7.4 Bestimmung von Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Eigenschaften

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "7.4 Bestimmung von Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Eigenschaften"

Transkript

1 Bestimmung von Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Eigenschaften In der Kurvenuntersuchung werden von einer gegebenen Funktionsgleichung ausgehend die Graphen von Funktionen auf ganz bestimmte Eigenschaften hin untersucht. Umgekehrt ist es, wenn die Eigenschaften einer Funktion gegeben sind und ihre Funktionsgleichung bestimmt werden soll. Solche Aufgaben sind in inner- und außermathematischen Fragestellungen, z. B. in Wirtschaft und Technik, dann gegeben, wenn eine Problemsituation (Realmodell) durch mathematische Bedingungen beschrieben werden kann, mit deren Hilfe eine passende Funktion zu bestimmen ist, die die gegebene Problemsituation hinreichend abbildet. Die Ermittlung solcher Funktionen geschieht anhand eines einfachen innermathematischen Beispiels. Beispiel: Der Graph auf einer für den Unterricht vorbereiteten Folie wird an einigen Stellen so stark verwischt, dass er nur noch teilweise zu erkennen ist. Leider ist auch vom Funktionsterm nur noch ein geringer Teil abzulesen. Es soll nun versucht werden, aus den Resten die zugehörige Funktionsgleichung f(x) zu ermitteln f(x) = 1 4 x x 1. Es ist der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit a 3 = 1 _ 4.. Der Graph schneidet die -Achse bei = 5, d. h. f(0) = 5 ist somit das Abslutglied a 0 und kann unmittelbar angegeben werden. 3. Im Punkt P(0 5) hat der Graph von f offensichtlich einen Hochpunkt. Mithilfe der ersten Ableitungsfunktion f und der Bedingung f (x) = 0 wird a 1 errechnet. Es ist a 1 = Einen Schnittpunkt mit der x-achse hat der Graph bei x 1 =. Mithilfe der Bedingung f( ) = 0 wird der Wert für a bestimmt, es ist a = 3 _ 4. Die gesuchte Funktion hat somit die Gleichung f(x) = 1 _ 4 x 3 3 _ 4 x + 5. I. f(x) = 1 _ 4 x 3 + a x + a 1 x + a 0 II. 5 = 1 _ a 0 + a a 0 a 0 = 5 III. f (x) = 3 _ 4 x + a x + a 1 0 = a 1 a 1 = 0 IV. f(x) = 1 _ 4 x 3 + a x = 1 _ 4 ( ) 3 + a ( ) = + 4 a + 5 a = 3 _ 4 Die Konstruktion von Funktionen aus vorgegebenen Eigenschaften besteht offensichtlich in der Bestimmung der Koeffizienten einer Funktionsgleichung.

2 196 Kapitel 7: Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen Eine ganzrationale Funktion vom Grad n lautet allgemein: f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Die Funktionsgleichung enthält n + 1 Koeffizienten: a n, a n 1, a n,..., a 1, a 0 als Unbekannte. Eine ganzrationale Funktion z. B. dritten Grades lautet f(x) = a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 und enthält folglich die 4 Koeffizienten: a 3, a, a 1 und a 0 als Unbekannte. Es ist zweckmäßig, bei der Ermittlung der unbekannten Koeffizienten eine bestimmte Schrittfolge einzuhalten, um sich so besser der jeweils vorliegenden Situation anpassen zu können. Beispiel: Zu bestimmen ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch den Punkt P(0 1) verläuft und dort eine waagerechte Tangente hat. Außerdem schneidet der Graph bei x = die x-achse und die gesuchte Funktion f hat an der Stelle x = 1 eine Wendestelle. 1. Schritt: Aufstellen der Funktionsgleichung dritten Grades in allgemeiner Form, d. h. vier Koeffizienten a 3 ; a ; a 1 u n d a 0 sind zu bestimmen. Außerdem werden vorsorglich die ersten beiden Ableitungen aufgeschrieben, die noch benötigt werden.. Schritt: Ermitteln der vier Bedingungsgleichungen. 1. Der Graph von f geht durch P(0 1).. Im Punkt P(0 1) hat der Graph von f eine waagerechte Tangente. 3. An der Stelle x = liegt eine Nullstelle vor. 4. An der Stelle x = 1 liegt eine Wendestelle vor. 3. Schritt: Zusammenfassen der verbleibenden Gleichungen (Gleichungen III und IV) zu einem Gleichungssstem und Bestimmen seiner Lösung, z. B. mithilfe der Additionsmethode. Es ergibt sich: a = 0,75 und a 3 = 0,5. Nach Einsetzen aller Werte a 0 b i s a 3 in die allgemeine Funktionsgleichung erhält man die gesuchte Funktionsgleichung. f(x) = a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 f (x) = 3 a 3 x + a x + a 1 f (x) = 6 a 3 x + a 1. f(0) = 1 I. 1 = a a 0 + a a 0 a 0 = 1. f (0) = 0 II. f (0) = 0 = 3 a a 0 + a 1 a 1 = 0 3. f() = 0 III. 0 = a a + a 1 + a 0 4. f (1) = 0 IV. 0 = 6 a a III. 8 a a + 1 = 0 IV. 6 a 3 + a = 0 ( ) 8 a a + 1 = 0 III 1 a 3 4 a = 0 + IV 4 a = 0 a 3 = _ 1 4 a = _ 3 4 Die gesuchte Funktion hat die Gleichung f(x) = _ 1 4 x 3 _ 3 4 x + 1

