Technische Mechanik I. Skriptum

Transkript

1 Universität Duisburg-Essen Lehrstuhl für Mechanik und Robotik Technische Mechanik I Skriptum Prof. Dr. Andrés Kecskeméthy

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3 Vorwort Das vorliegende Skriptum deckt die wichtigsten Informationen zur Vorlesung Technische Mechanik I stichwortartig ab. Dadurch soll es den Studierenden leichter gemacht werden, die Vorlesung zu verfolgen und gegebenenfalls fehlende Vorlesungsstunden nachzuholen. Gerade den Anfängern möchte ich jedoch raten, begleitend zu den Vorlesungen unbedingt eigene Aufzeichnungen zu führen. Die Erfahrung zeigt immer wieder, daß durch ein aufmerksames und mitdenkendes Mitschreiben bereits ein Großteil des Lernaufwandes erbracht wird. Insbesondere läuft man dabei keine Gefahr, die vielen unscheinbaren, aber doch so oft entscheidenden Details des Lösungsweges zu übersehen. erner möchte ich den Studierenden empfehlen, Gebrauch von den angebotenen Tutorien und Tests zu machen. Ein Gelingen des Lernprozesses hängt gerade in der Mechanik besonders vom Verständnis des Stoffes ab. Das effizienteste Lernen ist daher jenes, welches sich auf die Beherrschung der Grundprinzipien und deren Umsetzung auf technische Probleme richtet, und nicht auf die stereotype Anwendung von vorgefertigten Lösungsmustern auf ähnlich aussehende Beispiele. Dieses Verständnis läßt sich nur durch kontinuierliches Mitlernen und nicht durch stoßartiges Durchpauken von Prüfungsbeispielsammlungen kurz vor der Prüfung erzielen. Mein ganz besonderer Dank gilt meinen ehemaligen Mitarbeitern Klaus Si, Gerald Grabner, Wolfgang Ackerl sowie Daniel Strobach für die Mitwirkung bei der Erstellung dieses Skriptums. Ich wünsche Ihnen, liebe Studierende, lieber Studierender, viel Erfolg beim Studium der Mechanik und der weiteren Lehrveranstaltungen Ihres Studienganges. Duisburg, im Oktober 2008 A. Kecskeméthy

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5 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1 Grundzüge der Vektorrechnung Grundarten von Vektoren in der Mechanik Grundoperationen für (freie) Vektoren (geometrisch) Koordinatendarstellung (für praktische Berechnung) Rechenregeln (algebraisch) Moment eines gebundenen Vektors, linienflüchtige Vektoren Vektorwinder, Vektorschraube Grundlagen der Statik Begriff der Kraft Aiome der Statik Dimension und Einheit der Kraft Zeichnerische Darstellung von Kräften Gleichgewicht Gleichgewichtsbedingungen Lagerreaktionen und -wertigkeiten Systemfreiheitsgrade und statische Bestimmtheit Allgemeines Vorgehen zur Lösung von Gleichgewichtsproblemen Reduktionsmöglichkeiten für Kraftsysteme Reduktion mehrerer Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt = zentrales Kräftesystem Zwei Kräfte am starren Körper, Reduktionsergebnis, Kräftepaar Moment einer Einzelkraft Gleichgewichtsbedingungen bei drei Kräften Gleichgewichtsbedingungen bei vier Kräften (CUL- MANNsche Methode) Gleichgewichtsbedingungen bei mehr als vier Kräften - Die Seileckmethode i

6 4 achwerke Statische Bestimmtheit Ermittlung der Stabkräfte Knotenpunktverfahren Nullstäbe Einfache achwerke Ritterscher Schnitt Cremona-Plan Reibung Haftungskegel, Haftungswinkel Schraubenverbindungen Seilreibung Verteilte Kräfte, Schwerpunkt, Massenmittelpunkt Schwerpunkt einer Gruppe von parallelen Kräften Schwerpunkt und Massenmittelpunkt eines Körpers Grundregeln für die Berechnung von Massenmittelpunkten und Schwerpunkten Zusammensetzung von Teilkörpern zu Gesamtkörpern Berücksichtigung von Löchern bzw. ausgestanzten Teilen Symmetrieachsen bzw. Ebenen lächenschwerpunkt Linienschwerpunkt ormeln von Pappus und Guldin Balkenstatik Schnittreaktionen beim geraden, ebenen Balken Schnittgrößenverlauf bei Einzellasten Schnittgrößenverlauf bei kontinuierlichen Lasten Schnittgrößenverlauf bei Mehrfeldbelastung öppl- bzw. Unstetigkeitssymbole Schnittgrößen bei Rahmen und Bögen (Zusatz Balkenstatik). 86 ii

7 8 Balkenbiegung Spannungen Spannung-/Dehnungsbeziehungen Zug/Druck-Stäbe Technische Biegelehre Belastungen durch ein reines Moment Biegelinie bei geraden Balken iii

8 iv

9 Skriptum Statik Einleitung Mechanik µηχανικη τɛχνη Aussprache: mēchanikē teknē [die Kunst, Maschinen zu bauen] Lehre von den Kräften und ihren Wirkungen (Bewegungen, Verformungen) auf starre und verformbare Körper. Die Geburt der Mechanik als Wissenschaftszweig wird willkürlich auf das Jahr 1638, in dem Galilei s Discorsi veröffentlicht wurde, gelegt. Einteilung der Mechanik a) nach physikalischen Vorgängen [Definition nach Kirchhoff ( )] 1) Kinematik: Lehre von den reinen Bewegungen ohne Berücksichtigung von Kräften ( Geometrie der Bewegungen ) 2) Dynamik: Lehre von den Kräften [Dynamik - griech.: Kraft] a) Statik: Lehre von den Kräften und dem Gleichgewicht von ruhenden Systemen b) Kinetik (oft auch Dynamik): Lehre von den Kräften und den Wechselwirkungen mit den Bewegungen Diese Vorlesung beschäftigt sich mit 2a) Statik. Weitere Möglichkeiten der Einteilung: b) nach der Natur der Körper 1) Stereomechanik: [griech.: stereos = fest, starr ] Idealisierung der Körper als starre Körper 2) Kontinuumsmechanik a) Elastomechanik elastische Körper (Verformungen sind reversibel) s s Keine bleibenden Verformungen Beim Belasten und Entlasten wird die selbe Trajektorie durchlaufen. Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 1

10 Einleitung Skriptum Statik b) Plasto-Mechanik Belastung plastische Körper ( es treten bleibende Verformungen auf) c) luid-dynamik flüssige und gasförmige Körper Entlastung s s P bleibende Verformung In dieser Vorlesung wird Punkt 1) Stereomechanik behandelt. 2 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

11 Skriptum Statik 1 Grundzüge der Vektorrechnung - Skalar: Durch eine Maßzahl festgelegte Größe. Beispiel: Zeit, Masse, Länge - Vektor: Durch Maßzahl (Größe), Richtung und Richtungssinn festgelegte Größe. Beispiel: Kraft, Geschwindigkeit, Impuls Anschaulich: gerichtete Strecke im Raum e a Betrag (Maßzahl) [dimensionsbehaftet] (Intensität) a = a Einheitsvektor e mit e = Grundarten von Vektoren in der Mechanik a) freie Vektoren a können im Raum frei verschoben werden b) gebundene Vektoren P a sind (nur) bezogen auf jeweils einen Angriffspunkt definiert c) linienflüchtige Vektoren a a können (nur) entlang einer Geraden g verschoben werden g Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 3

