Physik A. Teil 1: Mechanik

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1 Roland Engfer Physik A für Naturwissenschaftler Teil 1: Mechanik UNIVERSITAS TURICENSIS MDCCC XXXIII Skriptum zur Vorlesung von Andreas Schilling WS 004/5 Physik-Institut der Universität Zürich September 004

2 Vorwort Das vorliegende Skript umfasst den Stoff der Vorlesung Physik A für Physiker, Chemiker und Biochemiker, sowie für Studierende mit Nebenfach Physik. Es basiert auf dem Skript von Prof. Roland Engfer, das später von Prof. Ulrich Straumann übernommen wurde. Das Skript wurde nun der Übersichtlichkeit und Handlichkeit halber neu unterteilt (Mechanik, Wärmelehre, Elektrizität und Magnetismus, Wellenlehre und Optik, Relativitätstheorie, mathematische Hilfsmittel) und inhaltlich leicht angepasst. Aufgabe dieses Skriptes ist es, den Stoff der Vorlesung Physik A zusammenzufassen, sei es zum Aufarbeiten der Vorlesung zwischendurch oder zur Prüfungsvorbereitung. Dieses Skript ist kein Lehrbuch und soll auch gar keines sein! Ich empfehle Ihnen sogar, zunächst überhaupt kein eigentliches Physiklehrbuch zu kaufen! Ein Lehrbuch eignet sich vielleicht zum Selbststudium, ist aber in der Regel als Begleittext zu einer Vorlesung viel zu ausführlich. Auch ist bei Unklarheiten ein Nachfragen nicht möglich. Die Vorlesung mit ihren Experimenten und den Diskussionen mit dem Dozenten und den Übungsassistenten sollen das eigentliche Lehrbuch für Sie darstellen! Erst dort erfahren Sie, welche Themen, Gedankengänge, Herleitungen und Lehrsätze wirklich von Wichtigkeit sind, und welche vielleicht geringere Bedeutung haben. Dies alleine aufgrund der Lektüre eines Buches und ohne Besuch der Vorlesung entscheiden zu wollen, ist für einen Studenten im ersten Jahr fast unmöglich. Falls Sie dennoch ein begleitendes Buch kaufen möchten, empfehle ich besonders den Physikern, eine Art Nachschlagewerk zu erwerben. Das Buch von D. Meschede, Gerthsen Physik, Springer Verlag, ist sicher eine Anschaffung fürs Leben. Auch fortgeschrittene Physiker finden darin fast alles, was man braucht, von der Mechanik bis zur Kernphysik. Als preiswerte, kompakte Formelsammlung für Physiker und andere Naturwissenschaftler hat sich auch das Repetitorium der Physik von F. Kneubühl, Teubner Verlag, bewährt. Als Lehrbuch (falls Sie wirklich eines erwerben möchten) eignen sich für Physiker die Bücher von Wolfgang Demtröder, Springer-Verlag (Mechanik und Wärme, Elektrizität und Optik). Für Naturwissenschaftler kann ich das Buch von Paul A. Tipler, Physik, Spektrum Verlag, empfehlen - es gibt auch einen Band mit Übungsaufgaben dazu. Im Zuge der Umstellung der Studiengänge auf das Bachelor/Masters System ist der Umfang des Physikkurses für Physiker auf 6 Stunden Vorlesung pro Woche festgelegt worden, für Chemiker und Biochemiker und für Studierende mit Nebenfach Physik hingegen auf 4 Stunden pro Woche. Dies bedeutet, dass Physikstudenten parallel zur eigentlichen Vorlesung eine Menge von Zusatzinformationen, Ergänzungen und mathematischen Anleitungen erhalten, welche für das spätere Physikstudium von grossem Nutzen sein werden. Trotzdem wird auch der vierstündige Kurs für Chemiker und Biochemiker das ganze Spektrum einer einführenden Physikvorlesung abdecken. Allerdings macht diese Zweiteilung der Vorlesung die Gestaltung eines Skriptes nicht einfacher. Im vorliegenden Skript sind deshalb Kapitel, welche nur für Physiker von Bedeutung sind, speziell mit gekennzeichnet. Es kann vorkommen, dass der Inhalt der Vorlesung vom Inhalt dieses Skriptes leicht abweicht, indem einzelne Kapitel weggelassen oder hinzugefügt werden, Themen nur summarisch besprochen werden oder die Notation geändert wird - massgebend für die Prüfung ist alleine der Inhalt der Vorlesung! Zürich, September 004 Andreas Schilling

3 Inhaltsverzeichnis 1 Kinematik des Massenpunktes Ort und Bahn Die Geschwindigkeit eines Massenpunktes Die Beschleunigung eines Massenpunktes Komponentendarstellung von Geschwindigkeit und Beschleunigung Raumfestes kartesisches xyz-koordinatensystem Normal- und Tangentialkomponenten Ebene Kreisbewegung v, a in Polarkoordinaten Die Winkelgeschwindigkeit als ein Vektor Berechnung von v und r aus a, r 0 und v Die Grundgesetze der Mechanik 11.1 Masse und Kraft Die Newtonschen Prinzipien Trägheitsprinzip Bewegungs- oder Aktionsprinzip Superpositionsprinzip Reaktionsprinzip Der Schwerpunkts- oder Impulssatz für Systeme von Massenpunkten Die vier fundamentalen Kräfte Die Gravitationskraft Die Coulombkraft (elektromagnetische Wechselwirkung) Die schwache Wechselwirkung Die starke Wechselwirkung Reibungskräfte, Oberflächenkräfte Trockene Oberflächen Nasse Oberflächen und viskose Reibung Anwendungsbeispiele der Newtonschen Prinzipien Freier, vertikaler Fall im Vakuum Die Atwoodsche Fallmaschine Der schiefe Wurf im Vakuum ohne Luftwiderstand Beispiele mit Haft- und Gleitreibung Klotz auf schiefer Ebene Kind mit Schlitten Vertikaler Fall in viskosem Medium Kreisbewegungen Erdsatellit auf Kreisbahn Ebenes mathematisches Pendel Kreispendel (konisches Pendel) Prinzip des Raketenantriebs Arbeit, Energie und Leistung; Energie- und Impulserhaltung Definition von Arbeit, Leistung und kinetischer Energie Der Energiesatz der Mechanik Konservative Kraftfelder i

