9 Funktionen und ihre Graphen

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1 57 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionsbegriff Eine Funktion ordnet jedem Element aus einer Menge D f genau ein Element aus einer Menge W f zu. mit = f(), D f Die Menge aller Funktionswerte nennt man Wertebereich W f. W f ={ W = f() mit D f }. In der Regel sind und reelle Zahlen, komplee Zahlen oder Vektoren. D f... Definitionsbereich = f()... Funktionsgleichung W f... Wertebereich f()... Funktionsterm... Argument, unabhängige Variable f( 0 )... Funktionswert an der... abhängige Variable Stelle 0 In einer Wertetabelle werden -Werte und die zugehörigen -Werte dargestellt. Sie ist häufig Grundlage eines Schaubildes. Beispiel: =f()= Graph oder Schaubild einer reellen Funktion einer reellen Veränderlichen Jedem Paar(, ) mit =f() wird ein Punkt P( ) in einem kartesischen Koordinatensstem zugeordnet. Die Menge aller Punkte P( ) mit D f heißt Graph oder Schaubild der Funktion f. Die Achse, entlang der die unabhängige Variable aufgetragen wird, heißt Abszisse. Die abhängige Variable wird entlang der Ordinate aufgetragen. Das kartesische Koordinatensstem zerlegt die Ebene in vier Quadranten. Gilt f( 0 )=0, dann heißt 0 Nullstelle der Funktion f. Der Graph von f trifft die -Achse im Punkt N( 0 0). Für glatte Funktionen ist N( 0 0) Schnittoder Berührpunkt mit der -Achse. S(0 f(0)) liegt auf der -Achse.. Quadrant. Quadrant 3. Quadrant Ordinate S(0 f(0)) N( 0 0) P = f() Abszisse 4. Quadrant

2 58 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionenschar Mengen von Funktionen, die sich mithilfe der Funktionsgleichung = f a () beschreiben lassen. Dabei enthält die Funktionsgleichung neben den Variablen und auch noch einen Scharparameter a. Der Parameter a kann alle reellen Zahlen oder auch nur Werte aus einem vorgegebenen Bereich annehmen. Für jeden Wert des Scharparameters a beschreibt mit = f a (), D fa eine Funktion. = f a () Beispiel: durch = a( )+ ; a R werden alle Geraden durch den Punkt( ) dargestellt (Ausnahme: die Parallele zur -Achse). Monotonie monoton wachsend: < f( ) f( ) streng monoton wachsend: < f( )<f( ) streng monton fallend streng monoton steigend streng monoton fallend monoton fallend: < f( ) f( ) monoton steigend monoton fallend streng monoton fallend: < f( )>f( ) Streng monotone Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion (vgl. Seite 60). Die Begriffe monoton wachsend und monoton steigend werden snonm benutzt. Werden zwei monoton fallende bzw. wachsende Funktionen f() und g() hintereinander ausgeführt, so ergibt sich wieder eine monoton fallende bzw. wachsende Funktion h() = f(g()) (vgl. Seite 60). Beispiel: Die Funktion = f()= 3 ist trotz der waagrechten Tangente bei 0 = 0 streng monoton wachsend. Smmetrie Übertragung des geometrischen Begriffs auf das Verhalten von Funktionen.

3 9 Funktionen und ihre Graphen 59 Smmetrie zur -Achse = f() Der Graph der Funktion f ist genau dann smmetrisch zur -Achse, wenn gilt: f( 0 ) f( 0 ) f( )=f() für alle D f Eine zur -Achse smmetrische Funktion nennt man gerade Funktion. 0 0 Beispiel: f()= Smmetrie zum Koordinatenursprung Der Graph der Funktion f ist genau dann smmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn gilt: 0 f( 0 ) f( )= f() für alle D f Eine zum Koordinatenursprung smmetrische Funktion nennt man ungerade Funktion. f( 0 ) 0 = f() Beispiel: f()= Verschieben und Strecken von Graphen Wird der Graph einer Funktion f um 0 in -Richtung und um 0 in -Richtung verschoben, so ergibt sich die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion g zu: sin( )+3 g()=f( 0 )+ 0 sin( ) Wird der Graph der Funktion f in - Richtung um den Faktor k gestreckt, so lautet die Funktionsgleichung der gestreckten Funktion h : h()=k f() sin() sin() sin(3) Wird der Graph der Funktion f in - Richtung um den Faktor k gestaucht, so lautet die Funktionsgleichung der gestauchten Funktion s : sin() s()=f(k ) (k= bedeutet eine Spiegelung an der -Achse)

