Fehlerrechnung mit Hilfe der Differentialrechnung

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1 HTBLA Neufelen Fehlerrechnung mit Hilfe er Differentialrechnung Seite von 9 Peter Fischer pe.fischer@atn.nu Fehlerrechnung mit Hilfe er Differentialrechnung Mathematische / Fachliche nhalte in Stichworten: Funktion in einer oer mehreren Variablen, erste Ableitung(sfunktion), partielle Ableitung(sfunktion), absoluter, relativer Fehler; Kurzzusammenfassung Für Funktionen in einer Variable, in zwei bzw. in rei Variablen wir ie angenäherte Fehlerrechnung mit Hilfe er Differentialrechnung vorgeführt un ie Erweiterung auf n Variablen angeeutet. Für ie Funktion in einer Variable wir eine Potenzfunktion verwenet, um ie Multiplikation es Fehlers er Messgröße mit em Exponenten zu veranschaulichen. Speziell hanelt es sich um eine Wurzelfunktion, also einen rationalen Exponenten. Daher wir er relative Eingangsfehler im Ergebnis halbiert. Für ie Funktion in zwei Variablen wir als praktisches Beispiel ein Wierstansmoment gegen Torsion betrachtet. Für ie Funktion in rei Variablen habe ich ie Perioenauer eines physischen Penels gewählt, um en Einfluss er Parameter Trägheitsmoment, Masse un Schwerpunktsabstan es Drehpunkts zu emonstrieren. Lehrplanbezug (bzw. Gegenstan / Abteilung / Jahrgang): Angewante Mathematik, Angewante Physik, alle Abteilungen, 3. Jahrgang Mathca-Version: Mathca. Fehlerrechnung für Funktionen in einer Variablen Zuerst wir ein funktioneller Zusammenhang efiniert. Hier ist ie Schwingungsauer eines iealisierten Faenpenels er Länge l für kleine Auslenkungen aus er Ruhelage gegeben. Die Gravitationsbeschleunigung sei konstant un betrage 9.8 m/s 2. g := 9.8 T( l) := 2π l g Nun wir ie erste Ableitung er Funktion nach ihrer Variable berechnet. l T( l) Der Messwert für ie Faenlänge wir angegeben. l := Der absolute Fehler es Messwerts wir angegeben. l := 0.0 π 2 l

2 HTBLA Neufelen Fehlerrechnung mit Hilfe er Differentialrechnung Seite 2 von 9 Der relative Fehler es Messwerts beträgt amit l l = 0.0 ein Prozent. Die mittlere zu erwartene Größe für ie urch ie gegebene Funktion festgelegte physikalische Größe ergibt sich als Funktionswert an er Stelle es mittleren Messwerts. T( l) = 2.0 Der absolute Maximalfehler läßt sich mit Hilfe er ersten Ableitung abschätzen. T( l) := l T( l) l T( ) = 0.0 Der relative Maximalfehler ergibt sich somit als T( l) T( l) = un beträgt amit 0,5 Prozent. Man erkennt, ass er relative Fehler es Messwerts sich im Ergebnis halbiert, was urch en Wurzelzusammenhang zwischen T un l bewirkt wir. Denn beim Differenzieren ergibt sich er Faktor /2. Anschaulich kann iese angenäherte Fehlerbestimmung mit Hilfe er Differentialrechnung als Tangentenproblem betrachtet weren, a ie Funktion urch ihre Linearisierung ersetzt wir. Dass soll er folgene Graph aneuten. T( l) := 2π l g l_ := 0, T( l_ ) l_ 2. Fehlerrechnung für Funktionen in zwei Variablen Zuerst wir ein funktioneller Zusammenhang efiniert. Hier ist as Wierstansmoment eines Rohres mit kreisringförmigen Querschnitt mit en Durchmessern D (Aussen-) un (nnenurchmesser) gegen Verrehung (Torsion) gegeben.

