Kapitel 4 Systeme linearer Gleichungen

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1 76 Kapitel 4 Systeme linearer Gleichungen Didaktische Hinweise Dieses Kapitel baut sowohl auf Kapitel 5 (Gleichungen und Terme) in Band 7 als auch auf die Kapitel 1 (Die Sprache der Algebra - Terme und Gleichungen) und insbesondere Kapitel 3 (Lineare Funktionen) auf. In Abschnitt 4.1 wird für das Lösen von zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst der Zusammenhang zwischen dem Probierverfahren mittels einer Tabelle, dem grafischen Lösen mit linearen Funktionen sowie dem rechnerischen (algebraischen) Lösen hergestellt. Für das rechnerische Lösen eines Systems linearer Gleichungen wird in diesem Abschnitt das Gleichsetzungsverfahren in zahlreichen Aufgabensituationen geschult. Da das Aufstellen eines Gleichungssystems eine zentrale Rolle spielt, werden verschiedene Hilfestellungen gegeben. Als besonders wirkungsvoll hat sich dabei das Gruppieren von Aufgaben in bestimmten charakteristischen Klassen von Problemen (Altersrätsel, Münzenrätsel, Rätsel mit Zahlen und Ziffern, Herstellen von Mischungen) erwiesen. Durch Erkennen des Typs von Aufgaben (das ist ja wie bei...) können frühere Erfahrungen fruchtbar gemacht und so der subjektive Schwierigkeitsgrad gesenkt werden. Da die Schülerinnen und Schüler die Aufgaben zunehmend eigenverantwortlich und eigenständig bearbeiten können, wird auch der Zuwachs an eigener Kompetenz erfahrbar. Die Lösbarkeit von Gleichungssystemen wird mithilfe der zeichnerischen Lösung frühzeitig thematisiert und rechnerisch unterstützt. Einsetzungsverfahren und Additionsverfahren werden nur kurz gestreift. Mischungsaufgaben runden diesen Abschnitt in der zweiten grünen Ebene ab. Im Abschnitt 4.2 steht das Problemlösen in komplexeren Aufgabensituationen im Vordergrund. Vom Problem, das in mathematische Sprache übersetzt wird, wird in einer 5-Schritt-Methode eine geeignete Lösungsstrategie als Basiswissen angeboten: 1. Problem erfassen 2. Gleichungssystem aufstellen 3. Gleichungssystem lösen 4. Problemprobe 5. Lösung des Problems Als besondere Aufgaben werden Wind- und Strömungsaufgaben sowie Aufgaben aus der Wirtschaft berücksichtigt. Abschließend fordern ein Projekt und eine etwas umfänglichere Aufgabe die Fertigkeiten der Schülerinnen und Schüler heraus. Deren Komplexität liegt zum einen in der Analyse der Situation, die es zu mathematisieren gilt, aber auch in der Art der weiteren Bearbeitung und Auswertung. Daher eignen sich diese Aufgaben gut für die Bearbeitung im Unterricht, da zwar

2 77 die benötigten Hilfsmittel verfügbar sein sollten, die Mathematisierung in der Lerngruppe jedoch besser gelingt als in Einzelarbeit. Systeme von linearen Ungleichungen werden im Lernabschnitt 4.3 behandelt. Sie eignen sich in hervorragendem Maße dazu, sowohl Alltagssituationen zu mathematisieren (zumeist sprechen wir ja auch von mindestens, höchstens, mehr als usw. - typisch für Ungleichungen), als auch Koordinatengeometrie" (Beschreibung von Gebieten in der Koordinatenebene durch Systeme von Ungleichungen) zu betreiben. Die Lösungsmengen von Ungleichungssystemen unterscheiden sich von denen der linearen Gleichungssysteme. Eine genauere Untersuchung der verschiedenen Lösungsmengen, die bei Ungleichungssystemen auftreten können, ist ein interessanter Forschungsauftrag. In aller Regel haben Schülerinnen und Schüler viel Freude daran, wie eine Art Detektiv, die jeweiligen Planungsvielecke zu identifizieren. Daher sollte auch die Verwendung des GTR in der ersten Phase keine und später eher eine untergeordnete Rolle spielen. Das eigene Zeichnen ist zudem eine schöne Wiederholung vieler Fertigkeiten, die im Zusammenhang mit linearen Funktionen erworben wurden. Den Abschluss dieses Lernabschnitts bildet ein kurzer Ausflug in das außerordentlich interessante und anwendungsrelevante Lineare Optimieren. Das Mathematisieren wird vertieft, erworbene Kenntnisse (lineare Funktionen, Ungleichungssysteme, Planungsvieleck, Zielfunktion usw.) werden im Sinne des kumulativen Lernens zusammengeführt und beim Lösen von Problemen, die zunächst komplex und unüberschaubar sind, fruchtbar gemacht.

