Arithmetik in der Grundschule Anfänge und Ziele Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind

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1 Sommersemester 2016 Arithmetik in der Grundschule Di Uhr HS 1 V V Arithmetik in der Grundschule Anfänge und Ziele Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind V Zahlenraum bis 20 (Kl. 1) V Addieren und Subtrahieren im Zahlenraum bis 20 (Kl. 1) V Ausbau des Zahlenraumes bis 100 (Kl. 2) V Halbschriftliches Addieren und Subtrahieren (Kl. 2) V Multiplizieren und Dividieren (Kl. 2, 3) V Kleines Einmaleins (Kl. 2) V Ausbau des Zahlenraumes bis 1 Million; großes Einmaleins (Kl. 3, 4) V Schriftliches Addieren und Subtrahieren (Kl. 3) V Schriftliches Multiplizieren und Dividieren (Kl. 4) V V Klausur Üben und Anwenden Zusammenfassung HS 1; Audimax 1

2 V 11 Schriftliches Multiplizieren und Dividieren 0 Evaluation der Lehre 1 Schriftliche Multiplikation 1.1 Normalverfahren 1.2 Erarbeitung 1.3 Schwierigkeitsfaktoren und Besonderheiten 2 Schriftliche Division 2.1 Anforderungen 2.2 Erarbeitung 2.3 Schwierigkeitsfaktoren 2

3 1 Schriftliche Multiplikation Quellen: Schipper (2009), Padberg/Benz (2011), Radatz/Schipper u.a.: Handbuch Kl. 4; Wittmann/Müller: Handbuch II; Grundschulunterricht 1/2009; Baireuther (2000): Mathematikunterricht; Kl. 3/4 3

4 1.1 Normalverfahren (seit 1958) beide Faktoren in derselben Zeile rechte Zahl Multiplikator, linke Zahl Multiplikand¹ Man beginnt mit der höchsten Stelle des zweiten Faktors. Die Überträge behält man im Kopf und addiert sie an der nächsten Stelle. Abschließend werden die Teilsummen addiert. 4

5 1 Zur Erinnerung: Bei den im Kopf zu lösenden Multiplikationsaufgaben steht der Multiplikator (meistens) links: =3 12 5

6 Weitere Notationsformen, die teilweise schon zu Beginn des 20. Jahrhunderts gebräuchlich waren: Grundlegend: - Stellenwerte beachten - Distributivgesetz wird angewendet = (Distributivgesetz) und Adam Ries 6

7 1.2 Erarbeitung der schriftlichen Multiplikation ein Verfahren, das von den Kindern in der Regel nicht entdeckt werden kann Erarbeitung nach heutigen Gesichtspunkten: Verzicht auf kleinschrittige Führung Herausforderung individueller Rechenwege Verzicht auf ausschließlichen Gebrauch des Normalverfahrens auch nach dessen Einführung (Alternative: halbschriftliches Rechnen, Malkreuz) 7

8 Eine Sachsituation zum Einstieg Die Schule erhält 3 neue Tafeln, das Stück zu je 983. Wie hoch sind die Kosten für die 3 Tafeln? Quelle: Schipper, 2009, S. 218 oder: Wie viele Stunden hat ein Jahr? Quelle: Wittmann/Müller; Schulbuch Zahlenbuch, Kl. 4 8

9 Zur Sachsituation 1 Die Multiplikation aus der Addition gleicher Summanden herleiten Drei mal drei gleich neun. - Drei mal acht gleich 24, übertrage 2. - Dreimal neun gleich siebenundzwanzig plus zwei gleich neunundzwanzig. Mit gleicher Grundidee und Sprechweise kann dann die Form der schriftlichen Multiplikation dargestellt werden. Quelle: Schipper, 2009, S