4 4.4 Das Potential und das Feld einer homogenen Kugel Der Fluss des Gravitationsfeldes Der Energieerhaltungssatz der Mechanik Beispiele zum Energieerhaltungssatz Freier Fall eines Massenpunktes im Vakuum Weltraumflüge Die Todesschleife Der Impulserhaltungssatz Elastische Stösse Inelastischer Stoss: Das ballistische Pendel Der Drehimpulssatz für ein System von Massenpunkten 56 6 Bewegungen im Zentralfeld Reduktion des Zwei-Körper- auf ein Ein-Körper-Problem Konstanz des Drehimpulses Planetenbewegungen Der lineare harmonische Oszillator Der ungedämpfte Oszillator Der gedämpfte Oszillator Fall: schwache Dämpfung Fall: starke Dämpfung Fall: kritische Dämpfung Energie des schwach gedämpften Oszillators Erzwungene Schwingungen und Resonanz Vollständige Lösung der erzwungenen Schwingung Energiebilanz bei erzwungener Schwingung und Resonanz Relativbewegungen Relativitätsprinzip der Mechanik Die Kinematik in einem bewegten Bezugssystem Die Dynamik in einem bewegten Bezugssystem Beispiele und Spezialfälle für bewegte Systeme Gleichförmig bewegtes System S r Rein translatorisch beschleunigtes System S r Ein reibungsloser Massenpunkt auf einer beschleunigten Unterlage Mathematisches Pendel auf einer vertikal beschleunigten Plattform Gleichförmig rotierendes System S r Trägheitseffekte auf der Erde Nachweis der Erdrotation mit dem Foucaultpendel Eine Lotabweichung infolge der Erdrotation Ostabweichung Ebbe und Flut Das Streuproblem zweier Massen Die reine elastische Streuung Winkelverteilung bei statistischem Zielen in der Ebene Winkel- und Energieverteilung bei statistischem Zielen im Raum Die Streuung eines Neutrons an einem Atomkern ii

5 8.6.5 Coulombpotential Dynamik des starren Körpers Bedeutung von Schwerpunkts- und Drehimpulssatz starrer Körper Gleichgewichte starrer Körper Drehimpuls- und Schwerpunktssatz für die ebene Bewegung starrer Körper Rotation um eine raum- und körperfeste Achse (Satz von Steiner) Berechnung einiger Trägheitsmomente Beispiele zur ebenen Bewegung starrer Körper Würfel auf horizontaler Ebene Das physische Pendel Die widerspenstige Fadenspule Rollen und Gleiten eines Zylinders auf schiefer Ebene Aufsetzen eines rotierenden Zylinders auf eine schiefe Ebene Die kinetische Energie bei ebener Translation und Rotation Eigenschaften des Kreisels Trägheitstensor und Eulersche Kreisel-Gleichungen Der kräftefreie rotationssymmetrische Kreisel Stabilität der Drehachse für Körper ohne Rotationssymmetrie Symmetrischer Kreisel im Schwerefeld (Präzession) Rotationsenergie und Energiesatz für die allgemeine Drehung Beispiele zur Kreiselbewegung Stabilität des Fahrrades Aufrichten der Kreiselachse infolge Reibungsmoment Kollergang der Mühlen Kreiselkompass Deviationsmomente eines nicht ausgewuchteten Rades Der Präzessionszyklus des Mondes (Saros-Zyklus) Die Präzession der Erdachse beim Umlauf um die Sonne Raum-Zeit-Symmetrie und die klassischen Erhaltungssätze 1 11 Elastizität der festen Körper Interatomare Kräfte, Elastizität und Plastizität Spannungen und ebene Spannungszustände Beispiele ebener Spannungszustände Deformation isotroper Körper, elastische Konstanten Beispiele Zwei Beispiele zur Biegung und Torsion Biegung eines Balkens Torsion eines zylindrischen Stabes Mechanik der Gase und Flüssigkeiten Statik der Gase und Flüssigkeiten Beispiele Der Auftrieb Beispiele Dynamik idealer Flüssigkeiten Die Kontinuitätsgleichung für stationäre Strömungen iii

6 1.3. Die Bewegungsgleichung von Euler und Bernoulli Spezialfall der Bernoulli-Gleichung Potentialströmungen Beispiele Die Berechnung einer Potentialströmung aus der Potentialgleichung Anwendungen der Bernoulli-Gleichung Innere Reibung der Gase und Flüssigkeiten Viskose Widerstände und Reynoldsche Zahl Der dynamische Auftrieb und Widerstand Kohäsions- und Adhäsionseffekte bei Flüssigkeiten Die Differentialgleichung einer Oberfläche (Seifenblase) A Physikalische Konstanten Stand B Grössen und Einheiten der Physik 167 B.1 Grössenart, Dimension, Einheitensystem B.1.1 Grösse und Zahlenwert B.1. Grössenart und Dimension B.1.3 Grössengleichungen B.1.4 Winkel und Raumwinkel B.1.5 Wahl der Basisgrössen in Einheitensystemen B. SI-Einheiten B..1 Von den SI-Einheiten abgeleitete Einheiten z.t. mit speziellen Namen171 B.. Verschiedene Einheiten B..3 Vorsilben der Dezimalteilung von Einheiten B.3 Astronomische Daten C Mathematische Hilfsmittel 174 C.1 Mathematische Formelsammlung C.1.1 Trigonometrie C.1. Komplexe Zahlen C.1.3 Hyperbolische Funktionen C.1.4 Inverse Funktionen C.1.5 Ableitungen und unbestimmte elementare Integrale C.1.6 Einige bestimmte Integrale, C.1.7 Reihenentwicklungen C. Zusammenstellung von Differentialgleichungen in Physik A C.3 Vektorgleichungen C.4 Theoreme aus der Vektorrechnung C.5 Explizite Formen von Vektoroperationen iv

