Werner Universität Münster SS 11. Mathematik für Physiker II (Kurzskript)

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1 Werner Universität Münster SS 11 Mathematik für Physiker II (Kurzskript)

2 Nachdem im letzten Semester Mengen mit sehr viel verschiedener Struktur (Addition, Multiplikation, den Vergleichsoperationen größer, kleiner sein, Entfernungsmessung, Grenzwerte) in Erscheinung getreten sind, sind jetzt Objekte an der Reihe, auf denen es zunächst karger zugeht. Ein paar Bemerkungen zur Literatur: Für die ersten zwei Kapitel, die die lineare Algebra behandeln, haben wir hier vor allem S. Bosch Lineare Algebra G. Fischer Lineare Algebra P. Halmos Finite-dimensional Vector Spaces verwendet; den pdf-file der ersten beiden Bücher gibt es frei aus dem Netz der Universität unter Bücher mit umfangreicherem Stoffangebot (die auch den dritten Abschnitt über die mehrdimensionale Differentialrechngung abdecken) sind: Fischer/Kaul Mathematik für Physiker, drei Bände Goldhorn/Heinz Mathematik für Physiker, insgesamt fünf Bände Lang/Pucker Mathematische Methoden in der Physik Riley/Hobson Essential Mathematical Methods. Den Büchern von Fischer und Kaul fehlt eine Darstellung der Gruppentheorie, die man vor allem in der theoretischen Physik braucht. Die Bände von Goldhorn und Heinz decken inhaltlich etwas mehr ab. Beide Lehrwerke sind wiederum über den erwähnten Link erhältlich. Bei den letzten beiden Büchern ist die Darstellung knapp, genauere Begründungen fehlen oft und bisweilen fehlt es an mathematischer Strenge, was u.u. zu Verständnisschwierigkeiten führen kann. Dafür gibt es, vor allem im Buch von Riley/Hobson, sehr ausführlich durchgerechnete Beispiele.

3 Kapitel 5 Gruppen, Vektorräume und lineare Abbildungen 5.1 Gruppen Definition 1 Eine Gruppe ist ein Paar (G, ), bestehend aus einer Menge G und einer Abbildung : G G G (für die man statt (g 1, g 2 ) kurz g 1 g 2 schreibt), so dass gilt (G1), Assoziativität Für alle a, b, c G gilt (a b) c = a (b c). (G2), neutrales Element Es gibt ein Element 1 G mit b 1 = b für alle b G. (G3), inverses Element Für alle b G gibt es ein Element b 1 G, so dass b b 1 = b 1 b = 1. Ein Gruppe G heißt kommutativ, falls für alle a, b G gilt a b = b a. Es gibt zahlreiche Beispiele: (1) Die Zahlenmengen Z, Q, K und C sind alle (kommutative) Gruppen bezüglich der Addition. Entfernt man die Null, so sind Q, K und C auch Gruppen bezüglich der Multiplikation. (2) Ist M eine Menge, so ist die Menge der Bijektionen ϕ : M M bezüglich der Verknüpfung von Abbildungen eine Gruppe, die im allgemeinen nicht mehr kommutativ ist. Ist M = {1,..., n}, so bezeichnet man diese Gruppe mit S n und nennt sie die symmetrische Gruppe der Ordnung n. Diese sind für n 3 nicht kommutativ. Vielleicht wirkt dieses Beispiel auf den ersten Blick etwas gekünstelt; diese Gruppe regelt jedoch das unterschiedliche quantenmechanische Verhalten von Bosonen und Fermionen. (3) In natürlicher Weise treten Gruppen als Symmetriegruppen geometrischer Figuren in Erscheinung: Ist etwa F K 2 eine ebene Figur, so bilden die Bewegungen der Ebene (also Spiegelungen, Drehungen, Translationen 3

