Klausurvorbereitung für die Semesterferien - 20 Aufgaben -

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1 Klausurvorbereitung für die Semesterferien - 20 Aufgaben - Sebastian Heger B.Sc. - SoSe 2010 Mathematik für Informatiker II bei Prof. Dr. J. Baumeister Aufgabe 1. (Mengenbeweise) Seien ABC beliebige Mengen. Zeigen sie: A \ B = A \ (A B) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) Hierbei ist A \ B := {x x A & x / B}. Aufgabe 2. (vollständige Induktion I) Beweisen sie für alle n N: (c) k=0 2k = 2 (k+1) 1 k=1 k3 = n2 (n+1) 2 k=1 4 1 k(k+1) = 1 1 n+1 Aufgabe 3. (vollständige Induktion II) Beweisen sie für alle n N mit n 4 folgende Ungleichung: 2 n n! Aufgabe 4. (rekursive und explizite Darstellung I) Es sei folgende rekursive Gleichung gegeben: y 1 := 2 y n+1 = (n + 4)y n Zeigen sie dass y n = (n+3)! 12 die Rekursionsgleichung löst. 1

2 Aufgabe 5. (rekursive und explizite Darstellung II) Es sei folgende rekursive Gleichung gegeben: x 1 := π 2 x n+1 = π 2 sin (x n) Zeigen sie dass x n = π 2 ( 1)n die Rekursionsgleichung löst. Aufgabe 6. (Äquivalenzrelationen I) Es sei folgende Relation G über den natürlichen Zahlen R gegeben: G := {(a b) N N ( 1) a = ( 1) b } Zeigen sie dass G eine Äquivalenzrelation ist. Aufgabe 7. (Äquivalenrelationen II) Überprüfe ob es sich bei folgender Definition um eine Äquivalenzrelation handelt: x y : ggt (x y) 2 ; (x y) N 2 N 2 Hierbei meint N 2 alle natürlichen Zahlen größer gleich 2. Aufgabe 8. (Ordnungsrelationen) Prüfen sie ob es sich bei folgender Definition um eine Halbordnung handelt: (x 1 x 2 ) (y 1 y 2 ) : x 1 + x 2 y 1 + y 2 ; (x 1 x 2 ) (y 1 y 2 ) N N Liegt möglicherweise auch eine Ordnung vor? Begründen sie ihre Antwort! 2

3 Aufgabe 9. (Grenzwerte) Berechnen sie die Grenzwerte der Folgen. a n := (2 n)2 2n 2 1 n N b n := (1 + 1 n )n n N (c) c n := n3 3n 2 2n 3 n N (d) d n := 3n 3 n+1 1 n N Aufgabe 10. (Kongruenzgeneratoren) Betrachte folgenden linearen Kongruenzgenerator x i+1 = (ax i +b) mod m ; i N mit a = 43 b = 15 und m = 21. Berechne zum Startwert x 0 = 2 die nächste Zahl x 1. Hat der Generator maximale Periodenlänge? Begründen sie ihre Antwort! Aufgabe 11. (euklidischer Algorithmus) Gegeben sei a = 561 und b = 715. Berechnen Sie ggt(ab). Bestimmen sie s t Z so dass sa + tb = ggt (a b). Gibt es auch s t Z derart dass s a + t b = 22? Aufgabe 12. (Restklassenrechnen) Sei m=11. Finden sie eine Lösung der Gleichung: [5] [x] = [1] Geben sie eine weitere Lösung der Gleichung an. Begründen sie ihre Antwort! 3

4 Aufgabe 13. (Extremstellen I) Bestimmen sie das Maximum und das Infimum der folgenden Menge A: A := {( 1) m + 1 n m n N} Aufgabe 14. (Extremstellen II) Bestimmen sie das Maximum und Minimum der folgenden Menge B: B := { 1 n ( 1)n n N} Aufgabe 15. (Permutationen) Berechnen sie die Anzahl der Fehlstände die Ordnung sowie die Inverse folgender Permutationen: ( ) π = ( ) φ = Welche Permutation kann als Hintereinanderausführung von 2 Transpositionen geschrieben werden? Begründen sie ihre Antwort! Aufgabe 16. (Gruppenstruktur) Prüfen sie ob folgende Permutationen jeweils eine Gruppe bezüglich der Hintereinanderausführung bilden: ( ) ( ) ( ) V 1 = { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V 2 = { } Betrachte hierzu nur ob die Inversen wieder selbst in der Menge enthalten sind. 4

5 Aufgabe 17. (Wahrscheinlichkeiten I) In einer Urne befinden sich 2 schwarze 3 rote und 4 gelbe Kugeln. Wir ziehen 3x ohne Zurücklegen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist jede Farbe einmal vertreten? (Reihenfolge spielt keine Rolle) (c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man zwei schwarze und eine rote? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist keine gelbe Kugel dabei? Aufgabe 18. (Wahrscheinlichkeiten II) In einer Urne befinden sich 1 blaue und 3 grüne Kugeln. Wir ziehen 3x mit Zurücklegen. Allerdings legen wir nach jedem Zug nicht nur die gezogene Kugel zurück sondern zusätzlich eine weitere Kugel der gezogenen Farbe. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man drei blaue Kugeln? Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man die Kombination grün/blau/grün? Aufgabe 19. (bedingte Wahrscheinlichkeiten) Die Druckmaschine in einer Zeitungsdruckerei produziert täglich 5% fehlerhafte Zeitungen. In der Endkontrolle werden 95% dieser Mängelexemplare aussortiert allerdings auch 1% der richtig gedruckten Zeitungen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein in der Endkontrolle aussortiertes Exemplar tatsächlich fehlerhaft? Aufgabe 20. (Betrachtung von Funktionen) Prüfe mit Beweis oder Gegenbeispiel folgende Funktionen auf Injektivität Surjektivität und Bijektivität. f 1 : N N n 2 n f 2 : R R x x 3 3x (c) f 3 : Z Z Z x (5 x x 5 1) (d) f 4 : N N Z (n m) 2 n m 5