Der Graßmannsche Farbraum

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1 Der Graßmannsche Farbraum Philipp Mungenast Mat-Nr Universität Koblenz, Studiengang Computervisualistik

2 1 Einleitung Will man Farben mit dem Computer erfassen und bearbeiten, so steht man zunächst vor der grundlegenden Frage, wie dieser überhaupt mit Farben umgehen kann. Wir Menschen nehmen Farben als visuellen Reiz war, der Computer hingegen kann nur mit diskreten Werten arbeiten. Zudem müssen die physikalischen Gesetz wie etwa die der Farbmischung eingehalten werden, diese müssen also auch für den Computer formuliert werden. Es stellt sich damit also die allgemeine Frage, wie mit Farben gerechnet werden kann. Dazu muss ein mathematisches Modell entwickelt werden, in dem Farben exakt über eine endliche (und am besten möglichst kleine) Anzahl von Werten definiert sind. Dieses Modell muss außerdem Operationen ermöglichen, die etwa die Mischung von Farben repräsentieren. Bereits vor 150 Jahren wurde ein solches mathematisches Modell von dem deutschen Mathematiker Hermann Günther Graßmann entwickelt. 2 Biografie Hermann Graßmann wird am in Stettin geboren. Er ist das dritte Kind der Familie, neun weitere Geschwister werden noch folgen. Der Vater Justus Günther Graßmann ist Professor für Mathematik an einem Gymnasium. Graßmann besucht zunächst eine Privatschule und später das Stadtgymnasium. Das Interesse an der Mathematik ist nach Abschluss der Schule noch nicht sehr ausgeprägt und so studiert Graßmann zusammen mit seinem Bruder in Berlin Theologie. Nebenbei beschäftigt er sich auch mit der Philologie und der altgriechischen Sprache (vornehmlich autodidaktisch) [6, S. 8]. Mit der Mathematik beschäftigt sich Graßmann zum ersten Mal während der Vorbereitung auf die Lehramtsprüfung im Jahr Er studiert intensiv Mathematik (besonders Geometrie in Verbindung mit Arithmetik) und kombiniert sie mit Physik und Naturgeschichte [6, S. 13]. Danach befasst er sich mit Kombinationslehre und der Infinitisemalrechnung. Schon hier zeigt sich die Besonderheit Graßmanns, die mathematische Teilgebiete miteinander zu verbinden und vor allem die reine Mathematik auch in anderen Disziplinen (wie später der Farbenlehre) zu verwenden. Graßmann besteht 1831 die Lehramtsprüfung und beginnt mit der Lehrtätigkeit, studiert aber nebenbei weiter Mathematik. Es folgen Tätigkeiten an verschiedenen Schulen und intensive Beschäftigung mit der Chemie verfasst Graßmann Die Wissenschaft der extensiven Grössen oder die Ausdehnungslehre, die aber zu dieser Zeit aufgrund ihrer Komplexität noch wenig Beachtung findet [6, S.17ff]. Er ist mit diesem Werke aber der eigentliche Begründer der Vektorund Tensorrechnung. Die Theorie der Farbmischung veröffentlicht Graßmann Weitere Beschäftigungsfelder sind Sprach- und Sanskritstudien [6, S.51ff], die

3 Vokaltheorie sowie Musik und Tonhöhen. Nach dem Tode seines Vaters wird er dessen Nachfolger am Gymnasium und erhält den Titel des Professors. Hermann Günther Graßmann stirbt am Vorarbeit Vor Hermann Graßmann befasste sich bereits eine ganze Reihe von Wissenschaftlern mit der Farbwahrnehmung, darunter etwa Sir Isaac Newton, Thomas Young und Hermann von Helmholtz. In seinem Artikel bezieht sich Graßmann konkret auf die von Isaac Newton formulierte Theorie der Farbmischung und eine Arbeit von Helmholtz, durch die letztlich zur Beschäftigung mit den Farben angeregt wurde. Helmholtz hatte sich in seiner Arbeit mit den Komplementärfarben beschäftigt, aber nur die Farben Gelb und Indigo als solche identifizieren können. Er bevorzugte zudem die Auffassung, man müsse mindestens drei Spektralfarben mischen um Weiß zu erhalten und bezeichnete Newtons Theorie als in den wesentlichsten Punkten irrig [2, S. 69, Z. 5] Von Isaac Newton stammt die erste Theorie der Farben. Er entdeckte als Erster, dass sich das weiße Licht der Sonne aus verschiedenen unterscheidbaren Spektralfarben zusammensetzt. Zudem erkannte er, dass zu jeder Farbe ein bestimmter Brechungsindex gehört und umgekehrt auch zu jedem Brechungsindex eine Farbe gefunden werden kann. Als Spektralfarben definierte er die Farben, die nicht mehr weiter zerlegt werden können, folgerte aber fälschlicherweise, es gebe nur sieben unterschiedliche. Aus seinen Erkenntnissen formulierte Newton zwei Gesetze der Farbmischung (vgl. [4]): 1. Farben lassen sich durch Komposition erzeugen, gleiche Farben können dabei auf unterschiedliche Weise erreicht werden. Je mehr Komponenten zu einer Farbe gemischt werden, desto entsättigter ist diese Farbe. Es lassen sich auch Farben erzielen, die nicht den Spektralfarben entsprechen. 2. Weiß und Grau lassen sich aus Farben mischen, dazu werden nicht zwingend alle Primärfarben benötigt. Trotz einer Fülle von folgenden wissenschaftlichen Arbeiten gab es zu Graßmanns Zeiten noch keine vollständige formale Theorie der Farbmischung bzw. ein Modell das Berechnungen zuließ.

