2) Wir betrachten den Vektorraum aller Funktionen f(x) = ax 4 +bx 2 +c mit a, b, c R.

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1 Übung 6 1) Wir betrachten den Vektorraum aller Funktionen f(x) = ax 4 + bx 2 + c mit a, b, c R und nennen diesen V. Die Vektoren f 1 (x) = 2x 4 + 2x und f 2 (x) = 3x 4 + x sind in diesem Vektorraum enthalten. Um zu zeigen, dass es sich tatsächlich um einen Vektorraum handelt, müssten wir alle Eigenschaften für Vektorräume nachweisen. Wir wollen lediglich folgende Eigenschaften überprüfen: a) Gilt f 1 + f 2 V? b) Wie lautet das neutrale Element bezüglich der Addition n(x)? c) Wie lautet das inverse Element von f 1? d) Gilt 5 f 1 V? a) Ja, da f 1 + f 2 = 5x 4 + 3x V b) n(x) = 0? c) 2x 4 2x 2 2 d) Ja, da 5 f 1 = 10x x V? 2) Wir betrachten den Vektorraum aller Funktionen f(x) = ax 4 +bx 2 +c mit a, b, c R. a) Zeigen Sie, dass die Menge B = { 2x 4 ; x 4 x 2 ; 2 } eine Basis des Vektorraums darstellt. Welche Dimension hat die Basis B und somit der Vektorraum? b) Zeigen Sie, dass die Menge C = { 2x 4 ; x 4 x 2} keine Basis des Vektorraums darstellt. Sie können das Ergebnis von 2a) verwenden. c) Zeigen Sie, dass die Menge D = { 2x 4 ; x 4 x 2 ; 2x 4 2x 2} keine Basis des Vektorraums darstellt. d) Zeigen Sie, dass die Menge E = { 2x 4 ; x 4 x 2 ; 2; x 4 + x } keine Basis des Vektorraums darstellt. Sie können das Ergebnis von 2a) verwenden. 1

2 a) Zu zeigen: die drei Vektoren sind linear unabhängig und jeder Vektor kann dargestellt werden durch diese drei Vektoren. Lineare Unabhängigkeit: λ 1 2x 4 + λ 2 (x 4 x 2 ) + λ 3 2 = 0 x 4 (2λ 1 + λ 2 ) + x 2 ( λ 2 ) + 1(2λ 3 ) = 0 hat nur die Lösung λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0 (Koeffizientenvergleich), daher linear unabhängig. Erzeugendensystem: λ 1 2x 4 + λ 2 (x 4 x 2 ) + λ 3 2 = ax 4 + bx 2 + c x 4 (2λ 1 + λ 2 ) + x 2 ( λ 2 ) + 1(2λ 3 ) = ax 4 + bx 2 + c hat die Lösung λ 3 = c 2, λ 2 = b und λ 1 = a+b 2, daher kann jeder Vektor dargestellt werden. Daher handelt es sich um ein Erzeugendensystem mit linear unabhängigen Vektoren und somit um eine Basis. B enthält 3 Vektoren, daher ist die Dimension der Basis und des Vektorraums 3 (Wir hatten 3 frei wählbare Koeffizienten a, b und c. Dies deutet ebenfalls auf die Dimension hin). b) Lässt man von einer Basis einen Vektor weg, kann es sich nicht mehr um eine Basis handeln (eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem) c) Die Vektoren können nicht linear unabhängig sein, da 2 (x 4 x 2 ) = 2x 4 2x 2 d) Zur Basis wurde ein Vektor hinzugefügt, daher kann es keine Basis mehr sein (die lineare Unabhängigkeit geht verloren) 3) Wir betrachten den Vektorraum aller Funktionen f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d mit a, b, c, d R. a) Zeigen Sie, dass die Menge B = { x 3 ; x 2 + 1; x 2 + x; x } eine Basis des Vektorraums darstellt. Welche Dimension hat die Basis B und somit der Vektorraum? b) Ist die Menge C = { x 3 ; x 3 + x 2 + x + 1; x 2 + x + 1; 1 } eine Basis des Vektorraums? a) Zu zeigen: die drei Vektoren sind linear unabhängig und jeder Vektor kann dargestellt werden durch diese drei Vektoren. Lineare Unabhängigkeit: λ 1 (x 3 ) + λ 2 (x 2 + 1) + λ 3 (x 2 + x) + λ 4 (x) = 0 x 3 (λ 1 ) + x 2 (λ 2 + λ 3 ) + x(λ 3 + λ 4 ) + 1(λ 2 ) = 0 2

