27. Leiter im elektrischen Feld

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1 Elektrztätslehre Leter m elektrschen Feld 7. Leter m elektrschen Feld 7.. Grundsätzlches De POISSON-Glechung x + y + z beschrebt den Zusammenhang zwschen Ladungsvertelung ρ ( r ) m aum enersets und Potentalvertelung (r r ) anderersets. ρ (5- ) Mt (r r ) st wegen r r r r r r r E(r) grad (r) + j + k (r) x y z r glechzetg de Feldstärke E(r r ) gegeben. (5-8) De POISSON-Glechung hat unter gegebenen andbedngungen stets ene endeutge Lösung. Mtunter kann dese Lösung schon erraten werden. Bespel: Feld ener belebgen kugelsymmetrschen Ladungsvertelung Feldstärke E auf Außenkugel r st überall glech Für den Fluss folgt damt Φ(r) 4πr E(r) (Kugeloberfläche) () Anderersets st Φ geschl. Fläche (5- ) Glechsetzen von Gl. () und (5-) lefert 4πr E(r) Das kann auch etwas sehr verrücktes sen - enzge Bedngung st Kugelsymmetre 9

2 Elektrztätslehre Leter m elektrschen Feld Be weterer mformung erhält man ene schon bekannte Glechung E(r) 4 π r (5-5) Das Feld um ene belebge kugelsymmetrsche Ladungsvertelung st also glech dem ener Punktladung mt ges. Ladungsvertelung m Mttelpunkt. Wr untersuchen nun elektrsche Felder n enem Leter. Solange m Leter en elektrsches Feld herrscht, werden de Ladungsträger dem folgen, bs E st. Das Leternnere st feldfre (E ) und legt damt auf en und demselben Potental ( const.) Der Leter bestze jetzt enen leeren Hohlraum: Das Leternnere st feldfre (s.o.) und m Hohlraum exsteren kene Ladungen ( leer ), also kene uellen und Senken für E. Leere, leterumschlossene Hohlräume snd feldfre. (E ) Wr wssen jetzt, dass das Innere enes Leters und auch leere Hohlräume n hm mmer feldfre snd, auch be Exstenz äußerer elektrscher Felder. En Metallkasten oder Netzkäfg schrmt E r -Felder ab und wrd als FAADAYscher Käfg bezechnet. Jetzt se der Leter geladenen: De (Überschuss-)Ladung setzt sch an de (äußere) Oberfläche, egal, ob en Hohlraum exstert oder ncht, und bldet dort ene Flächenladungsdchte. Des st energetsch günstger als de Ansammlung an der nneren Oberfläche ( Ladungen auf maxmalem Abstand ) Nach außen hat der geladene Leter en Feld, das jedoch mmer genau senkrecht auf der Oberfläche steht: Feldkomponenten n der Oberfläche würden zu Strömen führen, solange, bs dese Komponente verschwunden st. (korrekter: Es werden solange Ladungen verschoben, bs das durch se aufgebaute Gegenfeld das ursprünglche E r -Feld vollständg kompensert.)

3 Elektrztätslehre Leter m elektrschen Feld Mt enem Ladungslöffel kann man lecht Ladungen auf der nneren Oberfläche enes FAADAY-Bechers abladen, da de Ladungen sofort nach außen fleßen; gegebenenfalls bs zur Entstehung großer Potentalunterschede zwschen Außen-Oberfläche und mgebung (Prnzp des Bandgenerators, Erzeugung von Megavolt) Betrachten wr nun ene geladene Kugel: Wr haben am Anfang des Kaptels gesehen, dass das Feld um ene geladene Kugel (de ja auch ene belebge kugelsymmetrsche Ladungsvertelung st) glech dem ener Punktladung st. Innerhalb st es, we wr jetzt wssen, Null. Analog das Potental: es st außen und bs enschleßlch der Oberfläche selbst glech dem ener Punktladung, und zwar (r) (5-6) 4π r Innen st das Potental dann konstant. Dort, wo de Ladung stzt (am Kugelradus ) glt (r) () 4π Zwe Kugeln (, ), (, ) haben also dann gleches, wenn ( ) st (vgl. auch Gl. ()). Da de Ladungen auf den Oberflächen vertelt snd, betrachten wr jetzt de Flächenladungsdchten. σ 4π (3) Wenn konstant st (n Gl. ( )), muss σ ~ sen Klene Kugeln erfordern also große Flächenladungsdchten und umgekehrt, wenn en bestmmtes konstantes engehalten werden soll. Des glt auch für unterschedlch gekrümmte Stellen der Oberfläche enes unregelmäßg geformten Leters:

