Bäume. Text. Prof. Dr. Margarita Esponda SS 2012 O4 O5 O6 O ALP2-Vorlesung, M. Esponda

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1 Bäume O1 O2 Text O3 O4 O5 O6 O7 Prof. Dr. Margarita Esponda SS ALP2-Vorlesung, M. Esponda

2 Inhalt 1. Einführung 2. Warum Bäume? 3. Listen und Arrays vs. Bäume 4. Einfach verkettete binäre Suchbäume Baumtraversierung Suchen Einfügen 5. Doppelt verkettete binäre Bäume Löschen 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

3 Warum Bäume? Bäume sind fundamentale Datenstrukturen für: Betriebssysteme Datenbanken Übersetzerbau CFS von Linux (RB-Baum) B-Bäum, R-Bäume Abstrakte Syntaxbäume Textverarbeitung 3D Graphik-Systeme Datenkompression KI, Spiele Hofmann-Kodierung Entscheidungsbäume usw. 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

4 Was ist ein Baum? Eine spezielle Graph-Struktur ohne Zyklen O1 Wurzel 1. Er hat eine Wurzel. O2 O3 2. Alle Knoten außer der Wurzel haben genau eine Verbindung O4 O5 O6 O7 mit einem Vorfahren. 3. Es existiert genau ein Weg O8 O9 O10 zwischen der Wurzel und jedem beliebigen Knoten. O11 O12 O13 O ALP2-Vorlesung, M. Esponda

5 Eigenschaften von Bäumen? Nehmen wir an, wir haben einen Baum t, dann gilt: t bezeichnet die Größe des Baumes t oder die gesamte Anzahl seiner Knoten. Die Tiefe (Level) eines Knotens ist sein Abstand zur Wurzel. Die Tiefe der Wurzel ist gleich 0. die Höhe h(t) ist der maximale Abstand zwischen der Wurzel und die Knoten. Blätter sind Knoten ohne Kinder. Die Pfadlänge des Baumes sei definiert als die Summe der Tiefen aller Knoten des Baumes. 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

6 Eigenschaften von Bäumen Zwischen zwei beliebigen Knoten in einem Baum existiert genau ein Pfad, der sie verbindet. O1 Knoten O2 O3 Kanten O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 Ein Baum mit N Knoten hat N-1 Kanten. Blätter 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

7 Binärbäume Bäume, in denen jeder Knoten höchstens zwei Kinder hat. Ein Binärbaum mit N inneren Knoten hat N+1 äußere Knoten oder Blätter. O5 Innere Knoten O9 O10 Blätter O11 O12 O13 O ALP2-Vorlesung, M. Esponda

8 Warum Bäume? Weil die Grundoperationen für dynamische Datenmengen damit viel effizienter realisiert werden können. Elementare Operationen für dynamische Mengen Suchen Einfügen Löschen Bäume kombinieren die Vorteile der zwei Datenstrukturen, die wir bereits diskutiert haben: Felder (Arrays) und Listen. 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

9 Sortiertes Array mit n Elementen Binärsuche Suchen Kopf Sortierte Liste mit n Elementen n/ n/4 n/ Schlimmster Fall log 2 (n) Schritte O(log 2 n) Schlimmster Fall n Schritte O(n) 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

10 Einfüge- und Lösch-Operationen (wenn die Position bereits bekannt ist) 7 Array Die Laufzeit hängt linear von der Länge der bereits gespeicherten Daten ab. 7 Liste Die Laufzeit ist immer konstant Schlimmster Fall n Schritte Schlimmster Fall O(n) 56 O(1) 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

11 Liste Liste vs. Array n O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 Array n O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 Elementare Operationen für dynamische Mengen Liste sortiert nicht sortiert Array sortiert Suchen O(n) O(n) O(log 2 (n)) Einfügen O(n) O(1) O(n + log 2 (n)) Löschen O(n) O(n) O(n + log 2 (n)) 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

