Beispielaufgaben. für einen hilfsmittelfreien Prüfungsteil in der. schriftlichen Abiturprüfung Mathematik. grundlegendes Niveau

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1 Beispielaufgaben für einen hilfsmittelfreien Prüfungsteil in der schriftlichen Abiturprüfung Mathematik grundlegendes Niveau Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Berufsbildung

2 Impressum Herausgeber: Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Berufsbildung Hamburger Straße 3, 083 Hamburg MINT-Referat: Gestaltung des mathematisch-naturwissenschaftlich-technischen Unterrichts Referatsleitung: Werner Renz Redaktion: Manfred Bergunde und Xenia Rendtel Hamburg, 0

3 Inhaltsverzeichnis Seite Vorbemerkungen 4 Beispielaufgaben 5 Analysis 5 Analytische Geometrie und Lineare Algebra 7 Analytische Geometrie 7 Lineare Algebra 9 3 Stochastik Erwartungshorizonte 4 3

4 Vorbemerkungen Ab dem Abitur 04 wird in der schriftlichen Prüfung ein hilfsmittelfreier Teil eingeführt, dessen Aufgaben im erhöhten Niveau von einer länderübergreifenden Arbeitsgruppe formuliert werden, jene im grundlegenden Niveau von der zuständigen Hamburger Aufgabenentwicklergruppe Die Aufgaben des hilfsmittelfreien Prüfungsteils sind ohne elektronische Hilfsmittel (z B Taschenrechner, Software) sowie ohne Tabellen oder Formelsammlung zu bearbeiten Pro Aufgabe können bezüglich einer Skala von insgesamt 0 Bewertungseinheiten (BWE) 5 BWE erreicht werden Das bedeutet für Hamburg ab 04 eine veränderte Zuordnung von Bewertungseinheiten und Benotung Für Prüfungsteilnehmer, welche auf grundlegendem Anforderungsniveau geprüft werden, werden vier Aufgaben ausgewählt Diese vier Aufgaben umfassen Lerninhalte aus jedem der Sachgebiete Analysis, Lineare Algebra/Analytische Geometrie und Stochastik Für den hilfsmittelfreien Prüfungsteil steht eine Bearbeitungszeit von 45 Minuten zur Verfügung Die vorliegenden Beispielaufgaben sollen den Lehrkräften sowie den Schülerinnen und Schülern eine Orientierung hinsichtlich des Formats analoger Prüfungsaufgaben geben 4

5 Beispielaufgaben Analysis A EH S 4 4 Gegeben ist die Funktion f( x) =- x 3 + 4x ( xî ) Ihr Graph ist unten links abgebildet 3 a) Der einzige Wendepunkt der Funktion f liegt im Ursprung des Koordinatensystems Bestimmen Sie die Steigung im Wendepunkt BE b) Die Extrempunkte der Funktion f liegen an den Stellen x = und x =- Skizzieren Sie im Koordinatensystem unten rechts den Graphen von f ( x) Beachten Sie dabei die Lage der Extrempunkte und die Steigung im Wendepunkt 4 BE y 5 y x - - x

6 A EH S 4 Gegeben ist die Funktion f( x) x 4 x ( x ) = + Î a) Begründen Sie, warum f( x ) ³ 0 für alle x Î gilt b) Berechnen Sie 0 ò f ( xdx ) BE Geben Sie an, um wie viele Einheiten der Graph von f mindestens nach oben verschoben werden muss, wenn dieses Integral einen ganzzahligen Wert annehmen soll, und begründen Sie Ihre Angabe 4 BE A3 EH S 5 In den Teich eines Botanischen Gartens werden 0 Koi-Karpfen ausgesetzt Die Anzahl der Koi in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren seit dem Aussetzen) werde durch die Modellfunktion b beschrieben Der Modellfunktion liegen folgende Annahmen zu Grunde: Die Maximalzahl, die sich einstellen wird, ist S = 80 Der jährliche Zuwachs [ bt ( + ) - bt ( )] ist proportional zu der Differenz [ S b() t ] eines Jahres Zeigen Sie, dass die Modellfunktion bt () = ,5 t ( tî, t³ 0) den Modellannahmen entspricht - am Beginn der Anfangsbedingung und 5 BE A4 EH S 5 Für jeden Wert von a ( aî, a¹ 0) ist eine Funktion a - f gegeben durch f ( x) a e x ( x ) a = Î Bestimmen Sie a und b so, dass die Tangente an dem Graphen von f a im Punkt P( f a ()) durch die Gleichung tx ( ) =- x+ bbeschrieben werden kann 6