4 Elektrztätslehre Leter m elektrschen Feld Damt de Oberfläche wrklch ene Äqupotentalfläche st und de Feldlnen senkrecht austreten, muss σ je nach Krümmungsradus unterschedlch sen, so dass σ ~ - st. r r wegen >> glt E << E (d.h. hohe Feldlnendchte be ) An Sptzen kommt es bevorzugt zu spontanen elektrschen Entladungen. 7.. Influenz Wr brngen ene Metallkörper n en engermaßen homogenes E r -Feld. Es kommt zur Ladungstrennung m Körper, so lange, bs das Körpernnere feldfre st. Betrachtung: De getrennten Ladungen bauen en Feld E r ' auf, das sch mt dem äußeren Feld E r zu Null ergänzt. Dese Ladungstrennung heßt Influenz. Wr untersuchen nun en nhomogenes Feld: Ener gegebenen Punktladung wrd plötzlch ene letende Platte gegenübergestellt: Es wrkt ene Kraft F r auf (z.b.) ene klene Ladung -q n der Oberfläche, de dadurch verschoben wrd ( r ), so lange, bs de entsprechende Feldlne senkrecht auf der Oberfläche steht.

5 Elektrztätslehre Leter m elektrschen Feld Letztlch st n der Oberfläche ene negatve Ladungsmenge angesammelt, de der Ladung betragsmäßg entsprcht. Dese Ladung - st durch Ladungstrennung entstanden, nsgesamt st der Plattenkörper neutral. Wo stzt nun aber +? Theoretsch unendlch wet weg, sonst würde Gl. (5- ) (s.u.) ncht gelten Übrgens: Das Feldlnenbld seht so aus, als ob m Innern des Metallkörpers ene Spegelladung/Bldladung - säße. De Ladung wrd von der selbst nduzerten negatven Ladungsvertelung n der Platten- Oberfläche genauso angezogen, we se von der Spegelladung angezogen werden würde: F (5- ) 4π r nter den her gegebenen Bedngungen, r d folgt für de Kraft F zwschen der Ladung und der Wand F (5- ) 4π 4d 7.3. Kapaztät Bsher haben wr ene bestmmte Ladungsvertelung betrachtet (z.b. Ladung auf der Oberfläche ener Kugel mt dem adus ) und daraus abgeletet, we groß nnerhalb und außerhalb der Kugel das Potental und damt de Feldstärke E r snd. 3

6 Elektrztätslehre Leter m elektrschen Feld Dabe hatte z.b. de Oberfläche der geladenen letfähgen Kugel en Potental, (5-6) 4π wobe wr generell das Potental so normert hatten, dass ( ) st (vgl. <5.3.>). Man kann de Sache auch anders herum betrachten: Wr haben ene zunächst ungeladene Kugel vom adus, geben hr ene Spannung gegenüber der unendlch entfernten mgebung und werden fnden, dass genau de Ladung 4π (4) auf se fleßt. Ene metallsche Kugel vom adus st also n der Lage, pro Spannungsenhet ene Ladung 4π (5) aufzunehmen. De Kugel hat also de Kapaztät 4π (6) Maßenhet: [ ] F... Farad SI V Dskusson: Be ener Vergrößerung von passt mehr Ladung be glecher Spannung auf de Kugel, da sch de Ladungen besser aus dem Weg gehen können. De Kapaztät st ene allgemene Egenschaft. Jede letfähge Anordnung, auf de Ladungen fleßen können, hat ene Kapaztät der Größe (7) Ene Anordnung, be der es n erster Lne auf de Egenschaft Kapaztät ankommt, heßt Kondensator. 4

7 Elektrztätslehre Leter m elektrschen Feld Paradebespel: Plattenkondensator (Fläche A, Abstand d) Anschluss der Platten an ene Spannungsquelle auf ene Platte fleßt de Ladung +, auf de andere -. We groß st de Kapaztät? Zur Beantwortung nutzen wr Gl. (5-) E r da geschl. Fläche ges, nnerhalb d. Fläche (5- ) Offenschtlch stzen de Ladungen auf den nneren Oberflächen der Platten und das Feld befndet sch m Wesentlchen m Zwschenraum. Integraton über de Fläche A* lefert E r da E A (8) Da das E r -Feld homogen st, glt E / d, (d.h. en lnearer Ansteg des Potentals von ener Platte zur anderen) und lefert, engesetzt n Gl. (8) A d mgeformt ergbt sch de Kapaztät enes Plattenkondensators zu A d (9) Kommentar: Für ene besonders große Kapaztät benötgt man große Flächen A bzw. enen klenen Plattenabstand d. 5

