Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung

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1 Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme? Es gibt affine Koordinatensysteme (Koordinaten x, y oder x 1, x 2 in der Ebene, x, y, z oder x 1, x 2, x 3 im Raum ) (Tafelskizzen!) kartesische Koordinatensysteme (Tafelskizzen!) Polarkoordinatensysteme (in der Ebene) (Koordinaten r, φ) (Tafelskizze!) und viele weitere Koordinatensysteme 1

2 112 Wozu sind Koordinatensysteme gut? Durch ein affines oder kartesisches Koordinatensystem werden eineindeutig aufeinander abgebildet: die Punkte einer Geraden und die Punkte von R oder die Punkte einer Ebene und die Punkte von R 2 oder die Punkte des Raumes und die Punkte von R 3 Dadurch kann man (a) geometrische Probleme durch Rechnung lösen und (b) rechnerische Probleme geometrisch deuten 113 Die Raumzeit der Mechanik Beschreibt man Punkte im Raum durch kartesische Koordinaten (x, y, z), und hängt man daran als vierte Koordinate die Zeit t, so erhält man die vierdimensionale Raum-Zeit mit Punkten, die beschrieben werden durch (x, y, z, t) Damit gelang Minkowski 198 eine überraschend einfache Beschreibung der speziellen Relativitätstheorie 2

3 12 Einfache Vektorrechnung 121 Was ist ein Vektor? Ein Vektor x im R n, n N, zb n = 2, 3, 4, ist ein n-tupel reeller Zahlen (x 1, x 2,, x n ), manchmal x 1 x 2 auch geschrieben als Spalte Für n = 2 schreibt man oft x, y statt x 1, x 2 Für n = 3 schreibt man oft x, y, z statt x 1, x 2, x 3 x n 122 Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren Vektoraddition und Vektorsubtraktion werden komponentenweise definiert: x 1 y 1 x 1 ± y 1 x 2 y 2 x 2 ± y 2 x ± y = ± = x n y n x n ± y n (Tafelskizze für n = 2, 3 bei affinem Koordinatensystem!) Parallelogrammregel Multiplikation eines Vektors mit einem Ska- 3

4 lar (mit einer rellen Zahl) wird komponentenweise definiert: x 1 cx 1 x 2 cx 2 c x = c = x n cx n (Tafelskizze bei affinem Koordinatensystem!) Negatives c kehrt die Richtung um! Für den Nullvektor o = gilt offenbar: x + o = o + x = x x R n y o heißt parallel zu x o, x y : x = c y mit c R Vektoren a 1, a 2,, a k heißen linear abhängig, wenn für mindestens ein i mit 1 i k gilt: a i = k j=1,j i c j a j Sonst heißen a 1, a 2,, a k linear unabhängig Das ist genau dann der Fall, wenn gilt: 4

5 k c k a k = o c 1 = c 2 = = c k = j=1 123 Matrizen und Matrixprodukt Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema reeller Zahlen Ist A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn, b 11 b 12 b 1k B = b 21 b 22 b 2k, b n1 b n2 b nk so ist AB die Matrix, in deren p-ter Zeile und qter Spalte das Element n c pq = a pi b iq i=1 steht Schreibweise: Für einen Spaltenvektor x schreiben wir auch: x = (x 1, x 2,, x n ) T 5

6 oder x T = (x 1, x 2,, x n ) 124 Basis { b 1, b 2,, b n } bilden eine Basis des R n, wenn gilt: b 1, b 2,, b n sind linear unabhängig und x R n x 1, x 2,, x n : x = x 1 b1 + + x n bn Eine spezielle Basis des R n besteht aus e 1 := 1, e 2 := 1,, e n := Offenbar gilt x R n : x = x 1 e x n e n Skalarprodukt, Länge, Winkel Das Skalarprodukt zweier Vektoren x, y ist für uns x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n (Andere Schreibweisen: x y, < x, y >, s( x, y) oder auch x T y Aber x y T ist etwas Anderes!) Für x = y: x x = x 2 Offenbar gilt: x y = y x, (c x) y = x(c y) = c( x y) 6

7 Offenbar gilt: e 2 i = 1, e i e k =, falls i k Durch Rechnung zeigt man das Distributivgesetz: x( y + z) = x y + x z Die Länge eines Vektors x ist für uns x = x x Es gilt: o = v = 1 v Einheitsvektor Für Vektoren im R n gilt die Dreiecksungleichung: x ± y x + y Der Winkel ( x, y) zweier Vektoren x o y ist definiert durch x y cos ( x, y) = x y Damit gilt x und y sind zueinander orthogonal, normal oder senkrecht, in Zeichen x y x y = 126 Vektorprodukt im R 3 Für x, y R 3 ist das Vektorprodukt x y von x und y: 7

8 x y = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ) T Offenbar gilt: (c x) y = x (c y) = c( x y), y x = x y, und damit auch: c R : x (c x) = o Man kann zeigen: x( x y) = x y ist also orthogonal zu x und zu y Man kann zeigen, dass gilt: x ( y + z) = x y + x z und x y = o x = o oder y = o oder x = c y mit c Es gilt also: x y = o, x o, y o x = c y mit c Man kann zeigen: x y 2 = x 2 y 2 x y 2 Vorsicht! ist nicht assoziativ Im allgemeinen gilt: x ( y z) ( x y) z 8