12 Kapitel 1: Grundzüge der Vektorrechnung Skriptum Statik 1.2 Grundoperationen für (freie) Vektoren (geometrisch) a) Multiplikation mit einem Skalar b) Addition a λa λ > 0 Speziell a = a e a e a bzw. e a = a a λa λ < 0 e a... Einheitsvektor in Richtung a b G 2 2 c 1 a b G 1 (Parallelogrammregel) a + b = c (Kommutativität) a + b }{{} 1 = b + a }{{} 2 a a, b sind die Komponenten von c in Richtung der Geraden G 1, G 2. Beachte: Die Zerlegung von c in die Richtungen a und b ist eindeutig für a b. Subtraktion b a d a b = a + ( b) = d b d c) Nullvektor a + 0 = 0 + a = a 0 = 0 Bemerkung: Ein System von Objekten, für die die Regeln a), b) und c) definiert sind, wird (linearer) Vektorraum genannt. Beispiel: [ ] Weg a) Die 2-Tupel bilden einen Vektorraum. Zeit 4 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

13 Skriptum Statik Abschnitt 1.3: Koordinatendarstellung [ ] km West b) Die 2-Tupel bilden keinen Vektorraum. km Nord 1 2 Weg 1: Weg 2: erst 1km West dann 1 km Nord erst 1km Nord dann 1 km West Weg 1 Weg 2! Addition ist nicht kommutativ! 1.3 Koordinatendarstellung (für praktische Berechnung) Aus der Zerlegung eines Vektors in Richtung der drei Achsen eines rechtshändigen orthogonalen Koordinatensystems folgen dessen kartesische Koordinaten. Satz: Jeder physikalische Vektor im dreidimensionalen Raum läßt sich durch Angabe seiner drei kartesischen Koordinaten eindeutig festlegen. Beachte: Zwei Komponentendarstellungen eines gleichen Vektors ergeben unterschiedliche Werte bezüglich unterschiedlicher Koordinatensysteme. Immer ein gemeinsames Koordinatensystem für alle Vektoren verwenden!! K K z e z e b b y e y b z b y b z e z e b b z K K e y y b b y Zerlegung in K K : b = b e }{{} + b y e y + b }{{} z e }{{} z b b y b z Zerlegung in einem zweiten Koordinatensystem K K : b = b e }{{ + b } y e y + b }{{} z e }{{ z } b b b y z, y, z - kartesisches Koordinatensystem e, e y, e z - orthonormiertes Rechtssystem Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 5

14 Kapitel 1: Grundzüge der Vektorrechnung Skriptum Statik Auch b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 = b i e i = b i e i [Einsteinsche Summenkonvention] b, b y, b z : Komponenten von b in K K b, b y, b z : Koordinaten (skalare Komponenten) von b in K K Schreibweise für Koordinatendarstellungen (Komponentendarstellungen) b = b = b b y b z : b b y b z Koordinaten (oft auch Komponenten genannt) von b bezüglich K K ( Matri) : Koordinaten ( = Komponenten) von b bezüglich K K Bemerkung: Es gilt allgemein der Satz, dass alle n-dimensionalen Vektorräume isomorph dem R n sind. Komponentendarstellungen sind bei einem festgehaltenen Koordinatensystem äquivalent den physikalischen Vektoren. 1.4 Rechenregeln (algebraisch) a) Multiplikation mit einem Skalar b = λa b b y b z = λa λa y λa z b) Addition c = a + b c c y c z = a + b a y + b y a z + b z 6 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

15 Skriptum Statik Abschnitt 1.4: Rechenregeln (algebraisch) Beachte: Gleichheit von Vektoren liefert drei skalare Gleichungen!! Beispiel: a = b a =b a y =b y a z =b 3 Gleichungen z c) Skalarprodukt Definition: b S = a b = a b cos α In Komponenten: α a S = (a e + a y e y + a z e z )(b e + b y e y + b z e z ) = a b e e }{{} +a b y e e y +a }{{} b z e e }{{} z = 1 = 0 = 0 + a y b e y e + a y b y e y e y + a y b z e y e z + a z b e z e + a z b y e z e y + a z b z e z e z S = a b = a b + a y b y + a z b z [Skalarprodukt in Komponentendarstellung] Matrischreibweise: b b y b z a b = [a a y a z ] = a b + a y b y + a z b z = a T b T... transponiert Anwendungen: Betragsbildung a = a = a a = a 2 + a 2 y + a 2 z Pythagoräischer Lehrsatz Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 7

16 Kapitel 1: Grundzüge der Vektorrechnung Skriptum Statik Winkel zwischen zwei Vektoren α b a cos α = a b a b a b + a y b y + a z b z = a 2 + a 2 y + a 2 z b 2 + b 2 y + b 2 z Beachte: ür orthogonale Vektoren gilt: a b = 0 a b b Projektion Bestimmung der Komponente von b in Richtung a a b e a b a a b a = b a e a a = b cos α!! }{{} a b a }{{} = e a a b cos α a a 2 b a = a b a 2 a 8 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

17 Skriptum Statik d) Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Abschnitt 1.4: Rechenregeln (algebraisch) c = a b Das Vektorprodukt von 2 Vektoren a und b ergibt wieder einen Vektor mit folgenden Eigenschaften: 1) Er ist orthogonal zu a und b c c a c b α b A a 2) Sein Betrag entspricht der läche A des von a und b aufgespannten Parallelogramms b b α A = A a c = a b sin α = A a A = ba sin α 3) Es gilt die Rechtsschraubenregel In kartesischen Koordinaten e e y e z e e y a b = a a y a z a a y b b y b z b b y = [ ] [ ] = (a y b z a z b y )e + (a z b a b z )e y + (a b y a y b )e z Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 9

18 Kapitel 1: Grundzüge der Vektorrechnung Skriptum Statik Matrischreibweise c c y c z 0 a z a y = a z 0 a a y } a {{ 0 } ã b b y b z a y b z a z b y = a z b a b z a b y a y b c = ã b ã... schiefsymmetrische Matri ã = ã T Bemerkung: Im folgenden wird zwischen physikalischen Vektoren und Komponentendarstellungen a nicht mehr unterschieden. 1.5 Moment eines gebundenen Vektors, linienflüchtige Vektoren A G M 0 a r 0P P a λ r 0P e a P ür einen gebundenen Vektor a mit Angriffspunkt P läßt sich das Moment M 0 bezüglich eines Aufpunktes O wie folgt definieren: M 0 = r 0P a 0 A [Durch a bezüglich O erzeugtes Moment M 0 ] Aus der Definition des Kreuzproduktes folgt, daß das Moment M 0 bei Verschiebung des Angriffspunktes von a entlang einer durch P und parallel zu a verlaufenden Geraden G gleich bleibt. ür einen Angriffspunkt P gilt nämlich: M 0 = r 0P a = (r 0P + λe a ) a = r 0P a }{{} + λe a a }{{} = M 0 = 0, da e a a M 0 = M 0 gleiches Moment für alle Angriffspunkte entlang G! (lächen A und A sind gleich!) 10 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

19 Skriptum Statik Abschnitt 1.6: Vektorwinder, Vektorschraube G P λa Das Paar (M 0, a) mit M 0 a definiert einen linienflüchtigen Vektor mit Wirkungslinie G. r 0P a M 0 r Ist (M 0, a) mit M 0 a gegeben, so kann die Lage von G wie folgt ermittelt werden: 1) Zerlege r 0P in Anteile und zu G: r 0P = r + λa r a = 0 2) Bilde M 0 = r 0P a = (r + λa) a = r a + λa a a : a M 0 = a (r a) = r (a a) }{{} a (r a) }{{} = a 2 = 0 r = a M 0 a Vektorwinder, Vektorschraube Ist M 0 senkrecht auf a, so läßt sich wie in 1.5 aus M 0 und a ein linienflüchtiger Vektor konstruieren. Steht M 0 nicht senkrecht auf a, (was im allgemeinen der all ist,) so bezeichnet man das Paar (M 0,a) als einen Vektorwinder. In diesem all läßt sich M 0 in eine Komponente M T parallel zu a und einer Komponente M 0N senkrecht dazu (vgl. Anwendungen zu 1.4 d) zerlegen. M 0N M 0 Den senkrechten Anteil kann man als Moment eines im Abstand 0 r 0P P Vektorschraube M T a a M T G r 0P = a M 0N = a M 0 a 2 a 2 verlaufenden linienflüchtigen Vektors a mit Wirkungslinie G auffassen. Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 11