3 hat nur die Lösung λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ 4 = 0 (Koeffizientenvergleich), daher linear unabhängig. Erzeugendensystem: λ 1 (x 3 ) + λ 2 (x 2 + 1) + λ 3 (x 2 + x) + λ 4 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d x 3 (λ 1 ) + x 2 (λ 2 + λ 3 ) + x(λ 3 + λ 4 ) + 1(λ 2 ) = ax 3 + bx 2 + cx + d hat die Lösung λ 1 = a, λ 2 = d, λ 3 = b d und λ 4 = c b + d, daher kann jeder Vektor dargestellt werden. Daher handelt es sich um ein Erzeugendensystem mit linear unabhängigen Vektoren und somit um eine Basis. B enthält 4 Vektoren, daher ist die Dimension der Basis und des Vektorraums 4 (Wir hatten 4 frei wählbare Koeffizienten a, b, c und d. Dies deutet ebenfalls auf die Dimension hin). b) λ 1 (x 3 ) + λ 2 (x 3 + x 2 + x + 1) + λ 3 (x 2 + x + 1) + λ 4 (1) = 0 x 3 (λ 1 + λ 2 ) + x 2 (λ 2 + λ 3 ) + x(λ 2 + λ 3 ) + 1(λ 2 + λ 3 + λ 4 ) = 0 hat z.b. die Lösung λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 1 und λ 4 = 0, daher sind die Vektoren linear abhängig und bilden keine Basis. Alternativ könnte man argumentieren, dass der zweite Vektor von C als Summe von Vektor eins und Vektor drei dargestellt werden kann. 4) Wir betrachten den Vektorraum P 2 (Menge aller Polynome f(x) = ax 2 + bx + c vom Grad höchstens 2). a) Geben Sie die Koordinaten des Vektors g(x) = 3x 2 + x + 1 in der Basis B = { x 2 ; x 2 + x; x + 2 } an und stellen Sie g(x) als Linearkombination der Basisvektoren dar. 1 b) Gegeben sei nun der Vektor h(x) = 2 in der Basis B. Bestimmen Sie die 5 B Darstellung dieses Vektors in der kanonischen Basis K = { x 2 ; x; 1 }. 2, 5 a) g(x) = 0, 5, g(x) = 2, 5 (x 2 ) + 0, 5 (x 2 + x) + 0, 5 (x + 2) 0, 5 B 1 b) g(x) = 7, g(x) = x 2 + 7x K 3

4 5) Wir betrachten den Vektorraum P 1 im Intervall [0; 5] (Menge aller Polynome f(x) = ax + b vom Grad höchstens 1, wir nennen diese Polynome auch affin lineare Funktionen). Ein Skalarprodukt ist definiert durch f 1 ; f 2 := 5 0 f 1 (x) f 2 (x) dx. Für die Vektoren f 1 (x) = 2x + 1 und f 2 (x) = x berechnen Sie a) f 1 ; f 2, b) f 1 = f 1 ; f 1, c) f 2 = f 2 ; f 2, d) den Abstand zwischen f 1 und f 2, d.h. f 1 f 2 = f 1 f 2 ; f 1 f 2 e) den Winkel zwischen f 1 und f 2. Stehen diese beiden Vektoren orthogonal aufeinander? a) 95, 8 3 b) 14, 89 c) 6, 45 d) 8, 47 e) 0, 075 rad bzw. 4, 307 6) In vielen naturwissenschaftlichen Anwendungen werden sogenannte Differenzialgleichungen verwendet. Dies sind Gleichungen, bei denen Ableitungen von Funktionen vorkommen. Die Lösungen solcher Gleichungen sind ebenfalls wieder Funktionen. Wir betrachten die Differenzialgleichung f (t) = 0 a) Rechnen Sie nach, dass f 0 (t) = t + c mit c R eine Lösung der Gleichung ist. b) Zeigen Sie, dass jede Funktion der Form f(t) = k f 0 (t) mit k R eine Lösung darstellt. c) Geben Sie eine Lösung an, die nicht die Form k f 0 (t) hat. d) Beweisen Sie weiter, dass mit zwei Lösungen f 1 (t) und f 2 (t) auch jede Linearkombination f(t) = λ 1 f 1 (t) + λ 2 f 2 (t) mit λ 1, λ 2 R eine Lösung darstellt. e) Welche strukturelle Aussage lässt sich über die Lösungsmenge vermuten? 4

