Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015"

Transkript

1 Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung

2 Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt 3 Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Schnittaufgaben Abstandsprobleme Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 2

3 Vorbemerkung Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag Bishere haben wir uns mit mathematischen Größen beschäftigt, die sich durch Zahlenwerte beschreiben lassen. Zahlenwerte lassen sich auf der Skala eines Messinstruments ablesen; man bezeichnet sie deshalb als Skalare. Beispiele: Temperatur, Zeit, Masse, Arbeit, Spannung, etc. Bei Größen wie Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung spielt jedoch auch Richtung und Orientierung eine Rolle; so ist bei einer Kraft neben der Angabe 5.3 Newton auch noch die Richtung und Orientierung wichtig. Solche Größen nennt man Vektoren. Wir unterscheiden deshalb streng zwischen skalaren und vektoriellen Größen. Deshalb benutzen wir stets unterschiedliche Darstellungsweisen! Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 3

4 Vektor Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im Raum. Dabei werden diejenigen Pfeile als gleich angesehen, die durch Parallelverschiebung ineinander übergehen. Bezeichnung: a. Vektoren besitzen Länge (Betrag), Richtung und Orientierung. Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in Betrag, Richtung und Orientierung übereinstimmen. Der Vektor mit dem Betrag Null heißt Nullvektor o. a Definiert werden hier sogenannte freie Vektoren; der Anfangspunkt des Pfeils ist beliebig! Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 4

5 Grundrechenarten I Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag Vorbild: Kräfte (Kräfteparallelogramm), Geschwindigkeiten Definition: Zwei Vektoren werden addiert, indem man den Anfangspunkt des einen Vektors im Endpunkt des anderen Vektors anhängt. Der Vektor a hat Betrag und Richtung von a, aber entgegengesetzte Orientierung. Unter der Differenz a b versteht man a + ( b). Definition: Unter s a mit s > 0 verstehen wir einen Vektor, dessen Richtung und Orientierung mit a übereinstimmt, aber mit der s-fachen Länge. Ist s negativ, so dreht sich noch die Orientierung um. a b b a b a + b Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 5 a a 3 a

6 Grundrechenarten II Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag Die üblichen Rechenregeln der Algebra gelten auch hier: a + b = b + a Kommutativgeetz s (t a) = (s t) a Assoziativgesetz s( a + b) = s a + s b Distributivgesetz I (s + t) a = s a + t a Distributivgesetz II Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 6

7 Algebraisierung Grundsätzliches Kartesisches Koordinatensystem; Dazu wählen wir drei Vektoren e, e 2, e 3 der Länge aus, die paarweise aufeinander orthogonal stehen. Orientierung mit Rechte-Hand- Regel! Alle Vektoren können als Linearkombination der Einheitsvektoren dargestellt werden. a = a e + a 2 e 2 + a 3 e 3 Identifikation: a = a a 2 a 3 Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag a 3 a e 3 e 3 x 3 a e a e 2 e a 2 e 2 x 2 x Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 7

8 Algebraisierung; Rechengesetze Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag In der Technik werden die Basisvektoren häufig mit i, j, k bezeichnet. Grundrechenoperationen übertragen sich auf die Koordinaten: Gleichheit von Vektoren a a 2 a 3 = b b 2 b 3 a = b a 2 = b 2 a 3 = b 3 Addition und Subtraktion a a 2 a 3 ± = b b 2 b 3 a ± b a 2 ± b 2 a 3 ± b 3 s a a 2 a 3 s-multiplikation = s a s a 2 s a 3 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 8

9 Länge, Betrag a = Grundsätzliches a 2 + a2 2 rechtwinkliges Dreieck in (x, y)-ebene a = a 2 + a3 2 rechtwinkliges Dreieck (x, y)-ebene = a 2 + a2 2 + a2 3 Normierung eines Vektors auf die Länge ; Einsvektor in Richtung a. e a = a a Vektor der Länge mit Richtung und Orientierung wie a Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag a 3 x 3 a a 2 a a x 2 x Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 9

10 Produktmöglichkeiten Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt In der Vektorrechnung gibt es zwei Typen von Objekten: Vektoren: a, b Skalare (Zahlen): 2, 4, s Bei der bereits eingeführten s-multiplikation wurden verknüpft: Skalar Vektor Nun erklären wir Verknüpfungen: Vektor Vektor Das Ergebnis einer solchen Verknüpfung kann wieder ein Vektor oder ein Skalar sein! Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 0

11 Definition Grundsätzliches Physikalisches Vorbild: Arbeit, die längs einer Strecke s von der Kraft F geleistet wird. Nur der Anteil der Kraft längs des Weges ist relevant. A = F s cos ϕ Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt F ϕ F cos ϕ s Definition: Unter dem Skalarprodukt der Vektoren a und b versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren a und b, multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenenwinkels. a b = a b cos ϕ a b > 0 0 ϕ < π 2 a b < 0 π 2 < ϕ π a b = 0 ϕ = π 2 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie:

