Stochastic Sampling als Messprinzip

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1 Stochastic Sampling als Messprinzip Ehrenkolloquium Frau Prof. Dr.-Ing. habil. Erika Müller , Universität Rostock Holger Nobach Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation Göttingen 1

2 Turbulenzforschung mikroskopisch makroskopisch Navier-Stokes-Gleichungen 100m 1mm 2

3 Turbulenzforschung mikroskopisch makroskopisch Navier-Stokes-Gleichungen Turbulenzmodelle Experimentelle Verifikation Experiment Messtechnik Statistische Verfahren 3

4 Re= v L

5 Hitzdrahtanemometrie Strom I Wärmeabgabe Abströmung Stifte (Kontakte und Halterung für den Draht) Anströmung Heiz- / Fühlerelement (Draht) Sensor (dünner Draht: 1mm lang 5µm dick) 5

6 Laser-Doppler-Anemometrie Strahlteiler Interferenzfeld Streuteilchen Laser Sendelinse Empfänger Signalburst 6

7 Messpunkt Geschwindigkeit LDA-Datensatz Zeit Einzelteilchenmessung Unsicherheit der Frequenzschätzung Korrelation zw. Teilchenrate und Geschwindigkeit Interferenz des Streulichtes verschiedener Teilchen zufällig abgetastete Zeitreihe breitbandiges Rauschen Korrelation zw. Datenrate und Geschwindigkeit Prozessortotzeit 7

8 unregelmäßig abgetasteter Datensatz statistische Datenanalyse 8

9 Geschwindigkeit Geschwindigkeitsbias Zeit 9

10 unregelmäßig abgetasteter Datensatz Direkte Verarbeitung Mathematische Beschreibung des Signals (z.b. Folge von Dirac-Impulsen) Berücksichtigung der unregelmäßigen Abtastung Entwicklung geeigneter Schätzer Geschwindigkeit Zeit 10

11 Prinzip der direkten Spektralanalyse 1 S S f T T u t e 2 j f t 0 2 i T = 2 N N ui e 2 jft i=1 2 Systematischer Fehler aufgrund der unregelmäßigen Abtastung Fehlerabschätzung: E {S S }=S P T 2 N u i Korrektur: T S P f = 2 N { N ui e i =1 2 2 j f t i N u i2 i =1 } 11

12 Prinzip der direkten Spektralanalyse 1 S S f T T u t e 2 j f t 0 2 i T = 2 N N ui e 2 jft i=1 2 Systematischer Fehler aufgrund der unregelmäßigen Abtastung Fehlerabschätzung: E {S S }=S P T 2 N u i Korrektur: T S P f = 2 N { N ui e i =1 2 2 j f t i N u i2 i =1 } 12

13 unregelmäßig abgetasteter Datensatz Signalrekonstruktion und regelmäßige Wiederabtastung Direkte Verarbeitung Mathematische Beschreibung des Signals (z.b. Folge von Dirac-Impulsen) Berücksichtigung der unregelmäßigen Abtastung Entwicklung geeigneter Schätzer Wahl einer geeigneten Rekonstruktions- bzw. Interpolationsvorschrift Klassische Datenverarbeitung Geschwindigkeit Geschwindigkeit Zeit Zeit 13

14 LDA-Datensatz Rekonstruktion und regelmäßige Abtastung Korrelationsfunktion Fourier-Transformation Spektrum 14

15 LDA-Datensatz Rekonstruktion und regelmäßige Abtastung Korrelationsfunktion Fourier-Transformation Spektrum 15

16 Sample-and-Hold-Rekonstruktion lineare Interpolation exponentielle Rekonstruktion 16

17 Spline-Interpolation Kalman-Rekonstruktion Shannon-Rekonstruktion Anpassung einer bandbegrenzten Funktion (POCS) fraktale Rekonstruktion Allen Rekonstruktionen (unabhängig von der Rekonstruktionsvorschrift) gemeinsam: Bei hoher Datenrate sind alle Verfahren geeignet, aus dem unregelmäßig abgetasteten LDA-Datensatz einen regelmäßig abgetasteten Datensatz zu erzeugen, der die spektralen Eigenschaften des Strömungsprozesses widerspiegelt. Bei geringer Datenrate verändern sich die spektralen Eigenschaften. Der spektrale Charakter des Rekonstruktionsergebnisses wird direkt und unabhängig vom zugrundeliegenden Strömungsprozess von der verwendeten Rekonstruktionsvorschrift und der Datenrate bestimmt. 17

