7.4 Bestimmung von Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Eigenschaften

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1 Bestimmung von Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Eigenschaften In der Kurvenuntersuchung werden von einer gegebenen Funktionsgleichung ausgehend die Graphen von Funktionen auf ganz bestimmte Eigenschaften hin untersucht. Umgekehrt ist es, wenn die Eigenschaften einer Funktion gegeben sind und ihre Funktionsgleichung bestimmt werden soll. Solche Aufgaben sind in inner- und außermathematischen Fragestellungen, z. B. in Wirtschaft und Technik, dann gegeben, wenn eine Problemsituation (Realmodell) durch mathematische Bedingungen beschrieben werden kann, mit deren Hilfe eine passende Funktion zu bestimmen ist, die die gegebene Problemsituation hinreichend abbildet. Die Ermittlung solcher Funktionen geschieht anhand eines einfachen innermathematischen Beispiels. Beispiel: Der Graph auf einer für den Unterricht vorbereiteten Folie wird an einigen Stellen so stark verwischt, dass er nur noch teilweise zu erkennen ist. Leider ist auch vom Funktionsterm nur noch ein geringer Teil abzulesen. Es soll nun versucht werden, aus den Resten die zugehörige Funktionsgleichung f(x) zu ermitteln f(x) = 1 4 x x 1. Es ist der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit a 3 = 1 _ 4.. Der Graph schneidet die -Achse bei = 5, d. h. f(0) = 5 ist somit das Abslutglied a 0 und kann unmittelbar angegeben werden. 3. Im Punkt P(0 5) hat der Graph von f offensichtlich einen Hochpunkt. Mithilfe der ersten Ableitungsfunktion f und der Bedingung f (x) = 0 wird a 1 errechnet. Es ist a 1 = Einen Schnittpunkt mit der x-achse hat der Graph bei x 1 =. Mithilfe der Bedingung f( ) = 0 wird der Wert für a bestimmt, es ist a = 3 _ 4. Die gesuchte Funktion hat somit die Gleichung f(x) = 1 _ 4 x 3 3 _ 4 x + 5. I. f(x) = 1 _ 4 x 3 + a x + a 1 x + a 0 II. 5 = 1 _ a 0 + a a 0 a 0 = 5 III. f (x) = 3 _ 4 x + a x + a 1 0 = a 1 a 1 = 0 IV. f(x) = 1 _ 4 x 3 + a x = 1 _ 4 ( ) 3 + a ( ) = + 4 a + 5 a = 3 _ 4 Die Konstruktion von Funktionen aus vorgegebenen Eigenschaften besteht offensichtlich in der Bestimmung der Koeffizienten einer Funktionsgleichung.

2 196 Kapitel 7: Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen Eine ganzrationale Funktion vom Grad n lautet allgemein: f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Die Funktionsgleichung enthält n + 1 Koeffizienten: a n, a n 1, a n,..., a 1, a 0 als Unbekannte. Eine ganzrationale Funktion z. B. dritten Grades lautet f(x) = a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 und enthält folglich die 4 Koeffizienten: a 3, a, a 1 und a 0 als Unbekannte. Es ist zweckmäßig, bei der Ermittlung der unbekannten Koeffizienten eine bestimmte Schrittfolge einzuhalten, um sich so besser der jeweils vorliegenden Situation anpassen zu können. Beispiel: Zu bestimmen ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch den Punkt P(0 1) verläuft und dort eine waagerechte Tangente hat. Außerdem schneidet der Graph bei x = die x-achse und die gesuchte Funktion f hat an der Stelle x = 1 eine Wendestelle. 