12 Eigenschaften Grundsätzliches Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt a b = b a a ( b + c) = a b + a c s ( a b) = (s a) b = a (s b) Im Allgemeinen gilt: Aus a b = 0 folgt a ( b c) }{{} Vektor in Richtung a ) a = o oder 2) b = o oder 3) a b Es gibt keine Umkehrung des Skalarprodukts ( a b) c. }{{} Vektor in Richtung c x a x = b Alle x besitzen dieselbe Projektion auf a! a Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 2

13 Koordinatendarstellung Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt a a 2 a 3 b b 2 b 3 = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 Winkel zwischen den beiden Vektoren bei bekannten Koordinaten a b = a b cos ϕ cos ϕ = a b a b = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 a 2 + a2 2 + a2 3 b 2 + b2 2 + b2 3 Speziell: Richtungswinkel α, β, γ zu den Koordinatenachsen cos α = a cos β = a 2 a a Es gilt: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = cos γ = a 3 a Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 3

14 Projektion Grundsätzliches Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Projektion des Vektors a auf die Richtung von b: skalar: a b = a b b vektoriell: a b = a b b 2 b a a a b b Dabei ist a b die mit einem Vorzeichen versehene Länge von a b. Es gilt a b = a b, wenn a b die gleiche Orientierung hat wie b, und a b = a b, wenn a b zu b entgegengesetzt orientiert ist. Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 4

15 Definition Grundsätzliches Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Motivation: Bewegte elektrische Ladung im Magnetfeld; Drehmoment in der Mechanik Definition: Das mit a b bezeichnete Vektorprodukt (Kreuzprodukt) steht senkrecht auf den Vektoren a und b, bildet mit a, b in der Reihenfolge a, b, a b ein Rechtssystem und hat den Betrag a b b a b = a b sin ϕ, ϕ = ( a, b). a ϕ b b sin ϕ a Der Betrag a b kann als die Maßzahl der von den Vektoren a, b aufgespannten Parallelogrammfläche gedeutet werden. a b a b = a b Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 5

16 Eigenschaften Grundsätzliches Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt a b = b a a ( b + c) = a b + a c s ( a b) = (s a) b = a (s b) Im Allgemeinen gilt: a ( b c) ( a b) c. Aus a b = o folgt Es gibt keine Umkehrung des Vektorprodukts, d. h., die Beziehung ) a = o oder 2) b = o oder 3) a b. x a x = b lässt sich nicht nach x auflösen. a Alle x besitzen dieselbe Projektion auf die Senkrechte von a! Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 6

17 Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Vektorprodukt in Koordinatendarstellung I a b = (a e + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) (b e + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) = a b e e }{{} = o a 2 b e 2 e }{{} + a b 2 e e }{{} 2 + a b 3 e e }{{} = e 3 = e 2 + a 2 b 2 e 2 e }{{} 2 = e 3 = o + a 2 b 3 e 2 e 3 }{{} = e +... a 3 b e 3 e }{{} = e 2 + a 3 b 2 e 3 e }{{} 2 = e + a 3 b 3 e 3 e }{{} 3 = o = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) e + (a 3 b a b 3 ) e 2 + (a b 2 a 2 b ) e 3 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 7

18 Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Vektorprodukt in Koordinatendarstellung II oder a a 2 a 3 b b 2 b 3 = a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b a b 3 a b 2 a 2 b Eselsbrücke: e e 2 e 3 a a 2 a 3 b b 2 b 3 = e a 2 a 3 b 2 b 3 }{{} a 2 b 3 a 3 b 2 e 2 a a 3 b b 3 }{{} a b 3 a 3 b + e 3 a a 2 b b 2 }{{} a b 2 a 2 b Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 8

19 Definition Grundsätzliches Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Spatprodukt Wird das Vektorprodukt von zwei Vektoren b c mit dem Vektor a skalar multipliziert, so nennt man diese Kombination Spatprodukt. Schreibweise: [ a, b, c ] = a ( b c) Das Spatprodukt lässt sich als (orientiertes) Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spats interpretieren. a ( b c) = b c a cos ϕ }{{}}{{} A P h mit ϕ = ( a, b c). b c ϕ a c Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 9 h b A p

20 Eigenschaften Grundsätzliches Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Eigenschaften des Spatprodukts: Die Eigenschaft [ a, b, c ] = 0 ist gleichwertig dazu, dass alle Vektoren in einer Ebene liegen. [ a, b, c ] > 0 a, b, c bilden (in dieser Reihenfolge) ein Rechtssystem. Wird beim Spatprodukt die Reihenfolge der Vektoren verändert, so kann sich höchstens das Vorzeichen ändern. Speziell gilt: Werden zwei Vektoren vertauscht (dritter Vektor bleibt auf seiner Position), so ändert sich das Vorzeichen. Bei zyklischer Vertauschung bleibt das Vorzeichen erhalten. Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 20