3 197 Merke Für das Bestimmen von Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Eigenschaften ist die folgende Schrittfolge zu beachten: 1. Aufstellen der Funktionsgleichung in allgemeiner Form mit ihren Ableitungen.. Übertragen der in der Aufgabenstellung enthaltenen Bedingungen am Graph in die dafür erforderlichen Funktionsbedingungen unter Verwendung der Funktionen f, f und f. 3. Überführen der Funktionsbedingungen in die Bedingungsgleichungen. 4. Zusammenfassen der Bedingungsgleichungen zu einem linearen Gleichungssstem. 5. Lösen des Gleichungssstems und damit Feststellen der gesuchten Konstanten. 6. Angabe der gesuchten Funktionsgleichung. Anmerkung: Zur Sicherheit kann noch eine Probe durchgeführt werden, indem geprüft wird, ob die gegebenen Eigenschaften an der gefundenen Funktion tatsächlich gelten. ANWENDUNGEN 1. Es soll eine Kinderrutsche (siehe Skizze) in Form einer kubischen Parabel (Funktion dritten Grades) hergestellt werden. Dabei ist zu beachten, dass: 1. die Rutsche eine Höhe von m ab dem Boden hat,. am Ende der Rutsche die Steigung null sein soll, 3. der Wendepunkt W in der Rutschenmitte liegt. a) Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion f. b) Zeigen Sie, dass die Rutsche im Wendepunkt W am steilsten verläuft. 1,5 1 0,5 Rutsche W 0,4 0 0,5 1 1,5 x a) Es müssen die Koeffizienten a 3, a, a 1 u n d a 0 ermittelt werden. Zur besseren Übersicht bestimmt man die erste und zweite Ableitungsfunktion. I. Der Graph schneidet die -Achse bei. II. Der Graph geht durch den Punkt P( 0,4). III. Die Steigung des Graphen im Punkt P( 0,4) ist null (f () = 0). IV. Der Punkt P(1 1) ist Wendepunkt (f (1) = 0). Die verbleibenden Gleichungen werden zu einem Gleichungssstem zusammengefasst und z. B. mithilfe der der Additionsmethode gelöst. Nach Einsetzen aller Werte a 0 b i s a 3 in die allgemeine Funktionsgleichung erhält man: f(x) = 0,4 x 3 1, x + f(x) = a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 f (x) = 3 a 3 x + a x + a 1 f (x) = 6 a 3 x + a I. f(0) = = a a 0 + a a 0 a 0 = II. 0,4 = 8 a a + a 1 + III. f () = 0 = 3 4 a 3 + a + a 1 IV. 0 = 6 a 3 + a II. 0,4 = 8 a a + a 1 + III. 0 = 1 a a + a 1 IV. 0 = 6 a 3 + a a 3 = 0,4; a = 1,; a 1 = 0; a 0 =

4 198 Kapitel 7: Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen b) Es werden die Koordinaten des Wendepunktes W berechnet. Die Steigung in W beträgt 1,. Dieser Wert hat absolut den größten Wert (= steilste Steigung). f (x) = 1, x,4x ; f (x) =,4 x,4 und f (x) =,4 0 0 =,4x,4 x w = 1; f(1) = 1, Der Wendepunkt liegt in W(1 1,). Die Steigung in W beträgt f (1) = 1,. Ein Stahlträger wird einseitig eingespannt und im Abstand l = 6 m mit einer Kraft F belastet. Im Intervall I = [0; l] lässt sich die Biegelinie der neutralen Phase durch die Gleichung f(x) = k(a x 3 + b x + ) beschreiben. Dabei ist der Faktor k eine einheitslose Konstante, die von der Balkenart (Material, Querschnittsform) abhängt. Im Intervall [l; l 1 ] setzt sich die Biegelinie in Form einer Geraden fort. 4 a) Berechnen Sie die Koeffizienten a und b so, dass an der Stelle x = 6 eine Nullstelle und gleichzeitig auch eine Wendestelle vorliegt. Die Konstante k erhält den Wert 1 zugeordnet. b) Welchen Steigungswinkel α weist der Träger an der Ansatzstelle der Kraft F auf? c) Berechnen Sie die Auslenkung d, wenn die Kraft F einen l 1 =10 m langen Träger nach unten drückt. d) Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion f, wenn f für x [, ] betrachtet wird l = 6m x l = 10 m F d a) Es werden die beiden Gleichungen für x = l = 6 zur Bestimmung der Nullstelle und der Wendestelle (f (x) = 0) aufgestellt. Das erhaltene Gleichungssstem wird mithilfe der Einsetzungsmethode gelöst und a und b ermittelt. (Die Konstante k wird in dieser und den folgenden Rechnungen 1 gesetzt.) Daraus ergibt sich die Gleichung f(x) = _ 1 16 x 3 _ 1 1 x + b) Man ermittelt die erste Ableitungsfunktion f und setzt für x = 6 ein. Der TR liefert den Wert 6,6. Das heißt, α beträgt 180 6,6 = 153,4. c) Zu beachten ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Ankathete von 4 m und dem Winkel von β = 6,6. d) Durch Ausklammern von x in der ersten Ableitungsfunktion f erhält man die erste Nullstelle. Eine zweite Nullstelle errechnet sich aus dem Restterm. I. 0 = 6 3 a + 6 b + II. 0 = 6 6a + b zu I. 0 = 16a 36 18a + a = 1 _ 16 U b = 1 _ 1 f(x) = k ( 1 _ 16 x 3 1 _ 1 x + ) f (x)= k( _ 1 7 x _ 1 x) mit k = 1: 6 f (6) = 0,5 = tan α α 153,4 Ankathete = 10 m 6 m = 4 m tan 6,6 = 0,5d d = (m) b = 18a f (x) = 0 = x k( _ 1 7 x _ 1 6 ) x 1 = 0 1_ 7 x = _ 1 6 x = 1

5 199 Mithilfe der zweiten Ableitungsfunktion (hinreichende Bedingung) werden der Hoch- und Tiefpunkt festgelegt. Anhand der Gleichung f(x) wird der zugehörige -Wert errechnet. f (x) = 1 _ 36 x 1 _ 6 f (0) = 1 _ 6 < 0 H für x 1 = 0. f (1) = 1 _ 6 > 0 T für x = 1. Tiefpunkt T(1 ); Hochpunkt H (0 ). Übung 1. Wie lautet die Gleichung einer Parabel mit der Gleichung f(x) = x + a 1 x + a 0, die a) die -Achse bei 5 schneidet und durch den Punkt P( 5) verläuft? b) die x-achse an der Stelle x = mit der Steigung m = 5 schneidet?. Wie lautet die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, die a) die x-achse im Koordinatenursprung berührt und durch den Punkt P(1 3) mit der Steigung 3 läuft? b) den Koordinatenursprung mit der Steigung 8 schneidet, eine Nullstelle bei x = 4 und eine Wendestelle bei x = _ 3 aufweist? Aufgaben Gegeben sind die folgenden Bedingungen am Graphen. Leiten Sie daraus die enthaltenen Funktionsbedingungen ab. Der Graph der Funktion f... a) verläuft durch den Punkt P( 5), b) hat an der Stelle x = 3 die Steigung 1, c) hat im Punkt T( 1) einen Tiefpunkt, d) hat eine Tangente durch P(3 5), die parallel zur Ursprungsgeraden g(x) = x verläuft, e) hat dieselben Nullstellen wie die Parabel mit der Gleichung f(x) = x + x 6.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades verläuft durch den Punkt P(0 3) und hat im Punkt T (3 6) einen Tiefpunkt. Wie lautet die Funktionsgleichung? 3. Wie lautet die Gleichung einer ganzrationale Funktion zweiten Grades, die an der Stelle x = 1 ein Extremum aufweist und Achsenschnittpunkte in P(0 3) und Q(5 0) besitzt? 4. Gesucht ist die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, die durch den Koordinatenanfangspunkt verläuft und dort die Steigung m = hat. Im Punkt P( 4) liegt ein Extremum vor. 5. Die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades hat die Form f(x) = a x 4 b x. Ihr Graph schneidet die x-achse an der Stelle x = mit der Steigung 8. Wie sind a und b zu wählen, damit die Bedingungen erfüllt werden? 6. Die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat die Form f(x) = x 3 3 x + cx + d. Ihr Graph hat eine waagerechte Tangente bei x = 1 und schneidet die -Achse bei = 4. Wie lautet die Funktionsgleichung?