7 Mechanik Die Mechanik ist die Lehre von den Bewegungen materieller Körper. Sie umfasst also sowohl die Bewegungen von Atomen und Molekülen in Gasen und Flüssigkeiten und Festkörpern als auch die Bewegungen von Fahrzeugen, Satelliten und Galaxien. Die Statik ist die Lehre des Gleichgewichtes und die Kinematik die Lehre der Bewegung unter dem Einfluss von Kräften. Die Physik sucht nach den Fundamentalgesetzen und prüft sie anhand der Erfahrung d.h. durch das Experiment. Die Materialgesetze z.b. in der Festigkeitslehre oder in der Festkörperphysik sind dabei nur beschränkt gültig 1. Der Begriff des Massenpunktes wird benutzt, um der Vielfalt der Bewegungen beizukommen, d.h. für einen Körper wird die räumliche Ausdehnung klein gegenüber allen Abmessungen, die bei der Bewegung eine Rolle spielen, angenommen. So kann in vielen Problemen die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne als Massenpunkt angesehen werden. Zur Erklärung der Gezeiten dagegen müssen jedoch die räumliche Ausdehnung und ihre Eigenrotation berücksichtigt werden. Wie gezeigt wird, greift die Schwerkraft am Schwerpunkt eines ausgedehnten Körpers an; dieser Schwerpunkt als Massenmittelpunkt wird somit als Massenpunkt genommen. Als mathematischer Punkt kann der Massenpunkt im Raume durch drei Koordinaten festgelegt werden, er führt also nur translatorische Bewegungen aus; Rotationen und Vibrationen sind nicht im Spiel. Diese Vereinfachung erleichtert wesentlich die grundsätzliche physikalische Beschreibung. Auf Grund unserer heutigen Erkenntnisse sind Elektronen und Positronen sowie auch die schwereren Leptonen (Myon und Tau, siehe Anhang) O bjekte ohne eine Ausdehnung. Hadronen, wie das Proton, Neutron oder Mesonen, haben dagegen einen Radius von ca 0.6 fm= m. Die Behandlung der Mechanik wird wesentlich einfacher, wenn wir mit der geometrischen Beschreibung der Bewegung eines Massenpunktes beginnen (Kinematik), wenn wir also die Ursachen dieser Bewegung (Dynamik) ausser acht lassen und später den ausgedehnten Körper als eine Vielzahl (System) von Massenpunkten ansehen. Begriffssysteme Fundamentale Begriffe, auf die sämtliche Betrachtungen zurückgeführt werden können, sind der Raum einschliesslich der Geometrie des Raumes, die Zeit und die Masse mit den mechanischen Eigenschaften der Materie. Wichtig ist nicht allein die Definierbarkeit sondern die Messbarkeit dieser Grössen. Alle weiteren Grössen lassen sich durch Fundamentalbegriffe und Definitionsgleichungen oder physikalische Gesetze ableiten, z.b. Druck=Kraft/Fläche, Kraft=Masse Beschleunigung. In der Mechanik sind nur diese drei fundamentalen Grössen notwendig, zusätzlich müssen die Temperatur und Grössen der Elektrizitätslehre definiert werden. Die Länge wurde früher aus subjektiven Abmessungen festgelegt: Fuss 3, Elle, Zoll usw. Vom Wohlfahrtsausschuss in Paris wurde am 9. Primaire VIII (Revolutionszeitrechnung) geographisch das mètre vrai et définitif als 1m=1/ des Meridianumfanges 1 Es werden dann häufig angenäherte Gesetzmässigkeiten oder Modelle mit freien Parametern an experimentelle Daten angepasst, um somit bestimmte Eigenschaften beschreiben zu können. In der Quantenelektrodynamik (siehe später Vorlesungen der theoretischen Physik) erhält das Elektron durch die Vakuumpolarisation und die Massenrenormierung, d.h. durch die virtuelle Erzeugung und Vernichtung von Elektron-Positron Paaren und Photonen in der elektromagnetischen Wechselwirkung, eine dynamische Ausdehnung. Experimentell ist die Ausdehnung kleiner als m. 3 Die Länge der Schuhe von 16 Männern nach dem Kirchgang dividiert durch 16. 1

8 der Erde festgelegt 4. Da eine genauere Definition notwendig wurde, diente ein in Paris aufbewahrter Platin-Iridium Stab als Urmeter. Dieser ist jedoch Umwelteinflüssen ausgesetzt und eine Eichung ist nur in Paris möglich wurde 1m= Wellenlängen des roten, ungestörten 86 Kr 5d 5 p 10 Überganges definiert. Diese Definition ist auf 10 9 genau mit Laserinterferometrie überall reproduzierbar. Seit Oktober 1983 wird, nachdem die Lichtgeschwindigkeit als eine exakte Naturkonstante mit c= m/s festgelegt wurde, definiert: Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans la vide par la lumière pendant une dureé de 1/ de seconde. Ein Meter ist die Weglänge, die Licht im Vakuum innerhalb einer 1/ Sekunde zurücklegt. Die Länge ist damit auf eine sehr genau durchführbare Frequenzmessung λ = c/ν zurückgeführt und basiert auf einer festgelegten Naturkonstanten. Dennoch gibt es bei der Realisierung noch eine Reihe von Problemen, wenn die Genauigkeit erhöht werden muss 5. Die Zeit mit dem Herzschlag subjektiv, mit einer Sanduhr oder mit dem Pendel festzulegen, ist zu ungenau für heutige Anforderungen. Geophysikalisch wurde ein mittlerer Sonnentag aus dem siderischen Jahr 6 mit 1a sid = definiert. Infolge der Gezeitenreibung wächst jedoch die Tageslänge um s/tag und Zeiten können nur nachträglich festgelegt werden. Atomphysikalisch gilt seit 1967 als Standard: 1 Sekunde (s) ist die Zeitdauer von Schwingungen des Hyperfeinüberganges des s 1/ Grundzustandes des 133 Cs Atoms. Die Stabilität ist , die relative erreichbare Genauigkeit 7 jedoch nur Die Masse bestimmt den quantitativen Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung F = m b = d (m v). Es kann entweder hiermit die Kraft F aus der Masse m als Basis (in dieser Vorlesung benutzte SI-Einheiten) oder die Masse m aus der Kraft F als Basis (technische Einheiten) abgeleitet werden. Die Grundeinheit Masse ist bis heute an einen künstlichen materiellen Körper gebunden 8 : 1 Kilogramm (kg) ist die Masse des aus 90% Pt und 10% Ir bestehenden Urkilogramms (Zylinder von 39mm 39mm ), das im Bureau International des Poids et Mesure in 4 Dies ist eine gute Merkzahl der Grösse der Erde. Heute ist 1m=1/ des Meridianumfanges der Erde, bei geforderter höherer Genauigkeit gibt es Probleme mit der Erdgestalt. 5 (siehe P.W. Petley Nature Vol.303 (1983) 373) Licht ist eine sichtbare elektromagnetische Welle im Wellenlängenbereich nm, dies ist restriktiv; theoretisch ist jedoch die Masse des Photons null und damit ist die Definition für alle Wellenlängen gültig. In Materie muss jedoch auf die unterschiedliche Dispersion geachtet werden. Vakuum ist nur begrenzt ohne Materie herstellbar, es enthält jedoch auch Felder, Strahlung und Gravitationsfelder, sie beeinflussen Raum und Zeit und damit muss eine Trajektorie nicht gerade sein. Zeitintervalle sind nur in einem nicht beschleunigten Inertialsystem definierbar, während die Erde ein rotierendes und damit beschleunigtes System ist. Bei der Ausbreitung einer Welle ist die Gruppengeschwindigkeit und nicht die Phasengeschwindigkeit massgebend (siehe später Physik A II). Eine neue Meterdefinition ist möglich auf der Basis atomistischer Grössen, die z.b. die Feinstrukturkonstante α mit dem klassischen Elektronenradius festlegen. 6 Die Zeit nach der die Erde bezüglich der Fixsterne nach einem Sonnenumlauf die gleiche Position hat. Infolge der 5000 Jahre Präzession der Erdachse (Kap ) ist 1a sid 1a tropisch. Die relativistische Zeitdilatation zwischen Pol und Äquator ist 100ns/Tag. 7 Wayne M. Itano, Norman F. Ramsey, Ultragenaue Zeitmessung, Spektr.d.Wiss. Sept.1993,S3. 8 Das Kilogramm wird in Zukunft auf der Basis der Naturkonstanten (z.b. h) neu definiert werden [E.Braun, Hat das Ur-Kilogramm bald ausgedient?, Phys.Blätter 54(1998)11,998]; E.O.Göbel ibid 57(001)35.