4 Mathematik für Physiker II (Kurzskript) 4 und Gleitspiegelugen, die sogenannten Kongruenzabbildungen ), die F in sich selbst überführen, eine Gruppe, die Symmetriegruppe von F. Ist F etwa ein gleichseitiges Dreieck, so ist die Symmetriegruppe mit der Gruppe S 3 identisch. (4) In der Physik sind die klassischen Erhaltungsgrößen (z.b. Energie, Ladung, Spin, andere charakteristischen Eigenschaften der Elementarteilchen) eng mit Gruppen, zumeist so genannten Lie-Gruppen, verknüpft. Die Elementarteilchen insgesamt werden im wesentlichen bereits (bei passender Interpretation) durch Angabe einer Gruppe festgelegt. 5.2 Anschauliche Vektorrechnung Freie Vektoren und Ortsvektoren Ein Ortsvektor im K 3 ist eine Strecke AB, die eine Richtung besitzt. Ein freier Vektor im K 3 geht aus einem Ortsvektor durch Anwendung beliebiger Parallelverschiebungen hervor, ist also eine Menge von Pfeilen, die an jedem Punkt des K 3 in eine feste Richtung weisen und eine festgelegte Länge besitzen. Die Länge eines (jeden solchen) Vektors v bezeichnet man mit v, und nennt dies auch die Norm von v. Beispiele für freie Vektoren ist (konstanter) Wind, allgemeiner ein konstantes (physikalisches) Kraftfeld oder auch eine Parallelverschiebung selbst, die der freie Vektor durch den Effekt veranschaulicht, den diese auf einen Punkt im Raum ausübt. Jeder Ortsvektor führt in eindeutiger Weise zu einem freien Vektor und jeder freie Vektor ergibt einen Ortsvektor, falls man nur den Pfeil betrachtet, der zu einem fest gewählten Punkt, einem Ursprung, gehört. Freie Vektoren lassen sich mittels der bekannten Vektoraddition addieren (im Bild der Parallelverschiebungen ist dies die Verknüpfung der Abbildungen). Will man Ortsvektoren addieren, so ist es üblich, zunächst die zugehörigen freien Vektoren zu addieren und dann den zum Ergebnis gehörigen Ortsvektor am Ausgangspunkt zu betrachten. Ebenso kann man einen Vektor v mit einem positiven Skalar λ K multiplizieren, eine Operation, die die Länge des Vektors mit λ multipliziert. Mit λ < 0 wird multipliziert, indem man den Vektor v mit λ multipliziert. Dabei geht v als freier Vektor aus v hervor, indem man die Richtung von v umkehrt. (Im Fall der Ortsvektoren muss man zunächst wieder zum zugehörigen freien Vektor übergehen.) In diesem Abschnitt werden wir zumeist Ortsvektoren verwenden, oft aber auch auf freie Vektoren zurückgreifen müssen. Sie werden gewiss keine Schwierigkeiten haben zu erkennen, wann welcher Vektortyp benötigt wird.