4 4 Theorie der Farbmischung - Begriffe und die Graßmannschen Gesetze 4.1 Begriffe Um eine Theorie der Farbmischung aufzustellen, ist es zunächst wichtig, Begriffe zu finden mit den sich Farben klar und eindeutig beschreiben lassen. Graßmann verwendet, wie bereits Helmholtz, drei Grundbegriffe um Farben zu beschreiben (vgl. [2, S. 70f]): die Grundfarbe: Rot, Gelb, Blau oder Grün (Spektralfarben) die Intensität der Farbe die Intensität des Weißtons oder die Helligkeit Zusätzlich werden noch zwei weitere Größen eingeführt (vgl. [1, S. 5, unten]): die Totalintensität die sich aus der Summe der Farb- und der Weißintensität ergibt die Sättigung, die sich aus der Division von Farbintensität durch Totalintensität ergibt 4.2 Die Graßmannschen Gesetze Graßmanns Theorie stützt sich vorrangig auf eigene Experimente und Beobachtungen. Er formuliert aus diesen die Grundsätze seiner Theorie, die vier Graßmannschen Gesetze. 1. Jeder Farbeindruck wird von drei Grundgrößen vollständig beschrieben: Grundfarbe, Farbintensität und Weißintensität [2, S. 70] Dieses Gesetz geht auf Newtons Erkenntnis zurück, nach der jede Farbe als eine Mischung von Spektralfarben zusammen einem bestimmten Weißheits- oder Helligkeitsgrad beschrieben werden kann [1, S. 6]. Newton wie Graßmann ordnen die nicht mehr zerlegbaren Spektralfarben auf einem Spektralkreis an. Neben den von Graßmann bevorzugten Werten Grundfarbe, Farbintensität und Weißintensität ist auch die Darstellung über drei Farbwerte möglich. Voraussetzung ist dabei, dass diese nicht untereinander darstellbar sind, wie etwa Rot, Grün und Blau. 2. Verändert man einen Farbton stetig und vermischt diesen mit einer zweiten Farbe, die aber unverändert bleibt, so ändert sich auch der Farbton, der daraus durch additive Farbmischung entsteht, stetig. [2, S. 72]