6 00 Kapitel 7: Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen 7. Ermitteln Sie die ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch die Punkte P 1 (0 4) und P (1 6) verläuft. Der Punkt P ist Wendepunkt des Graphen von f. Die Steigung im Wendepunkt des Graphen ist Von Graph einer Funktion dritten Grades ist bekannt: 1. Schnittpunkt mit der -Achse bei = 1,. Hochpunkt in H(1 6 ), 3. Wendestelle der Funktion bei x =. Wie lautet die Funktionsgleichung? 9. Wie lautet die Gleichung der Funktion vierten Grades, die an der Stelle x = 0 die x-achse berührt und im Punkt P S ( ) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente besitzt? 10. Der Graph einer zur -Achse smmetrischen Funktion vierten Grades hat im Punkt P(0 ) ein Maximum und berührt die Parabel mit der Gleichung g(x) = x 4x in deren Scheitelpunkt. Berechnen Sie den Scheitelpunkt von g und bestimmen Sie die Gleichung von f. 11. Wie lautet die Funktionsgleichung einer Funktion vierten Grades, wenn gilt: 1. Sattelpunkt des Grafen in P(0 9),. Nullstelle und Extremstelle bei x 1 = 3? 1. Zu bestimmen ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph punktsmmetrisch zum Ursprung verläuft. Im Punkt P(1 ) liegt ein Hochpunkt vor. 13. Über den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist bekannt: Wendepunkt in W(1 6); die Wendetangente hat die Steigung 7; die Steigung an der Stelle x = ist 4. Die Funktionsgleichung zu f ist gesucht. 14. Eine Funktion vierten Grades hat die erste Ableitungsfunktion f (x) = 4 x 3 6x + _ 5. Ihr Graph verläuft durch die Punkte P(1 ) und Q( 3). Wie lautet die 3 Funktionsgleichung? Anwendungen 15. Um Umfang und Stärke eines Kohleflözes bestimmen zu können, werden Probebohrungen durchgeführt. Wo kommt das Flöz der Erdoberfläche am nächsten, wenn man in drei Tiefen auf Kohle gestoßen ist und angenommen wird, dass das Flöz ungefähr auf einer Parabel liegt? Planskizze 300m 1000m 00m 000m 450m 16. Bei einer Maschinensteuerung bewegt sich die Steuerwelle mit konstanter Geschwindigkeit von v = 1cm/s nach links. Während des Überganges wird der Stößel nach oben bewegt. Für den Übergangsverlauf sind Graphen der Funktionen fn(x) = a n x n + a 1 x + a 0 (n ungerade) geeignet. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für das kleinste n. cm Stößel Steuerwelle 3 x 6cm

7 Ein Träger ist an seinen Enden fest eingespannt. Infolge seines Eigengewichtes und zusätzlicher Belastung in der Mitte biegt er sich durch. Die Lage des Balkens kann durch die Funktion f(x) = k( x 4 a x 3 + b x ) angegeben werden. (k hängt von Material und Form des Balkens ab.) Der Funktionsgraph hat an den Einspannstellen x 1 = 0 und x = 8 waagerechte Tangenten. a) Entwickeln Sie die Funktionsgleichung für f. b) Berechnen Sie die Stelle des größten Durchhanges und berechnen Sie den Tiefpunkt. c) Bestimmen Sie alle Wendestellen x w der Funktion f. 8 m Biegelinie x 7.5 Extremwertaufgaben In der angewandten Mathematik gibt es zahlreiche Beispiele, in denen aufgrund vorliegender funktionaler Zusammenhänge von Größen unter anderem nach deren größten oder kleinsten Werten (Extrema) gefragt wird. Zwei Anwendungen aus Geometrie und Statik werden näher beschrieben. Beispiel: Zlindrische Dosen von nahezu gleichem Fassungsvermögen (Volumen) haben oft unterschiedliche Maße (Durchmesser, Höhe). Zur Materialeinsparung soll berechnet werden, welche Abmessungen (Radius, Höhe) eine Dose mit 1 Liter Inhalt haben muss, damit sie den geringsten Materialverbrauch verursacht, also die kleinste Oberfläche aufweist. Extremalproblem (Minimalproblem): Wie sind r und h zu wählen, damit die Oberfläche O den kleinsten Wert annimmt? Ausgangspunkt der Überlegungen ist die Oberflächenformel der Dose (Zlinder) mit dem Radius r und der Höhe h, die es zu berechnen gilt. O ist eine Funktion von r und h. Beide Variablen stehen zusätzlich durch eine Nebenbedingung, hier das gegebene Volumen V = 1, in einer Beziehung zueinander. Die Nebenbedingung (Volumenformel) wird nach einer Variablen, z. B. h, aufgelöst. Hauptbedingung (Oberfläche): O(r, h) = r π + r π h Nebenbedingung (Volumen): V = 1 = r π h h = 1_ r π

