A Grundlegende Begriffe

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1 Grundlegende egriffe 1 Zufallsexperimente und Ereignisse Ein Zufallsexperiment besteht aus der wiederholten Durchführung eines Zufallsversuchs. ei einem Zufallsversuch können verschiedene Ergebnisse (chreibweise: kleines Omega z 1, z 2, z 3 ) auftreten, die alle vom Zufall abhängen. lle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments bilden zusammen den Ergebnisraum bzw. die Ergebnismenge des Zufallsexperiments. chreibweise: großes Omega Ð, 1Ð1 = nzahl der Elemente, d.h. Mächtigkeit des Ergebnisraums. Fasst man mehrere einzelne Ergebnisse zu einer Teilmenge E von Ð zusammen, spricht man von einem Ereignis E. Das Ereignis E tritt ein, falls ein Ergebnis z mit z * E auftritt. Die Menge aller Ereignisse von Ð heißt Ereignisraum. Der Ereignisraum besteht aus 2 1Ð1 Ereignissen, es handelt sich um eine Menge aus Mengen. onderfälle von Ereignissen: Das Ereignis \ heißt unmögliches Ereignis, das Ereignis Ð heißt sicheres Ereignis. Ereignisse erfordern oft eine Umsetzung umgangssprachlicher ussagen in die Mengenschreibweise. Hier einige gängige Formulierungen: Umgangssprache / Ereignissprache Mengenschreibweise Mengen-(enn-)Diagramm lle Ergebnisse aus, die nicht in sind: Gegenereignis zu oder Komplement von. } = \ owohl Ereignis als auch Ereignis tritt ein. > Mindestens eines der Ereignisse oder tritt ein. < 6

2 1 Zufallsexperimente und Ereignisse Keines der beiden Ereignisse oder tritt ein. Höchstens eines der beiden Ereignisse oder tritt ein; nicht beide gleichzeitig. Genau eines von beiden Ereignissen tritt ein. }}} < = = } > } (Gesetze von De Morgan) }}} > = = } < } (Gesetze von De Morgan) ( > } ) < ( } > ) ußerdem werden die Gesetze der Mengenalgebra angewendet. eispiele 1. Eines der bekanntesten und einfachsten Zufallsexperimente ist das Werfen einer Münze, bei dem nur die beiden Ergebnisse v 1 : = Wappen oder v 2 : = Zahl auftreten können. Dabei schließt man aus, dass die Münze auf dem Rand stehen bleibt. Dieser Zufallsversuch ist beliebig oft wiederholbar. Gefragt sind Ergebnis- und Ereignisraum sowie deren Mächtigkeit. Ergebnisraum: = {v 1; v 2 } oder mit W: = Wappen und Z: = Zahl : = {W; Z} Mächtigkeit des Ergebnisraumes: = 2 nzahl der Ereignisse: 2 = 2 2 = 4 Ereignisraum: {\ ;{W}; {Z};{W; Z}} 2. In einem zweistufigen Zufallsexperiment werden zunächst eine Münze und danach ein Würfel geworfen. Gesucht sind alle möglichen Ergebnisse und die Mächtigkeit von Ergebnis- und Ereignisraum. Zum übersichtlichen Erfassen aller Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments eignet sich besonders gut ein aumdiagramm bzw. Ergebnisbaum: 7