5 Unter der stetigen Änderung der Grundfarbe versteht Graßmann die Veränderung der Wellenlänge. Zudem befinden sich die Farben stets auf dem Spektralkreis, das heißt, Violett geht wieder in Rot über und umgekehrt. Für den Betrachter ist dieser Übergang zwar stetig, physikalisch existiert er aber nicht. Dieser Fehler macht Graßmanns Theorie aber nicht ungültig (siehe auch [1, S. 6]. Für alle drei Werte gilt, dass sie sich auch nicht ändern dürfen. Graßmann geht zudem auf den Fall ein, in dem die Farbintensität gleich Null ist. In diesem verändert sich der Farbeindruck bei Veränderung der Weißintensität auch dann stetig, wenn die Grundfarbe zwischen verschiedenen Werten springt (also sich nicht-stetig verändert) [2, S. 72]. 3. Der Farbton einer durch additive Farbmischung entstandenen Farbe hängt nur vom Farbeindruck der Ausgangsfarben, nicht jedoch von deren physikalischen bzw. spektralen Zusammensetzungen ab. [2, S. 78] Das dritte Gesetz erlaubt es, von den physikalischen Eigenschaften der Farben zu abstrahieren und den Farbeindruck als Grundgröße zu verwenden. Die Mischung von zwei Farben ist damit nur die Summe ihrer Farbeindrücke. Graßmann kann so metamere Farben erklären, Farben die zwar für den Betrachter gleich aussehen, aber unterschiedliche Spektrallinien - und damit eine unterschiedliche physikalische Zusammensetzung - haben. 4. Die Totalintensität einer additiven Farbmischung ist die Summe der Totalintensitäten der an ihr beteiligten Farben. [2, S. 82] Graßmanns viertes Gesetz ist auch als Additivität der Helligkeit und Abneysches Gesetz bekannt. Diese Annahme wird heute für die Definition der Luminanz verwendet. Allerdings existiert die von Graßmann definierte Totalintensität (also die Summe von Farbintensität und Helligkeit) nach David L. MacAdam nur bei Punktquellen und nicht bei ausgedehnten Farbflächen.[1, S. 8] Graßmann selbst merkte zu seiner Aussage an, sie sei [...] nicht als eine so wohl begründete zu betrachten, wie die früheren [...]. [2, Seite 82] 5 Die Graßmann-Struktur Aus Graßmanns Gesetzen und Beobachtungen lässt sich nun ein mathematischer Farbraum formulieren, die sogenannte Graßmann-Struktur. Wie jede algebraische Struktur besteht diese aus einer Menge von Werten und Operationen auf diesen Werten. Die Menge A, auf der alle Operationen des Farbraums ausgeführt werden, ist die Menge aller Farben bzw. Farbreize. Jeder dieser Farbreize wird dabei gemäß Graßmanns erstem Gesetz durch drei Werte eindeutig beschrieben. Der Farbraum ist damit dreidimensional. Auf dieser Menge von Farben erlaubt die Graßmann-Struktur drei Operationen:

6 5.1 Addition Zwei oder mehr Farben lassen sich additiv mischen (etwa durch übereinander projizieren). Alle so entstehenden Farben sind selbstverständlich wieder Teil der Menge aller Farben und somit Teil des Farbraums. Die Struktur (A, +) ist damit abgeschlossen. Die Operation ist zudem kommutativ und assoziativ. Die (additive) Mischung von Grün und Rot ergibt ebenso Gelb wie die Mischung von Rot und Grün (siehe Abb. 5.1). Abb. 1. Beispiel zur Kommutativität der Addition Es spielt auch keine Rolle, ob zunächst Grün und Blau zu Cyan gemischt werden und dieses dann mit Rot zu Weiß oder als erstes Rot und Grün zu Gelb und dieses dann mit Blau zu Weiß (Abb. 5.1). Abb. 2. Beispiel für die Assoziativität der Addition Die Mischung zweier Farben ist zudem offensichtlich eindeutig - Rot und Grün z.b. ergeben immer Gelb und nie einen anderen Farbton. In der algebraischen Formulierung (vgl. [3]): Addition: Gegeben (A, ). Für alle a, b, c A gilt: 1. a b A (Abgeschlossenheit) 2. (a b) c = a (b c) (Assoziativität) 3. aus a c = b c folgt a = b (Eindeutigkeit) 4. a b = b a (Kommutativität) Gleichheit bedeutet hier, dass es sich um dieselbe Farbe handelt (also identische physikalische Zusammensetzung). Die Metamerie wird noch durch eine weitere

7 Operation abgedeckt. (A, ) ist eine kommutative Halbgruppe mit Aufhebungseigenschaften. 5.2 Multiplikation Durch Veränderung des Weißanteils einer Farbe aus A lässt sich die Helligkeit dieser Farbe verändern. Es spielt dabei keine Rolle, ob man den Weißanteil nacheinander um zwei Faktoren verändert oder diese beiden Faktoren erst multipliziert und den Weißanteil dann um diesen Faktor verändert. Abbildung 5.2 zeigt dies am Farbton Rot: die nacheinander ausgeführte Multiplikation mit den Werten 0,2 (ergibt ein sehr dunkles Rot) und 3 (die Helligkeit entspricht danach etwa der Hälfte des ursprünglichen Rottons) entspricht der Multiplikation mit dem Wert 0,6. Die Assoziativität gilt damit auch für die Multiplikation. Abb. 3. Beispiel für die Assoziativität der Multiplikation Für die Multiplikation gilt zudem die Distributivität: anstatt eine Farbe um den Wert t aufzuhellen oder abzudunkeln, können auch ihre Komponenten getrennt um t aufgehellt und anschließend addiert werden. So kann etwa die Helligkeit eines Gelbtons direkt um die Hälfte gesenkt werden. Alternativ können zwei Farbwerte, die addiert den ursprünglichen Gelbton ergeben mit dem Wert 0,5 multipliziert und danach addiert werden (siehe Abb. 5.2). Abb. 4. Beispiel für die Distributivität der Multiplikation Ist t die Summe zweier reellen Zahlen, so ergibt etwa die Aufhellung eines Grüntons um diese Summe t den gleichen Farbwert, wie die zweifache getrennte

