Gebrochen rationale Funktion f(x) = x2 +1

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1 Gebrochen rationale Funktion f() = +. Der Graph der Funktion f ist punktsmmetrisch, es gilt: f( ) = ( ) + f() = f( ) = + = + = f(). An der Stelle = 0 ist f nicht definiert, an dieser Stelle liegt ein Pol vor. 3. Nullstellen: Bed.: f() = 0 Ein Bruchterm ist null, falls der Zähler null ist. Die Gleichung + = 0 besitzt keine reellen Lösungen, daher eistieren keine Nullstellen. 4. Etrema: notw. Bed.: f () = 0 f () =. f () = 3 / = ± f () = > 0 f ( ) = < 0 5. Asmptote f() = + = + Min( ) Ma( ) g() = Der Graph von f kann leicht skizziert werden, indem die Graphen der beiden Teilfunktionen gezeichnet werden, anschließend erhält man den Graph von f durch grafische Addition. Eine Asmptote von f ist eine Gerade (lineare Funktion), an die sich der Graph von f für größer (kleiner) werdende immer mehr annähert(asmptotein griech. nicht zusammenfallen). Je mehr man sich der Polstelle = 0 nähert, umso größer werden die Funktionswerte, da durch kleiner werdende -Werte dividiert wird. Der Begriff Pol stammt aus der Kartographie. Bei einer bestimmten Abbildung der Erdoberfläche auf eine Ebene kann dem Nordpol als einzigem Punkt kein Punkt in der Ebene zugewiesen werden. Auch hier liegt eine Definitionslücke vor

2 Die Funktion f() = 3 +. Keine Smmetrie erkennbar.. An der Stelle = 0 ist f nicht definiert, an dieser Stelle liegt ein Pol vor. 3. Nullstellen: Bed.: f() = 0 Ein Bruchterm ist null, falls der Zähler null ist. Die Gleichung 3 + = 0 besitzt eine reelle Lösung, = 3 4. Etrema: notw. Bed.: f () = 0 f () = 3 4 f () = = 3 4 f ( 3 4) > 0 Min( ) 5. Asmptote f() = 3 + = + g() = Der Graph von f kann leicht skizziert werden, indem die Graphen der beiden Teilfunktionen gezeichnet werden. Bei der anschließenden grafischen Addition ist auf das Vorzeichen der zu addierenden Funktionswerte zu achten. Zur Erinnerung: Quotientenregel: ( Z N ) = Z N Z N N Potenzrechnung: 43 3 = Die Asmptote ist durch Umformen (Division) des Funktionsterms zu erkennen. Es ist der lineare Anteil (Gerade) des Terms, wenn der restliche Term für oder gegen null strebt.

3 Die Funktion f() = 3. Pol an der Stelle = 0.. Nullstellen: Bed.: f() = 0 = Etrema: notw. Bed.: f () = 0 f () = 3 3. f () = 6 4 Ma( 3 6 0,9) 4. Asmptote g() = 3 5. Stammfunktion F() =

4 Die Funktion f() =. Pol an der Stelle = 0.. Nullstellen: Bed.: f() = 0 = 3. Etrema: notw. Bed.: f () = 0 f () =. f () = 3 Ma( 3,90) 4. Näherungsfunktion g() = 5. Stammfunktion F() = ln

5 d =? 4 f() = f() = Skizzieren wir die Flächenfunktion zu f() =, z.b. an der Stelle = beginnend (an der Stelle = 0 ist f nicht definiert), so gelangen wir zu der Vermutung, dass eine Logarithmusfunktion vorliegt. Um dies zu überprüfen, leiten wir g() = ln ab. e ln = () e ln (ln) = (ln) = (Kettenregel) 5