3 Grundlegende egriffe W Z Werfen einer Münze Werfen eines Würfels Entspricht dem Ergebnis (W, 2). Ein mögliches Ergebnis wäre z 1 = (W, 1), d.h. die Münze zeigt Wappen, der Würfel die ugenzahl 1. Ergebnisraum: = {(W,1); (W,2); (W,3); (W,4); (W,5); (W,6); (Z,1); (Z,2); (Z,3); (Z,4); (Z,5); (Z,6)} = = {(a,b) a [ {W,Z} ` b [ {1; 2; 3; 4; 5; 6}} Mächtigkeit: = 12; Mächtigkeit des Ergebnisraums: 2 12 = 4096 Hinweis: Falls Missverständnisse nicht zu erwarten sind, wird künftig z.. anstelle von (W, 5) nur noch kurz W5 geschrieben. 3. In einer Urne befinden sich drei gleichartige Kugeln in den Farben rot (r), grün (g) und blau (b). Gesucht ist der Ergebnisraum und seine Mächtigkeit, falls a) zwei Kugeln hintereinander mit Zurücklegen, b) zwei Kugeln hintereinander ohne Zurücklegen, c) zwei Kugeln gleichzeitig gezogen werden. a) Falls Kugeln hintereinander gezogen werden, wird in der Regel auch deren Reihenfolge berücksichtigt. Damit ist etwa rg (es wird zunächst eine rote und dann eine grüne Kugel gezogen) ein von gr (es wird zunächst eine grüne und dann eine rote Kugel gezogen) zu unterscheidendes Ergebnis. Für den Ergebnisraum und seine Mächtigkeit ergeben sich damit: = {rr; rg; rb; gg; gr; gb; bb; br; bg}; = 9 b) Da die Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden, kann dieselbe Kugel kein zweites Mal gezogen werden. Für den Ergebnisraum und seine Mächtigkeit ergeben sich damit: = {rg; rb; gr; gb; br; bg}; = 6 8

4 1 Zufallsexperimente und Ereignisse c) ei gleichzeitigem Ziehen von zwei Kugeln kann jede Kugel nur einmal gezogen werden. Dabei wird die Reihenfolge nicht beachtet, womit z.. br und rb dasselbe Ergebnis darstellen. Für den Ergebnisraum und seine Mächtigkeit ergeben sich damit: = {{r; g}; {r; b}; {g; b}}; = 3 4. Die Mengen E, F und G seien Ereignisse. Gesucht ist eine möglichst kurze Mengenschreibweise für folgende ussagen: a) Höchstens zwei der drei Ereignisse treten ein. b) Genau zwei der drei Ereignisse treten ein. a) Die ussage ist erfüllt, falls keins, eins oder zwei von den drei Ereignissen E, F oder G eintreten. Dies umfasst alle Möglichkeiten außer der ituation, in der alle drei Ereignisse eintreten. Eine gleichwertige ussage wäre demnach: Es treten nicht alle drei Ereignisse gleichzeitig ein. In der Mengenschreibweise: }}}} E " F " G = } E : } F : G. } b) Es gibt drei Möglichkeiten für die Erfüllung der ussage: Es treten nur E und F ein (und nicht gleichzeitig G) oder E und G (F nicht) oder F und G (E nicht). In der Mengenschreibweise: (E " F " } G ) : (E " } F " G) : ( } E " F " G). 5. ereinfache ( } X " } Y " Z) : ( }}}} X : Y : Z ) soweit wie möglich und formuliere die durch die Mengenschreibweise festgelegte ussage vor und nach der ereinfachung in der Umgangssprache. ( } X " } Y " Z) bedeutet, dass nur Z eintritt. ( }}}} X : Y : Z ) bedeutet, dass keines der drei Ereignisse X, Y oder Z eintritt. Insgesamt erhält man damit die ussage: Nur Z oder keines der drei Ereignisse tritt ein. ereinfachung: ( } X " } Y " Z) : ( }}}} X : Y : Z ) = ( } X " } Y " Z) : ( } X " } Y " } Z ) = ( X " } Y ) } " (Z : Z ) } = ( X " } Y ) } " = } X " } Y = }}} X : Y Der usdruck }}} X : Y bedeutet: Keines der beiden Ereignisse X oder Y tritt ein. Da zum Ereignis Z keine ussage getroffen wird, kann Z eintreten oder auch nicht. Damit ist diese ussage insgesamt gleichwertig mit der eingangs formulierten. 9

5 Grundlegende egriffe ufgaben 1. Es soll das Geschlecht von neugeborenen Drillingen registriert werden, dabei wird die Reihenfolge während der Geburt festgehalten. Finden ie einen geeigneten Ergebnisraum und geben ie seine Mächtigkeit an. 2. In einer Urne befinden sich 1 rote, 2 schwarze und 1 grüne Kugel. a) Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Zeichnen ie ein aumdiagramm und geben ie den Ergebnisraum und seine Mächtigkeit an. b) Geben ie den Ergebnisraum an, wenn alle 3 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. 3. tart L R L L Ziel 4 5 Eine Kugel rollt in dem dargestellten Wegenetz auf dem kürzesten Weg vom tart in eines der fünf Ziele. n jedem erzweigungspunkt wird die eingeschlagene Richtung mit L für den linken Weg und mit R für den rechten Weg bezeichnet. Ein möglicher Kugellauf zum Ziel 2 kann mit dem 4-Tupel LRLL beschrieben werden. Geben ie die Menge der 4-Tupel an, die zu folgenden Ereignissen führen: i : = Die Kugel rollt in das Ziel i. i [ {1; 2; 3; 4; 5} 4. Maria und Thomas gehen auf den Rummelplatz. ei zwei Würfelbuden W 1 und W 2 sind die pielregeln unterschiedlich. Es wird jeweils mit zwei idealen Würfeln geworfen. ei W 1 gewinnt man, wenn die ugensumme größer als 8 ist. ei W 2 gewinnt man, wenn die ugensumme durch 3 teilbar ist. Man betrachtet folgende Ereignisse: W 1 : = Man gewinnt bei Würfelbude W 1. W 2 : = Man gewinnt bei Würfelbude W 2. Untersuchen ie, ob eine Würfelbude der anderen vorzuziehen ist, indem ie jeweils alle Ergebnisse angeben, die zu den Ereignissen W 1 und W 2 gehören. 10

6 1 Zufallsexperimente und Ereignisse 5. Eine Urne enthalte 1 gelbe (g), 1 weiße (w) und 2 blaue (b) Kugeln. Ein Zufallsexperiment liefert folgenden Ergebnisraum : = {g; bg; wg; bbg; bwg; wbg; bbwg; bwbg; wbbg} Welches Zufallsexperiment führt zu diesem Ergebnisraum? 6. Geben ie für das Zufallsexperiment Zweimaliges Werfen einer Münze Ergebnisraum, Mächtigkeit des Ergebnisraums, nzahl der Ereignisse und den Ereignisraum an. 7., und C seien Ereignisse. Geben ie eine möglichst kurze Mengenschreibweise für folgende umgangssprachlichen ussagen: a) Keines der drei Ereignisse tritt ein. b) Nur tritt ein. c) Nur und treten ein. d) lle drei Ereignisse treten ein. e) Mindestens eines der drei Ereignisse tritt ein. f) Mindestens zwei der drei Ereignisse treten ein. g) Höchstens eines der drei Ereignisse tritt ein. h) Genau zwei der drei Ereignisse treten ein und zwar entweder und C oder und C. 8. Interpretieren ie folgende Ereignisse in der Umgangssprache: a) } < } < C } b) }}}}} < < C c) ( > } > C ) } < ( } > > } C ) < ( } > } > C) 9. ereinfachen ie soweit wie möglich: a) < ( }}} > ) b) ( } > ) < c) ( < } ) > ( < ) d) ( > ) < ( } > ) e) } > [( > ) < ( > } )] f) ( > > C ) } < ( > > C) 10. In einer Urne befinden sich 4 weiße, 5 schwarze und 3 gelbe Kugeln. ei einem Zufallsexperiment wird eine Kugel gezogen. Ihre Farbe wird notiert (w, s oder g) und die Kugel wird nicht in die Urne zurückgelegt. nschließend wird eine zweite Kugel gezogen und deren Farbe notiert. a) estimmen ie für dieses Experiment einen geeigneten Ergebnisraum. tellen ie alle möglichen Ergebnisse in einem aumdiagramm dar. b) Gegeben ist das Ergebnis E = {ww; ss; gg}. Formulieren ie E und } E in der Umgangssprache. 11