9 Sèvres (Paris) aufbewahrt wird. Es entspricht ungefähr der Masse von 1 l Wasser bei C. Die Konstanz dieser Masse z.b. durch Staub und Abrieb beeinflusst ist ca Die Basisgrössen in Einheiten-Systemen können verschieden gewählt werden 9. Hierbei sollten folgende Randbedingungen beachtet werden: (i) Die Anzahl Einheiten sind auf ein Minimum beschränkt. (ii)die Bildung neuer Grössen (nicht Dimensionen) soll nur durch Multiplikationen und Divisionen bestehender Grössen bestimmt werden, nicht aber durch gebrochene Exponenten. An der 11. Generalkonferenz für Masse und Gewichte wurde 1960 ein kohärentes Einheitssystem, das Systeme International d Unitès (SI), für den allgemeinen Gebrauch empfohlen. Die der Konvention angehörenden Staaten sind gehalten, das SI (siehe Anhang B) durch Gesetz einzuführen, es ersetzt alle früheren Masssysteme, wie das cgs, das MKS oder das technische System. In der Atomphysik, der Astrophysik und in der theoretischen Physik ist es jedoch oft zweckmässig, eigene Systeme einzuführen Kinematik des Massenpunktes 1.1 Ort und Bahn Der Ort eines Massenpunktes m wird relativ zu einem Bezugspunkt (Origio = Ursprung) angegeben, und zwar durch den sog. Ortsvektor r, der von zum Ort des Massenpunktes zeigt. Die Spitze dieses Ortsvektors, d.h. die Funktion r = r(t), folgt der Bahn und beschreibt so die Bewegung im Laufe der Zeit. Wir haben hier die geometrische Interpretation des Vektors als gerichteter Geradenabschnitt benutzt. Der Vektor ist also durch seine Länge (Betrag) und seine Richtung festgelegt. Da man Vektoren addieren kann (Vektorparallelogramm), kann man umgekehrt den Ortsvektor auch in Komponenten zerlegen. z r m k i j x y Häufig wird dazu ein kartesisches Koordinatensystem benutzt, das durch drei aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren i, j, k aufgespannt wird. Es gilt dann r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k oder r(t) = x(t) y(t) z(t) Allgemein kann also ein räumlicher Vektor durch drei skalare Grössen x, y, z ersetzt werden. Der Betrag ist r = r = x + y + z. Man beachte: In einem Experiment können nur skalare Grössen gemessen werden. Der Endpunkt von r(t) beschreibt die Bahn von m. Sind die Ortskoordinaten als Funktion der Zeit t vorgegeben, so lässt sich daraus durch Elimination von t die Bahnkurve (Parameterdarstellung einer Kurve) berechnen. Wie z.b. x = a t, y = b t und damit die Parabelbahn y = b x /a. 9 Fleischmann Zeitschrift für Physik 19(1951)377; Kamke, Krämer Physikalische Grundlagen der Masseinheiten 1977 S19, vgl. Zusammenfassung Anhang B z.b. c = h = m e c = 1 in der theoretischen Physik. 3

10 Statt kartesischer sind oft andere Koordinaten zweckmässiger. Für Zylinderkoordinaten ρ, ϕ, z sind die Einheitsvektoren x ϕ=0 z ϕ r ρ Für Polarkoordinaten r, ϑ, ϕ ist x z ϕ ϑ r y m y m e ρ = i cos ϕ + j sin ϕ, e z = k, e ϕ = i sin ϕ + j cos ϕ, ρ = x + y r = ρ e ρ + z k = iρ cosϕ + jρ sin ϕ + kz r = x y z = ρ cos ϕ ρ sin ϕ z oder e r = i sin ϑ cos ϕ + j sin ϑ sin ϕ + k cosϑ, e ϑ = i cos ϑ cos ϕ + j cos ϑ sin ϕ k sin ϑ, e ϕ = i sin ϕ + j cos ϕ r = ir sin ϑ cos ϕ + jr sin ϑ sin ϕ + kr cos ϑ r = x y z = r sin ϑ cosϕ r sin ϑ sin ϕ r cos ϑ Die Anzahl der unabhängigen Koordinaten, die den Ort eines Massenpunktes eindeutig festlegen, nennt man die Zahl seiner Freiheitsgrade f. Aus obigen Betrachtungen ist f = 3 für eine allgemeine räumliche Bewegung. y Ist die Bewegung an eine Fläche E gebunden, so ist f =. Es m genügen zwei Koordinaten zur Beschreibung einer ebenen Bewegung, entweder die kartesischen Koordinaten x, y oder die r E ϕ Polarkoordinaten r, ϕ. Bewegt sich der Massenpunkt längs einer x vorgegebenen Kurve, so ist f = 1, und der Ort ist durch die Bogenlänge s eindeutig bestimmt. 1. Die Geschwindigkeit eines Massenpunktes Die Geschwindigkeit v gibt an, wie schnell und in welcher Richtung sich der Ortsvektor mit der Zeit verändert. Die sogenann- r t te Momentangeschwindigkeit v(t), d.h. die Geschwindigkeit in r einem bestimmten Zeitpunkt t, wird durch folgende Operation r(t) r(t+ t) erhalten. Man bestimmt die Ortsänderung r während des Zeitintervalles t. Dann stellt r/ t die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall t dar. Wenn dieser Quotient für immer kleiner gewählte t einem endlichen Grenzwert (Limes) zustrebt, definieren wir diesen Wert als momentane Geschwindigkeit v(t) in [m/s]: r v(t) = lim t0 t = lim r(t + t) r(t) t0 t r(t) dr r(t+ t) v = d r = v x v y v z = dx dy dz oder = v x i + v y j + v z k Im Differentialquotienten d r/ sind d r und infinitesimal kleine Grössen und einzeln nicht definiert. Dennoch wird in der Physik häufig das sog. Differential d r benützt und als sehr kleiner Vektor aufgefasst und sogar gezeichnet. Wir werden dies im folgenden auch tun und dabei immer bedenken, dass geometrische 4