21 Koordinatendarstellung Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Koordinatendarstellung des Spatprodukts: a ( b c) = a a 2 a 3 b 2 c 3 b 3 c 2 b 3 c b c 3 b c 2 b 2 c = a (b 2 c 3 b 3 c 2 ) + a 2 (b 3 c b c 3 ) + a 3 (b c 2 b 2 c ) = a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 2

22 Vektoren und Punkte Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Grundsätzliches zur Beziehung zwischen Vektorraum und Punktraum. Vektorraum: Menge der Vektoren, Pfeilklassen ; Pfeile können beliebig parallel verschoben werden. Punktraum: Menge der Punkte im Raum. Denken wir uns im Punktraum ein kartesisches Koordinatensystem vorgegeben und hängen im Koordinatenursprung sämtliche Vektoren (Pfeile) des Vektorraums an, so weist zu jedem Punkt P des Raumes ein Vektor. Wir nennen diesen Vektor p Ortsvektor des Punktes P. In den folgenden geometrischen Aufgabenstellungen wird nicht mehr zwischen Punkt und Ortsvektor unterschieden. Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 22

23 Gerade; Parameterdarstellung Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Geraden im Anschauungsraum x 0 uλ u g Aufpunkt: x 0 Richtungsvektor: g : x = x 0 + λ u (λ IR) u x 3 x Punkt + Richtung Durchläuft λ alle reellen Zahlen, so durchläuft x alle Punkte der Gerade. x x 2 x = x x 2 x 3 = λ 2 2 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 23

24 Ebene; Parameterdarstellung Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Aufpunkt: x 0 E µ v v λ u u x Richtungsvektoren: u, v x 0 x 3 x x 2 x x = x 2 = + λ 2 + µ 2 x E : x = x 0 + λ u + µ v (λ, µ IR) Punkt + zwei Richtungen Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 24

25 Ebene; lineare Gleichung Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben n n v E u x x 0 x x 2 x 3 n n 2 n 3 x = x 0 + λ u + µ v n = u v n x = n x 0 = d (= konstant ) = n x + n 2 x 2 + n 3 x 3 = d Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 25

26 Schnitt Ebene Gerade g : x = 0 + λ 2 x = + λ x 2 = λ x 3 = 2λ E : x + 2x 2 + x 3 = 3 (+λ)+2λ+( 2λ) = 3 λ = s = = cos ( π 2 α) = sin(α) = sin(α) = 2 α = n u n u 2 = Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben u x 0 E x 3 n α S x x 2 g : x = x 0 + λ u E : n x + n 2 x 2 + n 3 x 3 = d Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 26 g

27 Schnitt zweier Ebenen Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Die Ebenen E, E 2 seien durch ihre Koordinatengleichung gegeben. Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ergibt eine einparametrige Lösung, d. h. die Parameterdarstellung der Schnittgeraden. E : x + 2x 2 + x 3 = 3 E 2 : 4x x 2 + 2x 3 = 3 ( ) ( ) x kann frei gewählt werden! x = 5λ x 2 = 2λ x 3 = 9λ 5 x = + λ 2 ( λ IR ) Schnittgerade 0 9 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 27

28 Schnittwinkel zweier Ebenen Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen ist derselbe wie der Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren n und n 2. cos ϕ = n n 2 n n 2 n ϕ n 2 ϕ E ϕ E : x + 2x 2 + x 3 = 3 E 2 : 4x x 2 + 2x 3 = 3 4 cos ϕ = = ϕ.206 [ 69.24o ] E 2 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 28

29 Schnitt zweier Geraden g : x = x 0 + λ u x = g 2 : x = x 02 + λ 2 u Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben + λ 2 3 ; x = 5 + λ 2 2 Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt, wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind. Kriterium: Spatprodukt = 0! [ u, u 2, ( x 02 x 0 )] = Das Gleichsetzen der beiden Parameterdarstellungen ergibt ein lineares Gleichungssystem für die beiden Parameter. + λ = 5 + λ 2 2 λ = 2 λ 2 = 3 s = ( 2) 2 = = 0 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 29

30 Schnitt dreier Ebenen Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Die drei Ebenen werden durch drei lineare Gleichungen repräsentiert. Die Suche nach einem Schnittpunkt läuft auf die Diskussion dieses Gleichungssystems hinaus. eindeutige Lösung: einparametrige Lösung: keine Lösung: E : x + 2x 2 + x 3 = 3 E 2 : 4x x 2 + 2x 3 = 3 E 3 : x + x 2 + 7x 3 = 2 Ebenen in allgemeiner Lage haben einen Schnittpunkt Bündel von drei Ebenen um eine Gerade eine Ebene ist parallel zur Schnittgerade der beiden anderen Ebenen oder alle drei Ebenen sind parallel Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 30