1. Schritt: Aufstellen der Funktionsgleichung dritten Grades in allgemeiner Form, d. h. vier Koeffizienten a 3 ; a ; a 1 u n d a 0 sind zu bestimmen. Außerdem werden vorsorglich die ersten beiden Ableitungen aufgeschrieben, die noch benötigt werden.. Schritt: Ermitteln der vier Bedingungsgleichungen. 1. Der Graph von f geht durch P(0 1).. Im Punkt P(0 1) hat der Graph von f eine waagerechte Tangente. 3. An der Stelle x = liegt eine Nullstelle vor. 4. An der Stelle x = 1 liegt eine Wendestelle vor. 3. Schritt: Zusammenfassen der verbleibenden Gleichungen (Gleichungen III und IV) zu einem Gleichungssstem und Bestimmen seiner Lösung, z. B. mithilfe der Additionsmethode. Es ergibt sich: a = 0,75 und a 3 = 0,5. Nach Einsetzen aller Werte a 0 b i s a 3 in die allgemeine Funktionsgleichung erhält man die gesuchte Funktionsgleichung. f(x) = a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 f (x) = 3 a 3 x + a x + a 1 f (x) = 6 a 3 x + a 1. f(0) = 1 I. 1 = a a 0 + a a 0 a 0 = 1. f (0) = 0 II. f (0) = 0 = 3 a a 0 + a 1 a 1 = 0 3. f() = 0 III. 0 = a a + a 1 + a 0 4. f (1) = 0 IV. 0 = 6 a a III. 8 a a + 1 = 0 IV. 6 a 3 + a = 0 ( ) 8 a a + 1 = 0 III 1 a 3 4 a = 0 + IV 4 a = 0 a 3 = _ 1 4 a = _ 3 4 Die gesuchte Funktion hat die Gleichung f(x) = _ 1 4 x 3 _ 3 4 x + 1

3 197 Merke Für das Bestimmen von Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Eigenschaften ist die folgende Schrittfolge zu beachten: 1. Aufstellen der Funktionsgleichung in allgemeiner Form mit ihren Ableitungen.. Übertragen der in der Aufgabenstellung enthaltenen Bedingungen am Graph in die dafür erforderlichen Funktionsbedingungen unter Verwendung der Funktionen f, f und f. 3. Überführen der Funktionsbedingungen in die Bedingungsgleichungen. 4. Zusammenfassen der Bedingungsgleichungen zu einem linearen Gleichungssstem. 5. Lösen des Gleichungssstems und damit Feststellen der gesuchten Konstanten. 6. Angabe der gesuchten Funktionsgleichung. Anmerkung: Zur Sicherheit kann noch eine Probe durchgeführt werden, indem geprüft wird, ob die gegebenen Eigenschaften an der gefundenen Funktion tatsächlich gelten. ANWENDUNGEN 1. Es soll eine Kinderrutsche (siehe Skizze) in Form einer kubischen Parabel (Funktion dritten Grades) hergestellt werden. Dabei ist zu beachten, dass: 1. die Rutsche eine Höhe von m ab dem Boden hat,. am Ende der Rutsche die Steigung null sein soll, 3. der Wendepunkt W in der Rutschenmitte liegt. a) Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion f. b) Zeigen Sie, dass die Rutsche im Wendepunkt W am steilsten verläuft. 1,5 1 0,5 Rutsche W 0,4 0 0,5 1 1,5 x a) Es müssen die Koeffizienten a 3, a, a 1 u n d a 0 ermittelt werden. Zur besseren Übersicht bestimmt man die erste und zweite Ableitungsfunktion. I. Der Graph schneidet die -Achse bei. II. Der Graph geht durch den Punkt P( 0,4). III. Die Steigung des Graphen im Punkt P( 0,4) ist null (f () = 0). IV. Der Punkt P(1 1) ist Wendepunkt (f (1) = 0). Die verbleibenden Gleichungen werden zu einem Gleichungssstem zusammengefasst und z. B. mithilfe der der Additionsmethode gelöst. Nach Einsetzen aller Werte a 0 b i s a 3 in die allgemeine Funktionsgleichung erhält man: f(x) = 0,4 x 3 1, x + f(x) = a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 f (x) = 3 a 3 x + a x + a 1 f (x) = 6 a 3 x + a I. f(0) = = a a 0 + a a 0 a 0 = II. 0,4 = 8 a a + a 1 + III. f () = 0 = 3 4 a 3 + a + a 1 IV. 0 = 6 a 3 + a II. 0,4 = 8 a a + a 1 + III. 0 = 1 a a + a 1 IV. 0 = 6 a 3 + a a 3 = 0,4; a = 1,; a 1 = 0; a 0 =