7 Analytische Geometrie und Lineare Algebra Analytische Geometrie G EH S 6 Gegeben sind die Punkte A( - ), B( - ) und ( 5) a) Zeichnen Sie die Punkte A, B und C in das nebenstehende Koordinatensystem ein 3 BE C - - b) Die Verbindungsvektoren der drei Punkte sind die Vektoren æ- 4ö æ 0 ö AB = 4, BC 4 = - und CA ç 0 ç 4 è ø è ø Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC ein gleichseitiges Dreieck ist BE G EH S 6 Gegeben sind die Punkte A ( 3) und ( 4) æö 3 æ-5ö g: x= r + rî ç ç 3 èø è ø B - sowie die Geraden æ ö æö - ç 4 è ø çè ø ( ) und h: x= + s 4 ( sî ) a) Bestätigen Sie, dass g durch A und B geht BE b) Die Geraden g und h haben genau einen Schnittpunkt Bestimmen Sie diesen Schnittpunkt c) Geben Sie einen weiteren Punkt auf g an, der von A den gleichen Abstand hat wie B BE BE 7

8 G3 EH S 7 Gegeben ist die Ebene E : x= r - + s ( r, sî ) æ ö æö ç 3 è ø èç ø a) Zeigen Sie, dass alle Punkte der Ebene E die folgende Gleichung erfüllen: 7x+ x- 5x3 = 0 BE æ ö b) Geben Sie für die Ebene E : x= p - + q v ( p, qî ) einen Vektor v so an, ç çè ø dass die Ebene E nicht identisch mit der Ebene E ist Begründen Sie, dass der von Ihnen angegebene Vektor v die Bedingung erfüllt 3 BE G4 EH S 8 æ 3 ö Gegeben sind die Vektoren r ç =ç, ç ç- è 4 ø æ 5 ö s =- 7 und ç çè ø æö t ç =ç ç çè ø a) Zeigen Sie, dass r orthogonal zu s und nicht orthogonal zu t ist æ- 4ö b) Gegeben ist ein weiterer Vektor u z ç 4 =ç mit z Î ç çè z ø Zeigen Sie, dass bei geeigneter Wahl von z der Vektor u z orthogonal zu r und auch orthogonal zu s sein kann, aber nicht zu beiden Vektoren gleichzeitig BE 3 BE 8

9 Lineare Algebra LA EH S 8 Gegeben ist das eindeutig lösbare Gleichungssystem LGS I: x - x+ x3 = 9 üï ïï II: -x- x+ x3=- ý LGS ïï III: x+ x3= 0 ïþ æx ö a) Berechnen Sie den Lösungsvektor x von LGS ç çèx ø 3 3 BE b) Das Lineare Gleichungssystem LGS werde abgewandelt in das nachfolgende Gleichungssystem LGS: I: x - x+ x3 = 9 ïü ïï II: -x- x+ x3=- ý LGS ïï III: x+ ax3= 0 ïþ Bestimmen Sie a so, dass das neue Lineare Gleichungssystem einen Widerspruch enthält BE LA EH S 9 Gegeben ist die Matrix A =ç æ ç ö ç ç- è 5 ø und der Vektor æ- 3ö x =ç ç ç çè ø a) Bestimmen Sie die Produkte A x und æpö b) Für einen Vektor ç çèq ø gelte æpö æ7ö A = çè q ø çè ø æpö Bestimmen Sie den Vektor ç çèq ø A x BE 3 BE LA3 EH S 9 Gegeben ist die Matrix 0 M =ç æ ç ö ç çè0,5 0 ø 5 a) Berechnen Sie M und M BE æ 0 xö b) Die Matrix M ist ein Spezialfall der Matrix A =ç ç ç çèf( x) 0 ø Definieren Sie die Funktion f ( x ) mit möglichst großem Definitionsbereich so, dass æ 0ö A =ç ç ç çè0 ø ist 3 BE 9

