2.5A. Lote und Abstände

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1 .5A. Lote und Abstände Besonders häufig muß man in der Praxis Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (in allen möglichen Kombinationen) berechnen. Wir stellen dafür im Folgenden allgemeine Formeln zusammen. Diese Formeln muß man sich nicht alle im Einzelnen merken. Sie ergeben sich alle durch geschickte Anwendung des Skalar- und Vektorprodukts. Zur Erinnerung: Eine Gerade in Parameterdarstellung a+ru :... und eine Ebene in Parameterdarstellung a+ru+rv :

2 Dreifaches Vektorprodukt Wir notieren zunächst einen nützlichen Zusammenhang zwischen Skalar- und Vektorprodukt, den man durch direktes Ausrechnen der einzelnen Koordinaten bestätigt: (uxv)xw = (wu)v - (vw)u. (Merkregel: Links klammern, zyklisch vertauschen: uvw... wuv... vwu, Differenz bilden.) Das dreifache Vektorprodukt auf der linken Seite steht sowohl auf w als auch auf uxv senkrecht, muß also (außer im Falle uxv = 0) in der von u und v aufgespannten Ebene liegen. Die Koeffizienten der entsprechenden Linearkombination sind nach der obigen Formel die Skalarprodukte wu und -vw. Als Spezialfall ergibt sich für einen Einheitsvektor u = w wegen uu = 1 die Orthogonalzerlegung eines Vektors v in seine Projektion auf u und die dazu senkrechte Komponente: v = (uv)u + (uxv)xu. Im Folgenden wird es praktisch sein, nicht mehr zwischen Punkten und ihren Ortsvektoren zu unterscheiden, also einen (Orts-)Vektor mit dem gleichen Symbol wie den Punkt an seiner Spitze zu bezeichnen.

3 Der Abstand d(a,b) zwischen zwei Teilmengen A und B des R n ist definiert als das Infimum (die größte untere Schranke) aller Abstände x-y zwischen Punkten x aus A und y aus B. Affine Teilräume des dreidimensionalen Raumes R 3 sind Punkte, Geraden, Ebenen oder auch der gesamte Raum selbst. Falls A und B affine Teilräume sind, wird der Abstand d(a,b) stets von gewissen Punkten a aus A und b aus B als Minimum erreicht: d(a,b) = min { x-y : x in A, y in B } = a-b. Es gilt der folgende anschaulich einleuchtende Satz: Für zwei Punkte a aus A und b aus B wird der Abstand genau dann minimal, wenn der Verbindungsvektor a-b senkrecht auf A und auf B steht, d.h. a-b = d(a,b) <==> (a-b)(a-x) = 0 = (a-b)(y-b) für alle x in A und y in B. Zumindest im Falle des Abstandes eines Punktes b von einem affinen Teilraum A ist das wieder einmal eine unmittelbare Folge des Satzes von Pythagoras: Die Länge des Differenzvektors x-b mit x aus A wird genau dann minimal für x = a, wenn a-b senkrecht auf jedem Richtungsvektor x-a des affinen Raumes A steht. Denn dann ist die Länge x-b gleich der Wurzel aus der Quadratsumme der Abstände x-a und a-b, also mindestens a-b. Nun die einzelnen Formeln für Abstände zwischen zwei affinen Teilräumen:

4 1. Abstand zwischen zwei Punkten (mit den Ortsvektoren) a und b : d = a-b = ( a 1 b 1 ) + ( a b ) + ( a 3 b 3 ). Abstand zwischen einem Punkt b und einer Geraden a+ru = Abstand zwischen zwei parallelen Geraden a+ru und b+ru : d = (a-b)xu / u Denn das von u und a-b aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt (a-b)xu, und dieser ist auch darstellbar als u d (Grundlinie mal Höhe). Der Fußpunkt des Lots von b auf die Gerade hat den Ortsvektor f = a + (b-a)[u] = a + tu mit t = (b-a)u/uu. t = ( b 1 a 1 ) u 1 + ( b a ) u + ( b 3 a 3 ) u 3 u u u 3 3. Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden a+ru und b+rv = Abstand zwischen einem Punkt b und einer Ebene a+ru+rv = Abstand zwischen einer Geraden a+ru und einer Ebene b+ru+rv = Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen a+ru+rv und b+ru+rv : d = (a-b)n / n, falls n = uxv nicht der Nullvektor ist.

5 Denn der von a-b, u und v aufgespannte Spat hat das Volumen (a-b)(uxv), das man auch als Produkt uxv d (Grundfläche mal Höhe) bekommt. Lotvektor zwischen zwei Geraden Im Falle zweier windschiefer Geraden G = a+ru und H = b+rv kann man nicht nur deren Abstand, sondern auch den Verbindungsvektor der beiden am nächsten liegenden Punkte a+ru und b+sv bestimmen: Die Gleichungen (a+ru b sv)u = 0, d.h. ruu - svu = (b-a)u und (a+ru b sv)v = 0, d.h. ruv - svv = (b-a)v lassen sich für den Fall, daß uxv nicht der Nullvektor ist (also die beiden Geraden nicht parallel sind), nach r und s auflösen, und man erhält für n = (uu)(vv) (uv)(uv) = (uxv)(uxv) : r = ((vv)u-(uv)v)(b-a)/n = ((vxu)xv)(b-a)/n, s = ((uu)v-(vu)u)(a-b)/n = ((uxv)xu)(a-b)/n.

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