3 78 Lösungen 4.1 Lineare Gleichungssysteme a) Beispiele: (0 03), (1 02), (3 0), (4,5 1,5), (7 4) (0 5), (0,5 3,5), (1 2), 5 + 0, 3, (2,5 02,5) b) x = 2, y = 01; (2 01) c) x = 2; die Gleichung liefert den x-wert, für den die beiden Ausgangsgleichungen denselben y-wert haben. 2. a) b) Man kann etwa ablesen: (0,55 1,3) c) Lösung: , a) y (x) = x b) Anzahl Gesamtkosten Nach 12 bis 13 Monaten der Monate Bena Dieso haben sich die Mehrkosten amortisiert

4 a) keine Lösung b) (2 1) ist Lösung c) (2 01) ist Lösung d) (5 4) ist Lösung 6. a) (7 4) b) (1 01) c) (04 14) d) , e) (5 5) f) (03 2) 7. a) (3 2) b) (2 01) c) (20 24) d) , e) keine Lösung f) , Lösung mit Tabelle; grafische Lösung; Gleichsetzungsverfahren 9. x = 31, y = 7; die Mutter ist 31 Jahre alt, der Sohn 7 Jahre. 10. Alter des Vaters: x; Alter des Sohnes: y y = x (y + 9) = x + 9 x = 33; y = 5; der Vater ist 33 Jahre, der Sohn 5 Jahre alt. 11. a) y = 4x y + 4 = 2 (x + 4) b) x = 2; y = 8; Johanna ist heute 2 Jahre, Christoph 8 Jahre alt. 12. Alter von Tim: x Alter der Schwester: y heute x y = x 0 4 vor 6 Jahren x 0 6 y 0 6 = 1 (x 6) 2 x = 14; y = 10; Tim ist heute 14 Jahre, seine Schwester 10 Jahre alt. 13. Alter der Mutter: x Alter der Tochter: y heute x y = x 0 24 in 2 Jahren x + 2 y + 2 = 1 (x 2) 5. x = 28; y = 4; die Mutter ist 28 Jahre, die Tochter 4 Jahre alt. 14. Individuelle Schülerlösungen 15. Rechnerische Lösung: Alter von Sebastian: x Alter von Peter: y heute x y = 2x in 3 Jahren x + 3 y + 3 = 3 (x + 3) y = 2x 2x = 3x + 6 y = 3x + 6 x = 06 Eine negative Lösung hat keinen Sinn. Peters Aussage kann nicht zutreffen. Überlegung: Der Altersabstand der beiden bleibt gleich; dadurch verringert sich der relative Abstand der beiden mit zunehmenden Alter. Peters Aussage stimmt deshalb nicht.