8 Elektrztätslehre Leter m elektrschen Feld 7.4. Kondensator m Stromkres Parallelschaltung De Ladungen adderen sch, auf jeden Kondensator fleßt ene bestmmte Ladung ± ges mt / lt. Gl. (7) folgt ges ges ges () ehenschaltung De Spannungen adderen sch, auf jeden Kondensator fleßt de gleche Ladung, da dese nur über Influenz hn- und hergeschoben werden können. ges mt / lt. Gl. (7 ) folgt ges ges ges () Ladevorgang enes Kondensators: Nach der KIHHOFFschen Maschenregel st + () Wr ersetzen jetzt I (6-6b) und (7) 6

9 Elektrztätslehre Leter m elektrschen Feld In Gl. () engesetzt ergbt sch be Beachtung der Zetabhänggket von I und I (t) + (t) (3) Wenn man bedenkt, dass I und verkoppelt snd, und zwar über I(t) d(t) dt kann man Gl. (3) lecht lösen und erhält für den Ladestrom des Kondensators I(t) t e I I(t ) (4) Daraus folgt durch Integraton de zetabhängge Kondensatorladung (t) t e (5) Kommentar: De Kondensatorladung geht asymptotsch gegen, der Strom entsprechend gegen Null. De Geschwndgket, mt der sch der Endzustand enstellt, hängt von ab. Ene Betrachtung der Dmenson von zegt V As [ ] Ω F s [t] A V SI Kommentar: τ... charakterstsche Zetkonstante Das Laden dauert lange, wenn de Kapaztät groß st ( Ladungsmenge groß) und/oder en großer Wderstand das Laden stark behndert. 7

10 7.5. Energe von Ladungsvertelungen Elektrztätslehre Leter m elektrschen Feld Auf enem Leter befnde sch berets ene Ladung q, so dass er dadurch das folgende Potental (d.h. ene Spannungsdfferenz gegenüber der unendlch entfernten mgebung) bestzt q (7 ) Wenn wr ene wetere Telladung dq gegen dese Spannung heranführen wollen, müssen wr Arbet verrchten, de sch aus den Gl. (5-5 ) und (7 ) ergbt: dw dq q dq (6) De Gesamtarbet folgt durch Integraton von Gl. (6) W q dq (7) De Arbet st als potentelle Energe m geladenen Leter gespechert. Man kann Gl. (7) auch mttels umformen und erhält W (7 ) Dskusson: Wo steckt de elektrostatsche Energe? Man kann sagen: In den vergewaltgten Ladungen, de (wenn unglechnamg) zwangswese getrennt snd und egentlch zuenander wollen oder (wenn glechnamg) egentlch vonenander flüchten wollen, aber z.b. auf dem selben Leter stzen müssen. Man kann aber auch sagen: De Energe st m Feld vergegenständlcht. Natürlch snd bede Deutungen zwe Seten derselben Medalle: Mt der Vergewaltgung der Ladungen entsteht das Feld und umgekehrt. Wr sehen uns de Feldenerge am Bespel des Plattenkondensators an. De potentelle Energe st Epot W A (lt. Gl. (9)) (7 ) d W A d homogenes Feld: E d E d 8

11 Elektrztätslehre Leter m elektrschen Feld W A E d V A d W E V V... Volumen des felderfüllten aumes W w E V w... Energedchte Kommentar Gl. (8) zur Berechnung der Energedchte des elektrschen Feldes glt allgemen, auch wenn se her nur für den Plattenkondensator hergeletet wurde. (8) Als weteres Bespel betrachten wr ene letfähge Kugel mt ener Ladung und dem adus. De potentelle Energe der sch abstoßenden Ladungen beträgt W 4π (7) W 4π (9) Wenn man das Feld der geladenen Kugel E 4πr für r < für r > n Gl. (8) ensetzt und über den gesamten Außenraum (von bs ) ntegrert, erhält man als Feldenerge das schon aus Gl. (9) bekannte Ergebns W Feld 4π 9