7 Grundlegende egriffe c) Weiter sind folgende Ereignisse gegeben: : Die zuerst gezogene Kugel ist schwarz. : Die als zweite gezogene Kugel ist gelb. Formulieren ie die Ereignisse > } und }}} < in der Umgangssprache und geben ie die zugehörigen Ergebnisse an. 11. Ein Würfel trägt auf seinen sechs Flächen die Zahlen 1; 1; 4; 4; 6; 6. Der Würfel wird dreimal hintereinander geworfen. a) Geben ie einen geeigneten Ergebnisraum an. b) Folgende Ereignisse sind gegeben: : = Es wird mindestens eine 1 geworfen. : = Es wird höchstens eine 1 geworfen. eschreiben ie folgende erknüpfungen von Ereignissen mit Worten und geben ie die dazugehörigen Einzelergebnisse an: > ; }}} > ; > }. 12

8 en eite 10 en Grundlegende egriffe 1. = {///; //?; /?/;?//; /??;?/?;??/;???}; = 8 2. a) R G G R G R G G R G R R = {R; RG; RG R; RG; R; G; GR; G; GR; GR; G}; = 12 b) = {{R; ; }; {R; ; G}; {; ; G}} 3. 1 = {LLLL} 2 = {LLLR; LLRL; LRLL; RLLL} 3 = {LLRR; LRLR; LRRL; RLLR; RLRL; RRLL} 4 = {LRRR; RLRR; RRLR; RRRL} 5 = {RRRR} 4. Zu W 1 gehören alle Ergebnisse mit den ugensummen 9; 10; 11 und 12: W 1 = {36; 63; 45; 54; 46; 64; 55; 56; 65; 66} ugensumme: Zu W 2 gehören alle Ergebnisse mit den ugensummen 3; 6; 9 und 12: W 2 = {12; 21; 15; 51; 24; 42; 33; 36; 63; 45; 54; 66} ugensumme: Wegen W 2 = 12 > 10 = W 1 ist die Würfelbude W 2 vorzuziehen. 88

9 en eite Da bei den 2-Tupeln, 3-Tupeln und 4-Tupeln die weiße Kugel höchstens 1-mal, die blaue Kugel höchstens 2-mal und die gelbe immer genau 1-mal auftritt, handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen. ei jedem Ergebnis ist die letzte auftretende Kugel gelb. Es wird nur dann vier Mal gezogen, wenn bei den ersten 3 Zügen keine gelbe Kugel auftritt. Liefert bereits einer der ersten 3 Züge eine gelbe Kugel, so wird auf weitere Züge verzichtet. ei dem Zufallsexperiment werden die Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen, wobei die Ziehung abgebrochen wird, sobald die gelbe Kugel gezogen ist. 6. Ergebnisraum: = {WW; WZ; ZW; ZZ} Mächtigkeit: = 4 nzahl der Ereignisse: 2 4 = 16 Ereignisraum: {Ø; {WW}; {WZ}; {ZW}; {ZZ}; {WW; WZ}; {WW; ZW}; {WW; ZZ}; {WZ; ZW}; {WZ; ZZ}; {ZW; ZZ}; {WW; WZ; ZW}; {WW; WZ; ZZ}; {WW; ZW; ZZ}; {WZ; ZW; ZZ}; {WW; WZ; ZW; ZZ}} 7. a) } > } > } C = }}}}} < < C b) > } > } C c) > > } C d) > > C e) < < C f) ( > ) < ( > C) < ( < C) g) ( > } > } C ) < ( } > > } C ) < ( } > } > C) < ( }}}}} < < C ) D. h. genau eines oder keines der drei Ereignisse tritt ein! h) ( > } > C) < ( } > > C) 8. a) Nicht alle drei Ereignisse gleichzeitig. oder Höchstens zwei der drei Ereignisse treten ein. b) Keines der drei Ereignisse tritt ein. c) Genau eines der drei Ereignisse tritt ein. 9. a) < ( }}} > ) = < ( } < } ) = ( < } ) < ( < } ) = < ( < } ) = b) ( } ù ) < = ( } ø ) ù ( ø ) = ù ( ø ) = ø c) ( ø } ) ù ( ø ) = ø ( ù } ) = ø Ø = d) ( ù ) ø ( } ù ) = ( ø } ) ù = ù = 89