11 Beziehungen, die wir aus solchen Skizzen ablesen, nur gelten, wenn das Differential gegen Null strebt. So ergibt sich, dass z.b. d r = r(t + ) r(t) tangential zur Bahnkurve steht. Daher ist auch die Geschwindigkeit v tangential zur Bahnkurve. Der Betrag der Geschwindigkeit ist dann mit den Komponenten in kartesischen Koordinaten v = v x + v y + v z. Wenn wir aus der Ortsfunktion r(t) durch Differenzieren die Geschwindigkeit v erhalten, so muss sich durch die Umkehroperation, das Integrieren, aus v wiederum r berechnen lassen. Mit 3 Integrationskonstanten r(t ) = x(t ) i + y(t ) j + z(t ) k gilt t [ t ] r(t) = v(t ) + r(t ) = i v x (t ) +x(t ) + j [ t ] [ t ] v y (t ) +y(t ) + k v z (t ) +z(t ) t t t t r(t o ) s = dx +dy +dz = v x +v y +v z r(t) Weg s r(t)-r(t o ) wenn zu einer bestimmten Zeit t der Ort (Anfangsort) r(t ) vorgegeben ist. Die Skizze zeigt, dass die Differenz r(t) r(t ) = t t v(t ) nur im ganz speziellen Fall der geradlinigen Bewegung gleich dem zurückgelegten Weg (Bogenlänge 11 ) s ist! 1.3 Die Beschleunigung eines Massenpunktes Die Geschwindigkeit v eines Massenpunktes ist im allgemeinen eine Funktion der Zeit; v(t) kann sowohl den Betrag wie auch die Richtung ändern. Während v(t) als Tangente an die Bahnkurve im Ortsraum v(t) v definiert ist, kann man analog die Beschleunigung a(t) als die Tangente an die Bahnkurve im Geschwindigkeitsraum darstellen. Wir definieren also: v = a t r(t) v(t+ t) a(t) v(t) v(t+) v a(t) = lim t0 t = lim v(t + t) v(t) t0 t = d v. Setzen wir die Definition für v ein, so erhalten wir nach den Regeln der Differentialrechnung a(t) = d v = d ( ) d r = d r [ m s ], also einen direkten Zusammenhang zwischen der Ortsfunktion und der Beschleunigung. Genau wie vorher können wir bei gegebener Beschleunigung die Geschwindigkeit durch Integration erhalten. v(t) = v(t ) + t t a(t ). Auf Grund der Definition von a liegt a parallel zu d v. Folgende Spezialfälle sind wichtig: 11 R.Rothe Höhere Mathematik Bd I, S.136, Teubner

12 v(t) d v a) v ändert sich nur im Betrag und nicht in der Richtung. Dann ist d v v, also a v, d.h. die Beschleunigung ist auch tangential zur v(t + ) Bahn. b) v ändert sich nur in der Richtung und nicht im Betrag. Durch v(t) Differenzieren des Skalarproduktes v v erhalten wir: d v 3 v(t + ) d d v ( v v) = v + d v d v v = v = 0. Da aber v v = v = konst, so folgt v d v = 0, d.h. d v v. Die Beschleunigung steht also senkrecht zur Bahn. Obwohl hier der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist, tritt wegen der Richtungsänderung eine Beschleunigung auf. d v ist nicht gleich d v! c) Im allgemeinen Fall steht a weder parallel noch senkrecht zu v und a besitzt also eine Komponente a tang parallel zu v (tangential zur Bahn) und eine Komponente a norm senkrecht zur Bahn. d) Jede krummlinie Bewegung ist eine beschleunigte Bewegung. 1.4 Komponentendarstellung von Geschwindigkeit und Beschleunigung Die Vektorschreibweise von physikalischen Beziehungen gestattet eine einfache und kompakte Darstellung, die ferner, wie wir noch sehen werden, auch Symmetriebeziehungen und Transformationseigenschaften besser erkennen lässt 1. Für numerische Zwecke müssen wir jedoch Vektoren in ihre Komponenten in einem geeigneten Koordinatensystem zerlegen. Wir behandeln 3 Beispiele Raumfestes kartesisches xyz-koordinatensystem mit zeitunabhängigen Einheitsvektoren i, j, k. Aus dem Ortsvektor r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k erhält man durch Differentiation die Geschwindigkeit v(t) = d r = dx i + dy j + dz k = v x (t) i + v y (t) j + v z (t) k und die Beschleunigung a(t) = d v = dv x i + dv y j + dv z k = d x i + d y j + d z k = a x (t) i + a y (t) j + a z (t) k (1) z r x y Die Beträge dieser Vektoren sind dann r = r = x + y + z () ) ( ) ( ) ( dx dy dz v = v = + + (3) ) ( ) ( ) ( d x d y d z a = a = + + (4) 1 Vektoranalysis = Differentialrechnung im 3-dimensionalen oder n-dimensionalen Raum. 6

13 1.4. Normal- und Tangentialkomponenten Wir führen einen Einheitsvektor u ein, der in jedem Punkt tangential zur Bahn liegt: v = v u. u ist also zeitabhängig und läuft auf der Bahn mit. Dann ergibt sich als Beschleunigung r u v u(t) dϕ d u 3 u(t + ) a = d v = d dv (v u) = u + vd u. (5) Da u v steht, stellt der erste Term die Tangentialbeschleunigung a tang = dv u dar. Da u ein Einheitsvektor ist, gilt u u = 1 und d d u u u = u = 0, d u also für 0 ist d u u. Als Einheitsvektor kann u nur seine Richtung, aber nicht seinen Betrag ändern. Die durch d u definierte Richtung nennen wir die Hauptnormale der Kurve und legen sie durch den Einheitsvektor n fest: n d u. Wenn die Zeit um fortschreitet, hat sich u um den Winkel dϕ u(t) dr u(t+) gedreht. Es ist also ϕ u = d u oder d u = dϕ n n(t) n(t+) r(t) im Grenzfall infinitesimal kleiner Winkel dϕ. Somit identifizieren dϕ ρ wir vd u/ (den zweiten Term in Gl.(5) für a) als die Normalbeschleunigung a r(t+) M norm = v dϕ n. Die durch u und n aufgespannte Ebene heisst Schmiegungsebene. In ihr liegt der Krümmungskreis, den man zu jedem Punkt einer Bahnkurve angeben kann und der durch drei sehr nahe benachbarte Punkte bestimmt ist, deren Abstand gegen 0 strebt. Mittels des Krümmungsradius ρ wird dr = ρdϕ und dϕ = d u und somit P 1 P P 3 ρ M a norm = v d u = v dϕ = v1 d r ρ = v ρ. Zusammenfassung: v = v u, a = dv v u + ρ n = a tang u + a norm n Hierbei wurde kein Koordinatensystem spezifiziert. Auf einer gekrümmten Bahn erfährt ein Massenpunkt eine Normalbeschleunigung in Richtung der konkaven Seite. Die Richtung von a norm zeigt gegen M (Zentripetalbeschleunigung) Ebene Kreisbewegung v, a in Polarkoordinaten e ϕ(t) e ϕ(t+) e r(t+) er(t) dϕ r(t+) r(t) ϕ(t+) ϕ(t) ϕ=0 0 Analog zu den bisherigen Betrachtungen folgt also Der Massenpunkt wird durch die Koordinaten r und ϕ festgelegt. Wir führen zwei zeitabhängige Einheitsvektoren ein: e r r in Richtung wachsender r und e ϕ r in Richtung wachsender ϕ. Dann ist zunächst r = r e r. Als Einheitsvektoren können e ϕ und e r nur ihre Richtungen ändern. d e r e r, d e ϕ e ϕ oder d e r = dϕ e ϕ und d e ϕ = dϕ e r. 7

