Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/ Konvergenzkriterien für reelle Folgen Definition: Eine reelle Folge a n ) n N heißt monoton wachsend : n<m : a n a m streng monoton wachsend : n<m : a n <a m nach oben beschränkt : C R : n : a n C Analog: monoton fallend, streng monoton fallend, nach unten beschränkt Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert n a n =sup{a n n N} 2

2 Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert n a n =sup{a n n N} Beweis: Folge ist nach oben beschränkt {a n n N} besitzt Supremum s := sup{a n n N} Sei ε>0gegeben. Dann existiert ein N = Nε) mit s ε<a N s Die Folge a n ) n N ist monoton wachsend, also folgt d.h. s ε<a N a n s n N s a n <ε n Nε) 3 Folgerung: Prinzip der Intervallschachtelung Sind a n ) n N, b n ) n N reelle Folgen mit a) a n ) n N monoton wachsend b) b n ) n N monoton fallend c) n N : a n b n so sind beide Folgen konvergent. Gilt überdies n a n b n )=0 so haben a n ) n N und b n ) n N denselben Grenzwert, i.e. ξ = a n n = Zusätzlich gelten die Fehlerabschätzungen n b n a n ξ b n a n b n ξ b n a n 4

3 Beispiel: Arithmetisch geometrisches Mittel Definiere für 0 <a<brekursiv zwei Folgen a n ) und b n ) mittels a 0 := a b 0 := b a n+ := a n b n b n+ := a n + b n 2 Folgen a n ) und b n ) bilden Intervallschachtelung und es gilt b n+ a n+ ) 2 b n a n ) Der gemeinsame Grenzwert von a n ) und b n ) heißt agma, b) := n a n = n b n Arithmetisch geometrisches Mittel 5 Bernoullische Ungleichung: x, n N : +x) n +nx Gleichheit gilt nur bei n =oder x =0 Beispiel: Geometrische Folge a n := q n mit q R. q> : n q n =+ q n =+q )) n +nq )) q = : n q n = 0 <q< : n q n =0 q n = <q 0 : n q n =0 q n = q n ) +/q )) n +n/q ) ) q = : q n ) beschränkt, aber nicht konvergent q n {, }) q< : q n ) divergent, kein uneigentlicher Grenzwert 6

4 Seien a n ) n N und b n ) n N konvergente reelle Folgen. Dann gel- Satz: ten a) n a n b n ) = n a n ) n b n ) b) n : b n 0 n b n 0 n an b n ) = n a n n b n c) n : a n 0 m N m a n n = m a n n Beweis: Seien a n ) n N und b n ) n N zwei konvergente Folgen mit n a n = a b n n = b 7 Teil a): Es gilt für hinreichend große n) a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab a n b n b + b a n a C a b n b + b a n a < C a + b )ε Teil b): Da b n 0und b 0existiert eine Konstante C b > 0 mit C b b n n N Damit gilt b n b = b b n b n b = b n b b n b C b b ε für n hinreichend groß und die Aussage in b) folgt direkt aus Teil a) denn /b n /b) 8

5 Teil c): Wir setzen folgenden Satz voraus Beweis Ansorge/Oberle): Satz: Zu a>0und m N existiert genau eine Zahl w>0mit w m = a. Diese Zahl wird mit w = m a bezeichnet.. Fall: Sei a n ) eine Nullfolge und ε>0vorgegeben a n <ε m n Nε m ) Daraus folgt 0 m a n <ε und daher m a n 0 für n 2. Fall: Sei a>0. Verwende die Identität x m y m m =x y) x m j y j j= 9 Identität: x y) m j= x m j y j = x y) x m y 0 + x m 2 y x 0 y m ) = x m y x 0 y m x m y...x 0 y m = x m y m Setze nun x = m a n und y = m a. Dann folgt für n Nε) m a n m a = a n a m a n ) m m a) m a n a m a) m < C ε 0