20 Kapitel 1: Grundzüge der Vektorrechnung Skriptum Statik Der parallele Anteil M T bleibt von der Wahl des Angriffs- oder Aufpunktes unberührt. M T ist damit ein freier Vektor. Man erhält ein äquivalentes System zu einem allgemeinen Vektorwinder (M 0,a) einen linienflüchtigen Vektor a mit Wirkungslinie G und einem Moment M T parallel zu a. Das Paar (M T,a) mit Wirkungslinie G bezeichnet man als Vektorschraube. ührt man noch die Steigung h = M T sign(a M T ) a ein, so läßt sich die Vektorschraube durch Angabe von Wirkungslinie G (2 Richtung + 2 Lage) 4 Größen Intensität a 1 Größe Steigung h 1 Größe 6 Größen angeben. Rechenregeln für Vektorwinder a) Wechsel des Bezugspunktes M NQ M Q Bei einem Wechsel des Bezugspunktes verändert sich das Moment. Mit Q M NO r M T OQ O G r P Q a rp O P M T M O a M T a r P Q = r P 0 + r 0Q folgt M Q = M T + ( r P Q ) a = M T r P 0 a r 0Q a M Q = M 0 r 0Q a b) Addition von Vektorwindern: (M 0i,a i ) Die Addition von Vektorwindern bezüglich eines gemeinsamen Aufpunktes ist definiert als Summe der entsprechenden Momente M 0i und linienflüchtigen Vektoren a i : N N (M 0i, a i ) = ( M 0i, i=1 i=1 N a i ) i=1 12 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

21 Skriptum Statik 2 Grundlagen der Statik 2.1 Begriff der Kraft Erfahrungstatsachen: a) Kräfte können nicht unmittelbar, sondern nur auf dem Umwege ihrer Wirkungen beobachtet und gemessen werden. Wirkung Beispiel Maßeinheit Verformung ederwaage 1kp = Gewichtskraft von 1kg am Äquator Beschleunigung Kugelstoßen 1N = 1kg m s 2 b) Kräfte treten als Volumen- bzw. lächenkräfte auf. Beispiele: σ Spannung dv da ρgdv Gewichtskraft lächenkraft Volumenkraft Die resultierende Wirkung läßt sich jedoch in vielen ällen als Einzelkraft deuten (Idealisierung). Beispiele: g = mg A A y reischnitt N N c) Kräfte lassen sich als gebundene Vektoren auffassen. Eine Kraft wird demnach durch folgende Angaben gekennzeichnet: } 1. Betrag (Intensität) freier Vektor 2. Richtung und Richtungssinn 3. Angriffspunkt Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 13

22 Kapitel 2: Grundlagen der Statik Skriptum Statik 2.2 Aiome der Statik Aiom [griech. aioma für recht halten ]: Grundlegender Satz, der ohne Beweis einleuchtet, der nicht weiter bewiesen zu werden braucht (oder kann); Annahme als Grundlage eines wissenschaftlichen Systems. Prinzip [lat. principium Anfang, Ursprung, Grundlage ]: Grundsatz, Regel, Richtschnur I) Parallelogrammaiom (Leonardo da Vinci , Simon Stevin ) Zwei Kräfte 1 und 2, die am gleichen Punkt P angreifen, sind ihrer Summe = = P äquivalent. 2 II) Trägheitsaiom (Beharrungsgesetz, Newton 1687) Jeder Körper, auf den keine Kräfte einwirken, verharrt im Ruhezustand bzw. im Zustand der geradlinigen Bewegung. (bereits von Galilei 1638 formuliert) III) Äquivalenzprinzip Zwei Kraftsysteme sind äquivalent, wenn sie bezüglich eines beliebig gewählten Aufpunktes das gleiche Moment M P = erzeugen. n M P i = i=1 n r P 0i i i=1 MPi IV) Verschiebbarkeit von Kräften am starren Körper P O i r P Oi Am starren Körper bzw. an erstarrten Systemen (s.u.) bleibt die Wirkung einer Kraft bei Verschiebung entlang ihrer Wirkungslinie erhalten. starre Körper alle drei Belastungen äquivalent i 14 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

23 Skriptum Statik Abschnitt 2.2: Aiome der Statik Bemerkung: Bei verformbaren Körpern ist i.a. auch der Angriffspunkt von Bedeutung! V) Gleichgewichtsaiom Ein Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn er in Ruhe ist und das an ihm angreifende Kräftesystem einer Nullkraft äquivalent ist. Beispiel: VI) Erstarrungsprinzip Zwei entlang der selben Wirkungslinie G angreifende, entgegengesetzt gerichtete, gleich große Kräfte und sind einer Nullkraft aquivalent. Ein im Gleichgewicht befindliches mechanisches System bleibt im Gleichgewicht, wenn beliebige Teilsysteme durch entsprechend geformte starre Teilsysteme ersetzt werden. Beispiel: verformt unverformt starr VII) Schnittprinzip In einem sich im Gleichgewicht befindenden mechanischen System befindet sich auch jedes herausgeschnittene Teilsystem im Gleichgewicht. Beachte: Beim Herausschneiden oder reischneiden eines Teilsystems sind dabei neben den angreifenden eingeprägten Kräften auch die Schnittkräfte zu berücksichtigen. Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 15

24 Kapitel 2: Grundlagen der Statik Skriptum Statik VIII) Gegenwirkungsprinzip (actio = reactio, le tertia von Newton, 1687) Übt ein Körper A auf einen Körper B eine Kraft BA aus, so übt der Körper B eine gleichgroße und entgegengesetzte Kraft AB auf Körper A aus. A AB BA B AB = BA Beispiel: Körperkette I G 1 II III G 3 reischnitt 3 Teilsysteme Körper G 2 G 1, G 2, G 3 : Gewichtskräfte ( eingeprägte Kräfte) reischnitt: A A I G 1 B II B G 2 D III C C D G 3 jedes der Teilsysteme I II III ist im Gleichgewicht! A, B, C, D: Schnittkräfte treten aufgrund des Gegenwirkungsprinzipes immer paarweise auf. Aufgrund des Schnittprinzipes sind die Teilsysteme I, II, III für sich genommen im Gleichgewicht! 16 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

25 Skriptum Statik Abschnitt 2.3: Dimension und Einheit der Kraft Aufgrund des Schnittprinzipes lassen sich Kräfte in folgende zwei Gruppen aufteilen: a) eingeprägte Kräfte, welche unabhängig vom reischneiden auf das System einwirken. Beispiel: Gewichtskräfte, Magnetkräfte, Luftwiderstandskräfte, Reibungskräfte, ederkräfte Merke: Eingeprägte Kräfte leisten bzw. verbrauchen Arbeit! b) Schnittkräfte, welche beim reischneiden des Systems in Teilsysteme entstehen. Merke: Schnittkräfte leisten keine Arbeit. Schnittkräfte treten aufgrund von Bindungen (Lager, Stützen, Hängungen, ührungen) auf. Beachte: Durch die Einführung von Schnittkräften kann die Statik eines zusammengesetzten mechanischen Systems auf die Statik entsprechender freier Teilsysteme zurückgeführt werden. 2.3 Dimension und Einheit der Kraft Darstellung physikalischer Größen Größe Maßzahl Einheit (muss im Ergebnis mit angegeben werden!) Beispiel: v = 3 m s m = 1kg Physikalische Grundgrößen der Mechanik SI-System: [Masse] = 1 kg [Kilogramm] ( Masse des internationalen Kilogrammprototyps in Sevres in Paris ) [Länge] = 1 m [Meter] [Zeit] = 1 s [Sekunde] restliche Größen werden durch physikalische Grundgesetze definiert. Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 17