4 198 Kapitel 7: Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen b) Es werden die Koordinaten des Wendepunktes W berechnet. Die Steigung in W beträgt 1,. Dieser Wert hat absolut den größten Wert (= steilste Steigung). f (x) = 1, x,4x ; f (x) =,4 x,4 und f (x) =,4 0 0 =,4x,4 x w = 1; f(1) = 1, Der Wendepunkt liegt in W(1 1,). Die Steigung in W beträgt f (1) = 1,. Ein Stahlträger wird einseitig eingespannt und im Abstand l = 6 m mit einer Kraft F belastet. Im Intervall I = [0; l] lässt sich die Biegelinie der neutralen Phase durch die Gleichung f(x) = k(a x 3 + b x + ) beschreiben. Dabei ist der Faktor k eine einheitslose Konstante, die von der Balkenart (Material, Querschnittsform) abhängt. Im Intervall [l; l 1 ] setzt sich die Biegelinie in Form einer Geraden fort. 4 a) Berechnen Sie die Koeffizienten a und b so, dass an der Stelle x = 6 eine Nullstelle und gleichzeitig auch eine Wendestelle vorliegt. Die Konstante k erhält den Wert 1 zugeordnet. b) Welchen Steigungswinkel α weist der Träger an der Ansatzstelle der Kraft F auf? c) Berechnen Sie die Auslenkung d, wenn die Kraft F einen l 1 =10 m langen Träger nach unten drückt. d) Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion f, wenn f für x [, ] betrachtet wird l = 6m x l = 10 m F d a) Es werden die beiden Gleichungen für x = l = 6 zur Bestimmung der Nullstelle und der Wendestelle (f (x) = 0) aufgestellt. Das erhaltene Gleichungssstem wird mithilfe der Einsetzungsmethode gelöst und a und b ermittelt. (Die Konstante k wird in dieser und den folgenden Rechnungen 1 gesetzt.) Daraus ergibt sich die Gleichung f(x) = _ 1 16 x 3 _ 1 1 x + b) Man ermittelt die erste Ableitungsfunktion f und setzt für x = 6 ein. Der TR liefert den Wert 6,6. Das heißt, α beträgt 180 6,6 = 153,4. c) Zu beachten ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Ankathete von 4 m und dem Winkel von β = 6,6. d) Durch Ausklammern von x in der ersten Ableitungsfunktion f erhält man die erste Nullstelle. Eine zweite Nullstelle errechnet sich aus dem Restterm. I. 0 = 6 3 a + 6 b + II. 0 = 6 6a + b zu I. 0 = 16a 36 18a + a = 1 _ 16 U b = 1 _ 1 f(x) = k ( 1 _ 16 x 3 1 _ 1 x + ) f (x)= k( _ 1 7 x _ 1 x) mit k = 1: 6 f (6) = 0,5 = tan α α 153,4 Ankathete = 10 m 6 m = 4 m tan 6,6 = 0,5d d = (m) b = 18a f (x) = 0 = x k( _ 1 7 x _ 1 6 ) x 1 = 0 1_ 7 x = _ 1 6 x = 1

5 199 Mithilfe der zweiten Ableitungsfunktion (hinreichende Bedingung) werden der Hoch- und Tiefpunkt festgelegt. Anhand der Gleichung f(x) wird der zugehörige -Wert errechnet. f (x) = 1 _ 36 x 1 _ 6 f (0) = 1 _ 6 < 0 H für x 1 = 0. f (1) = 1 _ 6 > 0 T für x = 1. Tiefpunkt T(1 ); Hochpunkt H (0 ). Übung 1. Wie lautet die Gleichung einer Parabel mit der Gleichung f(x) = x + a 1 x + a 0, die a) die -Achse bei 5 schneidet und durch den Punkt P( 5) verläuft? b) die x-achse an der Stelle x = mit der Steigung m = 5 schneidet?. Wie