14 Das Minuszeichen tritt auf, weil d e ϕ antiparallel zu r gerichtet ist. v und a erhält man durch einfaches Differenzieren von r = r e r. e r(t+) dϕ d e r e r(t) d e r = e r dϕ v = d r = dr e r + r d e r = dr ( e r + r dϕ ) e ϕ = v r e r + v ϕ e ϕ. oder in Komponenten v r = dr, Für die Beschleunigung gilt a = d v = dr ( d e r + d r e r + r d ϕ + dr = d r r Beschleunigung in Polarkoordinaten ( ) [ dϕ e r + r d ϕ + dr a r = d r r v ϕ = r dϕ. (6) ) dϕ ] dϕ e ϕ = a r e r + a ϕ e ϕ. ( ) [ dϕ a ϕ = r d ϕ + dr e ϕ + r dϕ d e ϕ ] dϕ Die zur Zwischenrechnung eingeführten Einheitvektoren e r und e ϕ gehen natürlich in das Endergebnis nicht ein sondern nur die Polarkoordinaten r und ϕ sowie t. Speziell für eine Kreisbahn (r = konst = R) erhält man v r = 0, v ϕ = R dϕ = v a ϕ v ϕ a r R ω = dϕ und a r = R ( ) ( ) dϕ vϕ v = R = R R, a ϕ = R d ϕ. ist die Winkelgeschwindigkeit und dω = d ϕ die Winkelbeschleunigung. a r = v R = ω R ist die Bedingung für eine Kreisbewegung. (8) Sie wird oft Zentripetalbeschleunigung genannt. Sie kann z.b. erzeugt werden durch eine Fadenkraft einer rotierenden Masse, durch die Lorentzkraft eines geladenen Teilchens in einem Magnetfeld oder die Gravitationskraft bei der Bewegung der Erde um die Sonne Die Winkelgeschwindigkeit als ein Vektor ϕ = dϕ [ ] 1 = ω ist die Winkelgeschwindigkeit s ϕ = d ϕ = dω [ 1 = ω = β die Winkelbeschleunigung s T = π ω 0 ist die Umlaufzeit nur für ω = ω 0 =konst und ν = 1 = ω 0 T π (Umlaufzahl). ]. (7) die Frequenz 13 Die entsprechend bezeichnete Zentripetalkraft m a r = mω R ist daher keine Kraft sondern die geometrische Bedingung für eine Kreisbahn mit r =konst. Sie kann z.b. gebildet werden durch eine Fadenkraft, die Gravitationskraft [Kap ], die Lorentz-Kraft [Phys.AII]. 8

15 ω ϕ ϑ R r v In dieser Definition ist ω zunächst nur als ein Skalar gegeben. Mit v = R dϕ = Rω kann aber aus der Winkelgeschwindigkeit die Geschwindigkeit berechnet werden. Damit muss ω ebenfalls Vektorcharakter besitzen abhängig von v und r. Für eine Kreisbahn mit R =konst ist v R, ω R und ω v. Bei einer allgemeinen ebenen Bewegung steht R nicht senkrecht zu ω, ω ist dann nicht konstant im Betrag. Mit dem Einheitsvektor in der Drehachse e ist ω(t) = ω(t) e = dϕ e. ω ist ein axialer Vektor oder Pseudovektor, der durch seinen Drehsinn und nicht durch eine Richtung ausgezeichnet ist während r und v als polare Vektoren eine Richtung angeben. Für die Beträge gilt R = r sin ϑ und v = r sin ϑ ω = ω r, v = ω r wobei das Vektorprodukt zunächst hier formal benutzt wurde. Obwohl ω einen Drehsinn kennzeichnet, kann in der Konvention einer rechtsdrehenden Korkenzieherregel auch eine Richtung festgelegt werden 14 Mit dem Zusammenhang v = ω r gilt für die Beschleunigung ω Def: Rechtsschraube a = v = ω r } {{ } tangential und für die Normalkomponente der Beschleunigung: + ω r = a } {{ } tang + a norm normal a normal = a normal e R = ω r = ω v = ω ( ω r) 1.6 Berechnung von v und r aus a, r 0 und v 0 Ist der Ort r(t) eines Massenpunktes als Funktion der Zeit vorgegeben, so lassen sich Geschwindigkeit und Beschleunigung daraus durch Differentiation berechnen: v(t) = d r ; d v a(t) = = d r. Umgekehrt können bei gegebener Beschleunigung Geschwindigkeit und Ort zu jeder Zeit durch Integration erhalten werden: v(t) = t t a(t ) + v(t ); r(t) = t t v(t ) + r(t ). 14 Wir unterscheiden polare Vektoren, die eine Richtung beinhalten und axiale Vektoren (Pseudovektoren), die durch einen Drehsinn gekennzeichnet sind. Man beachte: Es gilt in den mathematischen Produkten von polaren Vektoren P und axialen Vektoren A: P P = A, A P = P, A A = A z Führt man für die beiden Vektortypen eine Paritätsoperation P d.h. eine Spiegelung am Ursprung durch, dann gilt: PP = P und PA = + A, z.b. für den Ortsvektor P r = r. r x y Die beiden Vektortypen unterscheiden sich also in ihrer Symmetrie gegenüber r=p r dem Paritätsoperator. 9