26 Kapitel 2: Grundlagen der Statik Skriptum Statik ür die Kraft gilt: Die Änderung der Bewegungsgrößen (des Impulses = Masse Geschwindigkeit) ist gleich der Resultierenden der einwirkenden Kräfte, bzw. Kraft = Masse Beschleunigung. = ma a...beschleunigung [Kraft] = 1kg m s 2 = 1N ( Bewegungsaiom von Newton) Einheit der Kraft im SI-System 1 Newton = 1 N = Kraft, die für die Beschleunigung von 1 kg auf 1 m s 2 benötigt wird. Weitere Einheit für Kraft [früher, TMS = Technisches Maßsystem] 1kp = 1kg 9, 81 m = 9, 81N s2 Kraft, welche von einem Körper der Masse 1 kg am Äquator als Gewichtskraft gemessen wird. 18 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

27 Skriptum Statik Abschnitt 2.4: Zeichnerische Darstellung von Kräften Maßsysteme MKS (SI) TMS (alt) fps Länge 1 m 1 m 1 ft = 0,3038 m Zeit 1 s 1 s 1 s Masse 1 kg 1 TM = 1 kp s2 m 1 lb = 0, kg Kraft 1 N = 1 kg m s 2 1 kp = 9,80665 kg m s 2 1 lbf = 4,44822 N MKS (SI) TMS (alt) fps Meter Kilogramm Sekunde (Standard International) Technisches Maßsystem feet pound second 2.4 Zeichnerische Darstellung von Kräften allgemein: P Pfeil und Symbol kennzeichnen (unabhängig voneinander) Kraft nach Größe, Richtungssinn und Angriffspunkt. vereinfachte Darstellung: kein Vektorpfeil über ist die Koordinate von in Pfeilrichtung. Pfeil beschreibt Angriffspunkt und Richtung P Richtungssinn: > 0 wie gezeichnet < 0 entgegen gezeichneter Richtung Beispiel für reischneiden: allgemein einfacher A A A A B B B B G C C G C C Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 19

28 Kapitel 3: Gleichgewicht Skriptum Statik 3 Gleichgewicht Unter einer Gleichgewichtslage eines mechanischen Systems versteht man eine Konfiguration, bei der das System in Ruhe verharrt. Bei der Behandlung des Gleichgewichtes unterscheidet man zwei Teilprobleme: a) Bestimmung der Konfiguration im Gleichgewicht Beispiel: eder ungespannt eder gespannt G Bewegung G Ruhe b) Bestimmung der Kräfte in der Gleichgewichtskonfiguration Im allgemeinen (bei statisch nicht bestimmten Lagerungen) müssen beide Problemstellungen gleichzeitig gelöst werden. Im folgenden wird zunächst nur Teilproblem b) behandelt. 3.1 Gleichgewichtsbedingungen Aus dem Gleichgewichtsaiom und dem Schnitt-, Äquivalenz- und Erstarrungsprinzip folgen die Gleichgewichtsbedingungen: Ein mechanisches System ist im Gleichgewicht, wenn für jedes freigeschnittene Teilsystem die Summe der Kräfte und der Momente bezüglich eines beliebigen Aufpunktes verschwinden: = M 0 = n i = 0 (3.1) i=1 n M 0i = i=1 i=1 n r 0Pi i = 0 (3.2) bzw. in Komponenten n i = 0 (3.3) i=1 n iy = 0 (3.4) i=1 (3.5) 20 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

29 Skriptum Statik Abschnitt 3.1: Gleichgewichtsbedingungen n iz = 0 (3.6) i=1 n M i = i=1 n M iy = i=1 n M iz = n (r yi zi r zi yi ) = 0 (3.7) i=1 n (r zi i r i zi ) = 0 (3.8) i=1 i=1 i=1 n (r i yi r yi i ) = 0 (3.9) ür ein allgemeines System erhält man somit 6 Gleichungen für jedes freigeschnittene System. Ist das System eben, so läßt sich willkürlich die y-ebene in die Systemebene legen, und es folgen die Gleichgewichtsbedingungen n i = 0 i=1 n iy = 0 Gleichgewichtsbedingungen für ebenes System i=1 n M iz = i=1 n (r i yi r yi i ) = 0 i=1 ür ebene Systeme gelten also 3 Gleichungen je freigeschnittenem System. Die Momentengleichgewichtsbedingung ist zusammen mit der Kräftegleichgewichtsbedingung tatsächlich unabhängig vom Bezugspunkt: M Q = n r QPi i = i=1 = r 0Q n i=1 i }{{} = M Q = r 0Q }{{} =0 + n ( r 0Q + r 0Pi ) i i=1 n r 0Pi i i=1 } {{ } = M 0 + M }{{} 0 = 0 =0 r 0Pi P i r QPi i O r 0Q Q Merke: Durch die geschickte Wahl des Bezugspunktes läßt sich die Lösung des Gleichgewichtsproblems mitunter wesentlich vereinfachen! Tip: Wähle Bezugspunkt dort, wo sich die Wirkunglinien von möglichst vielen unbekannten Kräften schneiden! entsprechende Kräfte treten bei der Momentengleichgewichtsbedingung nicht auf! Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 21

30 Kapitel 3: Gleichgewicht Skriptum Statik 3.2 Lagerreaktionen und -wertigkeiten Beachte: Ein freier Körper hat a) im Raum: z b) in der Ebene: y ϑ ϕ ψ y P P z P P y P y P P ϕ f = 6 reiheitsgrade z.b.: 3 Translation P, y P, z P + 3 Rotation ϕ, ψ, ϑ f = 3 reiheitsgrade z.b.: 2 Translation P, y P + 1 Rotation ϕ Durch Einführung von Lagern und Gelenken wird die Bewegungsfreiheit der Körper durch sog. Bindungen eingeschränkt. Wertigkeit eines Lagers Anzahl der eingeschränkten Bewegungsmöglichkeiten Anzahl der Bindungen Durch die Einschränkung der Bewegung treten Reaktions- oder Schnittkräfte auf je eingeschränkter Bewegungsmöglichkeit eine Schnittkraft bzw. ein Schnittmoment. Bei idealen (= reibungsfreien bzw. glatten) Bindungen zeigen die Reaktionskräfte und Momente nur in die gesperrten Richtungen. Nichtideale Bindungen enthalten dagegen auch Kraftkomponenten in den freien Richtungen. Beispiel: Angelehnte Leiter a) glatt N 1 b) reibungsbehaftet N 1 R 1 Stufe G G A A y A N 2 R 2 22 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

31 Skriptum Statik Abschnitt 3.2: Lagerreaktionen und -wertigkeiten Beispiele für Lagerreaktionen bei ebenen Systemen: Lagertyp Symbol mögliche Lagerreaktionen mögliche Realisierung verschiebbares Gelenkslager g i = 1 festes Gelenkslager g i = 2 feste Einspannung g i = 3 Beispiele für Lagerreaktionen bei räumlichen Systemen: Lagertyp feste Einspannung Symbol mögliche Lagerreaktionen M z M y M g i = 6 mögliche Realisierung y z Gummilager (ahrzeugbau) Kugelgelenk y z g i = 3 3 Rotationen Wertigkeit Wertigkeit ahrzeugaufhängung Pendelstütze g i = 1 5 Pendelstützen = Lenker ebenes Gelenk M M y g i = 3 z Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 23