10 Zur Sachsituation 2 Die Schüler/innen verschiedenste Lösungswege in kleinen Arbeitsgruppen entdecken lassen 10

11 Zahlenbuch, Kl. 4 11

12 Auswertung (Strategiekonferenz) Vorstellen und Vergleichen der Rechenwege Einschätzung der Kinder: Malkreuz am günstigsten Das schriftliche Verfahren als ökonomischer Rechenweg Wir lernen ein schnelles Verfahren mit leichten Teilaufgaben. von der Lehrperson an der Tafel laut vorgerechnet (Vermittlung des Algorithmus): 12

13 Vermitteln des Algorithmus: Zahlenbuch, Kl. 4 Gleiche Stellenwerte sind mit der gleichen Farbe markiert. Hinweis: Überträge werden gemerkt. Evtl. können ausgestreckt Finger als Merkhilfe genutzt werden. (Schipper, 2009, S. 219) 13

14 Vorschlag: Algorithmus über eine ausführliche Form des Aufschreibens herleiten Kurzform (evtl. Mitschreiben der Merkziffern) Quelle: Baireuther. Mathematik. Kl. 3/4 14

15 Man kann auch auf ältere Verfahren verweisen, z. B. auf die Methode John Nepers ( ) mit Malstreifen: Quelle: Zahlenbuch Beim Rechnen wird ziffernweise einzeln multipliziert. Im Ergebnis sind Zehner und Einer durch eine schräge Linie getrennt. So entsteht ein Gitter. Entsteht beim Addieren ein Übertrag, wird er an der nächsten Stelle vermerkt. 15

16 Überschlagsrechnung (Lösung: ) Runden¹: = Konstanz berücksichtigen: = = Funktionen des Überschlags: zur Ergebnisschätzung vor der Rechnung zur Kontrolle nach der Rechnung 16

17 Rundungsregeln Steht in der rechten Nachbarzahl 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet. Steht in der rechten Nachbarzahl 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet. 17

18 Hinweise zur Überschlagsrechnung Vertiefung des Stellenwertverständnisses Fortsetzung des Kopfrechenkurses Hauptschwierigkeit: sichere Handhabung der Endnullen: z. B. bei beim Runden: kräftig runden ( ) nach Rundungsregeln oder im Sinne des gegensinnigen Veränderns vorgehen (einen Faktor abrunden, den anderen aufrunden) ( oder ) 18

19 1.3 Schwierigkeitsfaktoren und Besonderheiten Nullen im Multiplikanden oder Multiplikator Übertragsziffern (Anzahl und Größe) Veranschaulichen des Multiplizierens mit 10/100 19

20 Suchen Sie nach Aufgaben, die Stolpersteine erwarten lassen. Lösen Sie zwei solcher Aufgaben. Machen Sie vorher einen Überschlag. Quelle: Atlas Mathematik, Kl. 4 20

21 Besonderheiten: Multiplizieren mit 0 und 1 21

22 Diagnostischer Test nach Padberg, S

23 Veranschaulichen des Verzehnfachens mit der Stellenwerttafel (s. Padberg)...einfach eine Null anhängen. Durch die Multiplikation mit 10 werden aus Einern Zehner, aus Zehnern Hunderter, aus den Hundertern Tausender. Jede Ziffer wird in der Stellentafel um eine Stelle nach links verschoben. Da die Einerstelle hierdurch leer wird, müssen wir dies dort durch eine Null kenntlich machen. 23

24 Lösen Sie: 14531: 12 2 Schriftliche Division Vorteile der anderen schriftlichen Verfahren gegenüber dem halbschriftlichen Rechnen: Rechnen mit kleinen Zahlen Reduzierung des Schreibaufwandes Diese Vorteile gelten bei der Division nur eingeschränkt. 24

25 2.1 Anforderungen Anforderungen in den Bundesländern recht einheitlich: Dividieren durch einstellige Zahlen (evtl. auch Zehnerzahlen) Überprüfung durch eine Kontrollrechnung (Multiplikation) Überschlagsrechnung 25