16 Natürlich muss diese Vektorgleichung bei einer expliziten Berechnung als drei skalare Gleichungen für die drei räumlichen Koordinaten (z.b. x, y, z kartesische Koordinaten) ausgeschrieben werden. Die beiden Integrationskonstanten müssen aus den Anfangsbedingungen berechnet werden. Anschaulich bedeutet dies: Die Endlage eines Massenpunktes bei bekannter Beschleunigung ist nur eindeutig, wenn z.b. der Anfangspunkt r = r(t ) und die Anfangsgeschwindigkeit v = v(t ) gegeben sind. Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massenpunktes längs der x-achse. Die Beschleunigung a x sei konstant, wie bei der Erdbeschleunigung g mit der x-richtung als Fallrichtung. Aus a x t a x = dv x = konst folgt durch einmalige Integration v x vx(t ) t v x (t) = t t a x + v x (t ) = a x (t t ) + v x (t ). Für t wählen wir den Zeitnullpunkt, d.h. t = 0. Mit der Anfangsbedingung v x (t ) = v x (0) = 0 wird dann v x (t) = a x t = dx x t. Nochmalige Integration liefert x(t) = t v x (t ) + x(0) = a x t + x(0). Mit der zweiten Anfangsbedingung x(0) = 0 wird dann schliesslich x(t) = 1 a xt. Die Kenntnis von Ort und Geschwindigkeit nur zu einem Zeitpunkt t legt bei bekannter Beschleunigung a den gesamten Bewegungsablauf fest. 10

17 Die Grundgesetze der Mechanik Wir suchen jetzt nach den Ursachen der Bewegung, insbesondere wollen wir quantitative Beziehungen aufstellen. Wir werden von Beobachtungen des Alltags ausgehen, Begriffe wie Masse und Kraft einführen, und dann zur Formulierung der Newtonschen Prinzipien gelangen, welche eine quantitative Erfassung aller mechanischen Vorgänge der klassischen Physik gestatten..1 Masse und Kraft Was wir gemeinhin als Kraft bezeichnen, ist unseren alltäglichen Erfahrung entnommen: wir müssen Muskelkräfte aufwenden, um z.b. einen Körper zu deformieren oder ihn in Bewegung zu versetzen. Wir fragen also nach den Wirkungen einer Kraft; die Frage nach dem Wesen der Kraft bleibt hier zunächst unbeantwortet. 1. Eine subjektive Schmerzempfindung aufgrund einer Kraft ist eine ungenügende Definition einer Kraft.. Mit unserer Muskelkraft können wir einen elastischen Körper deformieren. So wird z.b. eine ideale Feder verlängert oder verkürzt, wobei die Deformation offenbar umso grösser ist, je stärker die Kraft ist. Ferner ist die Deformation reversibel und reproduzierbar, d.h. unabhängig von der Vorgeschichte. Insbesondere wird die Deformation bei Wegnahme der Kräfte immer wieder verschwinden. Diese Eigenschaft können wir daher benützen, um Kräfte mit einer Standardfeder durch Deformation zu messen (Dynamometer). 3. Kraft ist auch die Ursache einer Bewegungs-, also Geschwindigkeitsänderung einer Masse. Insbesondere muss auf einen Körper eine Kraft wirken, um ihn aus dem Zustand der Ruhe in denjenigen der Bewegung zu bringen. Hierbei sehen wir aus dem Experiment schon unmittelbar, dass die Geschwindigkeitsänderung umso grösser wird, je grösser die wirkende Kraft ist. Ferner ergibt sich ebenso unmittelbar, dass die Kraft eine vektorielle Grösse ist, da die Richtung der eintretenden Geschwindigkeitsänderung mit der Richtung Pre luft Reiter Rolle Luftaustritt Schiene Gewicht m der Kraft variiert. Quantitative Versuche zu einer eindimensionalen Bewegung können wir mit der Luftkissenbahn ausführen. Kleine Reiter gleiten fast ungehindert d.h. reibungsfrei auf einem Luftpolster. Mittels eines kleinen Gewichtsstückes können wir einen Reiter mit konstanter Kraft beschleunigen. Wir stellen fest, dass die Geschwindigkeit linear mit der Zeit wächst. Also ist die Beschleunigung a konstant, die wir in Abhängigkeit von der Zeit t messen, die der Reiter zum Zurücklegen einer festen Strecke x gebraucht hat, also a = x/t. Für zwei verschiedene Beschleunigungen a 1 und a gilt dann a 1 /a = (t /t 1 ). Mit dieser Standardkraft können wir verschieden grossen Reitern unterschiedliche Beschleunigungen a i erteilen. Offenbar hängt a i von einer Grösse ab, die wir die träge Masse m i des Körpers nennen. Eine Masse zeigt einen Widerstand gegen eine Geschwindigkeitsänderung - die Trägheit. Gleiche Kraft ergibt bei gleichen trägen Massen dieselbe Geschwindigkeitsänderung. Wir können daher das Verhältnis der Massen m 1 und 11

18 m zweier Reiter durch das Verhältnis der zugehörigen Beschleunigungen a 1 und a bei konstanter Standardkraft definieren: m m 1 = a 1 a Es stellt sich heraus, dass das Massenverhältnis unabhängig davon ist, wie die gleichmässige Beschleunigung erzeugt wird, vorausgesetzt, beide Körper werden gleich behandelt. Wir können schliesslich die gleiche Masse mit einer doppelt so grossen Kraft beschleunigen, indem wir zwei Gewichtsstücke verwenden. Wir beobachten dann eine doppelt so grosse Beschleunigung. Somit können wir eine Kraft-Einheit definieren; es ist diejenige Kraft, welche der Masse m 1 die Beschleunigung a 1 erteilt. Auf Grund unserer Experimente erzeugt dann eine Kraft von F Einheiten, die auf eine Masse von m Einheiten wirkt, eine Beschleunigung a = F/m. Wir haben also für die eindimensionale Bewegung das Erfahrungsgesetz F = ma gefunden, das für den dreidimensionalen Raum erweitert werden kann zu F = m a Kraft=Masse Beschleunigung (9). Die Newtonschen Prinzipien Aus dem in Kap..1 skizzierten Tatsachenmaterial lassen sich Schlüsse ziehen, die in den von Isaac Newton 1687 aufgestellten Prinzipien formuliert sind 15. Diese Prinzipien, die für Massenpunkte gelten, stellen eine Kombination von Beobachtung, Definition, Intuition und Annahme über die Eigenschaften von Raum und Zeit dar...1 Trägheitsprinzip Das Trägheitsprinzip ist schon von Galilei 16 formuliert worden. 15 Im dritten Teil seiner Prinzipia antizipierte Isaac Newton ( ) die Idee eines künstlichen Satelliten als ein Wurfgeschoss, das um die Erde herumfällt, wenn nur die Anfangsgeschwindigkeit gross genug ist. Seine mathematische Theorie der Gravitation bewies die Identität der Fallbeschleunigung auf der Erde und der Anziehung zwischen Mond und Erde, erklärte damit auch die Gezeiten und postulierte identische Gesetze auf der Erde und im Weltraum. Dies war die erste vereinheitlichende Theorie in der Physik. Leibnitz kritisierte seine Begriffe des absoluten Raumes und der absoluten Zeit. Er wurde durch die Relativitätstheorie bestätigt. Der Huygens schen Wellenhypothese des Lichtes stand Newton ablehnend gegenüber, dieser Konflikt wurde erst in der Quantenmechanik durch den Dualismus von Welle und Teilchen gelöst. 16 Galileo Galilei ( ) aus einer angesehenen Florentiner Kaufmannsfamilie, studierte in Pisa Medizin, war für die Malerei begabt, las mit 0 Euklid und Archimedes, wurde mit Prof. für Mathematik in Pisa: Fall-Versuche, Trägheitsgesetz, entwickelte das Fernrohr (Phasen der Venus, Jupitermonde), 159 Padua Discorsi, 1610 Hofmathematiker der Medici in Florenz (Fürst Cosimo II), Prozess in Rom (Konflikt zwischen dem Aristotelismus und dem Kopernikanischen Weltsystem), 1633.Prozess (lebenslängliche Haft im Landhaus Arcetri, Arbeiten: Gesetz des freien Falls, Wurfbewegung, schiefe Ebene, Pendelgesetz, verbotener Druck anonym in Holland), 1637 erblindet. 199 Rehabilitation durch Papst Johannes Paul II ohne die Haltung des Vatikans gegenüber den Naturwissenschaften zu tangieren [Phys. Blätter (1968)S , 49(1993)877-88, ]. 1