32 Kapitel 3: Gleichgewicht Skriptum Statik 3.3 Systemfreiheitsgrade und statische Bestimmtheit Betrachte ein System bestehend aus: G i - n B Körpern (ohne Gestell) B i ( body ) - n G Gelenken bzw. Lagern G i - mit g i Lagerwertigkeiten B i ühre nun folgende Schritte durch: 1) Trennen aller Lager und Gelenke es entsteht ein System bestehend aus n B freien Körpern mit insgesamt z i yi ϕ i f frei = 3n B 6n B reiheitsgraden für die ebene Bewegung reiheitsgraden für die räumliche Bewegung 2) Hinzufügen der Gelenke und Lager je Gelenk bzw. Lager G i werden g i Bewegungsmöglichkeiten getilgt; insgesamt verbleiben nach Hinzufügen aller Gelenke und Lager g i f = f nb n G g i i=1 Systemfreiheitsgrade. Je nachdem, ob das System eben oder räumlich ist, erhält man daraus in Abhängigkeit der Anzahl der Körper f eben = 3n B f räumlich = 6n B n G g i i=1 n G g i i=1 Systemfreiheitsgrad für ebene Bewegung Systemfreiheitsgrad für räumliche Bewegung 24 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

33 Skriptum Statik Abschnitt 3.3: Systemfreiheitsgrade, statische Bestimmtheit Man unterscheidet nun folgende grundlegende älle von Lagerungen: all Anzahl von reiheitsgraden 1 f > 0 mögl. Systemeigenschaften im System verbleiben noch reiheitsgrade Bezeichnung in der Statik statisch unterbestimmt Beispiel n B = 2 n G = 3 gi = 5 f = 1 2 (wird in Statik behandelt) f = 0 alle Bewegungsmöglichkeiten sind unterbunden statisch bestimmt n B = 2 n G = 3 gi = 6 f = 0 3 f < 0 es treten mehr Lagerungen auf, als für die Einschränkung aller Bewegungsmöglichkeiten erforderlich statisch überbestimmt n B = 2 n G = 4 gi = 7 f = 1 Bemerkungen: 1) In der Vorlesung Mechanik-Statik werden nur die statisch bestimmten älle behandelt. 2) Statisch unterbestimmte älle sind i.a. nicht im Gleichgewicht und werden in der Dynamik behandelt. 3) Die statisch unbestimmten älle bedürfen der Betrachtung von Verformungen und werden in der estigkeitslehre behandelt. Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 25

34 Kapitel 3: Gleichgewicht Skriptum Statik 3.4 Allgemeines Vorgehen zur Lösung von Gleichgewichtsproblemen Die (algebraische) Lösung von Gleichgewichtsproblemen umfaßt i.a. folgende Schritte: 1) reischneiden: Trennen des Systems in geeignete Teilsysteme, ggf. in einzelne Körper, durch Aufschneiden von Gelenken und Auflagern Einzeichnen sämtlicher Kräfte und Momente, und zwar der a) eingeprägten Kräfte (Gewicht, edern, später: Reibung) b) Reaktionskräfte und -momente: je Kontakt- oder Lagerstelle eine Reaktionskraft bzw. ein Reaktionsmoment pro eingeschränkter Bewegungsmöglichkeit 2) Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen: Je Teilsystem im ebenen all 3 Gleichungen i = 0 iy = 0 Mi0 = 0 im räumlichen all 6 Gleichungen i = 0 iy = 0 iz = 0 Mi = 0 Miy = 0 Miz = 0 3) ggf. geometrische Bedingungen aufstellen 4) Auflösung Zählen von Gleichungen (n Glg ) und Unbekannten (n Ubk ) a) falls n Glg = n Ubk Lösungsstrategie überlegen b) falls n Glg < n Ubk und noch zusammengesetzte Teilsysteme aus Schritt 1) vorhanden: Teilsysteme weiter aufschneiden und mit 2) fortfahren 26 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

35 Skriptum Statik Abschnitt 3.4: Allgemeines Vorgehen c) sonst: ehler: System ist statisch unbestimmt, oder es wurden nicht alle Eigenschaften der Geometrie oder der Reaktionskräfte berücksichtigt. Beispiel: Angelehnte Leiter m a l 2 S B Geg.: a, l, m Boden und ührung B reibungsfrei Ges.: Stützkraft A ψ Lösung: 1) reischneiden und Schnittkräfte eintragen Gesperrte Bewegungsrichtung (Schnittkraft) y B h B h S ψ N B reie Bewegungsrichtung (keine Schnittkraft) A G reie Bewegungsrichtung (keine Schnittkraft) N A Gesperrte Bewegungsrichtung (Schnittkraft) 2) Gleichgewichtsbedingungen (positive Koordinatenrichtung,y beachten!): : N B sin ψ = 0 (3.10) y : N A + N B cos ψ G = 0 (3.11) Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 27

36 Kapitel 3: Gleichgewicht Skriptum Statik Momentengleichgewicht bezüglich A: ( ausführlich mit Vektorelement, später skalare Äquivalente ausreichend) MAz = 0 r AS = l cos ψ sin ψ ; G = G 1 ; 0 cos ψ r AB = a sin ψ 0 sin ψ N B = N B cos ψ 0 r AS G = G l cos ψ 0 sin ψ 1 = G l cos ψ cos ψ sin ψ r AB N B = an B sin ψ cos ψ = an B 0 = 0 cos 2 ψ + sin 2 ψ an B M Az : G l 2 cos ψ +N B }{{} a = 0 (3.12) }{{} =h B N B =h S G hätte auch sofort angegeben werden können! 3) geometrische Bedingungen: keine 4) Auflösungsstrategie: (3.10), (3.11), (3.12): 3 Gleichungen für 3 Unbekannte, N A, N B aus (3.12): in (3.10): N B = l 2a G cos ψ l G cos ψ sin ψ = 0 2a (3.13) = l l G cos ψ sin ψ = G sin 2ψ 2a 4a (3.14) 28 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

37 Skriptum Statik Abschnitt 3.5: Reduktionsmöglichkeiten für Kraftsysteme Einfachere Lösung: Wahl des Bezugspunktes P so, daß Schnittkräfte N A und N B von vornherein eliminiert werden. P + ψ h P = a sin ψ h P N B MP : h P G l 2 cos ψ = 0 a N A G = 1 h P G l 2 cos ψ = l G sin ψ cos ψ 2a identisch mit (3.14) 3.5 Reduktionsmöglichkeiten für Kraftsysteme Ziel: Reduktion eines an einem Körper angereifenden Systems von Kräften auf ein äquivalentes Minimalsystem Reduktion mehrerer Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt = zentrales Kräftesystem a) Lageplan Kräfte gebunden an Angriffspunkte bzw. Wirkungslinien Ausgangssituation Reduktionsergebnis Lageplan 3 = Resultierende 2 1 Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 29

38 Kapitel 3: Gleichgewicht Skriptum Statik b) Kräfteplan (Kräftepolynom, Krafteck) ußpunkte der Kräfte werden sukzessive an die Spitzen der Vorgänger gereiht (Reihenfolge beliebig) ( mehrfache Anwendung der Parallelogrammregel) Resultierende : 3 = }{{} = Zwei Kräfte am starren Körper, Reduktionsergebnis, Kräftepaar Ein Körper werde durch zwei Kräfte 1, 2 belastet. Hierbei unterscheidet man drei älle a) 1 2 Ausgangssituation Reduktionsergebnis 1 P 1 P 2 P 2 G 2 G 1 Reduktionsschritte: 1) Verschieben von 1 und 2 entlang ihrer Wirkungslinien G 1 und G 2 bis zum Schnittpunkt P der Wirkungslinien 2) Addieren von 1 und 2 nach der Parallelogrammregel 3) Ersetzen von 1 und 2 durch Resultierende 30 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