5 5 Werner, Universität Münster, SS Rechenregeln Die auf diese Weise eingeführten Rechenoperationen genügen den folgenden Bedingungen: (A1) Für alle u, v, w K 3 gilt (u + v) + w = u + (v + w). (A2) Es gibt einen Vektor o mit v + o = v für alle v K 3. (A3) Für alle v K 3 gibt es einen Vektor v mit v + ( v) = o. (A4) Für alle v, w K 3 gilt v + w = w + v. (S1) Für alle λ K und v, w K 3 ist λ(v + w) = λv + λw. (S2) Für alle λ, µ K und v K 3 gilt (λ + µ)v = λv + µv. (S3) Für alle λ, µ K und v K 3 gilt (λµ)v = λ(µv). (S4) Für alle v K 3 ist 1v = v. Alle diese Regeln kann man elementargeometrisch veranschaulichen. Dabei sollte man sich im Klaren sein, dass diese Veranschaulichungen keine Beweise im strengen Sinne sind, da aus den verwendeten graphischen Darstellungen nicht unmittelbar einsichtig wird, inwiefern der dargestellte Spezialfall die allgemeine Situation erfasst. Anders ausgedrückt ist K 3 mit der Vektoraddition eine abelsche Gruppe, die zusätzlich mit der Möglichkeit versehen ist, ihre Elemente mit reellen Zahlen zu multiplizieren. 5.3 Vektorräume abstrakt Definition Definition 2 Es sei K = R oder K = C. 1 Eine abelsche Gruppe (V, +), auf der eine Skalarmultiplikation K V V erklärt ist, die den Bedingungen (S1)-(S4) genügt, nennt man einen K-Vektorraum. Die Axiome haben ein paar einfach zu zeigende Konsequenzen. Z.B. gilt für den Vektor 0 v 0 v + 0 v = (0 + 0) v = 0 v, woraus durch Subtraktion von 0 v folgt Hieraus ergibt sich dann 0 v = 0. ( 1) v + v = ( 1 + 1) v = 0, 1 Diese Konvention werden wir im Folgenden beibehalten

6 Mathematik für Physiker II (Kurzskript) 6 und es folgt ( 1) v = v. Ein wichtiges Beispiel für einen Vektorraum: c 1 K n =. c 1,..., c n K c n ist mit eintragsweise ausgeführter Addtion und Skalarmultiplikation ein Vektorraum über K. Das neutrale Element der Vektoraddition ist z.b. der Nullvektor (der nur Nullen als Einträge besitzt) und das zu v K n inverse Element ist v, dessen Einträge aus denen von v durch Vorzeichenwechsel entstehen. Die Gültigkeit der Rechenregeln hat man schnell nachgerechnet. Sehr große n werden für dieses Beispiel in der Physik sehr schnell erreicht; so ist der Zustandsraum eines Systems von n Massenpunkten z.b. der Raum R 6n ; denn der (mechanische) Zustand eines solchen Systems ist durch Angabe eines Punktes im Raum sowie eines (dreidimensionalen) Geschwindigkeitsvektor für jeden der beteiligten Massenpunkte eindeutig festgelegt. Ein vielleicht etwas unerwartetes Beispiel für einen Vektorraum ist C[a, b] = {f : [a, b] K f ist stetig} zusammen mit den für f, g C[a, b] und λ K erklärten Operationen (f g)(x) := f(x) + g(x) (λ f)(x) := λf(x). Die in der Analysis behandelten Sätze zeigen, dass diese Operationen auf C[a, b] wohldefiniert sind, d.h. sowohl Summe als auch Skalarmultiplikation führen nicht aus C[a, b] heraus. Es ist etwas mühsam, alle 8 Vektorraumgesetze nachzuweisen. In der Regel basieren sie auf der Tatsache, dass entsprechende Gesetze in dem Zahlenkörper K gültig sind. Ein paar Beispiele: Der Nullvektor ist hier die (ja stetige) Funktion 0, die überall den Wert 0 annimmt. Um dies zu beweisen, zeigt man, dass die Funktionen f 0 und f an allen Stellen x [a, b] ihres gemeinsamen Definitionsbereiches übereinstimmen: (f 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x). Ähnlich sieht man ein, dass f an jeder Stelle x [a, b] den Wert f(x) annehmen muss. Auch die Eigenschaften (A1) und (A4) zeigt man so. Dass λ (f g) = (λ f) (λ g) erkennt man auch wieder dadurch, dass man nachweist, dass beide Funktionen an allen Stellen x [a, b] übereinstimmen: [λ (f g)] (x) = λ [(f g)(x)] = λ(f(x) + g(x)) = = λf(x) + λg(x) = (λ f)(x) + (λ g)(x) = [(λ f) (λ g)] (x).