10 LA4 EH S 0 Für ein Insekt mit den Entwicklungsstadien E, L und K ist die Übergangsmatrix M für einen Entwicklungszyklus gegeben durch æ ö æ x ö E M ç 0,6 0 0 =ç, bezogen auf einen Populationsvektor x L ç çè 0 0,8 0, ç ø çèx ø a) Skizzieren Sie den Übergangsgraphen für einen Entwicklungszyklus b) Geben Sie den Wert a 33 der Matrix M æ 0 6,4,6ö = A 0 0 4,8 =ç ç an ç çè0, 48 0,6 a ø Interpretieren Sie die Bedeutung des Wertes a 33 im Kontext 33 K 3 BE BE LA5 EH S 0 Eine Abteilung eines Industriebetriebs verarbeitet die Rohstoffe R, R und R 3 zu den Zwischenprodukten Z und Z Aus diesen Zwischenprodukten wird das Endprodukt E hergestellt Der Materialfluss in Mengeneinheiten (ME) ist durch die folgenden Matrizen gegeben Die Rohstoff/Zwischenproduktmatrix ( R Z ) ist die Zwischenprodukt/Endproduktmatrix ( Z E ) ist a) Skizzieren Sie den Gozintographen æ ö A 3 0 =ç ç, ç çè0 4 ø B æö = ç çè ø b) Berechnen Sie die Matrix C= A B Interpretieren Sie die Bedeutung des ersten Matrixelements von C im Kontext 3 BE BE 0

11 LA6 EH S Der Kulturverein einer Kleinstadt bietet seinen Mitgliedern regelmäßig drei Veranstaltungen zur Auswahl an: Konzert ( K ), Theater (T ) und Kino ( C ) Aus Mitglieder-Befragungen sind die folgenden Entscheidungswechsel bekannt: Von den Konzertbesuchern wählen beim nächsten Mal 50% Theater und 30% Kino Von den Theaterbesuchern wählen beim nächsten Mal 30% Konzert und 40% Kino Von den Kinobesuchern wählen beim nächsten Mal 5% Konzert und 35% Theater Die Anzahl der Mitglieder, die eine der drei Veranstaltungen besucht, ist als konstant zu betrachten a) Skizzieren Sie den Übergangsgraphen 3 BE æ0, 0,3 0,5ö b) Die Übergangsmatrix ist die Matrix M 0,5 0,3 0,35 =ç ç, ç çè0,3 0,4 0,4 ø æx ö K bezogen auf einen Verteilungsvektor x T ç çèx ø C Begründen Sie aus dem Kontext heraus die Einträge in der Hauptdiagonalen der Matrix M BE

12 3 Stochastik S EH S In einer Urne befinden sich 6 rote und 4 blaue Kugeln a) Es wird dreimal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E : Unter den gezogenen Kugeln ist höchstens eine blaue Kugel b) Es wird zehnmal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen Als Ereignis werde betrachtet E : Unter den gezogenen Kugeln sind genau k blaue Kugeln ( kî ; k 0) Geben Sie eine Formel für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E an 3 BE BE S EH S Die Zufallsvariablen X und Y sind binomialverteilt Für die Variable X ist n = 0 und p = 0,4 ; für die Variable Y ist n = 0 und p = 0,6 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer der beiden Variablen ist in der Abbildung dargestellt a) Entscheiden Sie, von welcher der beiden Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeitsverteilung abgebildet ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung BE b) Begründen Sie, warum P( X k) P( Y 0 k) = = = - für alle k 0 Î gilt 3 BE S3 EH S Eine Zufallsgröße X habe die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung x ( = ) i P X x i 0 0,3 0,36 0,3 Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X 5 BE

13 S4 EH S In einer Reisegruppe sind 37,5% männliche Reisende (M), von diesen sind 80% im Alter von 60 und mehr (60+) Insgesamt sind 70% der Reisenden im Alter 60+ a) Bestimmen Sie den Anteil der weiblichen Reisenden im Alter 60+ in der gesamten Reisegruppe 3 BE b) Insgesamt gibt es 0 mehr weibliche als männliche Reisende in der Gruppe Bestimmen Sie die Personenanzahl der gesamten Reisegruppe BE 3

14 Erwartungshorizonte A a) Die Ableitung ist f '( x) =- 4x + 4 Damit ist die Steigung im Wendepunkt f '(0) = 4 b) Da die Extrempunkte der Funktion f an den Stellen x =- y und x = liegen, hat die Ableitungsfunktion hier ihre Nullstellen Da die Steigung im Wendepunkt 4 ist, ist bei (0 4) 5 der Extrempunkt der Ableitungsfunktion Hinweis: Wenn in Teil a) eine andere Steigung berechnet wurde, ist der Extrempunkt folgerichtig auf eine andere Höhe zu versetzen O x A a) Beide Summanden im Funktionsterm sind gerade Potenzen von x mit positivem Vorfaktor; sie können nicht negativ werden, ihre Summe folglich auch nicht b) Es ist 0 é 5 3ù = ê + ú = + = ò 3 f( x) dx x x êë5 3 úû Eine Verschiebung um c in y -Richtung wird beschrieben durch die Funktion 4 f ( x) x x c = + + Dadurch vergrößert sich das Integral um c Damit der Wert des Integrals die nächst-mögliche ganze Zahl annimmt, muss c = sein 5 4