5 a) 50-Cent-Münze 1-Euro-Münze insgesamt Anzahl der Münzen x y 61 Wert in Cent 50 x 100 y b) x + y = 61 50x + 100y = x = 26; y = 35; es sind Cent-Münzen und 35 1-Euro-Münzen. 17. a) 50-Cent-Münze 2-Euro-Münze insgesamt Anzahl der Münzen x y 73 Wert in Cent 50 x 200 y b) x + y = 73 50x + 200y = x = 15; y = 58; es sind Cent-Münzen und 58 2-Euro-Münzen. 18. Anzahl der 10-Cent-Münzen: x; Anzahl der 50-Cent-Münzen: y x = 6y 10x + 50y = x = 240; y = 40; es sind Cent-Münzen und Cent-Münzen. 19. x + y = 85 x 0 y = 17 x = 51; y = y = x + 6 y = 4x x = 2; y = Zehnerziffer: x; Einerziffer: y x + y = 9 (Quersumme) 10y + x = 10x + y + 9 (Zahl) x = 4; y = 5; die gesuchte Zahl ist a) Variable festlegen, Gleichungen aufstellen, Gleichungssystem lösen, Lösungen auf die Sachsituation übertragen. b) x: Anzahl der Tiere mit 4 Beinen (Schafe), y: Anzahl der Tiere mit 2 Beinen (Gänse); die Summe 4x + 2y gibt die Anzahl der Beine an. c) Mögliche Lösungen: x = 1, y = 24; x = 4, y = 18; x = 13, y = 0 d) Weitere Gleichung: x + y = 15 Lösung des Gleichungssystems: x = 11, y = 4 Es sind 11 Schafe und 4 Gänse. 23. Anzahl der Griechen: x; Anzahl der Zentauren: y x + y = 420 2x + 4y = x = 320; y = 100; es kämpften 320 Griechen gegen 100 Zentauren. 24. a) Erwachsenenkarten: x; Schülerkarten: y x + y = 400 4x + 1,5y = 1 037,50 x = 175; y = 225; 175 Erwachsene und 225 Schüler kamen zum Konzert.

6 b) Die 175 Erwachsenen müssten noch zusätzlich 462,50 zahlen; das sind rund 2,65 pro Person. Die Karten müssten also 6,65 kosten. 25. Anzahl der Brötchen: x; Anzahl der Croissant: y 3x + 4y = 5,2 4x + 2y = 3,6 x = 0,4; y = 1,0; ein Brötchen kostet 40 Cent, ein Croissant Gewicht von Kräftig: x; Gewicht von Lang: y 2x + y = 361 x + 2y = 362 x = 120; y = 121; Hans Kräftig wiegt 120 Pfund, Klaus Lang 121 Pfund. 27. a) Zeit, die Nina geht: x; Zeit, die Nina läuft: y x + y = 1 4x + 8y = 6 x = 1 2 ; y = 1 2 ; jeweils 1 Stunde geht und läuft Nina. 2 b) Sie geht 2 km a) b) c) Zwei sich schneidende Geraden; zwei zusammen fallende Geraden; zwei parallele Geraden. Nur bei a) schneiden sich die Geraden. Nur bei a) gibt es genau eine Lösung, bei b) gibt es unendlich viele Lösungen, bei c) keine Lösung. 29. a) nicht lösbar b) x = 18 c) nicht lösbar parallele Geraden y = 09 parallele Geraden A 5 L = {(1,5 8,5)} B 3 L = {(03 010)} C 4 L = , D 6 parallele Geraden keine Lösung E 1 L = {(0 3)} F 2 Geraden liegen übereinander unendlich viele Lösungen 31. a) Individuelle Schülerlösungen b) linkes Gleichungssystem: L = {(30 20)} mittleres Gleichungssystem: L = {(6 12)} rechtes Gleichungssystem: L = {(00,25 05)}

7 a) Lösungsschritte: 1. Einsetzen der 2. Gleichung (y = 3x 0 4) für y in die 1. Gleichung. 2. Diese Gleichung nach der verbliebenen Variable (x) auflösen. 3. Ergebnis in ursprüngliche 2. Gleichung einsetzen und 2. Variable (y) berechnen. b) (1) L = {(01 01)} (4) L = , (2) L = {(01 02)} (5) L = {(12 4)} (3) L = , (6) L = , 33. Generell ist jedes Lösungsverfahren anwendbar. a) Additionsverfahren L = {(1 3)} b) Einsetzungsverfahren L = {(04 02)} c) Gleichsetzungsverfahren L = {(1 1)} d) Einsetzungsverfahren L = {(3 01)} e) parallele Geraden keine Lösung f) parallele Geraden keine Lösung 34. a) L , d) L , b) L , e) L {(3,5 0,375)} , c) L + r 5 s 0 1, f) L , Man erweitert beide Gleichungen, bis man in beiden Gleichungen einen gleichen Summanden hat, dann subtrahiert man beide Gleichungen voneinander, sodass eine Variable elemeniert wird. a) L , b) L , 36. a) keine Lösung: b = 05; a \ {2} b) unendlich viele Lösungen: b = 05; a = 2 c) genau eine Lösung: b \ { 05}; a 37. a) P = ,20 x b) steht für das eingesetzte Kapital z. B. für Computer. 0,15 pro Besucher auf der Webseite Gebühr, x ist die Anzahl der Besucher der Webseite c) Individuelle Schülerlösung d) x = Bei einer Trefferzahl von machen beide Firmen etwa den gleichen Profit.