9 127 Das Spatprodukt im R 3 x( y z) =: ( x, y, z) heißt das Spatprodukt der Vektoren x, y, z Man kann zeigen: ( x, y, z) = ( y, z, x) = ( z, x, y) = ( x, z, y) = ( z, y, x) = ( y, x, z) Wegen x x = o gilt: Sind zwei Vektoren in einem Spatprodukt gleich, so verschwindet das Spatprodukt 13 Anwendung auf die Geometrie im Anschauungsraum 131 Punkte und Vektoren Punkte A, B,, X, Y, Vektoren a, b,, x, y Vektoren kann man addieren, Punkte nicht! c x ist sinnvoll, cx ist sinnlos! 132 Koordinatenvektoren Bezüglich eines affinen xyz-koordinatensystems mit einem Koordinatenursprung (kurz: Ursprung O ist jedem Punkt P sein Koordinatenvektor oder Ortsvektor p = (x, y, z) T eineindeutig zugeordnet (Tafelskizze!) 9

10 Der Verbindungsvektor P Q der Punkte P ( p) und Q( q) ist P Q = q p (Tafelskizze!) Ist P ein Punkt und v ein Vektor, so gibt es genau einen Punkt Q, so dass gilt: v = P Q 133 Abstand von Punkten Liegt ein kartesisches Koordinatensystem zu Grunde, so gilt: Der Abstand der Punkte P ( p), Q( q) ist d(p, Q) = q p 134 Spatvolumen Mitteilung: Das Volumen V des Spats mit einer Ecke P, der aufgespannt wird von den Vektoren x, y, z, ist das Spatprodukt dieser Vektoren: V ( x, y, z) = ( x, y, z), falls zb ein kartesisches Koordinatensystem zu Grunde gelegt wurde Mit etwas Geometrie sieht man: Das Volumen V des Tetraeders mit den Ecken P, Q, R, S ist V (P, Q, R, S) = 1 ( q p, r p, s p) 6 Sind x, y linear unabhängig, so gilt: ( x, y, z) = x, y, z liegen in der Ebene, die von x, y aufgespannt 1

11 wird z ist parallel zur Ebene, die von x, y aufgespannt wird 135 Winkel von Vektoren Mitteilung: Was im R n als Winkeldefinition diente, cos ( x, y) = x y x y, liefert im Anschauungsraum tatsächlich den bekannten Winkel der Elementargeometrie, falls ein kartesisches Koordinatensystem zu Grunde liegt 136 Zum Vektorprodukt Mitteilung: Liegt ein kartesisches Rechts-Koordinatensystem zugrunde, bei dem x-, y- und z-achse liegen wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger einer rechten Hand, so gilt: Sind v, w linear unabhängige Vektoren, so ist v w v, w, (1) v w = v w sin ( v, w), (2) und in der angegebenen Reihenfolge gilt: v, w, v w bilden ein Rechtssystem (3) Durch (1), (2), (3) ist v w eindeutig bestimmt 11

12 137 Geraden Die Verbindungsgerade P Q zweier Punkte P, Q hat die Parameterdarstellung x = p + t( q p), t R (Tafelskizze!) Ist x = p + t v, t R, eine Parameterdarstellung einer Geraden g, so heißt v ein Richtungsvektor von g 138 Ebenen Die Verbindungsebene P QR dreier Punkte P, Q, R hat die Parameterdarstellung x = p + t( q p) + s( r p), t, s R (Tafelskizze!) Ist x = p + t v + s w, t, s R, (1) eine Parameterdarstellung einer Ebene ε, so heißen v, w Richtungsvektoren von ε Ist n senkrecht zu ε, so ist n( q p) = n( r n) =, also ε : n x = n p eine Gleichung der Ebene ε (Tafelskizze!) Eine Gleichung von ε erhält man also aus (1) durch: ( v w) ( x p) = 12

13 Ist umgekehrt ax + by + cz = d die Gleichung einer Ebene ε, so ist (a, b, c) T ein Normalenvektor von ε Ist n = 1 und n p, so heißt die Gleichung n x n p = die Hesse-Form der Ebenengleichung Mitteilung: Setzt man q in die linke Seite der Hesseform von ε ein, so erhält man den vorzeichenbehafteten Abstand des Punktes Q( q) von der Ebene ε 139 Winkel von Geraden Der Winkel von Geraden g und h mit Richtungsvektoren v und w ist der Winkel der Vektoren v und w 131 Winkel von Gerade und Ebene Der Winkel (g, ε) einer Geraden g mit Richtungsvektor r zu einer Ebene ε mit Normalenvektor n ist definiert als Winkel von g zur Schnittgeraden von ε mit derjenigen Ebene ν, die g enthält und parallel ist zu n (Tafelskizze!) Ist ν nicht definiert, also g n, so ist (g, ε) = π 2 Zur Berechnung: Es gilt: (g, ε) = π 2 (g, n), 13

14 (Tafelskizze!) also sin (g, ε) = r n r n 1311 Schnitt Gerade - Ebene Gerade g: x = p + t v, t R; (1) Ebene ε: n x d = Schnittpunkt S( s): x einsetzen in ε = n x d = n ( p+t v) d = n p+t n v d d n p t = n v einsetzen in (1) liefert S: s = p + d n p n v v 1312 Schnitt Ebene - Ebene ε: ax + by + cz = d (1) δ: px + qy + rz = s (2) Schnittgerade g? (1), (2) ist ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen, drei Unbekannten Ist a, so kann man x aus (2) eliminieren: (2) p pb pc a (1): (q a )y + (r a )z = s pd a, kurz: q y + r z = s Ist q, so kann man ausrechnen: y = r q z + s q =: r z + s 14

15 x = b a y c a z + d a =: b (r z + s ) + c z + d = (b r + c )z + (b s + d ) =: b z + d Dabei ist z R beliebig Parameterdarstellung von g: x = d s + t Dabei war a q b r 1, t R 15

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