. zusmmengefsst: Als Beweise wurden bis zur Jhrtusendwende nur geometrische Ueberlegungen kzeptiert. Erst in der weiterschreitenden rbischen Mthemtik hben sich die Wissenschftler dvon gelöst: Der Anstz mit den Rechteckflächen gibt lso ein schönes Beispiel genetischer Mthemtik und uch die Gelegenheit, Geschichte der Mthemtik in den Unterricht einzubuen. Als Quelle bietet sich ds folgende Buch n: H. Wussing (2008): 6000 Jhre Mthemtik. Springer: Heidelberg p 2 p 2 5

6 Schliesslich ist es möglich, die Ergebnisse grphisch drzustellen und so einen Einstieg in qudrtische Funktionen zu finden. 3. FMS Ein mögliches Them sind hier die Folgen: Digonl ergeben sich rithmetische Folgen, wgrecht rithmetische Folgen 2. Ordnung und vertikl uch. Hier knn schön ds Aufstellen von epliziten und rekursiven Formeln geübt werden. Ein weiteres Them in der 3. FMS sind Wchstumsvorgänge. Die 11-Tfel liefert Beispiele für lineres und insbesondere uf den Vertiklen nichttrivile Beispiele für qudrtisches Wchstum. Test Werden die Aufgben zur 1. und zweiten binomischen Formel im Unterricht berbeitet, so lässt sich die Lernumgebung uch ls Test einsetzen: den Schülerinnen und Schülern muss viel Zeit gegeben werden. Genügende Noten lssen sich erzielen, wenn Vermutungen (uch umgngssprchlich) ufgestellt werden und mit Beipielen belegt werden. Algebrisierungen und geometrische Begründungen werden eher selten gemcht werden. Auch wird nicht unbedingt erknnt, dss es sich um die dritte binomisch Formel dreht. Solche Erkenntnisse können zu guten bis sehr guten Noten führen. 6