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1 Das Dezimalsystem Seit wir das erste Mal mit Hilfe unserer Finger»gezählt«haben, ist uns das Dezimalsystem Stück für Stück so vertraut geworden, dass wir es als selbstverständliches und womöglich einziges Zahlensystem betrachten Die Zahlen wurden immer größer, es kamen Bruchteile hinzu und schließlich auch negative Zahlenwerte (manchmal auf Kontoauszügen zu finden) Auf jeden Fall können wir mit so einer Zahl wie 2453,78 etwas anfangen Betrachtet man die Zahl genauer (um hinter das System zu kommen), stellt man fest, dass die einzelnen Ziffern aufgrund ihrer Position unterschiedliche Wertigkeiten besitzen: Tausender , 5 8 Hunderter Zehner Zehntel Hundertstel Einer Man spricht deshalb von einem Positionssystem Grundlage eines jeden Positionssystems kann eine beliebige ganze Zahl größer als 1 sein Bei uns ist es die»10«- wahrscheinlich, weil uns die Evolution mit 10 Fingern ausgestattet hat Die Anzahl der Ziffern (»Zahl-Zeichen«) entspricht in jedem Positionssystem genau der Größe der Basis Im Dezimalsystem brauchen wir also zehn Ziffern (0 9) Die Wertigkeit der einzelnen Positionen entspricht Potenzen der Basis: Tausender 10 3 = 1000 Hunderter 10 2 = 100 Zehner 10 1 = 10 Einer 10 0 = 1 Zehntel 10-1 = 1/10 Hundertstel 10-2 = 1/100 Es gibt dabei keine Grenzen für die Exponenten Der»Wert«der Zahl ergibt sich aus der Summe der Werte der einzelnen Positionen: Das + 2 * 1000 = * 100 = * 10 = * 1 = * 1/10 = 000,5 + 8 * 1/100 = 0,08 Dezimalsystem ist ein Positionssystem mit der Basis»10«Es gibt deshalb zehn Ziffern (0 9) und die Wertigkeit der Positionen entsprechen Potenzen der Basis 10 Multipliziert man die einzelnen Ziffern mit ihrer Wertigkeit und summiert die Teilwerte, erhält man den Gesamtwert der Zahl Dieses Verfahren gilt für alle Positionssysteme

2 6 Mathematische Grundlagen der Informationsverarbeitung 12 Dualzahlen Unser PC hat aber leider keine zehn Finger Er kann nur mit den Zuständen»ein«= 1 bzw»aus«= 0 arbeiten, dh er hat nur zwei Ziffern zur Verfügung Daraus ergibt sich die Notwendigkeit, mit der Basis 2 zu operieren, also im Dual- oder Binärsystem Jetzt sind die Zweierpotenzen gefragt - dazu an dieser Stelle eine kleine Auswahl: : 2 10 = = 1/2 = 0,5 2 9 = = 1/4 = 0, = = 1/8 = 0, = = 1/16 = 0, = 64 usw 2 5 = = 16 Eine umfangreichere Liste finden Sie im Anhang 2 3 = = = = 1 Auch hier gibt es natürlich keine Grenzen für die Exponenten - aber es deutet sich an, dass Dualzahlen wahrscheinlich immer etwas länger sind als die entsprechenden Dezimalzahlen " Frage 1: Warum sind Dualzahlen im Allgemeinen länger als die entsprechenden Dezimalzahlen? Schauen wir uns das an einem Beispiel an: Die Dezimalzahl 112 soll in eine Dualzahl umgewandelt (»konvertiert«) werden Das Verfahren ist recht einfach: Man dividiert die Dezimalzahl bzw die entstehenden Quotienten fortlaufend durch 2 und notiert dabei die entstenden»reste«: 112 : 2 = 56 Rest 0 56 : 2 = 28 Rest 0 28 : 2 = 14 Rest 0 14 : 2 = 7 Rest 0 7 : 2 = 3 Rest 1 3 : 2 = 1 Rest 1 1 : 2 = 0 Rest 1 hier ist Schluss

3 7 Die Reste ergeben in umgekehrter Reihenfolge gelesen die gesuchte Dualzahl Es gilt also: 112 (10) = (2) Die Kennzeichnung des Zahlensystems erfolgt durch Angabe der Basis - auch bei der Dualzahl, denn es gibt ja auch die Dezimalzahl , aber mit einem ganz anderen Wert Machen wir die Probe, indem wir den (Dezimal-)Wert der Dualzahl ermitteln Dazu schreiben wir die Zweierpotenzen - von rechts mit 2 0 beginnend - an die einzelnen Ziffern: und ermitteln die Summe der Teilwerte: + 1 * 2 6 = 1 * 64 = * 2 5 = 1 * 32 = * 2 4 = 1 * 16 = * 2 3 = 0 * 8 = * 2 2 = 0 * 4 = * 2 1 = 0 * 2 = * 2 0 = 0 * 1 = Wir haben also richtig gerechnet und halten fest: Die Konvertierung des Wertes einer Dezimalzahl in ein beliebiges anderes Zahlensystem kann durch fortlaufende Division der Zahl bzw der entstehenden Quotienten durch die Basis des gewünschten Zahlensystems erfolgen Die dabei entstehenden Reste, in umgekehrter Reihenfolge gelesen, ergeben die gesuchte Zahl " Aufgabe 1: Konvertieren Sie die Dezimalzahlen 19, 1000 und und kontrollieren Sie das Ergebnis durch Dekodierung ins Dezimalsystem