8 83 Mathe-Kiste 125 ABC 1 ist spitzwinklig. ABC 2 ist rechtwinklig. ABC 3 ist stumpfwinklig. 3. Stufe: Stufe Punkte Sterne x x x x x x x x x a) x = ; y = b) x + y = 500 0,1x + 0,02y = 0, x = 250; y = 250 Jetzt muss je 250 ml von der 10%igen und von der 2%igen Lösung genommen werden. 39. Menge der 1%igen Lösung: x; Menge der 4%igen Lösung: y x + y = 180 0,01x + 0,04y = 0, x = 60; y = 120; 60 ml der 1%igen Säure wird mit 120 ml der 4%igen Säure vermischt. 40. Menge der 90%igen Lösung: x; Menge der 10%igen Lösung: y x + y = 300 0,9x + 0,1y = 0,7 300 x = 225; y = 75; 225 ml der 90%igen Lösung wird mit 75 ml der 10%igen Lösung vermischt. 41. Menge der 3,5%igen Milch: x; Menge der 0,3%igen Milch: y x + y = 4 3,5 x + 0,3y = 4 x = 0,875; y = 3,125; zu 3,125 Magermilch werden 0,875 Vollmilch gemischt. 42. Menge des Weizenmehls: x; Menge der Milch: y 13,6x + 3,4y = ,5x + 3,7y = x = 541,61; y = 39,45; der Bäcker verwendet rund 540 g Weizenmehl und 40 g Milch.

9 Menge des Tees aus Indien: x; Menge des Tees aus Sri Lanka: y x + y = ,5x + 3,5y = 2, x = 1 400; y = 600; gemischt werden g Tee aus Indien mit 600 g Tee aus Sri Lanka. 4.2 Anwendungen 0 Modellieren mit linearen Gleichungssystemen a) Für den Inhaber der Pizzeria ist es vorteilhafter, wenn der Umsatz sehr hoch ist, nach Modell A zu zahlen, und wenn der Umsatz sehr niedrig ist, nach Modell B. Für Simon ist das genau umgekehrt. b) y = ,08x ,08x = ,05x x = 333,33 Bei einem Umsatz von 333,33 erhält Simon bei beiden Modellen denselben Verdienst, nämlich 51, Gutes Ackerland: x; schlechtes Ackerland: y x + y = x + 125y = x = 120; y = 80; gekauft wurden 300 Morgen gutes und 80 Morgen schlechtes Ackerland Flugzeuggeschwindigkeit: x; Windgeschwindigkeit: y x 0 y = 750 x + y = 820 x = 785; y = 35; das Flugzeug fliegt 785 km, die Windgeschwindigkeit h beträgt 35 km h. 4. Flugzeuggeschwindigkeit: x; Windgeschwindigkeit: y Geschwindigkeit: zurückgelegte Strecke pro Stunde x + y = x 0 y = x = 880; y = 80; das Flugzeug fliegt 880 km, die Windgeschwindigkeit h beträgt 80 km h. 5. Geschwindigkeit des Schiffes: x; Strömungsgeschwindigkeit: y x + y = 46 2 x 0 y = 51 3 x = 20; y = 3; das Schiff fährt 20 km h, die Strömung ist 3 km h schnell.

10 Geschwindigkeit des Bootes: x; Strömungsgeschwindigkeit: y x + y = 20 x 0 y = 10 x = 15; y = 5; das Boot fährt 15 km h, die Strömung ist 5 km h schnell. 7. Anzahl der vermittelten Zimmer pro Tag: x Anzahl der leerstehenden Zimmer pro Tag: y x + y = 100 Für die Jahreseinnahmen gilt: E = x Für die Jahreskosten gilt: K = (25x + 5y) Im Break-even-Punkt sind die Einnahmen sowie die Kosten gleich. Also: 365 (25x + 5 (100 0 x)) = x; x = 41,4 Das sind pro Tag 41,4 Zimmer. Das Hotel braucht also eine Auslastung von rund 41%, um kostendeckend arbeiten zu können a) Investition in Fond A in : x; Investition in Fond B in : y 0,05x + 0,075y = 850 x + y = x = 2 000; y = ; Fond A: 2 000, Fond B: b) Fond A: 1 666,67, Fond B: ,33 9. Etwa 1952 gab es genauso viele Frauen wie Männer in den USA.