31 Abstand Punkt Ebene; Lotfußpunkt Die Gerade durch den Punkt P mit dem Richtungsvektor n schneidet die Ebene im Lotfußpunkt L. Der Abstand Punkt-Lotfußpunkt ergibt auch den Abstand Punkt Ebene. E : x + 2x 2 + x 3 g : x = d = LP = = 3 ; P(3 5 2) + λ 2 Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben x 3 E x x 2 x = 3 + λ x 2 = 5 + 2λ x 3 = 2 + λ (3 + λ) + 2(5 + 2λ) + (2 + λ) = 3 λ = 2 l = = LP = = p l n L P g n Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 3

32 Abstand Punkt Gerade I Die Ebene g durch den Punkt P schneidet die Gerade in L. Der Abstand PL ergibt auch den Abstand Punkt Gerade. P( 6) g : x = 2 + λ 2 3 E : x +2x 2 +3x 3 = }{{} x = 2 + λ x 2 = + 2λ x 3 = + 3λ l = = =2 Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben x 3 p x x 2 (2 + λ) + 2( + 2λ) + 3( + 3λ) = 2 λ = ; LP = P l x 0 u L E = 2 2 ; d = LP = g Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 32

33 Abstand Punkt Gerade II Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Das Parallelogramm wird vom Richtungsvektor u der Geraden und vom g Verbindungsvektor v = p x 0 aufgespannt. u Dabei gilt für den Abstand d: d d u = v u v v u d = = 29 p x 0 u P 6 g : x = 0 + λ ; P(0 2 ) 2 v = = 2 ; v u = 2 v u = = 29; u = = 6 e e 2 e = Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 33

34 Abstand Gerade Gerade Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Die Messrichtung des Abstands d erhält man als Vektorprodukt von u u 2. Der Abstand ergibt sich als Projektion des Verbindungsvektors v = x 0 x 02 auf die Richtung u u 2 : d = v ( u u 2 ) u u 2 = 6 9 u v x 0 u 2 x 3 x 02 x x 2 g d u u 2 g : x = + λ 4 ; g 2 : x = 2 + µ 0 ; v = 2 = u u 2 = e e 2 e u u 2 = = 9; = 8 ; v ( u u 2 ) = 0 8 = Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 34 g 2

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64 1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:

Mehr

Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen

Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen von Richard Mohr. Auflage Hanser München 0 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 446 455 4 Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei

Mehr

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x = Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.

Mehr

Arbeitsblatt 1 Einführung in die Vektorrechnung

Arbeitsblatt 1 Einführung in die Vektorrechnung Arbeitsblatt Einführung in die Vektorrechnung Allgemein Vektoren sind physikalische Größen und durch ihre Richtung und ihren Betrag festgelegt. Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil dargestellt,

Mehr

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt: Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:

Mehr

Vektoren, Vektorräume

Vektoren, Vektorräume Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010

Mehr

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil 1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg

Mehr

Vektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1

Vektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren Kapitel 13 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren 131 Denition: Vektoren im Zahlenraum Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen,

Mehr

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter

Mehr

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,

Mehr

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. 1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit

Mehr

3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60

3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt

Mehr

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1 2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach

Mehr

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2 Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit

Mehr

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme?

Mehr

Definition von R n. Parallelverschiebungen in R n. Definition 8.1 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R... R (n-mal), d.h.

Definition von R n. Parallelverschiebungen in R n. Definition 8.1 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R... R (n-mal), d.h. 8 Elemente der linearen Algebra 81 Der euklidische Raum R n Definition von R n Definition 81 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R R (n-mal), dh R n = {(x 1, x 2,, x n ) : x

Mehr

Mathematik Analytische Geometrie

Mathematik Analytische Geometrie Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,

Mehr

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen

Mehr

Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra

Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 1 /27 Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra 8. Das Skalarprodukt, metrische

Mehr

Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik:

Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: Vektorrechnung 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: - skalare Größen: Länge [m], Zeit [sec], Masse [kg], Energie [N m], elektr. Spannung [V ],... gekennzeichnet durch: Maßzahl ( R) [Maßeinheit]

Mehr

Analytische Geometrie II

Analytische Geometrie II Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor

Mehr

Die Nummerierung des Buches wurde für die leichtere Orientierung beibehalten. 1. VEKTOREN UND IHRE GEOMETRISCHE BEDEUTUNG

Die Nummerierung des Buches wurde für die leichtere Orientierung beibehalten. 1. VEKTOREN UND IHRE GEOMETRISCHE BEDEUTUNG 1 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken aus Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I von Hans Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie das Buch auch

Mehr

Mathematik für Chemische Technologie 2

Mathematik für Chemische Technologie 2 Mathematik für Chemische Technologie 2 Themenüberblick: Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen Vektoralgebra Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Fehlerrechnung Schwerpunkt des Sommersemesters

Mehr

Vektorprodukte und analytische Geometrie

Vektorprodukte und analytische Geometrie KAPITEL 4 Vektorprodukte und analytische Geometrie 4. Vektorprodukte.................................... 8 4. Skalarprodukt für Vektoren im R n.......................... 8 4. Anwendung des Skalarprodukts..........................