7 7 Werner, Universität Münster, SS 11 Der Nachweis der weiteren Eigenschaften der Skalarmultiplikation verläuft analog. Der Raum K n ist in gewisser Weise ein Standardbeispiel. In seine Definition sind jedoch bereits die Koordinaten der Vektoren eingearbeitet. Es gibt jedoch kein ausgezeichnetes Koordinatensystem, und so werden wir uns in den folgenden Abschnitten mit einer Koordinatentheorie befassen, in der keinem Koordinatensystem ein Vorrang eingeräumt wird Unterräume, lineare Hülle und Erzeugendensysteme Eine Teilmenge U eines K-Vektorraums V nennt man Unterraum, falls U mit der von V ererbten Vektoraddition und der Skalarmultiplikation ein Vektorraum ist. Das heißt insbesondere, dass der Nullvektor von V in U enthalten sein muss und dass für jeden Vektor u U auch der in V definierte Vektor u in U liegen muss. Der Nachweis, dass eine Menge U ein Unterraum ist, lässt sich abkürzen, wenn man berücksichtigt, dass ein ganze Reihe von Gesetzen in U gelten müssen, da sie dies bereits in der größeren Menge V tun. Satz 1 Es sei V ein K-Vektorraum und U V. Dann ist U ein Unterraum von V, genau dann, wenn gilt U + KU = { u 1 + λ u 2 u 1,2 Uλ K} U. Jede Ebene, die durch den Ursprung geht, ist ein Unterraum des R 3. Ein Unterraum von C[a, b] ist z.b. die Menge {f C[a, b] f(a) = 0}. Sind U 1 und U 2 Unterräume, so gilt dies auch von U 1 U 2 sowie U 1 + U 2. Diese Aussage ist mit Hilfe des Satzes 1 sehr leicht einzusehen. Nur wenig schwerer ist, dass für eine (beliebig große!) Indexmenge I und eine über dieser indizierten Familie von Unterräumen (U i ) i I die Mengen = {u V i I gilt u U i } sowie i I n U i = u ij i1,..., i n I beliebig, u ij U ij i I j=1 Unterräume sind zu beachten ist hier vor allem, dass i I U i nur endliche Summen enthält; denn was eine unendlich lange Summe ist, kann man nur dann erklären, wenn man weiß, was Konvergenz ist. Das weiß man ohne weiteres auf einem Vektorraum jedoch nicht. Dass der Durchschnitt beliebig vieler Unterräume wieder ein Unterraum ist, erlaubt die Definition der linearen Hülle einer Teilmenge A, lin A. Diese ist der kleinste, A enthaltende Unterraum und ist zunächst durch lin A = i U U i U = {U A U Unterraum}, U i = i

8 Mathematik für Physiker II (Kurzskript) 8 erklärt. Es gilt { n } lin A = λ ν a ν n N, λ ν K, a ν A. ν=1 Definition 3 Es sei V ein K-Vektorraum. Eine Menge A V heißt Erzeugendensystem von V, falls lin A = V ist Lineare Unabhängigkeit und Basen Definition 4 Es sei L eine Teilmenge des K-Vektorraums V. Man nennt L linear unabhängig, falls für alle n N, alle λ 1,..., λ n K und alle v 1,..., v n V aus λ 1 v λ n v n = 0 folgt λ 1 =... = λ n = 0. Entsprechend nennt man eine Menge L V linear abhängig, falls es Zahlen λ 1,..., λ n gibt sowie Vektoren v 1,..., v n L, so dass wenigstens für ein Index j gilt λ j 0 und n i=1 λ i v i = 0. Dies passiert genau dann, wenn v j lin {v i i j }. Interessante linear unabhängige Mengen in C[a, b] (mit a < b) sind die Menge der Monome sowie die trigonometrischen Funktionen sin nx, cos nx, n N. Betrachtet man den Raum der stetigen Funktionen, komplexwertigen Funktionen auf {z C z = 1} = { e it t [0, 2π) } als (komplexen) Vektorraum, so ist die Menge der Funktionen { e ikt k Z } linear unabhängig: Es gelte nämlich für komplexe Zahlen λ 1,..., λ n λ 1 e ik 1t + + λ n e iknt = 0 für alle t [0, 2π] Multipliziert man hier beide Seiten der Gleichung mit e ikνt und integriert dann über t [0, 2π], so folgt wegen 2π 0 e i(kµ kν)t dt = 0 für µ ν 2π 2π 2π 2πλ ν = λ 1 e i(k 1 k ν)t dt+ +λ ν 1 dt+ +λ n e i(kn kν)t dt = 0 0 Definition 5 Eine Teilmenge B V heißt Basis, wenn sie zugleich Erzeugendensystem und linear unabhängig ist. Offensichtlich kann man aus einer linear unabhängigen Teilmenge einen Vektor entfernen, ohne dass die lineare Unabhängigkeit verloren geht. Genauso bleibt ein Erzeugendensystem ein solches, wenn man Vektoren hinzufügt. Interessanter sind die minimalen Erzeugendensysteme, bei denen die Wegnahme auch nur eines Vektors zu einer Menge führt, die kein Erzeugendensystem mehr ist, bzw. die maximal linear unabhängigen Teilmengen, bei denen diese Eigenschaft sofort verloren geht, wenn man einen Vektor zusätzlich mit aufnimmt. 0 0