6 Bemerkung: Die Aussagen a) und b) gelten auch für komplexe Folgen Beispiel: Gegeben sei die Folge a n := n 2 +5n + n Eine Umformung ergibt: a n = n2 +5n +) n 2 n 2 +5n ++n = 5+ n + 5 n + n 2 + und damit n a n = 5+0 = Beispiel: Wir betrachten die Folge a n := + p ) n n Kapitalverzinsung: Anfangskapital K 0, Jahreszinssatz p K = K 0 + p) jährlich K 2 = K 0 + 2) p 2 halbjährlich K 4 = K 0 + 4) p 4 vierteljährlich K 0 = K 0 + p ) 0 monatlich 0 K 360 = K 0 + p ) 360 täglich 360 Untersuche die Konvergenz der Folge a n : n a n =? 2

7 Für p>0zeigt man direkt: die Folge a n ) n N ist streng monoton wachsend a n+ > a n die Folge a n ) n N ist nach oben beschränkt + p ) n 4 l für ein l p) n Damit konvergiert die Folge: n a n = e p Formel gilt auch für negative p. Spezialfall + n = e = n n) Eulersche Zahl) 3 Satz: Cauchysches Konvergenzkriterium) Der R ist vollständig, d.h. jede reelle Cauchyfolge ist konvergent. Zum Beweis verwendet man das Konzept von Häufungspunkten einer gegebenen Folge a n ) n N. Beispiel auf Folie Definition: Sei a n ) n N eine Folge. Die Grenzwerte konvergenter Teilfolgen von a n ) n N nennt man die Häufungspunkte der Folge a n ) n N. Satz: Satz von Bolzano, Weierstraß) Jede reelle, beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. 4

8 Satz: Cauchysches Konvergenzkriterium) Der R ist vollständig, d.h. jede reelle Cauchyfolge ist konvergent. Beweisidee: Zeige zunächst, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist: a n = a n a N + a N <ε+ a N Nach Bolzano, Weierstraß besitzt a n ) einen Häufungspunkt ξ. Dann gilt a m ξ = a m a nk + a nk ξ a m a nk + a nk ξ < ε }{{}}{{} 2 + ε 2 = ε Cauchyfolge Häufungspunkt Notation: inf a n = kleinster Häufungspunkt sup a n =größter Häufungspunkt Folgen in Vektorräumen Abschnitt 3.2: Konvergenzkriterien für reelle Folgen a n ) n N, a n R Sei nun V, ) ein normierter Vektorraum. Wiederholung aus Abschnitt 3.2: Definition: Konvergenz von Folgen Sei a n ) n N eine Folge in V Vektorraum mit Norm )... 3) Eine Folge a n ) heißt konvergent mit Grenzwert Limes) a V, falls ε>0 : N = Nε) N : n N : a n a <ε... Beispiel: Unendlich dimensionale) Funktionenräume 6

9 Endlich dimensionale Vektorräume zum Beispiel R n ) Satz: Normäquivalenzsatz) Je zwei Normen und eines endlichdimensionalen Vektorraums V sind äquivalent, d.h. es gibt positive Konstanten C,C 2 > 0 mit v V : C v v C 2 v Konvergenz und Grenzwert einer Folge sind unabhängig von der Norm. Folgerung: Eine Folge x m ) im R n konvergiert genau dann, wenn alle n Koordinatenfolgen x m) j ) m N, j =,...,nkonvergieren. Der Grenzwert der Folge lässt sich komponentenweise berechnen. Beispiel: n n, + exp ) n ) T, n2 +2n +3 2n 2 = 0, 2, ) T 2 7 In endlichdimensionalen Vektorräumen gilt daher auch das Cauchysche Konvergenzkriterium a : a m a m ) ε>0 N = Nε) : m, n N : a m a n <ε und der Satz von Bolzano, Weierstraß Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge Beispiel: Für a n := z n, z C gegeben, gilt z > a n = z n unbeschränkt a n ) divergent z < a n = z n 0n ) n z n =0 8

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