26 Bildungsstandards Die KMK (2004) formuliert nur Anforderungen für die Addition, Subtraktion und Multiplikation: schriftliche Verfahren der Addition, Subtraktion und Multiplikation verstehen, geläufig ausführen und bei geeigneten Aufgaben anwenden. Die schriftliche Division wird in den Bildungsstandards nicht erwähnt. 26

27 Komplexität des Verfahrens Überschlag Ermitteln des ersten Teildividenden Multiplizieren Subtrahieren Zwischenkontrolle Herunterholen der nächsten Ziffer... 27

28 halbschriftlich: Teilaufgaben können flexibel gewählt werden. schriftlich: Es muss immer der größte Teildividend bestimmt werden. Dabei kommt es häufig zu Korrekturen, Unterbrechungen, Fehlern: : 8= Schüler setzen das Verfahren fort und bemerken den Fehler später. Sie müssen den Einstieg für die Korrektur rückwärtsgehend suchen. 28

29 2.2 Erarbeitung der schriftlichen Division 29

30 Beispiel 1: Anschauliches Herleiten der schriftlichen Division über das Verteilen Verteilen 8325 sollen an 5 Personen verteilt werden. Übertragen in die Schriftform Die 8 Scheine zu 1000 sollen soweit wie möglich an 5 Personen verteilt werden. Jeder bekommt einen Schein, 3 bleiben übrig. Die restlichen 3 Tausender werden umgetauscht in 30 Hunderter. Die insgesamt 33 Hunderter werden an 5 Personen verteilt. Jeder bekommt 6 Scheine, 3 bleiben übrig. Die restlichen 3 Hunderter werden umgetauscht in 30 Zehner. Die insgesamt 32 Zehner werden an 5 Personen verteilt. Jeder bekommt 6 Scheine, 2 bleiben übrig. Die restlichen 2 Scheine zu 10 werden umgetauscht in 20 Eurostücke. Die insgesamt 25 Eurostücke werden an 5 Personen verteilt. Jeder bekommt 5 Eurostücke die Aufgabe ist fertig. Quelle: Heike Hahn, Grundschulunterricht, 1/

31 Die Grundschule in Kusel hat sich am Wettbewerb Das längste Kinderbild der Welt beteiligt und den ersten Platz belegt. Entsprechend der Länge des Bildes hat die Schule 940 gewonnen. Dieses Geld wird nun zu gleichen Teilen an die 4 Klassen vergeben. Veranschaulicht die Gesamtsumme mit Geld. Legt für die 4 Klassen leere Blätter bereit. Verteilt das Geld. Schreibt mit Zahlen auf, wie ihr verteilt habt. Quelle: ebenda 31

32 Beispiel 2: Verfahren nachvollziehen Finde heraus, wie Tims Schwester gerechnet hat. Quelle: Schulbuch Rechenwege 32

33 Vermittlung des Algorithmus Zahlenbuch 4 33

34 Weitere Anregungen aus Schulbüchern 34

35 Berücksichtigung verschiedener Stufen Matheprofis 4 35

36 Eine schöne Idee aus dem Duden-Buch Mathematik 4 : Den Teildividenden markieren Wie wurde die Aufgabe 4518:6 gerechnet? Erklärt und ergänzt. 36

37 2.3 Schwierigkeitsfaktoren Aufgaben mit Nullen Aufgaben mit Zwischen- oder Endnullen im Quotienten bereiten die meisten Schwierigkeiten. Diese Nullfehler nehmen im Verlauf der Schulzeit eher zu als ab. Thematisierung der Probleme im Unterricht sorgfältige Sprechweise Überschlagsrechnung (auch zur Vorausbestimmung der Anzahl der Ziffern) 37

38 Zwischennullen im Quotienten Endnullen im Quotienten 38

39 Berücksichtigung der Problembereiche im Unterricht aus Welt der Zahl 39

40 Matheprofis 40

41 Fazit 41