8 0 Kapitel 7: Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen Der dadurch erhaltene Term 1_ wird für h in die r π Oberflächenformel (Hauptbedingung) eingesetzt, sodass O nur noch eine Funktion von einer Variablen r ist. Die Funktion O heißt Zielfunktion des Extremalproblems. Es wird nun eine verkürzte Kurvendiskussion durchgeführt mit dem Ziel, den Radius r bzw. den Durchmesser d der kleinsten Oberfläche zu ermitteln. Mithilfe der Nebenbedingung h = 1_ r π wird h berechnet, indem man dort r = 0,54 einsetzt. Dass für d = h = 1,084 dm der geringste Materialbedarf vorliegt (Minimum), zeigt man mithilfe der zweiten Ableitungsfunktion O. Zielfunktion: O(r) = r π + _ r π r π = r π + _ r Bestimmung des Minimums: O (r) = 0 = 4r π _ r r 0 = 4 r 3 π 3 r = _ 1 0,54; d = r 1,084 π h = 1 0,54 π 1,084 O (r) = 4π + _ 4 r 3 ; O (0,54) = 4π + 4_ 0,54 3 > 0 Minimum Der Graph der Oberflächenfunktion O zeigt an, dass für 1-Liter-Dosen das Minimum bei einem Radius r = 0,54 dm liegt. Sind Durchmesser und Höhe einer zlinderischen Dose gleich, so hat sie den geringsten Materialverbrauch. In der Praxis wird dennoch häufig aus verschiedenen Gründen, z. B. Aussehen, Handlichkeit, Funktionalität (Würstchendose), Stapelbarkeit, Produktionskosten usw., von diesen Maßen abgewichen. O O(r) = πr + r T(0,54 5,358) 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 r Zur Lösung von Extremwertaufgaben dieser Art empfiehlt sich folgende Vorgehensweise: 1. Aufstellen der Hhauptbedingung:. Aufstellen der im Problem enthaltenen Nebenbedingung(en): 3. Aufstellen der Zielfunktion: 4. Bestimmung des Optimums: Festlegen der gesuchten Größe, die es zu optimieren gilt. Bestimmung einer Funktion von meistens mehreren Variablen. Aufstellen einer oder mehrerer Beziehungen zwischen den Variablen, die durch gegebene Bedingungen hergestellt werden. Umstellen der Nebenbedingung(en) und Einsetzen in die Hauptbedingung. Festlegen des Definitionsbereiches der Variablen. Ableiten der Zielfunktion und Bestimmung des lokalen Extremums. Berechnen der übrigen Variablen. Prüfen, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.

9 03 Beispiel: Aus einem runden Baumstamm mit dem Durchmesser d ist ein rechteckiger Balken so zu schneiden, dass er die größte Tragfähigkeit T (hohes Widerstandsmoment W, d. h. der Balken soll möglichst hoch auf Biegung beansprucht werden) aufweist. Es gilt: T = _ b h 6. Geben Sie b und h in Abhängigkeit von d an. d h b Das Widerstandsmoment auch als Tragfähigkeit T bezeichnet muss ein Maximum werden. Die Nebenbedingungen entnimmt man der Skizze und den Beziehungen am rechtwinkligen Dreieck (Pthagoras). Mithilfe der Nebenbedingung wird die Hauptbedingung so zu einer Funktion umgeformt, dass in ihr noch die Variable b vorkommt. Dabei muss b im Intervall (0; d) liegen. Um die lokalen Extremstellen zu finden, wird T (b) = 0 gesetzt. Es ergeben sich zwei Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion. Davon ist nur eine gültig, die im Intervall (0; d) liegt. Mithilfe der Nebenbedingung für h = d b wird die optimale Balkenhöhe berechnet. Da die zweite Ableitungsfunktion T (b) < 0 ist, liegt ein Maximum vor. Setzt man optimale Höhe und optimale Breite ins Verhältnis, so ist zu erkennen, dass ein rechteckiger Balken bei diesem Verhältnis die optimale Biegefestigkeit hat. Hauptbedingung (Tragfähigkeit) T = _ b h 6 Nebenbedingung ( _ h ) = ( _ d ) ( _ b ) h = d b Zielfunktion T(b) = 1 _ 6 b ( d b ) = 1 _ 6 ( b d b 3 ) Bestimmung des Maximums T (b) = 1 _ 6 d 1 _ b T'(b) = 0 0 = _ 1 6 d _ 1 b 0 = d 3 b b = _ d 3 eingesetzt in h : h = d _ 1 3 d = _ 3 d h = d _ 3 T (b) = 6b; 6b < 0 Maximum d h_ _ b = 3 _ _ d = 3 h 1,4b

1 Kurvenuntersuchung /40

1 Kurvenuntersuchung /40 00 Herbst, (Mathematik) Aufgabenvorschlag B Kurvenuntersuchung /40 Die Tragflächen des berühmten Flugzeuges Junkers Ju-5 können an der Nahtstelle zum Flugzeugrumpf mithilfe der Funktionen f und g mit 8

Mehr

Mathemathik-Prüfungen

Mathemathik-Prüfungen M. Arend Stand Juni 2005 Seite 1 1980: Mathemathik-Prüfungen 1980-2005 1. Eine zur y-achse symmetrische Parabel 4.Ordnung geht durch P 1 (0 4) und hat in P 2 (-1 1) einen Wendepunkt. 2. Diskutieren Sie

Mehr

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der

Mehr

Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Extremstellen-Bedingungen

Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Extremstellen-Bedingungen Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Etremstellen-Bedingungen Häufig sind Ableitungsfunktionsterme leichter zu handhaben als die Terme der Ausgangsfunktonen, weil sie niedrigere Eponenten

Mehr

Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung

Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung Kurvendiskussion Gesetzmäßigkeiten Lineare Funktionen Funktionsgleichung y = mx + c m: Steigung c: y-achsenabschnitt (Funktionswert für y, bei dem der Graph die y-achse schneidet Beispiel : y = x 3 mit

Mehr

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften W. Kippels 10. April 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Prinzipielle Vorgehensweise.......................... 2 1.2 Lösungsrezepte................................

Mehr

Differenzialrechnung

Differenzialrechnung Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g =

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion. Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion. Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Aleander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 6 Übungsaufgaben: Ü: Gegeben ist

Mehr

Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1. Art Anwenden. Klasse 10. Schwierigkeit x. Klasse 10. Mathematisches Thema

Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1. Art Anwenden. Klasse 10. Schwierigkeit x. Klasse 10. Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1 1.) Zeige, dass die Funktion in der Form f() = a 2 + b +c geschrieben werden kann und gebe a, b und c an. a) f() = ( -5) ( +7) b) f() = ( -1) ( +1) c) f() = 3 ( - 4) 2.) Wie heißen

Mehr

Übungsbeispiele Differential- und Integralrechnung

Übungsbeispiele Differential- und Integralrechnung Übungsbeispiele Differential- und Integralrechnung A) Gegeben ist die Funktion: y = 2x 3 9x 2 + 12x. a) Skizzieren Sie die Funktion im Intervall [ 0,5; 3] b) Diskutieren Sie die Funktion (Nullstellen,

Mehr

GF MA Differentialrechnung A2

GF MA Differentialrechnung A2 Kurvendiskussion Nullstellen: Für die Nullstellen x i ( i! ) einer Funktion f gilt: Steigen bzw. Fallen: f ( x i ) = 0 f '( x) > 0 im Intervall I f ist streng monoton wachsend in I f '( x) < 0 im Intervall

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz. Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz. Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 016 1 Übungsaufgaben: Ü1: Die Abbildung zeigt

Mehr

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufgabe 1 Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei x 0 = 0 und einen Wendepunkt bei x w = 1. Die Gleichung der Wendetangente lautet

Mehr

Zusammenfassung und Übungsblatt zu Steckbriefaufgaben

Zusammenfassung und Übungsblatt zu Steckbriefaufgaben Seite von 7 Bei einer Steckbriefaufgabe werden bestimmte Eigenschaften eines Funktionsgraphen vorgegeben und gesucht ist die Gleichung der Funktion, deren Graph die gewünschten Eigenschaften hat. Ans WBG

Mehr

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Mathematik-Lexikon HM00 Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Aufstellen von Funktionstermen Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades: ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n- +... +

Mehr

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 21. März 2011

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 21. März 2011 Lineare Funktion Wolfgang Kippels. März 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................