lautet die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, die a) die x-achse im Koordinatenursprung berührt und durch den Punkt P(1 3) mit der Steigung 3 läuft? b) den Koordinatenursprung mit der Steigung 8 schneidet, eine Nullstelle bei x = 4 und eine Wendestelle bei x = _ 3 aufweist? Aufgaben Gegeben sind die folgenden Bedingungen am Graphen. Leiten Sie daraus die enthaltenen Funktionsbedingungen ab. Der Graph der Funktion f... a) verläuft durch den Punkt P( 5), b) hat an der Stelle x = 3 die Steigung 1, c) hat im Punkt T( 1) einen Tiefpunkt, d) hat eine Tangente durch P(3 5), die parallel zur Ursprungsgeraden g(x) = x verläuft, e) hat dieselben Nullstellen wie die Parabel mit der Gleichung f(x) = x + x 6.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades verläuft durch den Punkt P(0 3) und hat im Punkt T (3 6) einen Tiefpunkt. Wie lautet die Funktionsgleichung? 3. Wie lautet die Gleichung einer ganzrationale Funktion zweiten Grades, die an der Stelle x = 1 ein Extremum aufweist und Achsenschnittpunkte in P(0 3) und Q(5 0) besitzt? 4. Gesucht ist die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, die durch den Koordinatenanfangspunkt verläuft und dort die Steigung m = hat. Im Punkt P( 4) liegt ein Extremum vor. 5. Die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades hat die Form f(x) = a x 4 b x. Ihr Graph schneidet die x-achse an der Stelle x = mit der Steigung 8. Wie sind a und b zu wählen, damit die Bedingungen erfüllt werden? 6. Die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat die Form f(x) = x 3 3 x + cx + d. Ihr Graph hat eine waagerechte Tangente bei x = 1 und schneidet die -Achse bei = 4. Wie lautet die Funktionsgleichung?

6 00 Kapitel 7: Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen 7. Ermitteln Sie die ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch die Punkte P 1 (0 4) und P (1 6) verläuft. Der Punkt P ist Wendepunkt des Graphen von f. Die Steigung im Wendepunkt des Graphen ist Von Graph einer Funktion dritten Grades ist bekannt: 1. Schnittpunkt mit der -Achse bei = 1,. Hochpunkt in H(1 6 ), 3. Wendestelle der Funktion bei x =. Wie lautet die Funktionsgleichung? 9. Wie lautet die Gleichung der Funktion vierten Grades, die an der Stelle x = 0 die x-achse berührt und im Punkt P S ( ) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente besitzt? 10. Der Graph einer zur -Achse smmetrischen Funktion vierten Grades hat im Punkt P(0 ) ein Maximum und berührt die Parabel mit der Gleichung g(x) = x 4x in deren Scheitelpunkt. Berechnen Sie den Scheitelpunkt von g und bestimmen Sie die Gleichung von f. 11. Wie lautet die Funktionsgleichung einer Funktion vierten Grades, wenn gilt: 1. Sattelpunkt des Grafen in P(0 9),. Nullstelle und Extremstelle bei x 1 = 3? 1. Zu bestimmen ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph punktsmmetrisch zum Ursprung verläuft. Im Punkt P(1 ) liegt ein Hochpunkt vor. 13. Über den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist bekannt: Wendepunkt in W(1 6); die Wendetangente hat die Steigung 7; die Steigung an der Stelle x = ist 4. Die Funktionsgleichung zu f ist gesucht. 