Mehr

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man

Mehr

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier

Mehr

Grundlagen der Vektorrechnung

Grundlagen der Vektorrechnung Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt

Mehr

Formelsammlung Analytische Geometrie

Formelsammlung Analytische Geometrie Formelsammlung Analytische Geometrie http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. August 6 Inhaltsverzeichnis 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene......................................... 6..

Mehr

Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen

Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Sommersemester 2012 Bernhard Burgeth Universität des Saarlandes c 2010 2012, Bernhard Burgeth 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 2 1 Vektoren in der Ebene und

Mehr

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01 . Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:

Mehr

Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt

Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches

Mehr

00. Einiges zum Vektorraum R n

00. Einiges zum Vektorraum R n 00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen

Mehr

Analytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden

Analytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden Analytische Geometrie - Schnittwinkel. Möglichkeiten und Formeln Gerade / Gerade: cos( ) = u u 2 u u 2 Gerade / Ebene: sin( ) = n u n u Ebene / Ebene: cos( ) = n n 2 n n 2 u, u 2 Richtungsvektoren der

Mehr

Skalarprodukt. Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen:

Skalarprodukt. Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Vektorgeometrie ganz einfach Teil 5 Skalarprodukt Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Die wichtigsten Aufgabenstellungen

Mehr

Analytische Geometrie I

Analytische Geometrie I Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend

Mehr

Geometrie Q11 und Q12

Geometrie Q11 und Q12 Skripten für die Oberstufe Geometrie Q und Q. E: x + 3x 4 = 0 A 3 H. Drothler 0 www.drothler.net Geometrie Oberstufe Seite Inhalt 0. Das räumliche Koordinatensystem... 0. Vektoren...3 03. Vektorketten...4

Mehr

1 Einführung in die Vektorrechnung

1 Einführung in die Vektorrechnung 3 1 Einführung in die Vektorrechnung Neben der Integral- und Differentialrechnung ist die Vektorrechnung eine der wichtigsten mathematischen Disziplinen für die Ausbildung in einem Ingenieurfach, da in

Mehr

Übungsaufgaben Vektoren

Übungsaufgaben Vektoren Kallenrode, www.sotere.uos.de Übungsaufgaben Vektoren 1. Gegeben sind die Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten e ϱ = cos ϕ sin ϕ, e ϕ = sin ϕ cos ϕ und e z = 0 0 0 0 1 und Kugelkoordinaten: sin ϑ cos

Mehr

Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe

Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe Was ist ein Vektor? Wie lassen sich Vektoren darstellen? Theorie 1 2 / 2 Grundbegriffe Antwort : Ein Vektor ist die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten

Mehr

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme 1 Inhalt Einleitung 2 1 Koordinatensysteme 2 1.1 Kartesisches Koordinatensystem 2 1.2 Polarkoordinaten 3 1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten 3

Mehr

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung: Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben

Mehr

8 SKALARPRODUKT VON VEKTOREN BERECHNEN GEOMETRISCHER GRÖSSEN

8 SKALARPRODUKT VON VEKTOREN BERECHNEN GEOMETRISCHER GRÖSSEN 8 SKALARPRODUKT VON VEKTOREN BERECHNEN GEOMETRISCHER GRÖSSEN 7 7. a) s = ; s = 5, 5, 5 Über den Satz des Pythagoras ist die Länge der Vektoren bestimmbar. Die Länge von = ist = + +. s 6,9 m und s 6,97

Mehr

2.3. Vektorprodukt und Spatprodukt

2.3. Vektorprodukt und Spatprodukt .3. Vektorprodukt und Spatprodukt Das Vektorprodukt In sehr vielen mathematischen und physikalisch-technischen Problemstellungen geht es darum, zu einer gegebenen Fläche deren Inhalt und auf ihr senkrecht

Mehr

Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014

Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014 Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................

Mehr

Vektorgeometrie. Roger Burkhardt FHNW / Hochschule für Technik Steinackerstrasse Windisch. 28. Dezember 2012

Vektorgeometrie. Roger Burkhardt FHNW / Hochschule für Technik Steinackerstrasse Windisch. 28. Dezember 2012 Vektorgeometrie Roger Burkhardt FHNW / Hochschule für Technik Steinackerstrasse Windisch 8. Dezember Inhaltsverzeichnis Einführung. Vektoren und Translationen....................... Addition von Pfeilen.......................

Mehr

5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge.