Mehr

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis Lineare Funktion Wolfgang Kippels. November 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................

Mehr

Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung: 1. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung:

Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung: 1. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung: Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre Stichworte: lineare Gleichungen; quadratische Gleichungen; Gleichungen höherer Ordnung; Substitution; Exponentialgleichungen; trigonometrische

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung II

Differenzial- und Integralrechnung II Differenzial- und Integralrechnung II Rainer Hauser Dezember 011 1 Einleitung 1.1 Ableitung Die Ableitung einer Funktion f: R R, x f(x) ist definiert als f (x) = df(x) dx = d f(x + h) f(x) f(x) = lim dx

Mehr

5.5. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen

5.5. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen .. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion, Fläche zwischen zwei Schaubildern () Untersuchen Sie f(x) x x und g(x) x auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrempunkts sowie

Mehr

Unterlagen für die Lehrkraft Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2011 Mathematik

Unterlagen für die Lehrkraft Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2011 Mathematik ZK M A1 (mit CAS) Seite 1 von 5 Unterlagen für die Lehrkraft Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 011 Mathematik 1. Aufgabenart Analysis. Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe. Materialgrundlage

Mehr

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) =

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) = 50 Kapitel 2: Rationale Funktionen und ihre Anwendungen 2.2.5 Orthogonale Geraden Geraden, die senkrecht aufeinander stehen, werden als zueinander orthogonale Geraden bezeichnet. Der Graph von g entsteht

Mehr

4. Klassenarbeit Mathematik

4. Klassenarbeit Mathematik Name: 30. Mai 2007 Klasse 11A 4. Klassenarbeit Mathematik Thema: Differentialrechnung Allgemeine Bearbeitungshinweise: Die Bearbeitung muss von einer geeigneten Dokumentation begleitet werden. Hierzu gehören:

Mehr

Bestimmung ganzrationaler Funktionen

Bestimmung ganzrationaler Funktionen Bestimmung ganzrationaler Funktionen 30 0 0-50 -40-30 -0-0 0 0 30 40 50 x. Eine Brücke ist 30 m hoch und hat eine Spannweite von 00 m. Welche Parabel beschreibt die Krümmung des Stützbogens? Wir führen

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 6. Semester ARBEITSBLATT 5. Kurvendiskussion

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 6. Semester ARBEITSBLATT 5. Kurvendiskussion ARBEITSBLATT 5 Kurvendiskussion Die mathematische Untersuchung des Graphen einer Funktion heißt Kurvendiskussion. Die Differentialrechnung liefert dabei wichtige Dienste. Intuitive Erfassung der Begriffe

Mehr

Beispielklausur für zentrale Klausuren

Beispielklausur für zentrale Klausuren Seite von 5 Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Aufgabenstellung Gegeben ist die Funktion f mit f ( = 0,5 x 4,5 x + x 9. Die Abbildung zeigt den zu f gehörigen Graphen. Abbildung a) Ermitteln

Mehr

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012:

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012: Inhalt der Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil... Wahlteil Analsis... 8 Wahlteil Analsis... Wahlteil Analsis... 4 Wahlteil Analtische Geometrie... 8 Wahlteil Analtische Geometrie... Pflichtteil Lösungen

Mehr

Bestimme dazu die Nullstellen, Scheitelpunkt und Schnittpunkt mit der y-achse und ergänze evtl. einige Punkte durch eine Wertetabelle.

Bestimme dazu die Nullstellen, Scheitelpunkt und Schnittpunkt mit der y-achse und ergänze evtl. einige Punkte durch eine Wertetabelle. Klasse Art Schwierigkeit Mathematisches Schema Nr. 9 Üben xx Quadratische Funktion 1 Skizziere den Graphen der durch y = 0,5 x 2 + x - 4 gegebenen quadratischen Funktion. Bestimme dazu die Nullstellen,

Mehr

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002 Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 006 Baden-Württemberg (ohne CAS) Haupttermin Pflichtteil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x) sin(4x ). Aufgabe : ( VP) Geben Sie eine Stammfunktion

Mehr

Analysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen

Analysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen A1 Funktionen/Funktionsklassen 1 Grundbegriffe Analysis A 1.1 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 2 x 2 + x. a) Bestimme, wenn möglich, die Funktionswerte an den Stellen 0, 4 und 2. b) Gib die maximale

Mehr

Mathematik EF. Bernhard Scheideler

Mathematik EF. Bernhard Scheideler Mathematik EF Bernhard Scheideler Stand: 7. September 20 Inhaltsverzeichnis Die Kurvendiskussion. Stetigkeit und Differenzierbarkeit:....................2 Standardsymmetrie:............................

Mehr

1 /41. Abschlussprüfung Fachoberschule 2010, (Mathematik) Aufgabenvorschlag B

1 /41. Abschlussprüfung Fachoberschule 2010, (Mathematik) Aufgabenvorschlag B , (Mathematik) / Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x) = x x + x 6x+ ; x. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f und begründen Sie Ihre Aussage. /. Untersuchen

Mehr

Lineare Funktionen y = m x + n Sekundarstufe I u. II Funktion ist monoton fallend, verläuft vom II. in den IV.

Lineare Funktionen y = m x + n Sekundarstufe I u. II Funktion ist monoton fallend, verläuft vom II. in den IV. LINEARE FUNKTIONEN heißt Anstieg oder Steigung heißt y-achsenabschnitt Graphen linearer Funktionen sind stets Geraden Konstante Funktionen Spezialfall Graphen sind waagerechte Geraden (parallel zur x-achse)

Mehr

5.3. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen

5.3. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen .. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion Untersuche die folgenden Funktionen auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Etrem- und Wendepunkte und zeichne ein Schaubild

Mehr

Lösungen Kapitel A: Funktionen

Lösungen Kapitel A: Funktionen Lösungen Kapitel A: Funktionen Arbeitsblatt 01: Abhängigkeiten entstehen a) Zu Beginn des Tages befinden sich 10 Besucher am Strand. Bis um 4 Uhr nachts haben alle den Strand verlassen. Um 6 Uhr sind bereits

