Lokalisierung von inneren und äußeren Grenzen in Sensornetzwerken

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1 Lokalisierung von inneren und äußeren Grenzen in Sensornetzwerken Seminararbeit: Algorithmen für Sensornetzwerke Thomas Gramer 1 Thomas Gramer: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Grossforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft Institut für Theoretische Informatik

2 Inhalt Einleitung Bestehende Verfahren Algorithmus von Yue Wang Zusammenfassung 2 Thomas Gramer:

3 Einleitung Zu Grunde liegende Arbeiten Boundary Recognition in Sensor Networks by Topological Methods von Yue Wang et al. Routing and Bypassing Holes in Sensor Networks von Quing Fang et al. Nighborhood-based Topology Recognition in Sensor Networks von S.P. Fekete et al. 3 Thomas Gramer:

4 Problemstellung Gegeben Sensornetzwerk beliebiger Größe Ziel Erkennung innerer und äußerer Rändern in einem Sensornetzwerk Bedeutung Innere Ränder weisen auf Löcher hin In Löchern kann die zu messende Größe nicht erfasst werden Ränder geben Aufschluss über globale Geometrie des Sensorfeldes 4 Thomas Gramer:

5 Was ist ein Loch? Lochdefinition nach Wang et al. Fluss eines Suchbaumes wird Loch umfließen und sich dahinter wieder treffen Interpretation von δ 1 und δ 2 δ 1 sorgt für Mindestlänge des Loches δ 2 stellt sicher, dass Äste nicht parallel laufen (Mindestdicke) 5 Thomas Gramer:

6 Was ist ein Loch? Lochdefinition von Fang et al. Annahme: Der Kommunikationsradius der Knoten ist 1 Unit Disk Graph Delaunay-Triangulation bestimmen Alle Flächen im neuen Graph mit 4 Ecken sind Löcher 5 Thomas Gramer:

7 Bestehende Verfahren 6 Thomas Gramer:

8 Klassifizierung der Verfahren Geometrische Verfahren Knoten kennen ihren Ort Versuchen durch Lage zueinander Löcher zu bestimmen Statistische Verfahren Randknoten haben kleineren Grad als innere Knoten Messung der kürzesten Wege durch einen Knoten Aber: Grad > 100 benötigt Topologische Verfahren Verfahren verwenden nur Verbindungsinformationen Suche nach markanten Strukturen, die auf Löcher hinweisen Knotengrad 15 7 Thomas Gramer:

9 Klassifizierung der Verfahren Geometrische Verfahren Knoten kennen ihren Ort Versuchen durch Lage zueinander Löcher zu bestimmen Statistische Verfahren Randknoten haben kleineren Grad als innere Knoten Messung der kürzesten Wege durch einen Knoten Aber: Grad > 100 benötigt Topologische Verfahren Verfahren verwenden nur Verbindungsinformationen Suche nach markanten Strukturen, die auf Löcher hinweisen Knotengrad 15 7 Thomas Gramer:

10 Klassifizierung der Verfahren Geometrische Verfahren Knoten kennen ihren Ort Versuchen durch Lage zueinander Löcher zu bestimmen Statistische Verfahren Randknoten haben kleineren Grad als innere Knoten Messung der kürzesten Wege durch einen Knoten Aber: Grad > 100 benötigt Topologische Verfahren Verfahren verwenden nur Verbindungsinformationen Suche nach markanten Strukturen, die auf Löcher hinweisen Knotengrad 15 7 Thomas Gramer:

11 Algorithmus von Fang et al. stuck nodes Ein Knoten p der näher an einer bestimmten Region (außerhalb seiner Reichweite) liegt als seine 1-hop Nachbarn (u, v) Eigenschaften stuck nodes sind Knoten lokaler Minima stuck nodes liegen am Rand von Löchern Problem Greedy Suche nach Punkt in black region würde am Punkt p hängenbleiben 8 Thomas Gramer:

12 Algorithmus von Fang et al. Algorithmus Zu Beginn: jeder Knoten kommuniziert mit seinen 1-hop Nachbarn und stellt fest ob er ein "stuck node" ist. Gehe von stuck node aus immer zu Nachbarn, der möglichst weit rechts im Uhrzeigersinn steht Eigenschaften Winkelinformation benötigt Ortsinformation notwendig (hat Knoten eine black region?) Geometrisches Verfahren 9 Thomas Gramer:

13 Statistische Verfahren Ansatz Randknoten haben kleineren Grad als zentrale Knoten Algorithmus von Fekete et al. Abschätzung des durchschnittlichen Knotengrads γ Wahl eines geschickten Schwellwerts α Knoten mit einem Grad < α γ erklären sich zu Randknoten 10 Thomas Gramer:

14 Algorithmus von Yue Wang et al. 11 Thomas Gramer:

15 Algorithmus von Yue Wang et al. Annahmen Keine Ortsinformation Keine Winkelinformation Keine Distanzinformation Kommunikationsgraph = Unit Disk Graph Nahe Knoten kommunizieren direkt Weit entfernte Knoten ohne Kommunikation Ansatz Fluten des Netzwerks Löcher verursachen Störungen im "Fluss" Erkennen durch Unregelmäßigkeiten im hop count, wenn ein Loch umflossen wurde ( Schnitt ) 12 Thomas Gramer:

16 Algorithmus von Yue Wang et al. Annahmen Keine Ortsinformation Keine Winkelinformation Keine Distanzinformation Kommunikationsgraph = Unit Disk Graph Nahe Knoten kommunizieren direkt Weit entfernte Knoten ohne Kommunikation Ansatz Fluten des Netzwerks Löcher verursachen Störungen im "Fluss" Erkennen durch Unregelmäßigkeiten im hop count, wenn ein Loch umflossen wurde ( Schnitt ) 12 Thomas Gramer:

17 Kürzeste-Wege-Baum erstellen Erstellen von Kürzeste-Wege-Baum Netzwerk von zufälligem Knoten aus fluten Jeder Knoten speichert hop count Kürzeste-Wege-Baum 13 Thomas Gramer:

18 Schnitt finden in Kürzeste-Wege-Baum Prinzip zur Locherkennung Fluss von Kürzeste-Wege-Baum gabelt sich vor Loch Fluss trifft sich hinter Loch wieder Schnitt Lücke, an denen sich die kürzesten Wege treffen Schnittpaar Knotenpaare, die sich auf der jeweils gegenüberliegenden Seite eines Schnitts befinden 14 Thomas Gramer:

19 Schnitt finden in Kürzeste-Wege-Baum Prinzip zur Locherkennung Fluss von Kürzeste-Wege-Baum gabelt sich vor Loch Fluss trifft sich hinter Loch wieder Schnitt Lücke, an denen sich die kürzesten Wege treffen Schnittpaar Knotenpaare, die sich auf der jeweils gegenüberliegenden Seite eines Schnitts befinden 14 Thomas Gramer:

20 Schnitt finden in Kürzeste-Wege-Baum Prinzip zur Locherkennung Fluss von Kürzeste-Wege-Baum gabelt sich vor Loch Fluss trifft sich hinter Loch wieder Bei mehreren Löchern Entfernen von Knoten des Schnittastes ein Schnitt übrig Schnittäste, des am weitesten von Wurzel entfernten Schnitts, wird nicht entfernt Löcher werden wie ein zusammenhängendes Loch betrachtet 14 Thomas Gramer:

21 Ermitteln der groben inneren Grenze Grobe innere Grenze R Kürzester Zyklus, der das Loch im inneren des Sensorfeldes umschließt Ist Loch konvex? Ja: Zyklus ist innere Grenze Nein: Abschätzung für konvexe Hülle Ablauf Betrachte Schnittpaar (p,q) mit kleinstem Abstand zur Wurzel Kürzester Weg von p nach q Kürzen des Zyklus durch den k-hop-schrumpf Prozess 15 Thomas Gramer:

22 Beispiel 2-hop-Schrumpf Prozess Gegeben Zyklus um Loch herum Pfad (x, y, z) liegt auf Zyklus Ablauf Existiert Verbindung von x nach z, wird y aus dem Zyklus genommen 16 Thomas Gramer:

23 Extremknoten finden Ziel Innere Grenze verfeinern und äußere Grenze finden Ablauf Knoten auf R werden geordnet Alle Knoten auf R fluten das Netzwerk gleichzeitig Knoten mit lokalem Maximum des hop count zu R Extremknoten Lokales Maximum Knoten, deren 1-hop Nachbarn niedrigere hop counts zu R aufweisen 17 Thomas Gramer:

24 Extremknoten finden Ziel Innere Grenze verfeinern und äußere Grenze finden Ablauf Knoten auf R werden geordnet Alle Knoten auf R fluten das Netzwerk gleichzeitig Knoten mit lokalem Maximum des hop count zu R Extremknoten Sortierung Ordnung der Knoten auf R Ordnung der Extrempunkte 17 Thomas Gramer:

25 Innere/Äußere Grenze definieren Ist Loch konvex? Ja: Alle Extrempunkte gehören zur äußeren Grenze Nein: Loch ist konkav oder es gibt mehrere Löcher 18 Thomas Gramer:

26 Unterscheidung der Extrempunkte Verfeinerung Entfernen von R und allen 1-hop Nachbarn Alle 2-hop Nachbarn durch lokales Fluten verbinden Es entstehen Pfade P j Verfeinern von P j P j läuft über Extrempunkte P j ist Zyklus? P j ist Grenze 19 Thomas Gramer:

27 Unterscheidung der Extrempunkte Verfeinerung Entfernen von R und allen 1-hop Nachbarn Alle 2-hop Nachbarn durch lokales Fluten verbinden Es entstehen Pfade P j Verfeinern von P j P j läuft über Extrempunkte P j ist Zyklus? P j ist Grenze Erweitere Zyklus R um Pfade P j Innere/Äußere Grenzen nach 2 Durchläufen 19 Thomas Gramer:

28 Inneren Rand wieder herstellen Ziel Korrekten inneren Rand bei mehreren Löchern finden Ablauf Zuvor entfernte Schnittäste wieder einfügen Bestimme für jeden Schnitt ein Schnittpar (p, q), so dass der innere Rand in zwei Zyklen geteilt wird (p, q sind Berührpunkte beider Zyklen) Optimiere die neuen Zyklen wie zuvor unter der Nebenbedingung, dass Extrempunkte nicht entfernt werden dürfen 20 Thomas Gramer:

29 Inneren Rand wieder herstellen Ziel Korrekten inneren Rand bei mehreren Löchern finden Ablauf Zuvor entfernte Schnittäste wieder einfügen Bestimme für jeden Schnitt ein Schnittpar (p, q), so dass der innere Rand in zwei Zyklen geteilt wird (p, q sind Berührpunkte beider Zyklen) Optimiere die neuen Zyklen wie zuvor unter der Nebenbedingung, dass Extrempunkte nicht entfernt werden dürfen 20 Thomas Gramer:

30 Korrektheit des Algorithmus 21 Thomas Gramer:

31 Korrektheit des Algorithmus Beweisziel Bei geschlossener polygonaler Region F findet Algorithmus: Genaue Anzahl an Löchern Art und Lage der Löcher (innere Grenzen) Korrekte äußere Grenze 22 Thomas Gramer:

32 Eigenschaften von polygonalen Regionen Gegeben Geschlossene polygonale Region mit k einfachen polygonalen Hindernissen Shortest path map (SPM) an willkürlicher Wurzel Eigenschaften Bisektoren und SPM Knoten bilden einen Wald Auf dem Rand *jedes* Hindernisses gibt es min. einen Bisektorpunkt F ohne Bisektoren ist einfach verbunden 23 Thomas Gramer:

33 Algorithmus findet alle Löcher Lemma In einer Region mit k polygonalen Löchern und m SPM Knoten existieren genau k + m Bisektorbögen Beweis Konstruktion eines Baumes Bisektoren sind Kanten Löcher, SPM-Knoten und äußere Grenze sind Knoten Es gibt v = k + m + 1 Knoten und v 1 = k + m Kanten (Eigenschaft von Bäumen) 24 Thomas Gramer:

34 Neudefinition des Algorithmus für den kontinuierlichen Fall Finde Bisektoren Lösche Bisektorbögen, bis auf einen Finde kürzesten Zyklus, der das innere Loch umschließt Berechne Voronoi Diagramm von R Finde Extrempunkte Punkte, durch die kein kürzester Pfad nach R läuft Sortiere Extrempunkte anhand Sortierung auf R. Laufe r zwei mal ab und ersetze Segmente durch korrespondierende Pfade Zwei Zyklen entstehen 25 Thomas Gramer:

35 Reduktion von Region F auf Region F Lemma F hat genau ein inneres polygonales Loch Beweis Alle Schnitte werden entfernt bis auf einen Alle Bisektorbögen (B) aus F werden entfernt, bis auf einen F \ B ist einfach verbunden (Eigenschaft polygonaler Regionen) Polygonale Region mit einem inneren Loch (F ) 26 Thomas Gramer:

36 Extrempunkte sind exakt die Grenze von F Beweis Alle nach innen gerückten konkaven Knoten auf Zyklus R müssen auf der äußeren Grenze liegen Eigenschaften Durch Entfernen von R wird F in min. zwei Teile geteilt Beide Teile sind an der an R angrenzenden Seite konkav Wellenfront-Ausbreitung terminiert nur an Rändern 27 Thomas Gramer:

37 Betrachtung der Untersegmente Wie viele Segmente entstehen durch Entfernen von R? Ein Segment R ist innere Grenze Extrempunkte sind äußere Grenze 28 Thomas Gramer:

38 Betrachtung der Untersegmente Wie viele Segmente entstehen durch Entfernen von R? Mehrere Segmente Betrachtung von Extrempunktpfaden Zyklus Pfad ist äußere Grenze Pfad Erweiterung von R um Pfade Zwei Durchgänge ergeben zwei Zyklen Innere und äußere Grenzen von F Wiederherstellung der Bisektoren Bisektoren nicht mehr Grenze Algorithmus hat alle inneren und äußeren Grenzen gefunden. 29 Thomas Gramer:

39 Simulation 30 Thomas Gramer:

40 Knotendichte 3443 Knoten 2628 Knoten 1742 Knoten 847 Knoten 31 Thomas Gramer:

41 Durchschnittlicher Knotengrad Grad 7 Grad 10 Grad Thomas Gramer: Grad 16

42 Weitere Beispiele 33 Thomas Gramer:

43 Zusammenfassung 34 Thomas Gramer:

44 Was haben wir gesehen? Algorithmus von Wang et al. Algorithmus zur Randerkennung Wenige Annahmen Geringer Knotengrad Bemerkungen Zusätzliche Informationen (Winkel, Richtung) beschleunigen Algorithmus Sensorfeld ohne Löcher möglich (Es existiert dann kein Schnitt) Extrempunkte markieren die äußere Grenze 35 Thomas Gramer:

45 Fragen? 36 Thomas Gramer: