7 Vektorräume und Körperweiterungen

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1 $Id: vektor.tex,v /05/25 15:03:47 hk Exp $ 7 Vektorräume und Körperweiterungen Wir sind gerade bei der Besprechung derjenigen Grundeigenschaften des Tensorprodukts, die mit vergleichsweise wenig Arbeit direkt aus der Definition folgen. Wir beginnen heute mit der sogenannten Kommutativität des Tensorprodukts. Seien hierzu wieder V, W zwei Vektorräume über einem Körper K und (T, t) ein Tensorprodukt von V und W. 1. Offenbar ist auch t : W V T ; (w, v) t(v, w) bilinear, und wir wollen einsehen das (T, t ) ein Tensorprodukt von W und V ist. Seien also U ein Vektorraum über K und f : W V U bilinear. Dann ist auch f : V W U; (v, w) f (w, v) bilinear und es existiert genau eine lineare Abbildung F : T U mit F t = f. Für alle v V, w W ist dann auch F (t (w, v)) = F (t(v, w)) = f(v, w) = f (w, v), d.h. es ist F t = f. Ist umgekehrt G : T U linear mit G t = f, so ist für alle v V, w W wieder G(t(v, w)) = G(t (w, v)) = f (w, v) = f(v, w), also G t = f und somit G = F. 2. Seien V V und W W zwei Teilräume. Dann betrachten wir den Teilraum T := t(v W ) T und die Einschränkung t := t V W : V W T. Wir behaupten, dass (T, t ) ein Tensorprodukt von V und W ist. Dass t bilinear ist, ist dabei klar. Nun seien U ein Vektorraum über K und f : V W U eine bilineare Abbildung. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass in einem Vektorraum A jeder Teilraum B ein Komplement hat, wir also A = B C mit einem C A schreiben können, und dann definiert b + c b (b B, c C) eine lineare Abbildung von A auf B, die auf B eingeschränkt die Identität ist, eine sogenannte Projektion auf den Teilraum B. Damit gibt es lineare Abbildungen P : V V, Q : W W und Q W = id W. Mit diesen definieren wir die bilineare Abbil- mit P V = id V dung f := f (P Q) : V W U 12-1

2 und erhalten eine lineare Abbildung F : T U mit F t = f. Dann ist auch die Einschränkung F := F T : T U linear und es gilt F t = (F t) V W = f V W = f da für alle v V, w W stets f(v, w) = f (P v, Qw) = f (v, w) ist. Da das Bild t (U V ) den Vektorraum T erzeugt, ist F durch die Bedingung F t = f auch eindeutig festgelegt. Der letzte Punkt war übrigens die erste Stelle an der wir wirklich Vektorräume über einem Körper brauchen. Alles bisherige kann man genausogut für Moduln über kommutativen Ringen machen, aber das Tensorprodukt von Teilräumen ist dann im Allgemeinen kein Teilraum des Tensorprodukts mehr. Untermoduln besitzen in der Regel keine Komplemente, zum Beispiel wenn wir den Modul M = Z über dem Ring A = Z betrachten, und als Untermodul N = 2Z die geraden Zahlen verwenden. Es verbleibt noch die Frage der Existenz eines Tensorprodukts. Der nun folgende Existenzbeweis ist auf der einen Seite recht abstrakt, er folgt aber dem Standardschema wie die Existenz von Objekten die durch eine universelle Eigenschaft definiert werden, eigentlich immer bewiesen wird. Zuerst konstruiert man ein sehr großes Objekt, und erhält das gesuchte Objekt durch Quotientenbildung nach dem störenden Teil. Zuvor sollten wir uns an zwei allgemeine Begriffe erinnern. Sind K ein Körper und M eine Menge, so können wir einen Vektorraum V über K konstruieren, der die Menge M als Basis besitzt, der sogenannte von M frei erzeugte K-Vektorraum. Diese Konstruktion ist uns schon einmal in 4 begegnet. Man bildet den Vektorraum K (M) := {f : M K f(m) 0 nur für endlich viele m M}, und fasst M als Teilmenge von K (M) auf, indem jedes m M mit dem kanonischen Basisvektor { 1, n = m, e m : M K; n 0, n m identifiziert wird. Dann ist M eine Basis von K (M). Der zweite Begriff ist die Bildung des Quotientenvektorraums, der oft auch als Faktorvektorraum bezeichnet wird. Hier sind ein Vektorraum V über einem Körper K und ein Teilraum U V gegeben. Man betrachtet dann die Nebenklassen von U in V, d.h. die affinen Teilräume v + U für v V. Diese Nebenklassen partitionieren den Vektorraum V, es handelt sich ja gerade um die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation v v v v U auf V. Die Quotientenmenge bezüglich dieser Äquivalenzrelation ist die Menge V/U := {v + U v V } 12-2