11 86 Projekt 130 a) Verbrauch in kwh: x; Kosten: y; Gleichungen für die Tarife: I. y = ,08x = ,08x II. y = ,05x = ,05x III. y = ,2x Verbrauch (kwh) I ( ) II ( ) III ( ) Schnittpunkte: I und II x = 466,7 II und III x = 253,3 I und III x = 200,0 Bis zu einem Verbrauch von 200,0 kwh ist Tarif III am günstigsten, bei einem Verbrauch von 200,0 kwh bis 466,7 kwh ist Tarif I am günstigsten, bei einem Verbrauch über 466,7 kwh ist Tarif II am günstigsten. b) Gleichungen für die Tarife: I: y = ,08x = ,08x II: y = ,05x = ,05x III: y = ,2x Verbrauch (kwh) I ( ) II ( ) III ( ) Schnittpunkte: I und II x = 333, II und III x = 200, I und III x = 166, Bis zu einem Verbrauch von 166,7 kwh ist Tarif III am günstigsten, bei einem Verbrauch von 166,7 kwh bis 333,3 kwh ist Tarif I am günstigsten, bei einem Verbrauch über 333,3 kwh ist Tarif II am günstigsten a) Höchstens Karten können verkauft werden; die Karten für den 1. Rang sollten die teuersten sein. Der Veranstalter sollte bedenken, dass auch für seine Arbeit noch ein Gewinn übrig bleiben sollte.

12 b) Karten im 1. Rang: x; Karten im 2. Rang: y x + y = Gesamteinnahmen: 36x + 28y Kosten: ,75 (36x + 28y) x + 28y 0 ( ,75 (36x + 28y) ) = x + 7y = x = 2 500; y = 7 500; verkauft werden Karten im 1. Rang und Karten im 2. Rang. 4.3 Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen a) Die Kosten in Höhe von ,45 liegen noch im Rahmen des Budgets. b) Die Punkte auf der Geraden entsprechen einer Gesamtausgabe von genau c) Zur Lösungsmenge der Ungleichung gehören alle Punkte unterhalb der Geraden; also gehört P zur Lösungsmenge und Q nicht. Zur Lösung des Sachproblems gehören allerdings nur die Punkte, für die zusätzlich x 0, y 0 gilt, das sind die Punkte im Dreieck, das aus den beiden Koordinatenachsen und der Geraden gebildet wird. 2. a) (1) x 2 (2) x 2 (3) y x (4) y x y 1 y 2 b) a) Sonja könnte z. B. in Münster, Hamm, Lippstadt wohnen. b) Südlich der A 30: Bielefeld, Münster, Rheine,... Westlich der A 1: Bramsche, Lünen, Gronau,... Nördlich der A 2: Osnabrück, Hamm, Warendorf,... Südlich der A 2 und westlich der A 1: Dortmund, Herne, Essen,... Südlich der Ems und östlich der A 1 und nördlich der A 2: Ahlen, Münster, Warendorf, Hamm c) Südlich der A 30 und westlich der A 1 und östlich der Ems. Östlich der A43 und westlich der A 1 und nördlich der A a) Gelbes Gebiet: y = 1 b) y 1 rotes Gebiet: y = 0x + 4 y 0x + 4 blaues Gebiet: y = 2x y 2x c) Rotes und blaues Gebiet: y 0x + 4 und y 2x rotes und gelbes Gebiet: y 0x + 4 und y 1 gelbes und blaues Gebiet: y 2x und y 1

13 a) b) Stichprobe P (2 3): Stichprobe P (0 0): = falsch! P gehört zur Lösungsmenge. P gehört nicht zur Lösungsmenge. c) d) 6. a) b) c) d) 7. a) Man zeichnet in ein Koordinatensystem die Geraden 6x + 4y = 8 (d. h. y 0 3 x. 2) und y = 2. Dann schraffiert man das Gebiet oberhalb 2 der ersten und unterhalb der zweiten Geraden.