6 . Eine Funktion f k ist gegeben durch f k () = k 4 k,k > 0 a) Skizzieren Sie den Graphen von f. b) Für welches k berührt der Graph der Teilfunktion g k () = 4 k die Gerade mit der Gleichung =? Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts. c) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Etrema und Wendepunkte (für den Wendepunkt genügt die notwendige Bedingung). d) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von f k und h k = k Geraden = und = 4 eingeschlossen wird. und den e) Für welches k schneiden sich die Graphen von g k und h k rechtwinklig?. Lösungen: a) b) Berührbedingungen:.. 4 k = k =. Gleichung nach auflösen und in die. einsetzen ergibt: k =, B( ) c) f () = 3 +4 f () = f () = 0 ergibt = 3 4 = 3 4,59 f ( 3 4) > 0 ( Min 3 ) Min(,59,89) W( 0) 4 d) 4 (f k () h k ())d = k 4 4 d = 63 k e) Bedingungen für das rechtwinklige Schneiden:.. 4 k = k k ( k ) ( ) = Aus. ergibt sich = k = 6

7 Gebrochen rationale Funktionen Tpisches Der Quotient zweier Polnome f() = Z() N() wie z.b. f() = 3. führt zu einer gebrochen rationalen Funktion, Dies ist jedoch keine Funktion auf ganz R. R muss um die Nullstellen des Nennerpolnoms, den Definitionslücken, vermindert werden. Der maimale Definitionsbereich - und dieser sei stets mit Definitionsbereich gemeint - lautet daher: D = R\{0, 3} Der Funktionsterm kann durch gekürzt werden: f () = Hierdurch entsteht eine Funktion, deren Definitionsbereich auch die Stelle = 0 enthält, ansonsten stimmt sie mit f überein. Sprechweise: = 0 ist eine hebbare Definitionslücke. Üblich ist, die Bezeichnung f beizubehalten. In der Umgebung der verbleibenden Definitionslücke = 3 strebt f() gegen bzw. +, hier liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW) vor. Der Graph ist identisch mit dem um 3 Einheiten nach rechts verschobenen Graphen von f() =. Untersuchen wir nun die Funktion: f() = (+)( ) Der Definitionsbereich lautet: D = R\{, }. f() = ( )(+) (+)( ) = ( ) ( ) Hebbare Definitionslücke an der Stelle =, Pol ohne VZW an der Stelle =

8 Hebbare Lücken und Pole Beachte: Ist N eine Nullstelle eines Polnoms, so enthält das Polnom den Linearfaktor ( N ). Eine gemeinsame Nullstelle N des Zähler- und Nennerpolnoms ist eine hebbare Definitionslücke, wenn im vollständig gekürzten Term N keine Nullstelle des Nenners mehr ist. Die übrigen Def.-Lücken sind Polstellen. Die Faktoren im Nenner ergeben Polstellen: ( N ) mit VZW, allgemein Linearfaktoren mit ungeradem Eponenten, ( N ) ohne VZW, allgemein Linearfaktoren mit geradem Eponenten. Verhalten für und für f() = Z() N() Eine einfache Division des Zählers und Nenners durch die höchste auftretende Potenz belegt Folgendes: Zählergrad < Nennergrad ± = f() 0 (-Achse ist Asmptote.) Zählergrad = Nennergrad Zählergrad > Nennergrad ± = f() c (es liegt eine waagerechte Asmptote vor.) ± = f() + oder f() (Es kann eine Näherungsfunktion ermittelt werden.) Der letzte Fall soll genauer beleuchtet werden: Zählergrad = Nennergrad + Eine Polnomdivision führt zu einer schiefen Asmptote. d.h. Zählergrad ist um größer als der Nennergrad Zählergrad mehr als größer als der Nennergrad Eine Polnomdivision führt zu einer ganzrationalen Näherungsfunktion, z. B. einer Parabel. 8

9 Bestimmung einer Funktion Geben Sie eine gebrochen rationale Funktion an, deren Graph die -Achse im Punkt N(4 0) schneidet, an der Stelle = einen Pol besitzt und die waagerechte Asmptote = hat. Lösung: f() = + a f() = ( )+a f() = +a 4 +a = 0 = a = 6 f() = 8 9

10 Bestimmung einer Funktion Ermitteln Sie f(). Der Graph einer gebrochen rationalen Funktion a) f() = a +b+c hat das Maimum Ma(0 ) und eine Asmptote mit der Steigung, b) f() = a +b ( c) hat den Etrempunkt E( ) und einen Pol an der Stelle =. Ergebnisse: a) Asmptote mit m = = a = f(0) = = c = 4 f () = a 4a b c ( ) f (0) = 0 = b = f() = + 4 b) Pol an der Stelle = = c = f( ) = = a = b 9 f () = ac+b+bc ( c) 3 f ( ) = 0 = b = mit a = b 9 folgt a = 3 f() = 3 + ( ) 0