12 Vollständige Binärbäume Ein vollständiger binärer Baum hat 2 h 1 innere Knoten und 2 h Blätter root n = 2 h+1-1 O1 Level 0 n + 1 = 2 h+1 O4 O2 O5 O6 O3 O7 Level 1 Level 2 h log 2 (n+1) = log 2 (2 h+1 ) log 2 (n+1) = h+1 O8 O9 O10 O11 O12 O13 O14 O15 Level 3 h = log 2 (n+1) ALP2-Vorlesung, M. Esponda

13 Eigenschaften von Binär Bäumen Rekursive Definitionen: Anzahl der inneren Knoten Höhe des Baumes Innere Pfadlänge des Baumes (Summe der Tiefen aller inneren Knoten) Pfadlänge der Blättern (Summe der Pfadlänge der Blättern) t = t l + t r + 1 h(t) = 1+ max(h(t l ) + h(t r )) π(t) = π(t l ) + π(t r ) + t 1 ξ(t) = ξ(t l ) + ξ(t r ) + t ALP2-Vorlesung, M. Esponda

14 Binärbäume Binärbäume einfachste Baumstrukturen ausgeglichene Bäume Beispiele: AVL-Bäume Red-Black-Bäume B-Bäume usw. Die wichtigste Voraussetzung für die effiziente Verwaltung von Datenmengen mit Hilfe von Bäumen ist, dass die Bäume balanciert sind. 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

15 Binäre Suchbäume geordneter Baum mit maximal 2 Nachfolgern pro Knoten left O1 right Innere Knoten left O2 right left O3 right O4 O5 O6 O7 null null null null null null null null Blätter 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

16 Wie können wir Binärbäume in Java implementieren? root O3 TreeNode-Klasse left right BinarySearchTree-Klasse O3 O3 null right left right Die Objekte werden nach einem Schlüssel einsortiert. O3 left O3 null O3 null null null null 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

17 Beispiel: root K1 D1 TreeNode-Klasse left right BinarySearchTree-Klasse K2 D2 K3 D3 null right left right Die Objekte werden nach einem Schlüssel K einsortiert K4 D4 K5 D5 left null null null Datenobjekt D, das zum Schlüssel verbunden ist. K6 null D6 null 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

18 Binäre Suchbäume. Sortierbare Schlüssel Daten public class BinarySearchTree <T extends Comparable<T>, D> implements Iterable<T> { private TreeNode root; private int size; // Anzahl der TreeNode-Objekten public BinarySearchTree() { // constructor root = null; size = 0; } public int size() { return size; } um for-each-schleifen verwenden zu können 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

19 public class BinarySearchTree. class TreeNode { private T key; private D data; private TreeNode left; private TreeNode right; Binäre Suchbäume null T2 D2 T1 left right D1 right T3 left D3 right root TreeNode (T key, D data) { this.key = key; this.data = data; size++; } } // end of class TreeNode T6 null left null null null null T4 D4 T5 D5 D6 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda 5

20 Suchen 4 node root 11 left right 7 19 left right left right 3 left right 9 left right 14 left right 21 left right 1 4 null null 12 null null null left right left right left right null null null null null null 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

21 Suchen Wenn node gleich null wird, befindet sich das Element nicht in dem Baum. node 4 root 11 left right 7 19 left right left right 3 left right 9 left right 14 left right 21 left right 1 4 null null 12 null null null left right left right left right null null null null null null 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

22 public boolean contains(t key) { return getdata( key )!= null; } public D getdata(t key) { TreeNode node = root; while (node!= null) { int compare = key.compareto(node.key); if (compare < 0) } node = node.left; else if (compare > 0) node = node.right; else return node.data; } return null; 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda Binäre Suchbäume Ein Schlüssel wird gesucht Gibt die Daten, die mit einem Schlüssel verbunden sind, zurück oder null, wenn der Schlüssel nicht vorhanden ist.