14 b) Man zeichnet in ein Koordinatensystem die Geraden x = 2 und y = x. Dann schraffiert man das Gebiet rechts der ersten und oberhalb der zweiten Geraden. c) Man zeichnet in ein Koordinatensystem die Geraden 2x + y = 3 (d. h. y = 02x + 3) und x 0 2y = 1 (d. h. y 1x0 1 ). Dann schraffiert man 2 2 das Gebiet unterhalb der ersten und oberhalb der zweiten Geraden. d) Man zeichnet in ein Koordinatensystem die Geraden x + y = 2 (d. h. y = 0x + 2) und 2x + 3y = 12 (d. h. y 0 2 x. 4). Dann schraffiert 3 man das Gebiet oberhalb der ersten und oberhalb der zweiten Geraden. 8. a) Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit zwei Variablen lässt sich im Koordinatensystem als Gerade darstellen, die einer linearen Ungleichung mit zwei Variablen als Halbebene, die an einer Seite von einer Geraden begrenzt wird. b) Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen ist entweder leer (kein Schnittpunkt der beiden Geraden), sie enthält ein Zahlenpaar (Geradenschnittpunkt) oder sie enthält unendlich viele Zahlenpaare (Geraden fallen zusammen). Die Lösungsmenge eines linearen Ungleichungssystems ist bis auf Sonderfälle ein Gebiet (Schnitt von Halbebenen), das an zwei Seiten von Geraden begrenzt wird. 9. a) b) c) d)

15 (1) y 2x (2) y x + 2 (3) y 2x + 3 (4) y 2 y 02x + 4 y 04x + 7 y < 03x + 3 x > 01 y > 03 y > 0 2 x x 1 y 2x 0 4 y 03 y > 0x a) b) c) d) Bei d) verlaufen die beiden Randgeraden parallel und die beiden Lösungshalbebenen überlappen sich nicht: Es gibt keine Lösung des Ungleichungssystems. 12. a) x = Anzahl der Arbeitstunden im Supermarkt y = Anzahl der Arbeitsstunden in der Bibliothek Die Ungleichung drückt aus, dass der Gesamtverdienst aus den beiden Tätigkeiten mindestens 120 betragen soll. b) x + y 30 Eine Möglichkeit ist z. B. 15 Stunden Arbeit im Supermarkt und 10 Stunden in der Bibliothek; Verdienst: a) 100x + 60y x + y 20 b) c) Druckfehler in der ersten Auflage des Schülerbandes; richtig ist: Angenommen, es würden 15 Benzinrasenmäher in einem Monat verkauft. Wie viele Elektrorasenmäher müssten... Es gilt: y = x x 6 Es müssen also noch mindestens 6 Elektrorasenmäher verkauft werden.

16 a) x = Anzahl der schwarz-weißen Seiten y = Anzahl der farbigen Seiten y x 2 y 40 x + y 80 b) Lösungen sind z. B schwarz-weiße Seiten und 30 farbige Seiten (ausgewogene Mischung); - 80 schwarz-weiße Seiten und 40 farbige Seiten (maximale Seitenzahl); - je 40 schwarz-weiße und farbige Seiten (größtmöglicher Farbanteil); - 53 schwarz-weiße Seiten und 27 farbige Seiten (minimale Kosten). 15. a) Anzahl der Beschäftigten, Arbeitszeitregelungen, Wartung und Belastungsgrenzen der Maschinen b) 3A + 3B A 0 A + 2B B 0 2A + B c) Die Punkte auf der Geraden 2A + B = 2 000, also z. B. ( ) oder ( ), geben die optimale Auslastung der Maschinen an. Wahrscheinlich wird man sich dafür entscheiden. d) Man würde möglichst viele Fahrräder vom Typ A produzieren, aber dabei auch eine möglichst hohe Nutzung der Kapazitäten von Beschäftigten und Maschinen berücksichtigen. 16. Quadrat: Rechteck: Parallelogramm: Trapez: x 1 x 2 y 3x 0 2 y 8 x 4 x 7 y 3x 0 14 y 6 y 2 y 8 y 4 y 2x + 2 y 5 y 10 y 1 y 0x Individuelle Schülerlösungen

17 Eckpunkt Z (x, y) (0 0) 0 (250 0) (200 50) Max. (0 175) Monitore Typ A und 50 Monitore Typ B sollten bestellt werden.