11 Monotonie und Beschränktheit Die Wachstumsgeschwindigkeit einer Bakterienkultur wird modellhaft durch die Funktion g k beschrieben: g k () = 4, k > 0, 0. +k ( in Tagen nach Beginn der Beobachtung, g k () in cm pro Tag) Zeigen Sie, dass g k monoton steigend (wachsend) und beschränkt ist. 4 3 g 3 4. Man betrachtet g k () und lim g k(): g k 8k () =... = ( +k) 0 = g k() ist monoton steigend. lim g 4 k() = lim +k = lim 4 + k = 4. alternativ: Mit 4 +k = 4 + k kann auf das monotone Wachsen sowie die Beschränktheit geschlossen werden. Wie?

12 Vorzeichenwechsel Gegeben ist die Funktion f() = 4 ( ) + f 0 Um das Etremum nachzuweisen, ermitteln wir die. Ableitung: f () = 8+8 (( ) +) An der Stelle 0 = wird f ( 0 ) = 0. Um den ungefähren Verlauf von f in einer Umgebung von 0 zu untersuchen, genügt es, nur den Zähler = 8+8 zu betrachten (der Nenner ist positiv). f Es ist also f ( 0 h) > 0 f ( 0 +h) < 0 Die Steigung ist zunächst positiv, dann Null, schließlich negativ. Es muss daher an der Stelle 0 ein Maimum vorliegen. 0

13 Partialbruchzerlegung 9 d =? Die zu integrierende Funktion besitzt die Polstellen = und =, beachte: = (+)( ). Es erscheint plausibel, dass die Funktion sich aus einer Summe zweier Funktionen zusammensetzt, die jeweils nur eine dieser Polstellen haben. Dies führt zu: 9 = A + + B = A( )+B(+) (+)( ) Ein Koeffizientenvergleich ergibt: A + B = A + B = 9 A = 7 B = 5 9 d = 7 + d + 5 d = 7 ln + +5 ln +C alternativ: 9 = A + + B (+) 9 = A+ B(+) = = A = 7, entsprechend B = 5 Aufg.. d. 4 d 3

14 .. d = 4 d = d d + + d = ln ln + +C 7 ( ) d = ln + 7 ln +C 4

15 Differenz zur Asmptote Für welche Werte von unterscheidet sich der Funktionswert betragsmäßig um weniger als 0,5 vom Wert der Asmptote bzw. Näherungsfunktion? a) f() = + b) f() = + c) f() = ( ) d) f() = 3 + a) Asmptote =, < 6, > b) = +, < 4, > 8 c) =, < 0,586, > 3,44 d) g() =, <, > 5

16 Punktsmmetrie Gegeben ist die Funktion f() = 5. 3 Zeige, dass der Graph punktsmmetrisch ist zu Z. Z Die Asmptote lautet: = + Pol an der Stelle = 3, Z(3 5) Verschiebung in den Ursprung: g() = f(+3) 5 = + g() = g( ) 6

17 Funktion f a () = a a, a R a) Bestimme die maimale Definitionsmenge der Funktion f a, sowie Nullstellen und eventuell vorhandene Asmptoten und Polstellen. Untersuche die Graphen der Schar auf Smmetrie. b) Zeige ohne Benutzung der zweiten Ableitung, dass die Funktionen mit drei Ausnahmen je ein einziges Etremum haben, und zwar für a > ein Maimum und für 0 < a < ein Minimum. Gib die Parameterwerte der Ausnahmen an. c) Zeige: Mit einer Ausnahme schneiden sich alle Graphen der Schar in genau zwei Punkten P und Q. Ermittle die Koordinaten dieser Punkte. Gib den Parameterwert der Ausnahme an. 7