Mehr

Übungsaufgaben zum Aufstellen von ganzrationalen Funktionsgleichungen

Übungsaufgaben zum Aufstellen von ganzrationalen Funktionsgleichungen Übungsaufgaben zum Aufstellen von ganzrationalen Funktionsgleichungen Aufgabe : Eine zum Ursprung symmetrische ganzrationale Funktion.Ordnung hat im Ursprung die Tangente mit der Gleichung y = 7x und in

Mehr

c) Das Schaubild von verläuft im Schnittpunkt mit der y-achse steiler als die erste Winkelhalbierende.

c) Das Schaubild von verläuft im Schnittpunkt mit der y-achse steiler als die erste Winkelhalbierende. VP b) Das Schaubild von hat für 36 genau zwei Wendepunkte. c) Das Schaubild von verläuft im Schnittpunkt mit der y-achse steiler als die erste Winkelhalbierende. 3. Gegeben ist die Funktionenschar mit

Mehr

4. FUNKTIONSANPASSUNGEN

4. FUNKTIONSANPASSUNGEN 4. FUNKTIONSANPASSUNGEN 04. Da die Funktion einen Hoch- und einen Tiefpunkt besitzt, muss sie mindestens dritten Grades sein. Eine kurzfristige Prognose ist mit dieser Funktion wahrscheinlich möglich,

Mehr

12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben!

12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben! 12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September 2008 1. Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben! a) Untersuche den Graphen von f(x) auf Standardsymmetrien (Punktsymmetrie

Mehr

Untersuchungen von Funktionen 1

Untersuchungen von Funktionen 1 Untersuchungen von Funktionen 1 Führen Sie für die Funktionen diese Untersuchungen durch : Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte im Unendlichen. Bestimmen

Mehr

Bayern Musterlösung zu Klausur Analysis, Aufgabengruppe I

Bayern Musterlösung zu Klausur Analysis, Aufgabengruppe I Diese Lösung wurde erstellt von Tanja Reimbold. Sie ist keine offizielle Lösung des Bayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus. Teil 1 Aufgabe 1 Definitionsbereich: Bestimmung der Nullstelle

Mehr

1 /40. Abschlussprüfung Fachoberschule 2011 Mathematik ( ) = 0, 001 0, , Abb.1 (erstesteilstück der Achterbahn)

1 /40. Abschlussprüfung Fachoberschule 2011 Mathematik ( ) = 0, 001 0, , Abb.1 (erstesteilstück der Achterbahn) Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Aufgabenvorschlag A /40 Das erste Teilstück einer Achterbahn ruht auf sechs senkrechten Stützen, die in Abständen von 5 m aufgestellt sind (siehe Abb.). Es lässt sich

Mehr

Trassierung. c Roolfs

Trassierung. c Roolfs -6-5 - - - 5 x Modellieren Sie mit einem knickfreien Übergang den Verlauf einer Umgehungsstraße, die durch P(0 ) verlaufen soll (Angaben in km). Ermitteln Sie den kürzesten Abstand zum Ortsrand. -6-5 -

Mehr

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient.

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient. Seite Definition lineare Funktion Eine Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = m x + b, also der Funktionsgleichung y = m x + b, heißt lineare Funktion. Ihr Graph G f ist eine Gerade mit der Steigung m

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=

Mehr

R. Brinkmann Seite

R. Brinkmann  Seite R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 9..8 Linearen Funktion Aus der Sekundarstufe I sind Ihnen die Graphen linearer Funktionen als Geraden bekannt und deren Funktionsgleichungen als Geradengleichungen.

Mehr

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2008 / 2009

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2008 / 2009 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 008 / 009 Fach Mathematik (B) Name, Vorname Klasse Prüfungstag 7. Mai 009 Prüfungszeit Zugelassene

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

Matur-/Abituraufgaben Analysis

Matur-/Abituraufgaben Analysis Matur-/Abituraufgaben Analysis 1. Tropfen Die folgende Skizze zeigt die Kurve k mit der Gleichung y = (1 ) im Intervall 1. Die Kurve k bildet zusammen mit ihrem Spiegelbild k eine zur -Achse symmetrische

Mehr

So genannte. Steckbriefaufgaben. für ganzrationale Funktionen. Teil 2: Ganzrationale Funktionen 3. Grades

So genannte. Steckbriefaufgaben. für ganzrationale Funktionen. Teil 2: Ganzrationale Funktionen 3. Grades Analysis Funktionsgleichungen aufstellen So genannte Steckbriefaufgaben für ganzrationale Funktionen Teil 2: Ganzrationale Funktionen 3. Grades Lösungen teilweise auch mit ausführlicher Beschreibung des

Mehr

Mathematik im Berufskolleg II

Mathematik im Berufskolleg II Bohner Ott Deusch Mathematik im Berufskolleg II Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab 6. Auflage 6 ISBN 978--8-- Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung

Mehr

Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1

Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1 Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1 Lehrplan: M 11.1.1 Graphen gebrochen-rationaler Funktionen M 11.1.2 Lokales Differenzieren Passende Kapitel im Schulbuch Fokus Mathematik 11:

Mehr

9 Funktionen und ihre Graphen

9 Funktionen und ihre Graphen 57 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionsbegriff Eine Funktion ordnet jedem Element aus einer Menge D f genau ein Element aus einer Menge W f zu. mit = f(), D f Die Menge aller Funktionswerte nennt man

Mehr

f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5

f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5 11. Lineare Funktionen Übungsaufgaben: 11.1 Zeichne jeweils den Graphen der zugehörigen Geraden a. y = 0,5x 0,25 b. y = 0,1x + 2 c. y = 2x 2 d. 2x + 4y 5 = 0 e. y = x f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y =

Mehr

Extremwertaufgaben.

Extremwertaufgaben. Extremwertaufgaben www.schulmathe.npage.de Aufgaben 1. Von einem rechteckigen Stück Blech mit einer Länge von a = 16 cm und einer Breite von b = 10 cm werden an den Ecken kongruente Quadrate ausgeschnitten

Mehr

Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung),

Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung), Extremwertaufgaben x. Ein Landwirt will an einer Mauer einen rechteckigen Hühnerhof mit Maschendraht abgrenzen. 0 Meter Maschendraht stehen zur Verfügung. Wie groß müssen die Rechteckseiten gewählt werden,

Mehr

(Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs

(Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs (Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs. Ableitungs und Integrationsregeln (Folgende 0 Funktionen sind alles Funktionen aus dem Zentralabitur Grundkurs.) a) f(t) = 0,0t e 0,t b) f(t) = t 3

Mehr

A Abituraufgaben. 1 Analysis. Aufgabe 1

A Abituraufgaben. 1 Analysis. Aufgabe 1 A Abituraufgaben 1 Analsis Aufgabe 1 Dem menschlichen Körper können Medikamente durch einen Tropf kontinuierlich zugeführt werden. Zu Beginn weist der Körper keine Medikamentenmenge auf, nach In- Gang-Setzen