4 8 Mathematische Grundlagen der Informationsverarbeitung Bleibt als nächstes die Konvertierung gebrochener Dezimalzahlen - dazu wieder ein Beispiel: Die Dezimalzahl 78,35 ist ins Dualsystem zu konvertieren Zunächst wird der ganzzahlige Anteil (wie bereits beschrieben) umgewandelt: 78 (10) = (2) Danach multipliziert man den gebrochenen Anteil fortlaufend mit 2 und trennt bei Ergebnissen > 1 die 1 ab: 0,35 * 2 = 0 + 0,7 0,7 * 2 = 1 + 0,4 0,4 * 2 = 0 + 0,8 0,8 * 2 = 1 + 0,6 usw usw Sie sehen, dass man dieses Spiel uu unendlich oft durchführen kann Hier heißt es also, nach der gewünschten bzw erforderlichen Stellenzahl abzubrechen und damit eine Ungenauigkeit in Kauf zu nehmen Es steht ja für die umgewandelte Zahl immer nur ein bestimmter Speicherplatz zur Verfügung Das Ergebnis lautet also: 78,35 (10) = ,0101 (2) Gebrochene Dezimalzahlen lassen sich nur ungenau in Dualzahlen umwandeln Hierzu müssen wir uns also etwas anderes einfallen lassen - übrigens genauso für sehr große bzw sehr kleine Dezimalzahlen Doch dazu später 13 Hexadezimalzahlen Ein Manko der Dualzahlen ist ihre»länge«, dh die große Anzahl von Ziffern Für eine sechsstellige Dezimalzahl müssen so schon bis zu 20 Dual-Ziffern bereitgestellt werden Das macht den Umgang mit Dualzahlen nicht gerade einfach Eine Möglichkeit, Dualzahlen zu kürzen und damit übersichtlicher zu gestalten, ist die Verwendung eines Zahlensystems mit einer Basis, die einer Zweierpotenz entspricht Am häufigsten wird hierbei auf die 16 zurückgegriffen Es gilt: 16 = 2 4 Damit wird die Konvertierung zwischen dem Dual- und dem Hexadezimalsystem kinderleicht Jeder Hexadezimalziffer entsprechen so genau vier Dualziffern, eine so genannte Tetrade Als Ziffern verwendet man die 0 9 und die Buchstaben A F Die Tetraden entsprechen der dualen Darstellung dieser Ziffern Hex-Ziffer Tetrade Dez-Zahl Hex-Ziffer Tetrade Dez-Zahl A B C D E F

5 9 Der Anblick von Hexadezimalzahlen ist gewöhnungsbedürftig Wer vermutet zb hinter AFFE eine Zahl? Nehmen wir gleich die, um sie ins Dualsystem zu konvertieren: AFFE (16) = (2) Man muss also für jede Hex-Ziffer (Sie gestatten mir die Abkürzung) nur die entsprechende Tetrade schreiben Umgedreht kann jede Dualzahl ganz schnell als Hex-Zahl geschrieben werden, zb gilt: (2) = 24EC (16) Man muss die Dualzahl (von rechts beginnend) in Tetraden einteilen und für jede Tetrade nur die entsprechende Hexziffer aufschreiben Ist die vorderste Tetrade unvollständig, so ergänzt man sie durch Nullen: E C Hexadezimalzahlen ermöglichen eine verkürzte und damit praktischere Darstellung insbesondere von großen Dualzahlen Dabei entspricht jede der 16 Hex-Ziffern 0 9 und A F einer Tetrade (Viererblock) von Dualziffern Leider verträgt sich das Hexadezimalsystem genauso wenig mit unserem Dezimalsystem wie das Dualsystem Deshalb bleiben für das Konvertieren nur die gleichen Verfahren wie bei den Dualzahlen Als erstes wandeln wir die Dezimalzahl 1000 in eine Hex-Zahl: 1000 : 16 = 62 Rest : 16 = 03 Rest 14 = E 0003 : 16 = 00 Rest 03 Es gilt also: 1000 (10) = 3E8 (16) Probe: 3E E = 13 * 16 2 = 13 * 256 = E = 14 * 16 1 = 14 * 016 = E = 18 * 16 0 = 18 * 011 = " Aufgabe 2: Konvertieren Sie die Dezimalzahlen 40, 5000 und in das Hexadezimalsystem und kontrollieren Sie die Ergebnisse Verwenden Sie den Windows-Rechner (Start - Programme - Zubehör - Rechner) in der Ansicht»wissenschaftlich«, um ihre Ergebnisse zu kontrollieren bzw für weitere Übungen

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