14. Eine Funktion vierten Grades hat die erste Ableitungsfunktion f (x) = 4 x 3 6x + _ 5. Ihr Graph verläuft durch die Punkte P(1 ) und Q( 3). Wie lautet die 3 Funktionsgleichung? Anwendungen 15. Um Umfang und Stärke eines Kohleflözes bestimmen zu können, werden Probebohrungen durchgeführt. Wo kommt das Flöz der Erdoberfläche am nächsten, wenn man in drei Tiefen auf Kohle gestoßen ist und angenommen wird, dass das Flöz ungefähr auf einer Parabel liegt? Planskizze 300m 1000m 00m 000m 450m 16. Bei einer Maschinensteuerung bewegt sich die Steuerwelle mit konstanter Geschwindigkeit von v = 1cm/s nach links. Während des Überganges wird der Stößel nach oben bewegt. Für den Übergangsverlauf sind Graphen der Funktionen fn(x) = a n x n + a 1 x + a 0 (n ungerade) geeignet. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für das kleinste n. cm Stößel Steuerwelle 3 x 6cm

7 Ein Träger ist an seinen Enden fest eingespannt. Infolge seines Eigengewichtes und zusätzlicher Belastung in der Mitte biegt er sich durch. Die Lage des Balkens kann durch die Funktion f(x) = k( x 4 a x 3 + b x ) angegeben werden. (k hängt von Material und Form des Balkens ab.) Der Funktionsgraph hat an den Einspannstellen x 1 = 0 und x = 8 waagerechte Tangenten. a) Entwickeln Sie die Funktionsgleichung für f. b) Berechnen Sie die Stelle des größten Durchhanges und berechnen Sie den Tiefpunkt. c) Bestimmen Sie alle Wendestellen x w der Funktion f. 8 m Biegelinie x 7.5 Extremwertaufgaben In der angewandten Mathematik gibt es zahlreiche Beispiele, in denen aufgrund vorliegender funktionaler Zusammenhänge von Größen unter anderem nach deren größten oder kleinsten Werten (Extrema) gefragt wird. Zwei Anwendungen aus Geometrie und Statik werden näher beschrieben. Beispiel: Zlindrische Dosen von nahezu gleichem Fassungsvermögen (Volumen) haben oft unterschiedliche Maße (Durchmesser, Höhe). Zur Materialeinsparung soll berechnet werden, welche Abmessungen (Radius, Höhe) eine Dose mit 1 Liter Inhalt haben muss, damit sie den geringsten Materialverbrauch verursacht, also die kleinste Oberfläche aufweist. Extremalproblem (Minimalproblem): Wie sind r und h zu wählen, damit die Oberfläche O den kleinsten Wert annimmt? Ausgangspunkt der Überlegungen ist die Oberflächenformel der Dose (Zlinder) mit dem Radius r und der Höhe h, die es zu berechnen gilt. O ist eine Funktion von r und h. Beide Variablen stehen zusätzlich durch eine Nebenbedingung, hier das gegebene Volumen V = 1, in einer Beziehung zueinander. Die Nebenbedingung (Volumenformel) wird nach einer Variablen, z. B. h, aufgelöst. Hauptbedingung (Oberfläche): O(r, h) = r π + r π h Nebenbedingung (Volumen): V = 1 = r π h h = 1_ r π

8 0 Kapitel 7: Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen Der dadurch erhaltene Term 1_ wird für h in die r π Oberflächenformel (Hauptbedingung) eingesetzt, sodass O nur noch eine Funktion von einer Variablen r ist. Die Funktion O heißt Zielfunktion des Extremalproblems. Es wird nun eine verkürzte Kurvendiskussion durchgeführt mit dem Ziel, den Radius r bzw. den Durchmesser d der kleinsten Oberfläche zu ermitteln. Mithilfe der Nebenbedingung h = 1_ r π wird h berechnet, indem man dort