3 HTBLA Neufelen Fehlerrechnung mit Hilfe er Differentialrechnung Seite 3 von 9 Wt(, D) := π ( D 4 4 ) 6D Nun wir ie erste partielle Ableitung er Funktion nach er einen Variablen berechnet. Wt(, D) π 4 3 D Nun wir ie erste partielle Ableitung er Funktion nach er aneren Variablen berechnet. D Wt(, D) 4 π D2 6 π D 4 4 D 2 Die Messwerte weren angegeben. D := 75.2 := 60.6 Die absoluten Fehler er Messwerte weren angegeben. D := 0.5 := 0.4 Die mittlere zu erwartene Größe für ie urch ie gegebene Funktion festgelegte physikalische Größe ergibt sich als Funktionswert an er Stelle er mittleren Messwerte. Wt(, D) = Der absolute Maximalfehler läßt sich mit Hilfe er partiellen Ableitungen erster Ornung abschätzen. Wt(, D) := Wt(, D) + D Wt(, D) D Wt( 60.6, 75.2) = Man kann nun ie einzelnen Beiträge zum Gesamtfehler berechnen. Der Beitrag er ersten Messgröße ergibt sich als Wt := Wt(, D) Wt = un er Beitrag er zweiten Messgröße als WtD := D Wt(, D) D WtD = Zur Überprüfung können ie einzelnen Beiträge noch aiert weren. Wt := Wt + WtD

4 HTBLA Neufelen Fehlerrechnung mit Hilfe er Differentialrechnung Seite 4 von 9 Wt = Die Übereinstimmung wir mit Freue zur Kenntnis genommen. Der relative Maximalfehler ergibt sich somit als Wt Wt(, D) = 0.06 un beträgt amit 5,9 Prozent. 3. Fehlerrechnung für Funktionen in rei (oer mehreren) Variablen Für ie Perioenauer T eines physischen Penels (= ein starrer rehbar gelagerter Körper) ist ie Beziehung T(, m, s) := 2π m g s bekannt, wobei as Trägheitsmoment, m ie Masse un s en Abstan es Drehpunktes vom Schwerpunkt bezeichnet. Nun wir ie erste partielle Ableitung er Funktion nach er einen Variablen berechnet. T(, m, s) m s π 2 m s Nun wir ie erste partielle Ableitung er Funktion nach er zweiten Variablen berechnet. m T(, m, s) π m s 2 m 2 s Nun wir ie erste partielle Ableitung er Funktion nach er ritten Variablen berechnet. s T(, m, s) Die Messwerte weren angegeben. := m := 0.5 s := 0.05 Die absoluten Fehler er Messwerte weren angegeben. := π m s 2 m s 2

5 HTBLA Neufelen Fehlerrechnung mit Hilfe er Differentialrechnung Seite 5 von 9 m := 0.0 s := Die mittlere zu erwartene Größe für ie urch ie gegebene Funktion festgelegte physikalische Größe ergibt sich als Funktionswert an er Stelle er mittleren Messwerte. T(, m, s) = 0.95 Das gegebene physische Penel schwingt also mit einer Schwingungsauer von run einer Sekune. Der absolute Maximalfehler läßt sich mit Hilfe er partiellen Ableitungen erster Ornung abschätzen. T(, m, s) := T(, m, s) + m T(, m, s) m + s T(, m, s) s T( , 0.5, 0.05) = 0.02 Man kann nun ie einzelnen Beiträge zum Gesamtfehler berechnen. Der Beitrag er ersten Messgröße ergibt sich als T := T(, m, s) T = er Beitrag er zweiten Messgröße als Tm := Tm = m T(, m, s) m Man erkennt, ass er zweiprozentige Fehler in er Massenmessung sich 2mal so stark wie ie einprozentigen Fehler im Trägheitsmoment un im Schwerpunktsabstan auswirkt. un er Beitrag er ritten Messgröße als Ts := Ts = s T(, m, s) s Zur Überprüfung können ie einzelnen Beiträge noch aiert weren. T := T + Tm + Ts T = 0.02 Die Übereinstimmung wir mit Freue zur Kenntnis genommen. Der realtive Maximalfehler ergibt sich zu T T( , 0.5, 0.05) = 0.02

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