18 unregelmäßig abgetasteter Datensatz Signalrekonstruktion und regelmäßige Wiederabtastung Mathematische Beschreibung des Signals (z.b. Folge von Dirac-Impulsen) Berücksichtigung der unregelmäßigen Abtastung Entwicklung geeigneter Schätzer Wahl einer geeigneten Rekonstruktions- bzw. Interpolationsvorschrift Klassische Datenverarbeitung Quantisierung der Abtastzeitpunkte oder -intervalle Berücksichtigung von Signallücken Schätzer aus der Prozessidentifikation Geschwindigkeit Geschwindigkeit Zeit Transformation in einen dünn besetzten Datensatz Geschwindigkeit Direkte Verarbeitung Zeit Zeit 18

19 Slot Correlation uj ui i =1 N j =1 N j i tj ti t j t i N u i u j N z k = u i u j bk t j t i i =1 j =1 j i N N nk = b k t j t i i =1 j =1 j i b k t = { 1 für k 1/2 t k 1/2 0 sonst AKF AKF R k =z k / nk 19

20 Slot Correlation uj ui i =1 N j =1 N j i tj ti t j t i N u i u j N z k = u i u j bk t j t i i =1 j =1 j i N N nk = b k t j t i i =1 j =1 j i b k t = { 1 für k 1/2 t k 1/2 0 sonst AKF AKF R k =z k / nk 20

21 Unregelmäßige Abtastung hohe zeitliche Auflösung durch kurze Abtastintervalle geringes Datenvolumen durch lange Abtastintervalle sehr effizient Bestimmung statistischer Kennwerte und -funktionen möglich Interessante Eigenschaften auch für andere Anwendungen 21

22 Quantisierung 22

23 Aliasing 23

24 Aliasing Rekonstruktion niedriger Frequenzen Rekonstruktion hoher Frequenzen 24

25 Aliasing 25

26 Supersampling 26

27 Stochastic Sampling Rekonstruktion hoher Frequenzen Vermeidung von Fehlinterpretation durch Aliasing Rekonstruktion niedriger Frequenzen 27

28 Stochastic Sampling 28

29 Stochastic Sampling Prozess / Signal Abtastung! Rekonstruktion stat. Eigenschaften hohe Frequenzen niedrige Frequenzen 29

30 Stochastic Sampling hohe Auflösung durch kleine Abtastintervalle geringes Datenvolumen durch große Abtastintervalle sehr effizient Bestimmung statistischer Kennwerte und -funktionen möglich Rekonstruktion nur eingeschränkt möglich 30

31 Abtastschema Poisson-Prozess Mindestabstände max. Abstände Jitter 31

32 Abtastschema menschl. Retina blaue Zapfen 20µm Paul R. Martin, Ulrike Grünert, Tricia L. Chan, and Keely Bumsted: Spatial order in short-wavelength-sensitive cone photoreceptors: a comparative study of the primate retina. JOSA A, Vol. 17, Issue 3, pp

33 Unregelmäßige Abtastung Messkette Prozess Messgröße Einfluss des Messgerätes Prozesseigenschaften Messgerät Messgerät Signal Signaleigenschaften Verarbeitung Kenngrößen und -funktionen Information 33

34 1. Analyse des rekonstruierten Datensatzes LDA-Datensatz Rekonstruktion Resampling Korrelationsund Spektralanalyse 34

35 2. Abschätzung des Filters LDA-Datensatz Wahre ACF Rekonstruktion }=MR E {R R Resampling Korrelationsund Spektralanalyse Nach Rekonstruktion erwartete ACF R R t1 t2 1 2 R 35

36 3. Korrektur LDA-Datensatz Wahre ACF Korrigierte ACF }=MR E {R R =M 1 R R R Nach Rekonstruktion erwartete ACF Nach Rekonstruktion bestimmte ACF Rekonstruktion Resampling Korrelationsund Spektralanalyse 36

37 Sample-and-Hold-Rekonstruktion Rekonstruktionsvorschrift Interpolationsfilter E {R R k }= e Korrektur k = R n k { R 0 u R t =u i n 1 1 e 2 n e 2 t i t t i 1 =1 e n 1 e 2 n min k, R { R 0 R f ü r k=0 c [ R R ] sonst 2c 1 R R k R k 1 R k 1 c= } e n 1 e n 2 Proportional-Ein-Punkt-Rekonstruktion (exp., Korrelationskoeffizient, S&H) Rekonstruktionsvorschrift u R t =u i f R t t i t i t t i 1 Interpolationsfilter 0 n E { R R k }=R 0 i = f R i f R k i 1 e e n k min k, =1 R i=1 i f R i f R k 1 e n 2 e n k 2 i Korrektur erfolgt numerisch durch Lösung des linearen Gleichungssystems andere Interpolationen prinzipiell auch für andere Interpolationen geeignet numerischer Aufwand steigt mit der Anzahl der verwendeten Stützstellen stark an geringer Gewinn gegenüber Sample-and-Hold-Interpolation 37

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