M 4 Bestimmung des Torsionsmoduls

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1 M 4 Bestimmung des Torsionsmoduls. Aufgabenstellung. Bestimmen Sie den Torsionsmodul von Metallen mittels rehschwingungen.. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment des schwingenden Systems..3 Führen Sie zur Ermittlung des Torsionsmoduls eine Größtfehlerberechnung durch.. Theoretische Grundlagen Stichworte zur Vorbereitung: Elastische Konstanten, Torsionsmodul, Statische Messmethode, ynamische Messmethode, Trägheitsmoment, rehschwingung Literatur:. Geschke Physikalisches Praktikum, Kap. M 3, Teubner Verlag 00 W. Walcher Praktikum der Physik, Kap..4., Elastizität, Teubner Verlag 989 E. Grimsehl Lehrbuch der Physik, Bd., Kap. 6, Teubner Verlag 99 H.. Paus Physik in Experimenten und Beispielen Kap. 5 Hanser Verlag 995 H.. Eichler,. Sahm as neue Physikalische Grundpraktikum, H.-. Kronfeldt Kapitel 9, Springer-Verlag, Berlin 00

2 Ideal starre Körper treten in der Natur nicht auf. eder Körper erfährt durch eine angreifende Kraft eine eformation. e nach der Art der Einwirkung äußerer Kräfte in Bezug auf eine bestimmte Körperfläche werden verschiedene Spannungszustände, wie z. B. Längsdehnung, Querkontraktion, Scherung oder Torsion beobachtet. as elastische Verhalten homogener, isotroper Festkörper wird durch vier Materialgrößen charakterisiert: den Elastizitätsmodul E, den Torsionsmodul G, die Poisson sche Zahl μ und den Kompressionsmodul K. iese vier Materialgrößen der Elastizitätslehre werden durch das Hooke sche Gesetz definiert. Sie sind Proportionalitätsfaktoren zwischen der jeweiligen Ursache und ihrer Wirkung. er Elastizitätsmodul E beschreibt die relative Längenänderung eines Körpers, die durch eine Zugspannung verursacht wird und der Torsionsmodul G die eformation durch eine Scherkraft, die Poisson sche Zahl ist das Verhältnis aus relativer Querverkürzung und relativer Längenänderung, und der Kompressionsmodul K charakterisiert die Zusammendrückbarkeit eines Körpers. er Elastizitätsmodul E ist nur eine der elastischen Konstanten, deren Bedeutung im folgendem kurz erklärt wird. Ein Metallstab werde durch eine Zugkraft belastet, er wird dabei länger. er Quotient aus der in Längsrichtung des Stabes wirkenden Kraft und der Querschnittsfläche A wird Normalspannung σ genannt (Abb. ). er Zusammenhang zwischen Belastung σ und relativer Längenänderung des Stabes Δ ε = ist in dem Spannungs-ehnungs-iagramm in Abb. dargestellt. F n F = n A0 E B A C F 0 Fn Abb. : Spannungs-ehnungs-iagramm und Zugversuch / Längsdehnung