8 Aufhellung des Grüntons und der anschließenden Addition der beiden gewonnenen Grüntöne (Abb. 5.2). Abb. 5. Beispiel für die Distributivität der Multiplikation Bei der Multiplikation mit dem Wert 1 erhält man wieder die Ausgangsfarbe, 1 ist damit das neutrale Element. Multiplikation: * ist eine skalare Multiplikation auf (A, ). Für alle a, b A und t, u R + gilt: 1. t * a A (Abgeschlossenheit) 2. t * (u * a) = (t * u) * a (Assoziativität) 3. t * (a b) = (t * a) (t * b) (Distributivität) 4. (t u) * a = (t * a) (u * a) (Distributivität) 5. (1 * a) = a (neutrales Element) (vgl. [3]) 5.3 Äquivalenz Die letzte Operation des Farbraums ist die Äquivalenz. Zwei Farben sind äquivalent, wenn sie beim Betrachter den gleichen Farbreiz hervorrufen. Der Farbraum deckt damit auch metamere Farben ab. Natürlich ist jede Farbe ihr eigenes Äquivalent. Ebenso offensichtlich sind Symmetrie und Transitivität. Äquivalenz: ist eine eine binäre Relation. Für alle a, b, c A gilt: 1. a a (Reflexivität) 2. wenn a b, dann b a (Symmetrie) 3. wenn a b und b c, dann a c (Transitivität) (vgl. [3])

9 5.4 Verträglichkeit von Äquivalenz und Addition bzw. Multiplikation Um sowohl die Verträglichkeit von Addition und Äquivalenz als auch von Multiplikation und Äquivalenz zu gewährleisten, gelten für die Graßmann-Struktur folgende Gesetze: Gesetz der Additivität Für alle a, b, c A gilt: a b gdw. a c b c Die Äquivalenz zweier Farben bleibt also auch erhalten, wenn zu beiden eine dritte Farbe addiert wird. Es handelt sich hierbei um das dritte Graßmannsche Gesetz in der algebraischen Formulierung [1, S. 16]. Im Beispiel unten (Abb. 6) sind die Farben C1 und C1 sowie C2 und C2 jeweils äquivalent bzw. metamer. Sie sehen für den Betrachter gleich aus, setzen sich aber aus anderen Farben zusammen. Die Mischungen von C1 und C2 bzw. C1 und C2 ergeben wieder einen metameren Farbton (vgl. [1, S. 16]). Die Metamerie bleibt gemäß Graßmanns drittem Gesetz erhalten. Abb. 6. Beispiel zum Gesetz der Additivität, Quelle [1, S. 16] Gesetz der skalaren Multiplikation Für alle a, b A und r R + gilt: wenn a b, dann r * a r * b Wird die Intensität zweier äquivalenter Farben um den gleichen Betrag verringert oder erhöht, so bleibt die Äquivalenz erhalten. Auch dies besagt das dritte Graßmannsche Gesetz.