23 Einfügen (rekursiv) insert(root, 4, data) root 11 D D2 D D4 D5 D6 D7 1 5 D8 D9 16 D0

24 Einfügen (iterativ) root insert(left, 4, data) 11 D D2 D D4 D5 D6 D7 1 5 D8 D9 16 D0

25 Einfügen (iterativ) root 11 D1 insert(left, 4, data) 7 19 D2 D D4 D5 D6 D7 1 5 D8 D9 16 D0

26 Einfügen (iterativ) root 11 D D2 D3 insert(right, 4, data) D8 D9 D4 D5 D6 D7 16 D0

27 Einfügen (iterativ) root 11 D D2 D D4 D5 D6 D7 1 5 insert(left, 4, data) D8 D9 16 D0 return 4 data

28 Einfügen (iterativ) root 11 D D2 D D4 D5 D6 D7 1 5 D8 D9 16 D0 4 data

29 Binäre Suchbäume public class BinarySearchTree <T extends Comparable<T>, D> public void store(t key, D data) { } root = insert( root, key, data ); implements Iterable<T>{ private TreeNode insert(treenode node, T key, D data) { } if (node == null) return new TreeNode(key, data); int compare = key.compareto(node.key); if (compare < 0) node.left = insert(node.left, key, data); else if (compare > 0) else node.right = insert(node.right, key, data); node.data = data; return node; Ein Schlüssel und das damit verbundene Daten-Objekt werden eingegeben Ein neues Objekt wird nach seinem Schlüssel in einem Blatt einsortiert. Wenn der Schlüssel bereits existiert, werden die Daten überschrieben.

30 Traversierung binärer Bäume Inorder Linker Unterbaum - Wurzel - Rechter Unterbaum F D I B E G J A C H A B C D E F G H I J

31 Implementierung einer Iterator-Klasse als Innere Klasse public class BinarySearchTree <T extends Comparable<T>, D> implements Iterable<T> {... public Iterator<T> iterator() { return new InorderIterator(); } Iterator-Klasse, die den Baum in sortierter Reihenfolge durchläuft. private class InorderIterator implements Iterator<T> { }... } 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

32 Iterative Implementierung r Stapel s F x r t D w y I z u B E G J v q A C H

33 Iterative Implementierung r Stapel s F x r s t u t D w y I z u B E G J v q A C H

34 Iterative Implementierung r Stapel s F x r s t u t D w y I z u B E G J v q A C H

35 Iterative Implementierung r Stapel s F x r s t t D w y I z u B E G J v q A C H

36 Iterative Implementierung r Stapel s F x r s v t D w y I z u B E G J v q A C H

37 Iterative Implementierung r Stapel s F x r s t D w y I z u B E G J v q A C H

38 Iterative Implementierung r Stapel s F x r w t D w y I z u B E G J v q A C H

39 Iterative Implementierung r Stapel s F x r t D w y I z u B E G J v q A C H

40 Iterative Implementierung r Stapel s F x rx y t D w y I z u B E G J v q A C H

41 Implementierung einer Iterator-Klasse als Innere Klasse... private class InorderIterator implements Iterator<T> { }... private Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>(); InorderIterator() { pushlefttree(root); } public boolean hasnext() { return!stack.isempty(); } public T next() { if (!hasnext()) throw new NoSuchElementException(); } TreeNode node = stack.pop(); pushlefttree(node.right); return node.key; public void pushlefttree(treenode node) { } while (node!= null) { stack.push(node); } node = node.left; public class NoSuchElementException extends RuntimeException public void remove() { throw new UnsupportedOperationException();}