39 Skriptum Statik Abschnitt 3.5: Reduktionsmöglichkeiten für Kraftsysteme b) 1 2, 1 2 Resultierende zweier nicht gleich großer und entgegengesetzt gerichteter Kräfte mit parallelen Wirkungslinien G 1 und G K P 1 P 2 P G 1 K 1 2 P G 2 G 1 G 2 Reduktionsschritte: 1) Addition einer Nullkraft K, K 2) Bildung der Resultierenden 1 und 2 jeweils in P 1 und P 2 ( weiter wie in a)) 3) Verschiebung von 1 und 2 entlang der neuen Wirkungslinien G 1 und G 2 4) Bildung der Resultierenden in P c) 1 = 2 Zwei parallele, gleichgroße, entgegengetzt gerichtete Kräfte bisherige Konstruktion versagt: 1 K Resultierende 1 und 2 ebenfalls parallel! Zwei gleichgroße, parallele, entgegengesetzt gerich- 1 = P 1 d P 2 K tete Kräfte (, ) sind nicht weiter reduzierbar. k 2 = Man bezeichnet (, ) 2 = 1 als ein Kräftepaar. Die physikalische Wirkung eines Kräftepaars ist die eines reinen Moments. Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 31

40 Kapitel 3: Gleichgewicht Skriptum Statik Beispiel: Geg.: Kräftepaar (, ) Q d 2 d 2 r P Q P Drehrichtung e d 2 Es entsteht ein Moment mit a) Betrag = Kraft Hebelarm = 2 d 2 = d (3.15) b) Richtung: um e Dies zusammengefasst ergibt vektoriell M = de Nun gilt für den Einheitsvektor e e = d 2 d 2 sin 90 e = Damit wird (aus voriger Beziehung M = de) M = d d 2 = d 2 d d Damit stimmt das Moment im physikalischen mit dem Moment im vektoriellen Sinne überein! D.h. ein Kräftepaar entspricht in seiner Wirkung einem freien Moment d M M = d freies Moment: Vektor ist frei verschiebbar im Raum 32 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

41 Skriptum Statik Abschnitt 3.5: Reduktionsmöglichkeiten für Kraftsysteme Moment einer Einzelkraft Ist nur eine Einzelkraft mit Angriffspunkt P gegeben, so läßt sich ihr Moment M Q bzgl. eines Angriffspunktes Q wie folgt ermitteln: a) Ausgangssituation starr b) Hinzufügen einer Nullkraft, starr P d Q P d Q c) Reduktion auf eine Einzelkraft bezüglich Q und ein freies Moment M Q = d P d Q M Q starr Beachte: Während ein Kräftepaar grundsätzlich einen freien Vektor darstellt, ist das Kräftepaar (, ) bzw. Moment M Q, welches für einen bestimmten Aufpunkt berechnet wird, nach Betrag und Richtung abhängig von der Wahl von Q. Beispiel: Moment beim Anziehen einer Schraube a) Ausgangssituation b) Hinzufügen einer Nullkraft (, ) an der Schraubenachse Kräftepaar (, ) = freies Moment M Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 33

42 Kapitel 3: Gleichgewicht Skriptum Statik c) Äquivalente Belastung an der Schraubenachse M Gleichgewichtsbedingungen bei drei Kräften Drei Kräfte am starren Körper sind entweder einer Einzelkraft oder einem Kräftepaar äquivalent. Drei Kräfte sind im Gleichgewicht genau dann, wenn ihre Summe verschwindet und sich ihre Wirkungslinien schneiden. Lageplan 1 12 P 1 P G 1 G 2 G 3 P 3 3 Verschieben des Angriffspunktes von 1 und 2 und Bilden der Resultierenden 12. Damit 3 und 12 im Gleichgewicht sind, muß gelten 3 = 12. P 2 2 Kräfteplan Die Wirkungslinien von 3 und 12 müssen kollinear sein! Wirkungslinie von 3 verläuft ebenfalls durch P WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

43 Skriptum Statik Abschnitt 3.5: Reduktionsmöglichkeiten für Kraftsysteme Gleichgewichtsbedingungen bei vier Kräften (CULMANNsche Methode) Vier Kräfte in der Ebene sind im Gleichgewicht genau dann, wenn ihre Summe verschwindet und wenn die Resultierenden von je zwei Kräftepaaren auf einer gemeinsamen Wirkungslinie, der CULMANN-Geraden, liegen. Lageplan 2 P P 3 C (13)(24) 1 P 1 P 12 P 34 P C (12)(34) C (12)(34) Verschiebt man jeweils 1 und 2 bzw. 3 und 4 bis zu deren gemeinsamen Schnittpunkten P 12 bzw. P 34, so entstehen die beiden Resultierenden 12 und 34. Damit diese im Gleichgewicht sind, müssen sie eine gemeinsame Wirkungslinie C (12)(34), die CULMANNsche-Gerade, aufweisen. Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 35

44 Kapitel 3: Gleichgewicht Skriptum Statik Gleichgewichtsbedingungen bei mehr als vier Kräften - Die Seileckmethode Auch bei mehr als vier Kräften könnte man durch wiederholte Anwendung der CULMANNschen Konstruktion das Gleichgewichtsproblem graphisch lösen. Eine elegantere Methode ist jedoch die im folgenden beschriebene Seileckmethode. S S 5 S 1 S 1 S 2 S 0 S 2 S 4 S 3 S 3 S 1 S 1 S 2 S 3 S 4 S4 S 2 S 3 S 4 S 5 1 = S 0 +S 1 2 = S 1 +S 2 3 = S 2 +S 3 4 = S 3 +S 4 5 = S 4 +S 5 i = S 0 +S 5 Wirkung von 1,..., 5 entspricht der Wirkung von S 0 und S 5. Zwei Kräfte! Resultierende wie in ) Zeichnen des Lageplans. Hier braucht die Größe der Kräfte nicht maßstäblich eingezeichnet zu werden. 2) Zeichnen des Kraftecks in einem gewählten Kraftmaßtab. Dem Krafteck kann die Resultierende nach Größe und Richtung entnommen werden. 3) Wahl eines Pols und Zeichnen der Polstrahlen. Man wählt den Pol im Hinblick auf die Zeichengenauigkeit zweckmäßigerweise so, dass die Polstrahlen weder zu spitze noch zu stumpfe Winkel miteinander bilden. erner darf der Pol nicht auf der Wirkunglinie einer Kraft liegen. 4) Die Parallelen zu den Polstrahlen, also die Seilstrahlen, werden in den Lageplan eingezeichnet, und zwar so, dass zwei Polstrahlen, die im Krafteck eine Kraft einschließen, sich im Lageplan auf der Wirkunglinie dieser Kraft schneiden. 5) Der Schnittpunkt des ersten und letzten Seilstrahles ergibt im Lageplan einen Punkt der Wirkungslinie der Resultierenden. 36 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

45 Skriptum Statik 4 achwerke Definition: Unter einem idealen achwerk versteht man ein unverschiebliches Tragwerk von n S masselosen Stäben, welche an n U Knoten drehbar und reibungsfrei miteinander verbunden sind. olge: Stäbe sind nur auf Zug ( + ) oder Druck ( - ) belastet. Graphische Darstellung: Zug ( + ) Druck ( - ) a) auf Stäbe bezogen b) auf Knoten bezogen Idealisierung: a) reales System Knotenblech b) Idealisierung Knoten = reibungsfreies Drehgelenk Vorteil von achwerken: Vermeidung von Biegebeanspruchungen: M l Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 37

46 Kapitel 4: achwerke Skriptum Statik 4.1 Statische Bestimmtheit Betrachtungsweise 1: Zählen von Unbekannten und Gleichungen. 1) Unbekannte: 2) Gleichungen: n S 1 Stabkräfte + n A Auflagerkräfte a) eben je Knoten 2 Gleichungen (, y ) 2n K b) räumlich je Knoten 3 Gleichungen (, y, z ) 3n K Statische Bestimmtheit gegeben, wenn a) eben 2n K = n S + n A b) räumlich 3n K = n S + n A Beispiel: A B A y I IV II V III n K = 5 n S = 7 n A = = statisch bestimmt Betrachtungsweise 2: Zählen von reiheitsgraden Achtung! ür die Zählung von reiheitsgraden müssen Knoten mit mehr als zwei Stäben mehrfach gezählt werden! Knoten k i mit n S (k i ) Stäben zählt wie n S (k i ) 1 Einzelknoten! Beispiel: k i ε 0 n S (k i ) = 5 n S (k i ) 1 = 5 1 = 4 38 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