19 z Es ist immer möglich, ein spezielles Koordinatensystem, das m sogenannte Inertialsystem, zu finden, in dem sich ein isolierter Massenpunkt mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Wenn 3 v = konst. auf einen Körper von aussen keine Kräfte wirken, beharrt er in seinem Zustand der Bewegung, er bleibt in Ruhe, wenn er von Anfang an in Ruhe war. Inertialsystem x y Dies Prinzip stellt eine Mischung von Definition und experimenteller Tatsache dar: Auf Grund der Definition des Inertialsystems bewegen sich Massenpunkte mit konstantem v, falls es uns gelingt, alle auf sie wirkenden Kräfte auszuschalten. Weil das in der Praxis nur beschränkt möglich ist, ist also die Aussage, solche Inertialsysteme würden existieren, eine geniale Extrapolation der Beobachtungen. Das Trägheitsprinzip ist nicht einfach ein Sonderfall des gleich zu besprechenden. Prinzips, es definiert vielmehr den Raum (Metrik des Raumes ), in dem die Newtonsche Mechanik gilt. In unseren obigen Versuchen mit der Luftkissenbahn stellt ein Koordinatensystem, das fest mit dem Profil verbunden ist, das Inertialsystem dar. Wirken längs der Bahn keine Kräfte, so ändert sich der Bewegungszustand des Reiters nicht... Bewegungs- oder Aktionsprinzip z m 3 F a Wirkt auf einen Massenpunkt der Masse m eine Kraft F, so erfährt der Massenpunkt eine Beschleunigung gemäss der Gleichung F = m a. x y Dieses Prinzip ist mehr als nur eine Definitionsgleichung der Kraft! Es genügt nicht zu sagen, dass eine Kraft F = m a existiere, wenn eine Beschleunigung a gemessen wird. Kräfte rühren her von Wechselwirkungen zwischen Systemen (hier also zwischen Reiter und Gewichtsstück ), und es sind diese Wechselwirkungen, welche physikalisch bedeutsam sind und die in jedem Falle angegeben werden müssen. Andererseits wird durch das Aktionsprinzip die Kraft definiert durch: Man nehme m, messe a und bestimme F aus Gl. (9). Das Aktionsprinzip liefert auch die Masseinheit der Kraft. Im Internationalen System ist die Einheit der Kraft 1 Newton = 1 N = [ kg m s ]. Das ist die Kraft, die der Masse 1 kg die Beschleunigung 1 m/s erteilt 17. Aus der Vektorschreibweise des Aktionsprinzips folgt, dass F immer in Richtung von a zeigt. Man kann also die Kraft durch einen Vektor repräsentieren, dessen Angriffspunkt im Massenpunkt liegt. Wenn mehrere Kräfte auf einen Massenpunkt wirken und somit auch mehrere Wechselwirkungen vorhanden sind, so zeigt die Erfahrung, dass diese Kräfte sich zu einer resultierenden Kraft überlagern. Es gilt das 17 Im cgs-system ist die Einheit 1 dyn diejenige Kraft, die 1 g mit 1 cm/s beschleunigt. Es ist 1 N = 10 5 dyn. 13

20 ..3 Superpositionsprinzip F F a a 3 m a 1 F1 Die Beschleunigung a, die mehrere an einem Massenpunkt angreifende Kräfte F i bewirken, ist gleich der Vektorsumme a = a i der Einzelbeschleunigungen, welche die Kräfte verursachen würden, falls sie einzeln wirken würden. F = Fi = m a i = m a Das Aktionsprinzip kann in einer etwas allgemeineren Form geschrieben werden, wie sie Newton selbst benutzte, die überdies auch in der Relativitätstheorie gültig ist. Dazu brauchen wir den Begriff des Impulses. Der Impuls p eines Massenpunktes m ist definiert als p =. m v. Dann lautet das Aktionsprinzip: F = d p = d(m v) = m a (10) Die auf einen Massenpunkt wirkende Kraft F ist gleich der Impulsänderung pro Zeiteinheit. Die Proportionalitätskonstante ist in Gl.(10) als 1 definiert. Gl.(10) ist eine Vektorgleichung, die ausgeschrieben in drei räumlichen Koordinaten z.b. in kartesischen Koordinaten lautet: F x = m d x, Polarkoordinaten Gl. (7) F r = m F y = m d y, d r r F z = m d z oder in ebenen ( ) [ dϕ, F ϕ = m r d ϕ + dr In der klassischen Physik (v Lichtgeschwindigkeit c) ist m unabhängig vom Bewegungszustand, so dass gilt F d p = = d (m v) = md v. Für Geschwindigkeiten, die nicht mehr klein gegen die Lichtgeschwindigkeit c sind, ist m jedoch eine Funktion von v. Dabei gilt auf Grund der Einsteinschen Relativitätstheorie ] dϕ m = m 1 v /c wobei m die Ruhemasse ist. Trotzdem ist das Aktionsgesetz in der Form noch gültig. Explizit erhält man F = d (m v) = F = d p = d (m v) m d v 1 v /c + m v dv (1 v /c ) 3 c v. 14

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