3 der Nebenklassen von U in V. Die Summe zweier solcher Nebenklassen ist wieder eine Nebenklasse (v + U) + (v + U) = v + v + U (v, v V ). Damit wird (V/U, +) eine abelsche Gruppe. Weiter kann V/U zu einem Vektorraum über K gemacht werden, indem wir für alle v V, c K c (v + U) := cv + U definieren. Dies ist unabhängig vom Repräsentanten v der Nebenklasse, den ein anderer Repräsentant hat die Form v+u mit u U, und damit ist c (v+u)+u = cv+cu+u = cv+u wieder dieselbe Nebenklasse. Die definierenden Eigenschaften eines Vektorraums übertragen sich jetzt von V auf V/U, zum Beispiel ist (ab)(v + U) = (ab)v + U = a(bv) + U = a (bv + U) = a (b (v + U)) für alle a, b K, v V. Damit wird V/U wieder ein Vektorraum über K. Die Projektion π : V V/U; v v + U ist dabei eine lineare Abbildung, die Vektorraumstruktur auf V/U wurde ja genau so definiert. Auch der Quotient V/U erfüllt eine universelle Eigenschaft. Sind W ein weiterer Vektorraum über K und T : V W eine lineare Abbildung mit U Kern(T ), so existiert genau eine lineare Abbildung T : V/U W mit T = T π, nämlich T : V/U W ; v + U T v. Auch dies ist vom speziell gewählten Repräsentanten v unabhängig, denn jeder andere hat die Form v + u mit u U Kern T, und es ist T (v + u) = T v + T u = T v. Damit kommen wir nun zum Existenzsatz für Tensorprodukte. Satz 7.1 (Existenz von Tensorprodukten) Seien K ein Körper und V, W zwei Vektorräume über K. Sei dann F der von V W frei erzeugte Vektorraum, also etwa F = K (V W ) und betrachte den von der Menge {(v + v, w) (v, w) (v, w), (λv, w) λ(v, w) v, v V, w W, λ K} {(v, w + w ) (v, w) (v, w ), (v, λw) λ(v, w) v V, w, w W, λ K} erzeugten Teilraum N von F. Weiter seien T := F/N, π : F T die Projektion und t := π V W, also t : V W T ; (v, w) (v, w) + N. Dann ist (T, t) ein Tensorprodukt von V und W. Beweis: Wir beginnen mit der Bilinearität der Abbildung t. Seien v, v V und w W gegeben. Dann ist t(v + v, w) = (v + v, w) + N = (v, w) + (v, w) + (v + v, w) (v, w) (v, w) +N }{{} N = (v, w) + (v, w) + N = t(v, w) + t(v, w). 12-3

4 Die anderen drei Bedingungen t(cv, w) = ct(v, w), t(v, w + w ) = t(v, w) + t(v, w ), t(v, cw) = ct(v, w) für v V, w, w W, c K, folgen analog. Damit ist t : V W T zumindest bilinear. Nun seien U ein Vektorraum über K und f : V W U eine bilineare Abbildung. Da V W eine Basis von F ist, existiert genau eine lineare Abbildung f : F U mit f V W = f. Sind v, v V und w W, so haben wir f ((v + v, w) (v, w) (v, w)) = f (v + v, w) f (v, w) f (v, w) = f(v + v, w) f(v, w) f(v, w) = 0 da f bilinear ist. Ebenso folgt das auch die anderen Erzeuger von N im Kern von f liegen, und damit gilt N Kern f. Mit der universellen Eigenschaft des Quotientenvektorraums erhalten wir eine lineare Abbildung f : T = F/N U mit f π = f. Für diese lineare Abbildung gilt nun f t = f π V W = f V W = f. Wegen t(v W ) = T ist f hierdurch auch eindeutig bestimmt. Damit existiert für je zwei Vektorräume V, W ein Tensorprodukt, und wir haben gesehen, dass es bis auf Isomorphie auch nur genau eines gibt. Etwas schlampig spricht man daher von dem Tensorprodukt von V und W. Den beteiligten Vektorraum nennt man T = V W und die bilineare Abbildung t : V W T wird als v w = t(v, w) (v V, w W ) notiert. Die speziellen Elemente v w von V W nennt man auch Elementartensoren. Jedes Element von V W ist eine Summe von Elementartensoren, aber außer in Randfällen gibt es in V W auch immer Elemente die keine Elementartensoren sind. Die Kommutativität des Tensorprodukts interpretieren wir in dieser Notation als einen Isomorphismus δ : V W W V mit δ(v w) = w v für v V, w W, denn wir hatten gesehen, dass (V W, t ) mit t (w, v) = t(v, w) = v w für v V, w W ein Tensorprodukt von W und V ist. Sind V V, W W Teilräume, so können wir V W = v w v V, w W V W identifizieren. Nun definieren wir auch Tensorprodukte linearer Abbildungen. Definition 7.2: Seien V, W, V, W Vektorräume über einem Körper K und seien T : V V, S : W W zwei lineare Abbildungen. Dann ist die Abbildung V W V W ; (v, w) (T v) (Sw) 12-4

5 offenbar bilinear, und wir erhalten eine eindeutige lineare Abbildung T S : V W V W mit T S(v w) = (T v) (Sw) für alle v V, w W, genannt das Tensorprodukt der linearen Abbildungen T und S. Auch für das Tensorprodukt linearer Abbildungen gibt es eine kleine Liste von Grundeigenschaften. 1. Sind T : V V, T : V V, S : W W und S : W W vier lineare Abbildungen, so behaupten wir (T S ) (T S) = (T T ) (S S). Da die Elementartensoren ganz V W erzeugen, reicht es dies für Elementartensoren zu überprüfen. Für v V, w W haben wir dabei (T S )((T S)(v w)) = (T S )((T v) (Sw)) = (T T v) (S Sw) = (T T ) (S S)(v w). 2. Sind T, T : V V, S, S : W W lineare Abbildungen und c K, so gelten (T + T ) S = T S + T S, (ct ) S = c T S, T (S + S ) = T S + T S, T (cs) = c T S. Auch diese Aussagen muss man jeweils nur auf den Elementartensoren überprüfen Für v V, w W haben wir dabei (T + T ) S(v w) = (T v + T v) (Sw) = (T v) (Sw) + (T v) (Sw) und die restlichen drei Gleichungen folgen analog. 3. Offenbar ist id V id W = id V W. = T S(v w) + T S(v w), 4. Sind T : V V und S : W W Isomorphismen, so ist auch T S ein Isomorphismus und in diesem Fall haben wir Denn nach (1) und (3) ist zunächst (T S) 1 = T 1 S 1. (T 1 S 1 )(T S) = (T 1 T ) (S 1 S) = id V id W = id V W, und analog folgt auch (T S)(T 1 S 1 ) = id V W. Somit ist T S ein Isomorphismus mit Inverser T 1 S

6 Wir kommen nun zur sogenannten Assoziativität des Tensorprodukts. Lemma 7.2 (Assoziativität des Tensorprodukts) Seien K ein Körper und U, V, W drei Vektorräume über K. Dann existiert ein eindeutiger Isomorphismus ϕ : (U V ) W U (V W ) mit ϕ((u v) w) = u (v w) für alle u U, v V, w W. Beweis: Sei w W. Dann ist die Abbildung f w : U V U (V W ); (u, v) u (v w) bilinear, und damit existiert genau eine lineare Abbildung F w : U V U (V W ) mit F w (u v) = f w (u, v) = u (v w) für alle u U, v V. Sind w, w W und λ K, so gelten offenbar f w+w = f w + f w und f λw = λf w, und damit auch Folglich ist die Abbildung F w+w = F w + F w, F λw = λf w. f : (U V ) W U (V W ); (x, w) F w (x) bilinear, und wir erhalten eine lineare Abbildung ϕ : (U V ) W U (V W ) mit ϕ(x w) = f(x, w) = F w (x) für alle x U V, w W. Für u U, v V, w W folgt ϕ((u v) w) = F w (u v) = u (v w). Wegen (U V ) W = (u v) w u U, v V, w W ist ϕ als lineare Abbildung hierdurch eindeutig festgelegt. Analog erhalten wir eine lineare Abbildung ψ : U (V W ) (U V ) W mit ψ(u (v w)) = (u v) w für alle u U, v V, w W. Für u U, v V, w W ist dann ψ(ϕ((u v) w)) = (u v) w, und es folgt ψ ϕ = id (U V ) W. Analog ergibt sich auch ϕ ψ = id U (V W ). Damit ist ϕ ein Isomorphismus mit ϕ 1 = ψ. Der Isomorphismus dieses Lemmas wird üblicherweise in der Notation unterdrückt, man identifiziert also U (V W ) = (U V ) W. Wie immer beim Assoziativgesetz folgt hieraus, dass man auch in komplizierteren iterierten Tensorprodukten beliebig umklammern kann, und damit folglich überhaupt alle 12-6

7 Klammern weglassen kann. Tatsächlich wird oft auch von vornherein ein Tensorprodukt V 1 V n von mehreren Faktoren definiert, dies ist völlig analog zum Tensorprodukt zweier Faktoren, allerdings wird die Notation dabei zunehmend unhandlich. Unser Assoziativitätsisomorphismus ist natürlich, verträgt sich also mit Tensorprodukten linearer Abbildungen. Damit ist die folgende Tatsache gemeint. Sind U, V, W, U, V, W sechs Vektorräume und T : U U, S : V V, R : W W lineare Abbildungen, so ist das Diagram ϕ (U V ) W U (V W ) (T S) R T (S R) (U V ) W ϕ U (V W ) kommutativ. Für Elemente der Form (u v) w (u U, v V, w W ) ist dies klar, und da diese ganz (U V ) W erzeugen, ergibt sich die behauptete Gleichung. Damit nähern wir uns dem Ende der allgemeinen Theorie. Als nächstes Ziel haben wir die Beschreibung von Tensorprodukten in Termen von Basen, und hierzu ist es nützlich, sich zunächst an die direkten Summen der linearen Algebra zu erinnern. Streng gesehen gibt es von diesen zwei Varianten, eine innere und eine äußere. Wir beginnen mit der äußeren Version. Sei hierzu (V i ) i I eine Familie von Vektorräumen über einem Körper K. Dann haben wir ein direktes Produkt i I V i dieser Vektorräume in dem Addition und Multiplikation mit Skalaren einfach komponentenweise erfolgen. Die direkte Summe ist nun der Teilraum { } i I V i := v i I V i v i 0 nur für endlich viele i I. Für jedes i I können wir V i dabei als einen Teilraum der direkten Summe j I V j auffassen, indem wir einen Vektor v V i dem Tupel (v j ) j I mit v j = v für j = i und v j = 0 für j i entsprechen lassen. Die zweite Variante direkter Summen sind die inneren direkten Summen. Hier sind ein Vektorraum V und eine Familie (V i ) i I von Teilräumen von V vorgegeben. Man nennt V dann eine direkte Summe der Teilräume V i (i I) wenn V = i I V i := i I V i gilt, und für alle v i V i (i I) mit v i 0 nur für endlich viele i I stets v i = 0 = (i I) : v i = 0 i I gilt. In der linearen Algebra haben Sie gesehen, dass dies zur Bedingung V i V j = 0 i j I 12-7

8 für alle i I gleichwertig ist. Machen wir uns dies ruhig noch einmal klar: = Sei i I und sei v V i j i V j. Dann existieren v j V j für i j I mit v j 0 nur für endlich viele solche j so, dass v = j i v j ist. Setzen wir dann noch v i := v V i, so ist v i j i v j = 0, also v = v i = 0 nach unserer Annahme. = Seien v i V i für i I mit v i 0 nur für endlich viele i I und i I v i = 0. Sei i I. Dann gilt v i = v j V i V j = 0, j i j i also v i = 0. Diese beiden Begriffe von direkter Summe sind streng genommen verschieden, das eine ist eine Konstruktion eines neuen Vektorraums aus einer gegebenen Familie von Vektorräumen heraus, und das andere ist eine Aussage über eine Familie von Teilräumen eines gegebenen Vektorraums. Trotzdem sind diese beiden Konzepte im wesentlichen gleichbedeutend, und werden üblicherweise nicht voneinander unterschieden. Ist V = i I V i wie in der zweiten Variante, so ist V zur direkten Summe der ersten Variante isomorph, einfach unter dem Isomorphisms (v i ) i I i I v i. Haben wir umgekehrt eine direkte Summe V := i I V i im ersten Sinne und fassen V i für jedes i I als einen Teilraum auf, so ist V die direkte Summe dieser Teilräume. 12-8

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