5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge. 1. Definition von drei Vektoren sind l.u. 2. Wie überprüft man 3 Vektoren mit Hilfe eines LGS auf lineare Unabhängigkeit? 3. Definition von Basis?... wenn sich der Nullvektor nur als triviale LK darstellen

Mehr

Prof. Dr. K. Melzer IWB 1 Blatt 1 Vektorrechnung Aufgaben

Prof. Dr. K. Melzer IWB 1 Blatt 1 Vektorrechnung Aufgaben Prof. Dr. K. Melzer IWB Blatt Vektorrechnung Aufgaben Aufgabe : Ermitteln Sie die Koordinatendarstellung der skizzierten Vektoren a und b. Aufgabe 2: Ein Vektor r mit r = 7 und dem Anfangspunkt (2 ) hat

Mehr

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

Vektorgeometrie. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)

Vektorgeometrie. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) fua3673 Fragen und Antworten Vektorgeometrie (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis Vektorgeometrie im Raum. Fragen................................................. Allgemeines..........................................

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

2.2 Kollineare und koplanare Vektoren

2.2 Kollineare und koplanare Vektoren . Kollineare und koplanare Vektoren Wie wir schon gelernt haben, können wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängern oder verkürzen. In Abbildung 9 haben u und v die gleiche Richtung,

Mehr

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 2016 A. Kersch

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 2016 A. Kersch Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 206 A. Kersch Vektoren. Vektorrechnung Definition Ein Vektor ist eine gerichtete Größe welche einen Betrag ( Zahl und eine Richtung ( in 2D, 2 in 3D hat. Alternativ

Mehr

Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume

Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume a) Vektoren: Definition und Grundlagen Größen, die sich durch Angabe eines Zahlenwertes und einer Einheit vollständig beschreiben lassen, nennt man Skalare

Mehr

Studiengänge) Beispiele

Studiengänge) Beispiele Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche Studiengänge) Beispiele Prof. Dr. Udo Hebisch Diese Beispielsammlung ergänzt das Vorlesungsskript und wird ständig erweitert. DETERMINANTEN Determinanten

Mehr

1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt

1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt Version vom 4. Januar 2007 Gleichungen von Geraden in der Ebene 1999 Peter Senn * 1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt In dieser Form lautet die Gleichung der Geraden wie folgt: g:

Mehr

Vektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben.

Vektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben. Vektorgeometrie 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren u 14, 5 11 10 v 2 und w 5 gegeben. 10 10 a) Zeigen Sie, dass die Vektoren einen Würfel

Mehr

2 Geometrie und Vektoren

2 Geometrie und Vektoren Geometrie und Vektoren Vorbemerkung: Begriffe wie die folgenden werden hier als bekannt vorausgesetzt: Punkt, Strecke, Strahl, Gerade, Ebene, Kreis, Winkel, rechter Winkel, etc..1 Grundlegende Sätze Satz

Mehr

Mathematik. Lernbaustein 6

Mathematik. Lernbaustein 6 BBS Gerolstein Mathematik Mathematik für die Berufsoberschule II Lernbaustein 6 Modellieren von Realsituationen mit Hilfe der Vektorrechnung www.p-merkelbach.de/bos/mathe/matheskript-bos- Lernbaustein

Mehr

2. Vorlesung Wintersemester

2. Vorlesung Wintersemester 2. Vorlesung Wintersemester 1 Mechanik von Punktteilchen Ein Punktteilchen ist eine Abstraktion. In der Natur gibt es zwar Elementarteilchen (Elektronen, Neutrinos, usw.), von denen bisher keine Ausdehnung

Mehr

Lösungen der 1. Lektion

Lösungen der 1. Lektion Lektionen der Vektorrechnung in Aufgaben Lösungen Schickt mir bei Entdeckung eines Fehlers oder Unklarheiten bitte eine e-mail! Lösungen der 1. Lektion Es ist hier unerheblich, wie Vektoren definiert werden.

Mehr

Vorkurs Mathematik B

Vorkurs Mathematik B Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein

Mehr

Vektoren - Basiswechsel

Vektoren - Basiswechsel Vektoren - Basiswechsel Grundprinzip Für rein geometrische Anwendungen verwendet man üblicherweise die Standardbasis. Damit ergibt sich in den Zahlenangaben der Koordinaten kein Unterschied zu einem Bezug

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Kapitel 2 Analytische Geometrie 21 Vektoren Die Elemente des kartesischen Produktes R n, d h die n Tupel oder Zeilenvektoren (a 1,, a n ) mit a k R für k n, interpretiert man als Punkte eines n dimensionalen

Mehr

4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-7.. Aufgabe G (Geraden im R ) Bestimmen

Mehr

Zusammenfassung der Analytischen Geometrie

Zusammenfassung der Analytischen Geometrie Zusammenfassung der Analytischen Geometrie 1. Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation, Linearkombinationen) 1. Gegeben sind die Punkte A(2-6 ) und B(-1 14-4), 4 4 sowie die Vektoren