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 01 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 01 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Outline. 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen. 2 Grenzwert und Stetigkeit. 3 Partielle Ableitungen. 4 Die verallgemeinerte Kettenregel

Outline. 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen. 2 Grenzwert und Stetigkeit. 3 Partielle Ableitungen. 4 Die verallgemeinerte Kettenregel Outline 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen 2 Grenzwert und Stetigkeit 3 Partielle Ableitungen 4 Die verallgemeinerte Kettenregel 5 Das totale Differential 6 Extremstellen Roman Wienands (Universität

Mehr

TK II Mathematik 2. Feststellungsprüfung Nachprüfung Arbeitszeit: 120 Minuten

TK II Mathematik 2. Feststellungsprüfung Nachprüfung Arbeitszeit: 120 Minuten . Feststellungsprüfung Nachprüfung 19.0.005 1. Untersuchen Sie die Funktion p ( ) = + 16 auf Monotonie und geben Sie auf Grund dieses Ergebnisses die Lage des Scheitels an. (10. Der Graph einer ganz rationalen

Mehr

= / 40. Abschlussprüfung Fachoberschule 2012 (Mathematik) Aufgabenvorschlag B. Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung

= / 40. Abschlussprüfung Fachoberschule 2012 (Mathematik) Aufgabenvorschlag B. Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung Abschlussprüfung Fachoberschule () Aufgabenvorschlag B / 4 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung 4 f ( x) x x x = + +. Dazu ist ein Rechteck gegeben, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen

Mehr

3.3 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte

3.3 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte 166 FUNKTIONSUNTERSUCHUNGEN 3.3 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte Einführung (1) Anschauliche Erklärung des Begriffs Wendepunkt Bei Motorradrennen lässt sich beobachten, wie sich die Motorradfahrer beim

Mehr

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion Lernzuflucht 24. November 20 L A TEX M. Neumann Folgende Funktion soll in einer Kurvendiskussion bearbeitet werden: f(x) = x 4 2x 2 ; D = R () Diese Funktion

Mehr

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (technische Ausbildungsrichtung)

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (technische Ausbildungsrichtung) Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 005 Prüfungsfach: Mathematik (technische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 16. Juni 005 Prüfungsdauer: 09:00-1:00 Uhr Hilfsmittel: elektronischer,

Mehr

Beispielklausur für zentrale Klausuren

Beispielklausur für zentrale Klausuren ZK M A (ohne CAS) Seite von 4 Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Aufgabenstellung Die Titanwurz ist die Pflanze, die die größte Blüte der Welt hervorbringt. Für ein Referat hat ein Schüler

Mehr

Funktionen mehrerer Variabler

Funktionen mehrerer Variabler Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen

Mehr

Abiturähnliche Aufgabe: Leistungskurs Teil A Lösungen

Abiturähnliche Aufgabe: Leistungskurs Teil A Lösungen Abiturähnliche Aufgabe: Leistungskurs Teil A Lösungen 1.1 3 k 2 _ 2 1.2 f (x) = 3 ln ( 2 x + 1 ) 1.3 Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad 3 hat mindestens einen Wendepunkt. 1.4 D ( 3; 7; 2

Mehr

Analysis: Klausur Analysis

Analysis: Klausur Analysis Analysis Klausur zu Extrempunkten, Interpretation von Graphen von Ableitungsfunktionen, Tangenten und Normalen, Extremwertaufgaben (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnasium J Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen

Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite..0 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen Wir erinnern uns, um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen waren die Koordinaten von

Mehr

1 /40. dargestellt werden.

1 /40. dargestellt werden. Abschlussprüfung Fachoberschule 0 () Aufgabenvorschlag B /40 Auf der Berliner Stadtautobahn A00 / Autobahndreieck Charlottenburg wurde über einen bestimmten Zeitraum die Staulänge l in Abhängigkeit von

Mehr

Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit x f(x) = (x + 5) e. Aufgabe : ( VP) Gegeben ist die Funktion

Mehr

11 Üben X Affine Funktionen 1.01

11 Üben X Affine Funktionen 1.01 Üben X Aine Funktionen.0 Zeichne die Graphen zu olgenden Funktionsgleichungen! + + d c b a Augabenkarte von MUED Lösung X Aine Funktionen.0 + + d c b a Üben X Aine Funktionen.0 Bestimme die Funktionsgleichung

Mehr

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2011/2012

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2011/2012 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr / Fach (A) Prüfungstag 5. Mai Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise Spezielle

Mehr

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl

Mehr

Beispielaufgabe zur Untersuchung ganzrationaler Funktionen

Beispielaufgabe zur Untersuchung ganzrationaler Funktionen Beispielaufgabe zur Untersuchung ganzrationaler Funktionen 3 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung: f ( x ) = x,75 x + 6 x. 3 Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f '. f (x)'(

Mehr

Übungsaufgaben II zur Klausur 1

Übungsaufgaben II zur Klausur 1 Übungsaufgaben II zur Klausur. Ableitungen 0. Führen Sie für g mit f ( +,9 8 eine vollständige Kurvendiskussion (siehe S. 9f durch. Markieren Sie alle von Ihnen bestimmten Punkte in der abschließenden

Mehr

Rechne die Lösung im 2. Quadranten ohne Verwendung der speziellen TI 92- Funktionen auf die Polarform um.

Rechne die Lösung im 2. Quadranten ohne Verwendung der speziellen TI 92- Funktionen auf die Polarform um. 1.Schularbeit 7b Klasse 1a) Gegeben ist die Gleichung z 2 + pz + (33 + 47i) = 0 mit der Lösung z 1 = 4-9i. Berechne den Koeffizienten p sowie die 2. Lösung der Gleichung. b) Berechne die Lösungen der Gleichung

Mehr

Übungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln

Übungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln Übungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln Gegeben sind die Parabeln: h(x) = 8 x + 3 x - 1 9 und k(x) = - 8 x - 1 1 8 x + 11 a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte A und C der Graphen

Mehr

Prototypische Schularbeit 2 Klasse 7 Datum: Name:.