5 a) einsetzen und nachrechnen b) einsetzen und nachrechnen c) f(t) = const 0 d) Sie bildet einen Vektorraum 7) Im Intervall [ 1; 1] kann die Sinusfunktion (Einheit in Radiant!) h(x) = sin(x) brauchbar durch die Polynomfunktion p(x) = x x3 6 approximiert werden. h liegt in einem Vektorraum (dieser interessiert uns hier nicht weiter) mit dem Skalarprodukt f; g := 1 1 f(x) g(x) dx. a) Lassen Sie beide Funktionen vom Computer zeichnen. b) Berechnen Sie den Fehler unserer Approximation im Punkt x = 0, 5. c) Berechnen Sie den Abstand von h(x) zu p(x), d.h. h p = h p; h p (um das Integral zu berechnen können Sie ein CAS, d.h. ein Computer-Algebra- System verwenden) a) In Mupad: h:=sin(x); p:=x-x^3/6; plot(h,p,x=-1..1); b) 0, In Mupad: float(abs(subs(h-p,x=0.5))); c) 0, In Mupad: float(sqrt(int((h-p)^2,x=-1..1))); 8) Wir wollen die Funktion f(x) = sin(x) im Intervall [ π; π] durch eine Linearkombination der Form f p (x) = a 0 g 0 (x) + a 1 g 1 (x) + a 2 g 2 (x) + a 3 g 3 (x), 5

6 mit 1 3 g 0 (x) = 2π, g 1(x) = 2π 3 x, g 2(x) = ) 175 g 3 (x) = (x 8π 7 3 3π2 5 x 45 8π 5 ) (x 2 π2, 3 approximieren. Alle hier betrachteten Funktionen liegen in einem Vektorraum, den wir mit dem Skalarprodukt ausstatten. f 1 ; f 2 := π π f 1 (x) f 2 (x) dx a) Prüfen Sie mit einem CAS ihrer Wahl nach, dass B = {g 0 ; g 1 ; g 2 ; g 3 } eine Orthonormalbasis ist, d.h. die Basisvektoren sind normiert ( g i ; g i = 1 für i {0; 1; 2; 3}) und stehen paarweise orthogonal zueinander ( g i ; g j = 0 für i, j {0; 1; 2; 3} und i j). b) Finden Sie die Bestapproximation f p (x) von f(x) durch orthogonale Projektion von f(x) auf den durch B aufgespannten Unterraum. D.h. berechnen Sie f p = f; g 0 g 0 + f; g 1 g 1 + f; g 2 g 2 + f; g 3 g 3. (um die Integrale zu berechnen können Sie ein CAS verwenden) c) Plotten Sie die Funktionen f(x) und f p (x). a) In Mupad: g0:=1/sqrt(2*pi); g1:=sqrt(3/(2*pi^3))*x; g2:=sqrt(45/(8*pi^5))*(x^2-pi^2/3); g3:=sqrt(175/(8*pi^7))*(x^3-3*pi^2/5*x); int(g0*g0,x=-pi..pi); int(g1*g1,x=-pi..pi); int(g2*g2,x=-pi..pi); int(g3*g3,x=-pi..pi); int(g0*g1,x=-pi..pi); int(g0*g2,x=-pi..pi); int(g0*g3,x=-pi..pi); int(g1*g2,x=-pi..pi); int(g1*g3,x=-pi..pi); int(g2*g3,x=-pi..pi); 6

7 b) f p 0, x 0, x 3 In Mupad: f:=sin(x); pf:=int(g0*f,x=-pi..pi)*g0+int(g1*f,x=-pi..pi)*g1+int(g2*f,x=-pi..pi)*g2+ int(g3*f,x=-pi..pi)*g3; float(expand(pf)); c) Plot in Mupad: plot(f,pf,x=-pi..pi); 7