42 Anwendungsbeispiel: public static void main(string[] args) { BinarySearchTree<Integer, String> st = new BinarySearchTree<Integer, String>(); st.store(43901, "Peter Meyer" ); st.store(43021, "Nils Meyer" ); st.store(43002, "Andre Meyer" ); st.store(43101, "Hans Meyer" ); st.store(43000, "Joachim Meyer" ); st.store(43501, "Carl Meyer" ); for(iterator<integer> iter = st.iterator(); iter.hasnext();) System.out.println(iter.next()); System.out.println("size = " + st.size()); } for (Integer s : st) { System.out.println(s); }

43 Minimum und Maximum 53 Der erste Knoten, der Minimum Maximum keine linken Kinder mehr hat, beinhaltet das kleinste Element ALP2-Vorlesung, M. Esponda

44 Nachfolger 1. Fall 53 Es gibt einen rechten Unterbaum Minimum

45 Nachfolger 2. Fall Es gibt keinen rechten Unterbaum Nachfolger Maximum 39 Wie können wir nach oben laufen?

46 Doppelt verkettete Bäume 53 parent O3 left right y node private class TreeNode { private T key; private D data; private TreeNode left private TreeNode right; private TreeNode parent; }

47 Doppelt verkettete Bäume 53 parent 30 y 69 left O3 right node private class TreeNode { private T key; private D data; private TreeNode left private TreeNode right; private TreeNode parent; }

48 Doppelt verkettete Bäume 53 parent O3 y node left right private class TreeNode { private T key; private D data; private TreeNode left private TreeNode right; private TreeNode parent; }

49 Doppelt verkettete Bäume y 53 parent O3 node left right private class TreeNode { private T key; private D data; private TreeNode left private TreeNode right; private TreeNode parent; }

50 Doppelt verkettete Bäume node y 53 parent O3 left right private class TreeNode { private T key; private D data; private TreeNode left private TreeNode right; private TreeNode parent; }

51 node Doppelt verkettete Bäume y 53 parent O3 left right private class TreeNode { private T key; private D data; private TreeNode left private TreeNode right; private TreeNode parent; }

52 node Doppelt verkettete Bäume y 53 parent O3 left right private class TreeNode { private T key; private D data; private TreeNode left private TreeNode right; private TreeNode parent; }

53 Doppelt verkettete Bäume node y 53 Nachfolger parent O3 left right private class TreeNode { private T key; private D data; private TreeNode left private TreeNode right; private TreeNode parent; }

54 Delete-Operation ( Löschen ) 1. Fall Löschen eines Knotens ohne Kinder 2. Fall Löschen eines Knotens mit nur einem Kind null garbage garbage 46

55 3. Fall Löschen Löschen eines Knotens mit zwei Kindern Der Knoten, den man löschen möchte, wird durch seinen Nachfolger ersetzt Der Nachfolger von 27 ist das Minimum des rechten Unterbaumes. Das Minimum ist entweder ein Blatt oder hat maximal ein rechtes Kind.

56 Löschen 53 node y 30 left 46 x parent 32

57 Probleme mit einfachen binären Suchbäumen balancierter Binärbaum nicht balancierter Binärbaum

58 Lösungen AVL-Bäume Red-Black-Bäume AA-Bäume B-Bäume usw. Innerhalb der insert- und delete-operationen wird mit Hilfe von Rotationen die Balance des Baumes ständig wiederhergestellt. 53 x

59 Elementare Operationen für dynamische Mengen Liste Array Balancierter Binärbaum Schlimmster Fall Schlimmster Fall Schlimmster Fall Suchen O(n) O(log 2 (n)) O(log 2 (n)) Einfügen O(n) O(n) O(log 2 (n)) Löschen O(n) O(n) O(log 2 (n)) 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda

60 Farben R: 0 G: 51 B: 102 R: 153 G: 204 B: 0 R: 255 G: 255 B: 255 R: 0 G: 0 B: 0 R: 204 G: 0 B: 0 R: 255 G: 153 B: Fußzeile ALP2-Vorlesung, anpassen unter M. Esponda Ansicht -> Kopf- und Fußzeile 52

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