r = 0,54 einsetzt. Dass für d = h = 1,084 dm der geringste Materialbedarf vorliegt (Minimum), zeigt man mithilfe der zweiten Ableitungsfunktion O. Zielfunktion: O(r) = r π + _ r π r π = r π + _ r Bestimmung des Minimums: O (r) = 0 = 4r π _ r r 0 = 4 r 3 π 3 r = _ 1 0,54; d = r 1,084 π h = 1 0,54 π 1,084 O (r) = 4π + _ 4 r 3 ; O (0,54) = 4π + 4_ 0,54 3 > 0 Minimum Der Graph der Oberflächenfunktion O zeigt an, dass für 1-Liter-Dosen das Minimum bei einem Radius r = 0,54 dm liegt. Sind Durchmesser und Höhe einer zlinderischen Dose gleich, so hat sie den geringsten Materialverbrauch. In der Praxis wird dennoch häufig aus verschiedenen Gründen, z. B. Aussehen, Handlichkeit, Funktionalität (Würstchendose), Stapelbarkeit, Produktionskosten usw., von diesen Maßen abgewichen. O O(r) = πr + r T(0,54 5,358) 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 r Zur Lösung von Extremwertaufgaben dieser Art empfiehlt sich folgende Vorgehensweise: 1. Aufstellen der Hhauptbedingung:. Aufstellen der im Problem enthaltenen Nebenbedingung(en): 3. Aufstellen der Zielfunktion: 4. Bestimmung des Optimums: Festlegen der gesuchten Größe, die es zu optimieren gilt. Bestimmung einer Funktion von meistens mehreren Variablen. Aufstellen einer oder mehrerer Beziehungen zwischen den Variablen, die durch gegebene Bedingungen hergestellt werden. Umstellen der Nebenbedingung(en) und Einsetzen in die Hauptbedingung. Festlegen des Definitionsbereiches der Variablen. Ableiten der Zielfunktion und Bestimmung des lokalen Extremums. Berechnen der übrigen Variablen. Prüfen, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.

9 03 Beispiel: Aus einem runden Baumstamm mit dem Durchmesser d ist ein rechteckiger Balken so zu schneiden, dass er die größte Tragfähigkeit T (hohes Widerstandsmoment W, d. h. der Balken soll möglichst hoch auf Biegung beansprucht werden) aufweist. Es gilt: T = _ b h 6. Geben Sie b und h in Abhängigkeit von d an. d h b Das Widerstandsmoment auch als Tragfähigkeit T bezeichnet muss ein Maximum werden. Die Nebenbedingungen entnimmt man der Skizze und den Beziehungen am rechtwinkligen Dreieck (Pthagoras). Mithilfe der Nebenbedingung wird die Hauptbedingung so zu einer Funktion umgeformt, dass in ihr noch die Variable b vorkommt. Dabei muss b im Intervall (0; d) liegen. Um die lokalen Extremstellen zu finden, wird T (b) = 0 gesetzt. Es ergeben sich zwei Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion. Davon ist nur eine gültig, die im Intervall (0; d) liegt. Mithilfe der Nebenbedingung für h = d b wird die optimale Balkenhöhe berechnet. Da die zweite Ableitungsfunktion T (b) < 0 ist, liegt ein Maximum vor. Setzt man optimale Höhe und optimale Breite ins Verhältnis, so ist zu erkennen, dass ein rechteckiger Balken bei diesem Verhältnis die optimale Biegefestigkeit hat. Hauptbedingung (Tragfähigkeit) T = _ b h 6 Nebenbedingung ( _ h ) = ( _ d ) ( _ b ) h = d b Zielfunktion T(b) = 1 _ 6 b ( d b ) = 1 _ 6 ( b d b 3 ) Bestimmung des Maximums T (b) = 1 _ 6 d 1 _ b T'(b) = 0 0 = _ 1 6 d _ 1 b 0 = d 3 b b = _ d 3 eingesetzt in h : h = d _ 1 3 d = _ 3 d h = d _ 3 T (b) = 6b; 6b < 0 Maximum d h_ _ b = 3 _ _ d = 3 h 1,4b