3 ie im Stabquerschnitt wirksame Spannung ist auf den unbelasteten Querschnitt A 0 bezogen. Bis zum Punkt A, der Proportionalitätsgrenze, ist die ehnung der Spannung proportional. Unterhalb der Elastizitätsgrenze B gehen Volumen und Gestalt des Körpers nach Aufhören der Belastung in ihren ursprünglichen Zustand zurück, der Körper verhält sich elastisch. Oberhalb von B nimmt der Körper nach Verschwinden der Kraft die ursprüngliche Gestalt nicht mehr ein, das Material verhält sich plastisch. Oberhalb des Punktes C, der so genannten Fließgrenze, dehnt sich der Körper weiter, ohne dass die Belastung zunimmt. Oberhalb von kommt es wieder zu einer Verfestigung, bis der raht sich bei E an der späteren Bruchstelle einschnürt und schließlich bei F reißt. as Spannungs-ehnungs-iagramm sieht bei verschiedenen Stoffen qualitativ ähnlich aus, jedoch unterscheiden sich die einzelnen Bereiche in ihrer Ausdehnung oft wesentlich. Neben der Belastungsabhängigkeit beobachtet man auch eine Zeitabhängigkeit der Verformung. Man erreicht den Endwert einer Formänderung auch im elastischen Bereich erst nach einer gewissen Zeit (elastische Nachwirkung). Eine andere Erscheinung, die elastische Hysterese, besteht im Auftreten einer Restdeformation bei völliger Entlastung, sie ist durch entgegengesetzter Belastung zu beseitigen. ie Ursache dieser Erscheinung sind Fehler im Kristallbau. Physikalisch anschaulich lässt sich dieses Verhalten deuten, wenn man berücksichtigt, dass feste Körper aus Gitterbausteinen aufgebaut sind, die in Form eines Raumgitters angeordnet sind und die sich durch anziehende und abstoßende Kräfte zwischen den Bausteinen im stabilen Gleichgewicht befinden. urch nicht zu große äußere Kräfte F werden die Abstände der Gitterbausteine verändert und dadurch innere Kräfte F i hervorgerufen, die nach der äußeren Krafteinwirkung die alte Gleichgewichtslage wieder herstellen (elastisches Verhalten). urch größere äußere Kräfte können die Gitterebenen gegeneinander verschoben werden. ie Gitterbausteine gelangen dabei in neue stabile Gleichgewichtslagen, die sie nach dem Aufhören der äußeren Krafteinwirkung beibehalten (plastisches Verhalten). Im Gültigkeitsbereich des HOOKE schen Gesetz gilt σ = ε. () E 3

4 3. er Torsionsmodul 3. efinition A Wirkt auf die eckfläche des in Abb. dargestellten Würfels, dessen Bodenfläche F S festgehalten wird, eine Kraft F S, so ist der sich ergebende Scherwinkel α der Schubspannung τ proportional α τ Gα =. () Abb. : eformation eines Würfels durch eine Scherkraft er Proportionalitätsfaktor G heißt Torsions- oder Schubmodul. Als Schubspannung τ bezeichnet man den Quotienten aus dem Betrag der Scherkraft F S und der Querschnittsfläche A F τ = S. (3) A Experimentell kann der Torsionsmodul z. B. aus der Verdrillung von Stäben oder rähten mit kreisförmigem Querschnitt bestimmt werden. Es soll im Weiteren ein einseitig eingespannter raht betrachtet werden, dessen Länge groß gegenüber dem Radius r ist. Am freien rahtende lässt man tangential am äußeren urchmesser ein äußeres Kräftepaar den Winkel ϕ verdrillt. F S angreifen, das den raht um r d r α ϕ b Abb. 3 : Verdrillung eines rahtes 4

5 enkt man sich den raht aus unendlich vielen ineinander gesteckten konzentrischen Hohlzylindern mit der icke dr zusammengesetzt, so verschiebt sich bei Verdrillung eine zur rehachse parallele Faser im Abstand r von der rehachse um den Winkel α (vergl. Abb. 3). em äußeren rehmoment (Kreisringe) im Abstand r elastisches rehmoment d M M = rf wirkt an jedem Flächenelement da S von der rehachse ein im Betrag jeweils gleichgroßes r df Mit den Gln.() und (3) ergibt sich d = entgegen. M = rg α da. Nach Abb. 3 gilt für kleine α: b= ϕr = α. Mit diesem Ausdruck und da = πr dr (Zylinderkoordinaten) folgt G 3 dm = π ϕ r dr. as gesamte rücktreibende rehmoment erhält man durch Integration über alle Hohlzylinder. r G 3 πgr M = dm = π ϕ r dr = 0 4 ϕ. (4) Eine Methode zur Bestimmung des Torsionsmoduls, die dynamische Methode, basiert auf der Messung der Schwingungsdauer von rehschwingungen. Mit dieser Messmethode wird der Torsionsmodul zweckmäßigerweise dann ermittelt, wenn das zu untersuchende Material als raht vorliegt, also geringe rehmomente zur Verdrillung benötigt werden. Ein raht der Länge ist am oberen Ende eingespannt und am unteren Ende mit einem Körper belastet. Lenkt man den Körper bzgl. der rehachse aus, so führt er eine rehschwingung aus, deren Ursache die elastischen Kräfte des verdrillten rahtes sind. Bei einem Auslenkwinkel ist der Betrag des rücktreibenden Momentes M gegeben durch M = ϕ. (4a) wird als irektions- oder Richtmoment bezeichnet. Für die Rotationsbewegung um die rehachse gilt die Bewegungsgleichung ϕ + ϕ = 0, (5) wobei das Trägheitsmoment der Messanordnung ist. ie allgemeine Lösung dieser ifferentialgleichung lautet 5