9 9 Werner, Universität Münster, SS 11 Satz 2 Für eine Teilmenge B = { b 1..., b n } V sind äquivalent (1) B ist eine Basis (2) Jedes Element v V besitzt eine eindeutig bestimmte Darstellung λ n 1 v = λ i v i =:., i=1 λ n die so genannte Koordinatendarstellung von v bezüglich B. (3) B ist ein minimales Erzeugendensystem (4) B ist eine maximale, linear unabhängige Teilmenge (1) folgt dabei aus (2) ganz einfach, da für den Nullvektor stets die triviale Koordinatendarstellung existiert. Zwei voneinander verschiedene Koordinatendarstellungen desselben Vektors führen durch Subtraktion auf eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors, und darum folgt aus (1) die Bedingung (2). Aus (3) folgt (4): Da jeder Vektor b, der sich linear in B \ { b} kombinieren lässt, aus B weggelassen werden kann, ohne dass sich das lineare Erzeugnis von B ändert, muss ein minimales Erzeugendensystem B stets linear unabhängig sein. Umgekehrt kann aber jeder Vektor b B, für den B { b} immer noch linear unabhängig ist, nicht aus Elementen in B linear erzeugt werden, was der Tatsache widerspräche, dass B ein Erzeugendensystem ist. Gilt (4), und ist b B, so muss dieser Vektor sich in B nicht trivial linear kombinieren lassen, da sonst B { b} linear unabhängig wäre; B ist also ein Erzeugendensystem. Wäre B nicht minimal mit dieser Eigenschaft, so ließe sich einer der Vektoren in B linear aus den anderen kombinieren, und B wäre linear abhängig. Daher impliziert (4) die Bedingung (3). Ist (3) erfüllt, so wissen wir, dass dann auch (4) gilt, und B ist eine Basis. Ist B umgekehrt eine Basis, und ein Erzeugendensystem das nicht minimal ist, so erhält man wie oben einen Widerspruch zur lineare Unabhängigkeit von B. Entfernt man nach und nach Vektoren aus einem (endlichen) Erzeugendensystem, so ist spätestens die leere Menge kein solches mehr, und wir erhalten: B Korollar 2.1 Jeder endlich erzeugte Vektorraum besitzt eine Basis. Diese Aussage gilt auch für beliebige Vektorräume, wenn man auf das sogenannte Auswahlaxiom zurückgreift. Es ist in der Regel jedoch nicht möglich, für einen nicht endlich erzeugten Vektorraum eine Basis explizit anzugeben. Glücklicherweise besteht auch fast nie das Bedürfnis danach.