Mehr

1 Einführung in die Vektorrechnung

1 Einführung in die Vektorrechnung 9 1 Einführung in die Vektorrechnung Neben skalarwertigen physikalischen Größen, wie Temperatur, Dichte, etc. gibt es weitere mathematische Größen, die mehr Informationen als nur den reinen Zahlenwert

Mehr

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 2007. Vektoren. Evelina Erlacher 1 9. März 2007. 8 Winkel 5. 11 Ausblick 6

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 2007. Vektoren. Evelina Erlacher 1 9. März 2007. 8 Winkel 5. 11 Ausblick 6 Workshops zur VO Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 007 Inhaltsverzeichnis Vektoren Evelina Erlacher 9. März 007 1 Pfeile und Vektoren im R und R 3 1 Der Betrag eines Vektors 3 Die Vektoraddition

Mehr

Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung

Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung Mathematischer Vorkurs für Physiker und Naturwissenschaftler WS 2014/2015 Grundbegriffe der Linearen Algebra Viele physikalische Größen (Geschwindigkeit,

Mehr

Länge, Skalarprodukt, Geradengleichungen

Länge, Skalarprodukt, Geradengleichungen Länge, Skalarprodukt, Geradengleichungen Jörn Loviscach Versionsstand: 9. April 2010, 18:48 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu: http://www.youtube.com/joernloviscach

Mehr

Algebra 3.

Algebra 3. Algebra 3 www.schulmathe.npage.de Aufgaben 1. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 3), B( ) sowie für jedes a (a R) ein Punkt P a (a a a) gegeben. a) Zeigen Sie, dass alle Punkte

Mehr

3.6 Einführung in die Vektorrechnung

3.6 Einführung in die Vektorrechnung 3.6 Einführung in die Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors 2 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor 4 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 5 3. Addition von zwei Vektoren..................................

Mehr

3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen . Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen

Mehr

Vektorrechnung Raumgeometrie

Vektorrechnung Raumgeometrie Vektorrechnung Raumgeometrie Sofja Kowalewskaja (*1850, 1891) Hypatia of Alexandria (ca. *360, 415) Maria Gaetana Agnesi (*1718, 1799) Emmy Noether (*1882 1935) Émilie du Châtelet (*1706, 1749) Cathleen

Mehr

Inhaltsverzeichnis Band 2b Analytische Geometrie. 1. Vektoralgebra

Inhaltsverzeichnis Band 2b Analytische Geometrie. 1. Vektoralgebra Inhaltsverzeichnis Band b Analytische Geometrie Auf der beigefügten CD befinden sich zwei Verzeichnisse: Inhalt_Mathcad und Inhalt_pdf In diesen Verzeichnissen sind alle Mathcad-Dateien (***.xmcd) und

Mehr

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition) Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt

Mehr

Einführung in das Skalarprodukt

Einführung in das Skalarprodukt Die Homepage von Joachim Mohr Start Mathematik Einführung in das Skalarprodukt in Aufgaben Alle Lektionen und Texte der Delphi-Ecke sind in der gepackten Zip-Datei Delphi-Ecke (ohne Urlaubsbilder) (Stand:

Mehr

2 Skalarprodukt, Vektorprodukt

2 Skalarprodukt, Vektorprodukt 37 2 Skalarprodukt, Vektorprodukt Es gibt zwei verschiedene Verknüpfungsregeln für das Produkt von Vektoren. Die mechanische Arbeit ist definiert als Produkt aus Kraft und Weg. 1 Vorausgesetzt wird dabei,

Mehr

a b b 1 b 2 bzgl. einer ONB (Orthonormalbasis) heißt der a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b b 3 a 1 b 2 a 2 b 1

a b b 1 b 2 bzgl. einer ONB (Orthonormalbasis) heißt der a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 VIII. Vektor- und Spatprodukt ================================================================== 8.1 Das Vektorprodukt -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

2.3. Das Vektorprodukt

2.3. Das Vektorprodukt 2.3. Das Vektorprodukt In sehr vielen mathematischen und physikalisch-technischen Problemstellungen geht es darum, zu einer gegebenen Fläche deren Inhalt und auf ihr senkrecht stehende Vektoren zu bestimmen.

Mehr

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch. Januar Inhaltsverzeichnis Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt. Aufgaben....................................................