6 cos ϕ = ϕ0 t + β (6) mit den durch die Anfangsbedingungen bestimmten Konstanten ϕ 0 (Amplitude) und β (Phase). ie Periodendauer T dieser harmonischen Schwingung ergibt sich zu Mit den Gln.(4) und (4a) folgt daraus T = π. T = π π Gr. (7) Somit kann der gesuchte Torsionsmodul G durch Messung der Schwingungs-dauer T bestimmt werden, wenn das Trägheitsmoment 4 der schwingenden Anordnung bekannt ist. Im speziellen Versuch ist jedoch neben G auch das Trägheitsmoment unbekannt (unregelmäßige Form bzw. Inhomogenität des angehängten Körpers, sowie Beitrag des mitschwingenden rahtes). Man macht deshalb eine zweite Messung, bei der am schwingenden Körper eine Zusatzscheibe mit berechenbarem, also bekanntem, Trägheitsmoment befestigt wird. ie Schwingungsdauer T ergibt sich hierbei zu T π + =. (8) Für das unbekannte Trägheitsmoment folgt aus den Gln.(7) und (8) T = T. (9) T Aus den Gln.(7) und (9) erhält man nun den gesuchten Torsionsmodul 8 π G = d T T 4 ( ). (0) ie Zusatzscheibe ist ein homogener Hohlzylinder der Höhe H, dem inneren Radius R i und dem äußeren Radius 4 4 ( a Ri ) R a. Sein Trägheitsmoment beträgt ρ H R =. () Mit m m ρ = = V H π R R ( a i ) m erhält man = ( Ra + Ri ). () 6

7 4. Versuchsdurchführung Eine Verdrehung der beiden zusammengeschraubten Körper um etwa 90 bewirkt die Verdrillung des rahtes, von dessen Material der Torsionsmodul bestimmt werden soll. Nach dem Loslassen der Körper führt das System rehschwingungen aus. ie Schwingungsdauer T bestimmt man aus der Zeit für 0 aufeinander folgende Schwingungen. ie Messung ist fünfmal durchzuführen. Nach dem Abschrauben der unteren Scheibe wird die Schwingungsdauer T (am raht hängt nur der obere Körper) auf die gleiche Weise bestimmt (fünfmalige Messung von 0 Schwingungen). ie zur Berechnung des Trägheitsmomentes der unteren Scheibe notwendige Masse m erhält man durch Wägung. en Außendurchmesser R a sowie den urchmesser der Bohrung R i bestimmt man mit dem Messschieber, den rahtdurchmesser d an fünf verschiedenen Stellen mit der Bügelmessschraube. ie rahtlängen sind am Versuchsplatz angegeben. 5. Kontrollfragen 5. Unter welcher Voraussetzung gilt das Hooke sche Gesetz? 5. Nennen Sie die efinitionsgleichung des Trägheitsmomentes, erläutern Sie anschaulich diese Größe und leiten Sie die Beziehung () her. 5.3 Wie groß wäre das Trägheitsmoment des verwendeten Hohlzylinders (Zusatzscheibe), wenn er um einen Punkt seiner Peripherie rehschwingungen ausführen würde? 5.4 Welche weitere Messmethode zur Bestimmung des Torsionsmoduls gibt es an Stelle der dynamischen Messung ( T )? Welche Größe wird bei der alternativen Methode gemessen? 5.5 Nennen Sie analoge Größen und Gleichungen der Translation und der Rotation. 7