10 5.5 Gesetze der Trichromazität 1. Gesetz Zu allen a 0, a 1, a 2, a 3 A existieren r 0, r 1, r 2, r 3, u 0, u 1, u 2, u 3 R + mit r i u i für wenigstens ein i {0, 1, 2, 3}, sodass gilt: 3 i=0 r i a i 3 i=0 u i a i Werden also dieselben vier Farben in unterschiedlichen Verhältnissen gemischt, so lassen sich immer verschiedene Mischungsverhältnisse finden, die den gleichen Farbeindruck hervorrufen. Ein Farbton kann also mit vier Grundfarben nicht eindeutig definiert werden - es werden sich immer mehrere Mischungsverhältnisse für die Farbe finden lassen. Fasst man die Farben als Vektoren mit drei Elementen auf, so wird zudem klar, dass es sogar unendliche viele Mischungsverhältnisse geben muss. Vier Vektoren können in R 3 nicht linear unabhängig sein, damit lässt sich sich jeder der Farbvektoren als Funktion der übrigen und der Ergebnisfarbe darstellen. Das Beispiel in Abb. 5.5 verwendet die Farben Rot, Grün, Blau und Grau (= 1/2 * [Rot Grün Blau]). Der Farbton CR lässt sich dabei mit unendlich vielen Mischungsverhältnissen erreichen (vgl. [1, S. 17]). Abb. 7. Beispiel zum 1. Gesetz der Trichromazität, Quelle [1, S. 17] 2. Gesetz Es existieren beliebige Reize a 0, a 1, a 2 A, sodass für beliebige r 0, r 1, r 2, u 0, u 1, u 2 R + unter der Bedingung 2 i=0 r i a i 2 i=0 u i a i folgt, dass r 0 = u 0, r 1 = u 1, r 2 = u 2 Bei nur drei Farbreizen lässt sich Metamerie nur bei gleichem Mischungsverhältnis erzeugen. Es gibt also bei drei Farben nur eine einzige Möglichkeit, sie so zu mischen, dass der entstandene Farbton zu einem bestimmten anderen metamer ist. Eine Menge {a 0, a 1, a 2 } A, die die oben genannte Bedingung erfüllt, nennt man Basis oder auch Menge der Primärfarben. Jeder Farbreiz lässt sich als Mischung dieser drei Farben eindeutig darstellen. Mathematisch formuliert sind

11 die drei Basisvektoren linear unabhängig und spannen damit einen eindeutigen dreidimensionalen (Farb-)Raum auf. Das untere Beispiel (Abb. 5.5) verwendet die Farben Rot, Grün und Blau als Primärfarben. Die Farbe CR lässt sich aus diesen Primärfarben nur mit dem angegebenen Mischungsverhältnis gewinnen, sie ist also eindeutig definiert. Graßmann legt damit die Grundlage für den RGB-Farbraum (vgl. [1, S. 18]). Abb. 8. Beispiel für das 2. Gesetz der Trichromazität, Quelle [1, S. 18] 5.6 Repräsentations- und Eindeutigkeitssatz Repräsentationssatz Sei (A,, *, ) eine Graßmann-Struktur. Dann existieren ein Vektorraum V über R, ein konvexer Kegel C V und eine Abbildung φ von A nach C, sodass für alle a, b A, r R + und v V gilt: 1. φ(a b) = φ(a) + φ(b) 2. φ(r * a) = r φ(a) 3. a b genau dann, wenn φ(a) = φ(b) 4. es existieren c, d A, sodass v = φ(c) - φ(d) Die Abbildung φ ist damit ein Homomorphismus der Graßmann-Struktur (A,, *, ) auf (C, +,, =), wobei C ein konvexer Kegel ist. Die Graßmann-Struktur lässt sich also auf einen konvexen Kegel projizieren. Punkt 4 stellt dabei sicher, dass es sich um einen minimalen Kegel handelt [1, S. 12]. Somit stellt die Graßmann-Struktur auch die Grundlage für den HSV- Farbraum dar. Eindeutigkeitssatz Sei (A,, *, ) eine Graßmann-Struktur mit zwei Homomorphismen φ, φ auf konvexen Kegeln C, C in den Vektorräumen V, V, die die Bedingungen 1-4 des Repräsentationssatzes erfüllen. Dann existiert eine invertierbare Abbildung T von V auf V, sodass für alle a A gilt: T(φ(a)) = φ (a) Die Abbildung φ ist damit eindeutig bis auf invertierbare lineare Transformationen. Zwischen zwei Kegeln lässt sich also eine Abbildung finden, so dass man den einen Kegel als lineare Transformation des anderen darstellen kann. Einfach formuliert gibt es demnach einen eindeutigen Kegel, der die Graßmann-Struktur repräsentiert.

12 6 Fazit Die Fähigkeit der modernen Computer, Farben zu verarbeiten und darzustellen, geht letztlich auf ein vor etwa 150 Jahren entwickeltes Modell zurück. Dieses Modell ist vor allem Graßmanns, für seine Zeit ungewöhnlicher, Vorgehensweise zu verdanken, auch in fachfremden Gebieten mathematische Methoden zu verwenden. Literatur 1. Daniel Göring, Hermann Günther Grassmann - Leben und die Grassmannschen Gesetze 2. Zur Theorie der Farbenmischung - Poggendorffs Annalen der Physik und Chemie, S , Rainer Zwisler, Die Grassmann schen Gesetze, am Rainer Zwisler, Visuelle Wahrnehmung, SECTION am Friedrich Engel, Grassmann, Gesammelte Werke, Dritter Band, Zweiter Teil, Victor Schlegel, Hermann Grassmann: Sein Leben und seine Werke, 1878