Mehr

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Universität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übungen Aufgaben zu Kapitel 9 (Fortsetzung) (aus: K. Hefft, Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergänzungen) Aufgabe

Mehr

Geometrische Objekte im 3-dimensionalen affinen Raum oder,... wie nützlich ist ein zugehöriger Vektorraum der Verschiebungen

Geometrische Objekte im 3-dimensionalen affinen Raum oder,... wie nützlich ist ein zugehöriger Vektorraum der Verschiebungen Geometrische Objekte im -dimensionalen affinen Raum Bekanntlich versteht man unter geometrischen Objekten Punktmengen, auf die man die üblichen Mengenoperationen wie z.b.: Schnittmenge bilden: - aussagenlogisch:

Mehr

Kapitel VI. Euklidische Geometrie

Kapitel VI. Euklidische Geometrie Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und

Mehr

2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen

2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen 2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen Wir verallgemeinern die bisherigen Betrachtungen nun auf den dreidimensionalen Fall. Für Drehungen des Koordinatensystems um die Koordinatenachsen ergibt sich 1 x 1

Mehr

Vektoren im R 2 und R 3

Vektoren im R 2 und R 3 Vektoren im R und R Orientierung Vektoren Koordinatendarstellung Addition und Subtraktion Skalare Multiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Basis, Linearkombination Länge eines Vektors Winkel zwischen

Mehr

und spannen die folgende Ebene auf: E = a + Ru + Rv.

und spannen die folgende Ebene auf: E = a + Ru + Rv. .5. Geraden und Ebenen Parameterdarstellungen von Geraden und Ebenen gewinnt man, indem man einen Ortsvektor (mit Spitze auf der Geraden oder Ebene und einen bzw. zwei Richtungsvektoren wählt, welche die

Mehr

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -E Ma Lubov Vassilevskaya Eindimensionaler Raum Abb. -: Zwei nicht gleiche Vektoren auf der gleichen Gerade Jeden Vektor, der auf einer Geraden liegt, kann man durch

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Themen des Pflichtteils... Analysis Von der Gleichung

Mehr

Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie

Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie Modul 12a: Fachdidaktische Bereiche juergen-roth.de/lehre/did_linalg_anageo/ Kapitel 5: Skalarprodukt 5.1 Inhalte Didaktik der Linearen

Mehr

Dreiecke, Geraden, Lineare Gleichungssysteme

Dreiecke, Geraden, Lineare Gleichungssysteme Dreiecke, Geraden, Lineare Gleichungssysteme Jörn Loviscach Versionsstand: 18. April 2009, 19:46 1 Cosinussatz Mit Hilfe des Skalarprodukts kann man den Cosinussatz [law of cosines] zeigen. Seien a und

Mehr

Von einem Vektor spricht man, wenn mehrere reelle (manchmal auch komplexe) Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge zusammengefasst werden.

Von einem Vektor spricht man, wenn mehrere reelle (manchmal auch komplexe) Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge zusammengefasst werden. 2. Vektorrechnung 2.1 Begriffe Von einem Vektor spricht man, wenn mehrere reelle (manchmal auch komplexe) Zahlen in einer estimmten Reihenfolge zusammengefasst werden. Schreit man die Zahlen untereinander,

Mehr

KOMPLEXE ZAHLEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

KOMPLEXE ZAHLEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME KOMPLEXE ZHLEN UND LINERE GLEICHUNGSSYSTEME Vektoren Definition: Parallelverschiebung, Pfeil(e) mit Länge und Richtung. Darstellung Eigenschaften Komponenten Graphisch Länge, Betrag Zwischenwinkel Vektorarten

Mehr

Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans

Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans josef.coenen@web.de Abitour Analytische Geometrie Leistungskurs Aufgaben 1. Welche Lagebeziehungen zwischen

Mehr

2.5. Geraden und Ebenen

2.5. Geraden und Ebenen .5. Geraden und Ebenen Parameterdarstellungen von Geraden und Ebenen gewinnt man, indem man einen Ortsvektor (mit Spitze auf der Geraden oder Ebene und einen bzw. zwei Richtungsvektoren wählt, welche die

Mehr

Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung Wann welche Formel?

Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung Wann welche Formel? Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung Wann welche Formel? Von Florian Modler Dieser Artikel soll helfen, auseinander zu halten, wann man welche Formel in der analytische Geometrie

Mehr

10.2 Linearkombinationen

10.2 Linearkombinationen 147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition

Mehr

Lineare Algebra in der Oberstufe

Lineare Algebra in der Oberstufe Lineare Algebra in der Oberstufe Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. April 2016 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 11. April 2016 1 / 21 Übersicht Ziel dieses Kapitels

Mehr

Umwelt-Campus Birkenfeld. der Fachhochschule Trier. Technische Mechanik I. Prof. Dr.-Ing. T. Preußler. 2. Grundlagen. 2.

Umwelt-Campus Birkenfeld. der Fachhochschule Trier. Technische Mechanik I. Prof. Dr.-Ing. T. Preußler. 2. Grundlagen. 2. 2. Grundlagen 1 2.1 Mathematische Grundbegriffe In der Mechanik treten folgende mathematische Größen auf: Skalare Richtungsunabhängige Größen, definiert durch Maßzahl und Einheit (Länge, Zeit, Arbeit,

Mehr

1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 )

1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 ) Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 Vorlesung Elektrodynamik LAG PD Dr. Angelika Chassé) Vektoralgebra 3D euklidischer Raum R 3 ). Grundbegriffe = Vektordefinition

Mehr