Prototypische Schularbeit 2 Klasse 7 Datum: Name:. Autor: Mag. Paul Schranz Begleittext Die vorliegende Schularbeit behandelt größtenteils Grundkompetenzen des Inhaltsbereichs Analysis der 7. Klasse. Darüber hinaus werden zur Wiederholung Grundkompetenzen

Mehr

rechnerisch, ob weitere Lösungen dieser Gleichung im Bereich 0 x l existieren.

rechnerisch, ob weitere Lösungen dieser Gleichung im Bereich 0 x l existieren. Anwendungs- und Optimierungsaufgaben (Technik) 1. Ein Balken der Länge l ist auf zwei Stützen gelagert (siehe Bild). Der Balken wird durch sein Eigengewicht auf Biegung beansprucht. Die Durchbiegung ist

Mehr

Download. Hausaufgaben: Lineare Funktionen und Gleichungen. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Download. Hausaufgaben: Lineare Funktionen und Gleichungen. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Download Otto Mar Hausaufgaben: Lineare Funktionen und Gleichungen Üben in drei Differenzierungsstufen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Hausaufgaben: Lineare Funktionen und Gleichungen Üben in drei

Mehr

Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007

Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007 Analysis-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 7 Im Folgenden finden Sie die Aufgabenstellungen der bisherigen Klausuren Analysis im Bachelorstudium der ET-Studiengänge sowie knapp gehaltene Ergebnisangaben.

Mehr

/46. Abschlussprüfung Fachoberschule 2013 Mathematik

/46. Abschlussprüfung Fachoberschule 2013 Mathematik Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Aufgabenvorschlag B /46 Am. Februar 0 wird um 4:00 Uhr ein Erdbeben mit der Anfangsstärke auf der sogenannten Richter-Skala gemessen. Das Beben dauert etwas länger als

Mehr

Abb lokales Maximum und Minimum

Abb lokales Maximum und Minimum .13 Lokale Extrema, Monotonie und Konvexität Wir kommen nun zu den ersten Anwendungen der Dierentialrechnung. Zwischen den Eigenschaten einer Funktion, dem Verlau des zugehörigen Graphen und den Ableitungen

Mehr

M I N I S T E R I U M F Ü R K U L T U S, J U G E N D U N D S P O R T. Berufsoberschule (BOS) SO/TO/WO. 2 2x

M I N I S T E R I U M F Ü R K U L T U S, J U G E N D U N D S P O R T. Berufsoberschule (BOS) SO/TO/WO. 2 2x Mathematik (43) Musteraufgabe Gruppe I: Analysis ohne Hilfsmittel ab 07 Seite /3 Gegeben ist die Funktion f mit 4 3 f(x) x x 3x 4x ; xir. 6 Bestimmen Sie den Bereich, in dem das Schaubild von f rechtsgekrümmt

Mehr

7 Aufgaben im Dokument. Aufgabe P5/2010

7 Aufgaben im Dokument. Aufgabe P5/2010 Aufgabe P5/2010 7 Aufgaben im Dokument Die nach unten geöffnete Parabel hat die Gleichung 5. Zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem. Die Gerade hat die Steigung und schneidet die -Achse im Punkt

Mehr

WM.3.1 Die Polynomfunktion 1. Grades

WM.3.1 Die Polynomfunktion 1. Grades WM.3.1 Die Polynomfunktion 1. Grades Wenn zwischen den Elementen zweier Mengen D und W eine eindeutige Zuordnungsvorschrift vorliegt, dann ist damit eine Funktion definiert (s. Abb1.), Abb1. wobei D als

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 0 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f() = ( sin() + 7) 5. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie eine Stammfunktion

Mehr

Abiturprüfung 2000 LK Mathematik Baden-Württemberg

Abiturprüfung 2000 LK Mathematik Baden-Württemberg Abiturprüfung 000 LK Mathematik Baden-Württemberg Aufgabe I 1 Analysis ( )² Gegeben ist die Funktion f durch f ( ) = ; D f. Ihr Schaubild sei K. ( 4) a) Geben Sie die maimale Definitionsmenge D f an. Untersuchen

Mehr

2) Allg. Ansatz: f(x) = ax²+c. 3) Ableitungen: f (x) = 2ax. f (x) = 2a. 4) Bedingungen: 5) Gleichungssystem: 6) Ergebnis: f(x) = 0,00125x² + 0,6

2) Allg. Ansatz: f(x) = ax²+c. 3) Ableitungen: f (x) = 2ax. f (x) = 2a. 4) Bedingungen: 5) Gleichungssystem: 6) Ergebnis: f(x) = 0,00125x² + 0,6 Name: Rene Heinz Parameteraufgabe 07.03.2008 Klasse: 645 Nr. 21 a) : Bei einem Versuchswagen zur Erzielung möglichst geringer Verbrauchswerte werden folgende Beachtungen gemacht: Der Verbrauch (in Liter/100km)

Mehr

HRP 2007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag 2) HRP BOS-

HRP 2007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag 2) HRP BOS- HRP 007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag ) Bildung, Wissenschaft und Forschung HRP 007 -BOS- Name: Datum: Vorschlag : Aus 5 Aufgaben können Sie 3 auswählen. Sie müssen

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Analytische Geometrie Übungsaufgaben Lineare Gleichungssysteme Oberstufe Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Oktober 05 Pflichtteilaufgaben (ohne GTR) Aufgabe : Löse die folgenden linearen Gleichungssysteme:

Mehr

QUADRATISCHE UND KUBISCHE FUNKTION

QUADRATISCHE UND KUBISCHE FUNKTION QUADRATISCHE UND KUBISCHE FUNKTION Quadratische Funktion 1. Bedeutung der Parameter Als quadratische Funktionen werde alle Funktionen bezeichnet, die die Form y = a*x² + b*x + c aufweisen, also alle, bei

Mehr

Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten

Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist,

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden

Mehr

Da der Nenner immer positiv ist, folgt. g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2

Da der Nenner immer positiv ist, folgt. g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2 Da der Nenner immer positiv ist, folgt g (x) > 0 x( x) > 0 0 < x < g (x) < 0 x( x) < 0 x < 0 oder x > Also ist g auf (0,) streng monoton wachsend sowie auf (,0) und auf (, ) strengmonotonfallend.außerdemistg

Mehr

Testprüfung (Abitur 2013)

Testprüfung (Abitur 2013) Testprüfung (Abitur 2013) Steve Göring, stg7@gmx.de 3. April 2013 Bearbeitungszeit: Zugelassene Hilfsmittel: 270 Minuten Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht grafikfähig), Tafelwerk Name: Punkte:

Mehr

Der folgende Katalog soll Beispiele dafür aufzeigen, was konkret verlangt werden kann, ohne dabei den Anspruch auf Vollständigkeit zu erheben.

Der folgende Katalog soll Beispiele dafür aufzeigen, was konkret verlangt werden kann, ohne dabei den Anspruch auf Vollständigkeit zu erheben. Fundus für den Pflichtbereich / Mathematik-Abitur ab 4 Themenbereiche Der Pflichtteil soll aus kleineren Aufgaben bestehen, die ohne Hilfsmittel zu bearbeiten sind. Er soll die Grundkompetenzen abprüfen.

Mehr