15 A3 ( ) 0 b 0 = ,5 = = 0, die Anfangsbedingung ist erfüllt Für die Differenz [ S b() t ] Der jährliche Zuwachs ist t - gilt: S b t ( ) t - ( ) = ,5 = 60 0,5 ( ) ( ) bt ( + ) - bt ( ) = , ,5 = 60 0,5-0,5 t+ t t t+ t ( ) [ S b t ] t = 60 0,5-0,5 = 0,5 60 0,5 = 0,5 - ( ) Also ist der jährliche Zuwachs proportional zu [ S b() t ] - A4 Es gelten die beiden Bedingungen: Der Steigungsfaktor der Tangente muss gleich f a () sein t() = f a () Es ist ( ) x f a x =- ax e - -, also f a () =- a e =- ; aus Ferner ist t() =- + b und fa () a e - b = 3 a e = bzw fa ( ) e e - - a =- folgt a= e e = = ; aus - + b = folgt Alternative über den direkten Einsatz in die Tangentengleichung ist möglich 5

16 G a) b) Es ist æ 4 ö CA ç 0 =ç Damit sind alle drei Verbindungsvektoren ç ç- è 4 ø +- ) = lang 4 ( 4 3 Somit liegt ein gleichseitiges Dreieck vor G a) Da A der Aufpunkt von g ist, liegt A auf g Für r = erhält man den Punkt B b) Der Punkt B ist der Aufpunkt von h Also liegt er auf beiden Geraden und ist somit ihr Schnittpunkt Aufwändigere Variante: Es ist das folgende Lineare Gleichungssystem zu lösen: I: 3-5r=- + s II: + r = + 4s III: + 3r= 4 + s Mit der Gleichung (II) erhält man r= + 3s Dies in (III) eingesetzt liefert s = 0 Somit ist r = und der Schnittpunkt ist B Hinweis: Die Probe in der dritten Gleichung erübrigt sich durch die Information des Aufgabentextes c) Für r =- erhält man den Punkt C(8 0 - ) Dieser hat den gleichen Abstand von A wie B 6

17 G3 a) Aus der Parametergleichung erhält man die drei Gleichungen: I: x = + s II: x =- r+ s III: x = r+ 3s 3 Setzt man dies in die Koordinatengleichung ein, so erhält man 7r+ 4s- r+ s-5r- 5s= 0r+ 0s= 0 Damit erfüllen alle Punkte von E die Koordinatengleichung b) Es gibt unendlich viele mögliche Vektoren v Beispiel: æ- ö v ç =ç ç çè 3 ø Lösungsvariante : Es wird gezeigt, dass die Richtungsvektoren von E zusammen mit v drei linear unabhängige Vektoren sind Lösungsvariante : Es wird gezeigt, dass der allgemeine oder ein spezieller Ortsvektor von E kein Ortsvektor von E ist Lösungsvariante 3: Es wird gezeigt, dass die Punkte oder ein spezieller Punkt von E nicht die Koordinatengleichung von E erfüllen Weitere Lösungsvarianten sind möglich Hinweis: v darf nicht kollinear zum ersten Richtungsvektor sein Ein Nachweis hierfür wird in der Lösung nicht erwartet 7

18 G4 a) r orthogonal zu s : Es ist rs= = 0 Damit ist r orthogonal zu s r nicht orthogonal zu t : Es ist rt= = 7 ¹ 0 Damit ist r nicht orthogonal zu t b) u z orthogonal zu r : Es ist z= z= 0 z=- Somit steht u z orthogonal zu s : orthogonal auf r Es ist z= z= 0 z= 4 Somit steht u 4 orthogonal auf s Da u - und u 4 zwei unterschiedliche Vektoren sind, kann u z nicht gleichzeitig orthogonal zu r und s sein u - LA a) Mit dem Gauß-Verfahren kommt man auf die folgende Stufenform: æ 9 ö æ 9ö ç è ø çè ø Dies führt auf æx ö æ 3 ö x =- ç x è ø çè ø 3 Anmerkung: Der Lösungsvektor kann auch in anderer Schreibweise angegeben werden und es kann auch ein alternatives Lösungsverfahren angewandt werden b) In der Auflösung nach dem Gauß-Verfahren entsteht zb die dritte Zeile (3+ ax ) 3 = 7, was für a =-,5 zu einem Widerspruch führt 8