47 Skriptum Statik Es ist für statische Bestimmtheit notwendig: Abschnitt 4.1: Statische Bestimmtheit a) eben f = 3n S n K i=1 g i = 0 b) räumlich f = 5n S n K i=1 g i = 0 (Zur Definition der Lagerwertigkeit g i Seite 22.) siehe Abschnitt 3.2 auf Beispiel: I III V n S = 7 g I = II IV g II = g III = 3 2 g IV = 2 2 g V = 1 2 f = = = 0 weitere Beispiele: n K = 4 n S = 3 n A = 4 2n K n S n A = = 1 > 0 statisch unterbestimmt! n K = 4 n S = 5 n A = 4 2n K n S n A = = 1 < 0 statisch unbestimmt! Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 39

48 Kapitel 4: achwerke Skriptum Statik Bemerkung: Die hier aufgestellten Bedingungen sind für statische Bestimmtheit notwendig, aber nicht hinreichend! Je nach Geometrie kann ein formal statisch bestimmtes achwerk wackelig sein. Beispiel: statisch bestimmt und starr statisch bestimmt, aber wackelig 4.2 Ermittlung der Stabkräfte Knotenpunktverfahren Prinzip: 1) reischneiden aller Knoten 2) Einzeichnen aller Stabkräfte als Zugkräfte 3) ggf. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen für das gesamte achwerk zur Ermittlung der Auflagerreaktionen 4) Aufstellen von je 2 Gleichgewichtsbedingungen an jedem Knoten Beispiel: a a A B I 2 II 3 α III b VI 6 V 5 C IV Überprüfung der Statischen Bestimmtheit: g 1 = 4, g 2 = 4, g 3 = 5, g 4 = 3, g 5 = 6, g 6 = 2 gi = 24, 3 n S = 3 8 = WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

49 Skriptum Statik Abschnitt 4.2: Ermittlung der Stabkräfte Ersetzen der Lager durch Kräfte: A y B y A C Knotenfreischnitte: Knoten I: Knoten II: Knoten III: A y B y A S 1 S 2 S 2 S 7 S 3 S 3 S 8 α S 4 Knoten VI: Knoten V: Knoten IV: S 1 S 7 α S8 S 5 S 4 S 6 S 6 S 5 C Gleichgewichtsbedingungen: A A y B y C S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 I A +S 2 =0 A y S 1 =0 II S 2 +S 3 =0 S 7 =0 III S 3 S 8 cos α =0 B y S 4 S 8 sin α =0 IV C S 5 =0 +S 4 =0 V +S 5 S 6 +S 8 cos α =0 +S 7 +S 8 sin α =0 VI +S 6 + =0 +S 1 + =0 6 2 = 12 Gleichungen für 12 Unbekannte A, A y, B y, C, S 1,... S 8 Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 41

50 Kapitel 4: achwerke Skriptum Statik I I y II II y III III y IV IV y V V y V I V I y A A y B y C cos α S sin α S 2 0 = S S cos α S sin α S S S 8 A = b V I V I y IV y II y I y V y V III y IV III II I sin α cos α sin α cos α untere Dreiecksmatri S 6 S 1 S 4 S 7 A y S 8 S 5 B y C S 3 S 2 A = Auflösung (rekursiv möglich): S 6 = S 1 = S 4 = 0 (Nullstab!) S 7 = A y = S 1 = S 8 sin α = S 7 S 8 = sin α S 5 = S 6 S 8 cos α = cot α = (1 + cot α) B y = S 8 sin α + S 4 = + C = S 5 = (1 + cot α) S 3 = S 8 cos α S 3 = cot α S 2 = S 3 = cot α A = S 2 = + cot α 42 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

51 Skriptum Statik Nullstäbe Abschnitt 4.2: Ermittlung der Stabkräfte Wie aus dem vorherigen Abschnitt ersichtlich, eistieren in achwerken bei einer gegebenen Belastung Stäbe, in denen keine Kräfte auftreten. Solche Stäbe werden als Nullstäbe bezeichnet. Nullstäbe können vor der Berechnung der Stab- und Lagerkräfte entfernt werden. Man erkennt sie anhand von drei Konfigurationen: 1) unbelasteter Knoten mit zwei Stäben 2 keine Kraft beide Stäbe sind Nullstäbe 1 2) belasteter Knoten mit zwei Stäben + Wirkungslinie der Kraft kollinear mit einem Stab zweiter Stab ist Nullstab 3) Knoten mit drei Stäben, von denen zwei kollinear sind dritter Stab ist Nullstab Einfache achwerke achwerke, die sich durch sukzessives Entfernen von Knoten mit zwei Stäben samt den zugehörigen Stäben vollständig abbauen ( abbrechen ) lassen, heißen einfache achwerke. einfache achwerke nicht einfache achwerke abbrechbar nicht abbrechbar Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 43

52 Kapitel 4: achwerke Skriptum Statik Beispiel: a) abbrechbares achwerk Bemerkung: Bei abbrechbaren achwerken lassen sich durch Aufstellen und Lösen der Gleichgewichtsbedingungen an den entfernten Knoten sämtliche Kräfte rekursiv bestimmen! b) nicht abbrechbares achwerk alle Knoten verbinden drei Stäbe 44 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

53 Skriptum Statik Ritterscher Schnitt Abschnitt 4.2: Ermittlung der Stabkräfte ür ebene einfache achwerke eignet sich das nach Karl Wilhelm Ritter (* Basel 1847, Zürich 1906) benannte Verfahren des Ritterschen Schnitts. 1 a 6 Schnitt 5 2 a 3 1 A 4 2 B 2a 2a Grundidee: Schnitt des achwerks in zwei Teile, wobei je Schnitt maimal drei unbekannte Stabkräfte auftreten. I S 6 I : B 2a S 4 2a 2 a = 0 S 5 2 S 4 = B 2 2 S 4 = S 4 B S 4 = A : B 4a + 2 a 1 2a = 0 A B = A y B Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 45

54 Kapitel 4: achwerke Skriptum Statik Cremona-Plan ür die graphische Ermittlung der Kräfte innerhalb eines achwerkes eignet sich auch das folgende nach Luigi Cremona (* Pavia 1830, Rom 1903) bezeichnete Schema ( Cremona-Plan ). 1.) Ermittlung der Lagerreaktionen des gesamten achwerkes durch globalen reischnitt 2.) estlegen eines Umlaufsinns und Nummerieren aller Stäbe 3.) Einzeichnen der Kraftecke für eingeprägte Kräfte und Lagerkräfte 4.) Beginnend an einem Knoten mit zwei Unbekannten Stabkräften, Krafteck unter Berücksichtigung des Umlaufsinns (ohne Pfeile!) einzeichnen; Pfeilrichtung im Lageplan einzeichnen 5.) Angabe aller Stabkräfte mit Vorzeichen in Tabelle Beispiel (Gross, Hauger, Schnell): 45 a 4 5 a 2 A 3 1 B A a a A y B y 5 4 By 3 A y 2 A 1 46 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