18 Funktion f a () = a a, a R a) Bestimme die maimale Definitionsmenge der Funktion f a, sowie Nullstellen und eventuell vorhandene Asmptoten und Polstellen. Untersuche die Graphen der Schar auf Smmetrie. a < 0: D = R a 0: D = R\{± a} keine Nullstelle für a 0 a a Nullstellen für a > 0: = a, = a Asmptote: = a Polstellen nur für a 0: = a, = a Achsensmmetrie zur -Achse b) Zeige ohne Benutzung der zweiten Ableitung, dass die Funktionen mit drei Ausnahmen je ein einziges Etremum haben, und zwar für a > ein Maimum und für 0 < a < ein Minimum. Gib die Parameterwerte der Ausnahmen an. f a () = ( a ) ( a) für < 0 und a < : f () < 0 = f monoton fallend (Nenner ist immer größer Null) für > 0 und a < : f () > 0 = f monoton steigend = Minimum an der Stelle = 0 für a < für < 0 und a > : f () > 0 = f monoton steigend für > 0 und a > : f () < 0 = f monoton fallend = Maimum an der Stelle = 0 für a > Ausnahmen: a =, a =, a = 0 c) Zeige: Mit einer Ausnahme schneiden sich alle Graphen der Schar in genau zwei Punkten P und Q. Ermittle die Koordinaten dieser Punkte. Gib den Parameterwert der Ausnahme an. S ( ), S ( ) Ausnahme: a = (siehe Funktionenschar) 8

19 Funktion f k () = k + k, k > 0 a) Bestimme den maimalen Definitionsbereich, das Smmetrieverhalten und die Etrema von f k. Wir betrachten nun die Parabel mit der Gleichung g a () = a und bilden für einen beliebigen Wert 0 > 0 die Ordinatendifferenz d( 0 ) = f 3 ( 0 ) g a ( 0 ). Bestimme a so, dass gilt: lim 0 d( 0) = 0 b) Bestimme für m > 3 den Inhalt A(m) des Flächenstücks, das von den Graphen von g und f 3, sowie von den Parallelen zur -Achse mit den Gleichungen = 3 und = m begrenzt9wird. Untersuche A(m) für m und deute das Ergebnis geometrisch. c) h ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Ihr Graph hat den Wendepunkt W(0 0) und berührt den Graphen von f 3 in dessen Minimum T(3 ). Stelle die Funktionsgleichung von h auf. d) Wir untersuchen nun die Integralfunktion H() = c f 3 (t)dt für > 0 und c > 0. Zeige, ohne die Integration auszuführen, dass H streng monoton zunimmt und genau eine Nullstelle hat. e) Gegeben ist die Funktion k mit k() = für für 0 < 3 Zeige, dass k an der Stelle = 3 genau einmal differenzierbar ist. 9

20 Funktion f k () = k + k, k > 0 a) Bestimme den maimalen Definitionsbereich, das Smmetrieverhalten und die Etrema von f k. Wir betrachten nun die Parabel mit der Gleichung g a () = a und bilden für einen beliebigen Wert 0 > 0 die Ordinatendifferenz d( 0 ) = f 3 ( 0 ) g a ( 0 ). Bestimme a so, dass gilt: lim 0 d( 0) = 0 D = R\{0} Smmetrie zur -Achse f k () = k k 3 Min(±k ) a = 9, g 9 ist Näherungsfunktion. b) Bestimme für m > 3 den Inhalt A(m) des Flächenstücks, das von den Graphen von g und f 3, sowie von den Parallelen zur -Achse mit den Gleichungen = 3 und = m begrenzt9wird. Untersuche A(m) für m und deute das Ergebnis geometrisch. A(m) = 3m 9 m, lim A(m) = 3 m c) h ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Ihr Graph hat den Wendepunkt W(0 0) und berührt den Graphen von f 3 in dessen Minimum T(3 ). Stelle die Funktionsgleichung von h auf. h() = 7 3 d) Wir untersuchen nun die Integralfunktion H() = c f 3 (t)dt für > 0 und c > 0. Zeige, ohne die Integration auszuführen, dass H streng monoton zunimmt und genau eine Nullstelle hat. H () = f 3 () > 0 für > 0 = Behauptung e) Gegeben ist die Funktion k mit k() = für für 0 < 3 Zeige, dass k an der Stelle = 3 genau einmal differenzierbar ist. k (3) = 0, f 3 (3) = 8 9, g (3) = 9 0

21 Funktion f k () = k + k, k > 0 f 3 h g 9

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