Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt)

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1 Name: Seite: 1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Dozent: R. Burkhardt Büro: Klasse: 1. Studienjahr Semester: 1 Datum: HS 28/9 1. Aufgabe Überprüfe ob die angegebenen Vektoren eine Basis des R 3 sind: (a) v 1 (1, 1, 1) v 2 (1, 1, 5) Da R 3 die Dimension drei hat (dim R 3 3) muss jede Basis genau aus drei Vektoren bestehen. Somit können die Vektoren v 1 und v 2 sicher keine Basis des R 3 sein. (b) v 1 (1, 1, 1) v 2 (1, 2, 3) v 3 (2, 1, 1) Da dim R 3 3gilt, müssen wir nur zeigen, dass die obigen drei Vektoren linear unabhängig sind (wieso?). Dies führt auf das folgende lineare Gleichungssystem: x + y +2z x +2y z x +3y + z Da dieses System nur die triviale Lösung besitzt, sind die drei Vektoren linear unabhängig und bilden somit eine Basis für den R 3. (c) v 1 (1, 1, 2) v 2 (1, 2, 5) v 3 (5, 3, 4) Gleiches Vorgehen wie in der vorigen Aufgabe. Das Gleichungssystem: x + y +5z x +2y +3z 2x +5y +4z Hier erhalten wir unendlich viele Lösungen und daher sind die drei Vektoren linear abhängig und bilden somit keine Basis des R Aufgabe Es sei W ein Unterraum des R 4, erzeugt durch die Vektoren v 1 (1, 2, 5, 3) v 2 (2, 3, 1, 4) v 3 (3, 8, 3, 5) Gib eine Basis und die Dimension von W an. 1. Studienjahr Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) HS 28/9

2 Name: Seite: 2 Wir überprüfen, ob die drei Vektoren linear unabhängig sind: x +2y +3z 2x +3y +8z 5x + y 3z 3x 4y 5z Obiges Gleichungssystem hat die L {(x, y, z) :(z, 2z, z)} Es gibt also unendlich viele Lösungen und die drei Vektoren sind linear abhängig. Weiter können wir obige Lösung in der Linearkombination einsetzen und erhalten so: zv 1 2zv 2 + zv 3 z R Setzen wir z 1ein, so können wir z.b. nach v 3 auflösen: v 3 2v 2 v 1 Der Vektor v 3 lässt sich also als Linearkombination der beiden anderen Vektoren schreiben (eindeutig). Dieser Vektor ist daher überflüssig (er liefert keine Information, die nicht auch durch die anderen beiden Vektoren geliefert werden kann). Daher bilden nun die beiden linear unabhängigen (wieso?) Vektoren v 1 und v 2 eine (von vielen) Basis von W und somit gilt dim (W )2. 3. Aufgabe (a) Es sei V R 3.Zeige,dassV mit den folgenden Operationen kein reeller Vektorraum ist: (a, b)+(c, d) (a + c, b + d) λ (a, b) (λa, ) Wir müssen zeigen, dass eines der acht Gesetze nicht erfüllt ist. Da die Addition der normalen Addition entspricht, gelten die Gesetze (A1)-(A4). Die Multiplikation wird in diesem Fall mindestens ein Gesetz verletzen. Betrachten wir zum Beispiel (S4), so sehen wir: 1(a, b) (a, ) (a, b) (b) Es sei der folgende Vektorraum V R 2 2 gegeben. Ist die Menge W der oberen Dreiecksmatrizen a b A a, b, c R c ein Unterraum von V ist. Wir müssen zeigen, dass die Menge bezüglich der Addition und der Multiplikation mit einem Skalar abgeschlossen ist, d.h. dass die Summe zweier Dreiecksmatrizen wieder eine Dreiecksmatrix ist und dass das Produkt einer Dreiecksmatrix mit einer reellen Zahl wieder eine Dreiecksmatrix ist. Addition: a1 b 1 a2 b + 2 a1 + a 2 b 1 + b 2 W c 1 c 2 c 1 + c 2 Multiplikation mit einem Skalar: a b λa λb λ W c λc 4. Aufgabe (a) Es sei V der Vektorraum der reellen Polynome. Bestimme die Dimension von U L 1+x + x 5,x 2 + x 4, 1 x 2 + x 3 x 5,x x 3 x 4 +2x 5 Wenn die vier Polynome linear unabhängig sind, ist die Dimension dieses Unterraums vier. Andernfalls reduziert sich die Dimension. So überprüfen wir, ob die vier Vektoren linear unabhängig sind, d.h. ob es nur die triviale Linearkombination gibt um das Nullpolynom zu erzeugen: a 1+x + x 5 + b x 2 + x 4 + c 1 x 2 + x 3 x 5 + d x x 3 x 4 +2x 5 (a c +2d) x 5 +(b d) x 4 +(c d) x 3 +(b c) x 2 +(a + d) x +(a + c) 1. Studienjahr Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) HS 28/9