55 Skriptum Statik 5 Reibung Bei den bisherigen Ausführungen wurde stets vom Idealfall ausgegangen, dass die Berührungsflächen zwischen den Körpern ideal glatt waren. Die olge war, dass die Kräfte nur in Richtung der gesperrten Bewegungsfreiheitsgrade wirkten. Beispiel: Wand freie Bewegungsrichtung N gesperrte Richtung Leiter Nunmehr sollen reibungsbehaftete Berührungsflächen betrachtet werden, welche für technische Systeme von großer Bedeutung sind. Beispiele: ω v Antriebskraft Motormoment Traktion beim Gehen oder Laufen Kupplungsmoment Kraftschlüssige Verbindungen R ω v Radmoment Reibung erzeugt Wärme Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 47

56 Kapitel 5: Reibung Skriptum Statik Eperiment: Ein Quader wird auf eine schiefe Ebene gelegt, deren Neigungswinkel α langsam vergrößert wird. Ergebnis: Bis zu einem bestimmten Reibungswinkel α ma bleibt der Quader in Ruhe, er haftet. Bei Winkeln größer als α ma gleitet der Quader, d.h. er befindet sich nicht mehr im statischen Gleichgewicht, und seine Bewegung erfolgt nach den Gesetzen der Dynamik (Kinetik). Haften: α < α ma y Gleichgewichtsbedingung: B = G sin α B y G α B Kein Gleiten an der Berührungsfläche, wirkt wie formschlüssige Verbindung. Kontaktflächen nehmen die Tangentialkräfte B auf. Gleiten: α > α ma y v rel v rel Reibungskraft R = f(n, v rel ) α N G R a Rauhigkeiten können statische Tangentialkraft nicht mehr aufnehmen, d.h. es tritt Gleiten auf, und es besteht somit keine Verbindung in Tangentialrichtung. Im alle des Haftens ist die horizontale Kraft eine Reaktionskraft, welche sich aus den statischen Gleichgewichtsbedingungen ergibt; diese verbraucht keine Leistung. Im alle des Gleitens ist die horizontale Kraft eine eingeprägte Kraft, deren Wert sich aus den Reibungsgesetz R = f(n, v rel ) ergibt. Es wird Leistung verbraucht. 48 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

57 Skriptum Statik Aus eperimentellen Messungen sind folgende Eigenschaften für trockene Reibung näherungsweise erfüllt: a) Die Gleitreibung wirkt immer entgegengesetzt zur Relativgeschwindigkeit zwischen den gleitenden lächen. R v rel R = R v rel v rel b) Die Gleitreibung ist proportional zur Normalkraft und unabhängig von der Größe der Kontaktfläche. Reibkraftgesetz für Gleitreibung: R = µn Coulombsches Gleitreibungsgesetz µ... Gleitreibungskoeffizient v rel R v rel R 2 G R 2 G c) Zwischen dem Grenzfall der Reibung und der Gleitreibung tritt ein Unterschied auf. Haftung: R < µ 0 N Haftgrenze: R = µ 0 N µ 0... Haftreibungskoeffizient Gleiten: R = µn µ... Gleitreibungskoeffizient Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 49

58 Kapitel 5: Reibung Skriptum Statik d) Der Betrag der Gleitreibungskraft ist unabhängig vom Betrag der Gleitgeschwindigkeit. R tatsächlicher Verlauf v rel R angenäherter Verlauf R v rel v rel Damit läßt sich die Reibungskraft bei Gleitungen näherungsweise durch die folgenden unktionen darstellen: R = µ N sign(v rel ) (eindimensional) R = µ N v rel v rel (mehrdimensional) Typische Werte für einige Werkstoffpaarungen: Werkstoffpaarung Haftreibungskoeffizient Gleitreibungskoeffizient Stahl/Eis 0,03 0,015 Stahl/Stahl 0, ,5 0,1... 0,4 Holz/Holz 0,5 0,3 Autoreifen/Asphalt 0,7... 0,9 0,5... 0,8 Zusammenfassung der Unterschiede zwischen Haften und Gleiten: 1) Beim Haften ist die Tangentialkraft eine Reaktionskraft, welche aus den Gleichgewichtsbedingungen (und nicht als R = µ 0 N) zu ermitteln ist; beim Gleiten ist die Tangentialkraft eine tatsächliche eingeprägte Kraft, welche immer mechanische Energie in Wärmeenergie umwandelt. 2) Die Koeffizienten für den Grenzfall der Haftung (µ 0 ) und der Gleitreibung sind im allgemeinen unterschiedlich (µ 0 > µ). 50 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

59 Skriptum Statik 5.1 Haftungskegel, Haftungswinkel Abschnitt 5.1: Haftungskegel, Haftungswinkel Eperiment: Eine Kraft wird unter einem Neigungswinkel α auf einen zweiten haftenden Körper eingeprägt. rage: Unter welchem kleinsten Neigungswinkel ρ 0 (dem sogenannten Haftungswinkel) beginnt der Körper zu gleiten? α Es ist aus den Gleichgewichtsbedingungen: masselos N α R R = sin α (5.1) N = cos α (5.2) Die statischen Gleichgewichtsbedingungen (5.1) und (5.2) bleiben erfüllt, solange die Haftbedingung R µ 0 N (5.3) erfüllt ist. Im Grenzfall der Haftung gilt R = µ 0 N. (5.4) Einsetzen von (5.1) und (5.2) in (5.3) liefert die Haftungsbedingung für den Neigungswinkel α: sin α µ 0 cos α Der Quader ist unabhängig vom Betrag von im Gleichgewicht, solange die Bedingung tan α µ 0 (5.5) erfüllt ist. Nach Einführung des Haftungswinkels tan ρ 0 = µ 0 ρ 0... Haftungswinkel (5.6) lautet die Haftbedingung (5.5) tan α tan ρ 0 α ρ 0 Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 51

60 Kapitel 5: Reibung Skriptum Statik Dies bedeutet geometrisch, dass die angreifende Kraft innerhalb eines Kegels mit halben Öffnungswinkel ρ 0 liegen muss, damit Haften auftritt. H G ρ 0 µ 0 H innerhalb des Haftungskegels Haften G ausserhalb des Haftungskegels Gleiten 5.2 Schraubenverbindungen rage: ür welche Momente M d ist Gleichgewicht möglich? ds ds µ 0 dh α r α dn α h = Ganghöhe M d 2rπ Statisches Gleichgewicht: : = (dn cos α dh sin α) = cos α dn sin α dh (5.7) : M d = (rdn sin α + rdh cos α) = r sin α dn + r cos α dh (5.8) 52 WS 2008/09 Lehrstuhl für Mechanik

61 Skriptum Statik Abschnitt 5.2: Schraubenverbindungen (5.7) r cos α + (5.8) sin α r cos α + M d sin α = r dn (5.9) (5.7) r sin α (5.8) cos α r sin α M d cos α = r dh (5.10) Haftbedingung: dh µ 0 dn bzw. dh µ 0 dn (5.11) Einsetzen von (5.9) & (5.10) in (5.11) führt zu ( ) M d cos α sin α Md r µ 0 sin α + cos α r } {{}} {{} = dh = dn. all 1: M d r cos α sin α 0 M d r (cos α µ 0 sin α) (µ 0 cos α + sin α) M d r M d r µ 0 + tan α 1 µ 0 tan α }{{} tan ρ 0 tan ρ 0 + tan α 1 tan α tan ρ 0 tan α + tan β 1 tan α tan β = = = sin α cos α + sin β cos β sin α sin β 1 cos α cos β sin α cos β + sin β cos α cos α cos β sin α sin β sin(α + β) cos(α + β) = tan(α + β) all 2: M d r M d r tan(ρ 0 + α) (5.12) cos α sin α < 0 sin α M d r cos α µ 0 M d ( Md r ) sin α + cos α r (µ 0 sin α + cos α) ( µ 0 cos α + sin α) M d r µ 0 cos α + sin α µ 0 sin α + cos α = tan α µ µ 0 sin α M d r tan (α ρ 0) (5.13) Lehrstuhl für Mechanik WS 2008/09 53