19 LA a) æ ö æ-3ö æ- 6+ ö æ-4ö Es ist A x=ç ç = 5 = èç - ø çè ø çè ø çè 3 ø A x= A A x Nach dem Assoziativgesetz ist ( ) æ ö æ-4ö æ- 8+ 3ö æ 5ö A x=ç ç = = ç è- 5 øè ç 3 ø èç ø èç 6 9ø Hinweis: Der Bezug auf das Assoziativgesetz wird in der Darstellung der Lösung nicht erwartet b) æ ö 7 Es ist 5 æpö æ p q ö æ ö + ç ç- è = = q p 5q øèç ø èç- + ø èç ø Aus der ersten Gleichung erhält man q= 7- p Eingesetzt in die zweite Gleichung erhält æö man - p =- 33 bzw p = 3 Also ist q = Der Lösungsvektor ist damit 3 ç çè ø Alternative Lösungen sind möglich LA3 a) b) Es ist Folglich ist Es ist Also muss æ 0 ö æ 0 ö æ , ö æ 0ö M = = = = E çè0,5 0 ø çè0,5 0 ø è ç0, ,5 0, ø è ç0 ø 5 0 M = M M M = M E E= M =ç æ ç ö ç çè0,5 0 ø æ 0 xö æ 0 xö æx f( x) 0 ö A = = çèf ( x) 0 ø çèf( x) 0 ø çè 0 f( x) x ø f( x) x = sein, der maximale Definitionsbereich ist \{ 0} 9

20 LA4 a) 8 E L K 0,6 0,8 0, b) Es ist a 33 = , , 0, = 0,04 Der Wert a 33 der Matrix M = A gibt den Anteil der Insekten im Stadium K an, die nach zwei Entwicklungszyklen immer noch im Stadium K sind LA5 a) R R R 3 3 Z Z 4 E b) Es ist æ ö æ + ö æ3ö æö C = = + = çèø ç0 4 ç ç4 è ø è ø è ø Der Wert c = 3 der Matrix C gibt die Menge des Rohstoffs R an, die für eine ME des Endprodukts benötigt wird 0

21 LA6 a) 0, K 0,3 0,5 0,5 0,3 0,3 T 0,4 0,35 C 0,4 b) In der Hauptdiagonalen sind jeweils die Anteile derer, die bei ihrer vorigen Auswahl bleiben Diese müssen sich mit den Anteilen derer, die ihre Auswahl ändern, zu ergänzen, da die Gesamtzahl der Personen konstant ist S a) PE ( ) = P(eine blaue Kugel) + P(alle rot) 3 æ 6 ö 4 æ 6 ö = 3 + ç è0 ø 0 çè0 ø 43 6 = æ 8 ö = ç = 000çè 5ø b) k 0-k PE ( æ0öæ 4 ö æ 6 ö ) = ç ç ç èk ç øè0 ø çè 0 ø

22 S a) Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Variablen X, denn ihr Maximum liegt bei dem Erwartungswert EX ( ) = 0 0,4 = 4 b) æ0ö 0 Es ist PX ( k) 0,4 k - = = 0,6 ç k k und çè ø æ 0 ö æ 0 0 (0 ) 0 ö -k - -k 0-k k PY ( = 0 - k) = 0,6 0,4 = 0,6 0, 4 0 k 0 k çè - ø çè - ø æ0ö æ 0 ö Also bleibt zu zeigen = çèk ø è ç0- kø Es ist æ0ö 0! æ 0 ö = = k k! (0 k)! 0 k çè ø - çè - ø Damit ist PX ( = k) = PY ( = 0 - k) S3 E( X ) = 00,3 + 0,36 + 0,3 = s s ( X ) ( X ) = 0,3 + 0, ,3 = 0,64 = 0,64 = 0,8 S4 a) 0,8 0,375 = 0,30 Also sind 30% der Reisenden männlich und 60+ Da insgesamt 70% der Reisenden 60+ sind, sind 40% der Reisenden weiblich und 60+ b) Der Anteil der weiblichen Reisenden ist 00% 37,5% = 6,5%, das sind 5% mehr weibliche als männliche Reisende Wenn diese 5% einer Anzahl von 0 Personen entsprechen, besteht die gesamte Reisegruppe aus 40 Personen

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