3 Name: Seite: 3 Dies führt auf das lineare Gleichungssystem: a c +2d b d c d b c a + d a + c Wir finden unendlich viele Lösungen: L (a, b, c, d) R 4 :( c, c, c, c) Da wir in der Lösung des linearen Gleichungssystem eine frei wählbare Variable haben, können wir einen der Vektoren weglassen. Die restlichen drei Vektoren sind dann linear unabhängig und bilden somit eine Basis von U. Daher gilt: dim (U) 3 (b) Es sei V der Vektorraum der reellen 2 3 Matrizen und U U L,, ein Unterraum von V mit dim (U) 3. Weiter sei A U Finde einelinearkombination A λ 1 + λ Das Gleichsetzen führt auf ein lineares Gleichungssystem: λ 1 + λ λ λ1 + λ 2 λ 1 +2λ 2 +3λ 3 3λ 2 +3λ 3 λ 2 + λ 3 λ 1 2λ 2 λ 3 λ 1 + λ 3 λ 1 + λ 2 1 λ 1 +2λ 2 +3λ 3 9 3λ 2 +3λ 3 6 λ 2 + λ 3 2 λ 1 2λ 2 λ 3 1 λ 1 + λ 3 5 Die Lösung des Gleichungssystems lautet: L (λ 1, λ 2, λ 3 ) R 3 :(2, 1, 3) Also gilt: A λ Es gibt nur eine Linearkombination. Gib dafür eine Begründung an. Da die Dimension des Unterraums drei ist, sind die drei gegebenen Matrizen eine Basis des Unterraums. Mit einer Basis lassen sich nun alle Elemente des Raumes eindeutig als Linearkombination der Basis beschreiben. 5. Aufgabe Überprüfe, ob die folgende Beziehung ein Skalarprodukt im R 2 darstellt: u, v (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 +3x 2 y 2 Wir müssen zeigen, dass die folgenden drei Eigenschaften erfüllt sind: 1. Studienjahr Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) HS 28/9

4 Name: Seite: 4 Bilinearität:., v (x, y), (a, b) xy xb ay +3ab ist keine lin. Abb.! u,. (a, b), (x, y) ab ay bx +3xy ist keine lin. Abb.! Die Bilinearität ist somit nicht erfüllt. Die restlichen Eigenschaften müssten wir nicht mehr überprüfen! Symmetrie: u, v v,u (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) (x 2,y 2 ), (x 1,y 1 ) x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 +3x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 1 x 1 y 2 +3x 1 y 1 x 1 y 1 x 2 y 2 Die Symmetrie ist ebenfalls nicht erfüllt! Positive Definitheit: u, u > (x, y), (x, y) xy xy xy +3xy 2xy Ist für x, y Werte mit ungleichem Vorzeichen nicht erfüllt! 6. Aufgabe Es sei V der Vektorraum der Polynome mit dem Skalarprodukt f,g 1 t f (t) g (t) dt Weiter seien die folgenden Polynome gegeben: f (t) t +2 g (t) t 2 2t 3 Bestimme: (a) f,g? (b) f,g 1 t 1 1 f (t) g (t) dt (t +2) t 2 2t 3 dt t 3 7t 6 dt 1 4 t t2 6t 37 4 f?, g? f f,f 1 f (t) f (t) dt t 1 (t +2) 2 dt 1. Studienjahr Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) HS 28/9

5 Name: Seite: (t +2) g g, g 1 g (t) g (t) dt t 1 (t 2 2t 3) 2 dt 1 (t 4 4t 3 2t 2 +12t +9)dt 1 5 t5 t t3 +6t 2 +9t (c) 1 (f,g)? 1 f,g (f,g) a cos fg a cos Aufgabe Ist (v 1,v 2,..., v r ) ein Orthonormalsystem in einem Vektorraum V und bezeichnet U L (v 1,v 2,...,v r ) den von dem Orthonormalsystem aufgespannten Untervektorraum, so lässt sich jeder beliebige Vektor v V eindeudig als Summe v u + w mit u U und w/ U schreiben. Dabei gilt: r u v, v i v i w v r v, v i v i u, w Beweise die obige Beziehung. Wir zeigen nur, dass die Vektoren u und v orthogonal zueinander stehen: r r u, w v, v i v i,v v,v i v i r r v, v i v i,v v, v i v i, r v, v i v i u 1 Winkel zwischen den beiden Polynomen. 1. Studienjahr Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) HS 28/9

6 Name: Seite: 6 r v,v i v i,v u 1. Studienjahr Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) HS 28/9