4 60 9 Funktionen und ihre Graphen Verketten von Funktionen Unter der Verkettung zweier Funktionen f und g versteht man die Funktion: h=f g f(g()) d. h. das Hintereinanderausführen der beiden Funktionsvorschriften. Man erhält den Funktionsterm von h=f g, indem man den Term g() der inneren Funktion für die Variable der äußeren Funktion f() einsetzt. Das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab! Beispiel: f() = + g() = 4 3 f g f(g()) = g f g(f()) = 4( + ) 3 Umkehrfunktionen Eine Funktion f ist umkehrbar, wenn zu jedem Funktionswert W f genau ein Argument D f gehört. Zu jeder streng monotonen Funktion gibt es eine Umkehrfunktion. Die Funktion f, welche den Elementen von W f eindeutig die Elemente von D f zuordnet, heißt Umkehrfunktion von f. Bei Funktionen ist es üblich, die unabhängige Variable mit zu bezeichnen. Man vertauscht f( 0 ) deshalb in der Funktionsgleichung =f () die Bedeutung der Variablen und und erhält die Umkehrfunktion in der Form =f (). Durch diese Vertauschung wird das Schaubild 0 f() der Ausgangsfunktion an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt. f ( 0 ) 0 Vorgehensweise: Auflösen von = f() nach. =f () Vertauschen der Variablennamen und. = f () = Vertauschen von Definitions- und Wertebereich D f = W f, W f = D f Der Graph von f entsteht aus dem Schaubild von f durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. = Beispiel: = ; 0 = =

5 9 Funktionen und ihre Graphen 6 Spezielle Umkehrfunktionen f() = n mit 0; n N f n () = mit 0 f() = mit 0 f () = mit 0 f() = e mit R f () = ln() mit >0 f() = sin() mit [ π, π ] f () = arcsin() mit [, ] f() = cos() mit [0, π] f () = arccos() mit [, ] f() = tan() mit ( π, π ) f () = arctan() mit R Die obigen Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen nennt man auch Hauptzweig. Lineare Funktion, Gerade Lineare Funktion Funktionsgleichung: Definitionsbereich: Graph: Steigung der Geraden: -Achsenabschnitt: Steigungswinkel: Steigung Winkel: = m + b D f = R Gerade m b α tan(α) = m Schnittpunkt mit -Achse: S ( b m 0) S (0 b) = m+b α Schnittpunkt mit -Achse: S (0 b) Nullstelle: 0 = b m, Geradengleichung wenn m 0 Zwei-Punkte-Form: Gegeben sind zwei Punkte P ( ) und P ( ) : = α S ( b m 0) 3 m Punktsteigungsform: Gegeben ist der Punkt P 3 ( 3 3 ) und die Steigung m: 3 3 = m g Zusammenhang: = m 3

6 6 9 Funktionen und ihre Graphen Allgemeine Geradengleichung A+B+ C= 0 ; A, B, C R ; wobei A und B nicht gleichzeitig Null sind. Die Achsenschnittpunkte ergeben sich zu: S = C A bzw. S= C, wenn A B 0. B = b s Spezialfälle: C= 0 Ursprungsgerade = A B =m B= 0 A=0 Parallele zur -Achse = C A = a Parallele zur -Achse = C B = b s g = m =a Quadratisches Polnom, Parabeln = f()=a + a +a 0 ; a i R ; D f = R Ein quadratisches Polnom besitzt bis zu zwei Nullstellen. Sein Graph ist eine Parabel (siehe auch Seite ). Aus der Scheitelform lassen sich die zum Zeichnen nötigen Werte ablesen. = f()=a ( 0 ) + 0 a... Formparameter ( 0 0 )... Scheitel Quadratische Ergänzung ermöglicht die Darstellung in Scheitelform. S f () f () S S 3 f 3 () N N Beispiele: f = (+3) + f = (+) f = ( ) + 3 Polnome =p n ()=a 0 + a +a +...+a n n mit a i R ; a n 0 ; n {0,,, 3,...} heißt ganzrationale Funktion oder Polnom vom Grad n ; wobei D pn = R. Polnome vom Grad n besitzen höchstens n Nullstellen; ist n ungerade, so eistiert mindestens eine Nullstelle. (vgl. auch Seite 4) Das Verhalten von p n () für große Werte von hängt nur vom höchsten Koeffizienten ab. p n () a n n für ±

7 9 Funktionen und ihre Graphen 63 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Eponenten n=6 Eponent größer Null Funktionsgleichung: = f()= n, n N Definitionsbereich: Wertebereich: Smmetrie: D f = R R, wenn n ungerade, wenn n gerade R + 0 Der Graph ist achsensmmetrisch zur -Achse, wenn n gerade ist; punktsmmetrisch zum Ursprung, wenn n ungerade ist. n= n=3 n=7 Eponent kleiner Null Funktionsgleichung: = f()= n = n, n N Definitionsbereich: D f = R/{0} Wertebereich: Smmetrie: R/{0}, wenn n ungerade R +, wenn n gerade Der Graph ist achsensmmetrisch zur -Achse, wenn n gerade ist; punktsmmetrisch zum Ursprung, wenn n ungerade ist. n= n=6 n=7 n= Für n=0 erhält man = f()= 0 =. Gebrochenrationale Funktionen; Partialbruchzerlegung f()= p n() q m () = a 0+ a +...+a n n b 0 + b +...+b m m ; a n 0 o. B. d. A. b b m 0 m = Durch Polnomdivision lässt sich für den Fall n m der ganzrationale Anteil abspalten. Für große verhält sich die Funktion f() asmptotisch wie das abgespaltene Polnom. Beispiel: g()= = ( )=

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