1.1 Direkte Proportionalität

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1 Beziehungen zwischen Größen. Direkte Proportionalität Bei einer direkten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,...wert der einen Größe x der doppelte, dreifache,... Wert der anderen Größe y zugeordnet. Quotientengleichheit: y m (konst.) x m heißt Proportionalitätskonstante. Graph: Eine vom Nullpunkt ausgehende Halbgerade. Bsp.: Benzin in l (x) Preis in (y) y x 7 l Benzin kosten 7,84. Was muss man für 0 l bezahlen? m 7,84 : 7 l, /l y, /l 0,40. Indirekte (umgekehrte) Proportionalität Bei einer indirekten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,... Wert der einen Größe die Hälfte, der dritte Teil,... der anderen Größe zugeordnet. Produktgleichheit. Gemeinsamer Produktwert x y a (konst.). Graph: Hyperbel Seite von 0

2 Bsp.: Anzahl der Arbeiter Arbeitszeit in h 7 Arb. brauchen 40 h. In welcher Zeit würden es A. schaffen? a 7 40 h 80 h y 80 h : 6 h Lineare Funktionen Eine Zuordnung x y, die jedem x aus dem Definitionsbereich genau ein y aus dem Wertebereich zuordnet, heißt Funktion. Graphen von Funktionen werden von jeder Parallelen zur y-achse höchstens einmal geschnitten.. Grundbegriffe f: x mx + t mit D Q Der Graph ist eine Gerade mit Steigung m und y-abschnitt t. y z.b.: m ; t f : x x mit D Q Nullstelle x6 x Allgemein: w Nullstelle: mx + t 0 (Stelle des Graphen, an der y 0) Steigung: Seite von 0 m s w - y x y y x x s

3 . Geradengleichung y mx + t Je größer m ist, desto steiler ist die Gerade. Für m<0 fällt, für m>0 steigt die Gerade; für m0 verläuft sie parallel zur x-achse Alle Geraden mit gleicher Steigung m sind parallel.. Besondere Geraden (a Q) y ax ; Ursprungsgerade y x ; Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten y -x ; Winkelhalbierende des II. und IV. Quadranten y a Parallele zur x-achse durch (0 a) x a Parallele zur y-achse durch (a 0) II I (keine Funktion!) III IV Punkt auf Geraden: Ein Punkt liegt auf einer Geraden g, wenn seine Koordinaten die Geradengleichung erfüllen: z.b.: ( 4 ) g mit g : x y x - denn. 4 (w) (Einsetzen der Koordinaten in die Funktionsgleichung) Seite von 0

4 .4 Geradengleichung aus Punkten aufstellen z.b.: Gerade g soll durch A( ) und B(- 4) verlaufen: m y y y 4 A B A B Steigung: x x x ( ) 4, also: g : y 4 x + t Nun Koordinaten von A einsetzen: + t ; 4 daraus bekommt man: t 4 ; also: y x + 4 verläuft durch A und B. 4. Schnittpunkt S zweier Geraden berechnen z. B. f : x x + 4; g : x x + Gleichsetzen der Funktionsterme: x + 4 x + x Auflösen nach x: Einsetzen des x in eine der Funktionsgleichungen: y ( + S ( ) ) 4 Seite 4 von 0

5 Lineare Gleichungssysteme z.b.: I. x + 9y 8 II. 0 x y 6. Graphische Lösung Geraden einzeichnen; der Schnittpunkt ergibt die Lösung.. Additionsverfahren Falls nötig, erst mit geeignetem Faktor multiplizieren, damit Koeffizienten (vom Betrag) gleich, z.b. I. mit multiplizieren: I. 0x + 8y 6 II. 0 x y 6 0 I.+II. : 0 + y 0 y y in I. eingesetzt x, also: L{( )}. Einsetzungsverfahren aus I. 9 8 x y + (also I. nach x aufgelöst!) in II. 0 8 ( y + ) y 6 ausrechnen: 8y + 6 y 6; y in I. (oder II.) x also: L{( )}.4 Anzahl der Lösungen Genau eine Lösung (Die Geraden schneiden sich) Keine Lösung (Die Geraden sind echt parallel) Unendlich viele Lösungen (Die Geraden sind identisch) Seite von 0

6 4 Laplace-Experimente 4. Grundbegriffe Jeden möglichen Ausgang eines Zufallsexperiments nennt man jeweils ein Ergebnis ω, alle Ergebnisse zusammen bilden den Ergebnisraum Ω. Ein Ereignis E wird aus einem oder mehreren Ergebnissen gebildet. Das Gegenereignis E zu einem Ereignis E enthält alle Ergebnisse, die nicht in E enthalten sind. Bsp.: Würfeln mit zwei Würfeln, E gerade Augenzahl Ω{; ;...; ; }; E{; 4;...; 0; }; E {; ;...;} 4. Die Laplace-Annahme Laplace-Experiment: Die Wahrscheinlichkeit P für jedes Elementarereignis (Ergebnis) ist gleich groß. Bsp.: Werfen eines idealen Würfels, Werfen einer idealen Münze Die Wahrscheinlichkeit P(E) für ein Ereignis E lässt sich dann mit dieser Formel berechnen: Anzahl der Elemente von E P ( E) Anzahl der Elemente von Ω Bsp.: Eine Urne enthält drei rote und zwei schwarze Kugeln, E Es wird eine rote Kugel gezogen P ( E) + Seite 6 von 0

7 Elementare gebrochen-rationale Funktionen. Grundlagen Funktionen mit einer Variablen x im Nenner. Zur Bestimmung der maximalen Definitionsmenge D muss sichergestellt werden, dass der Nenner nicht Null ergibt. Bsp.: f ( x) x + D Q\{} an der Stelle x hat die Funktion f eine Polstelle, der Graph G f hat hier eine senkrechte Asymptote. Außerdem hat der Graph G f eine waagrechte Asymptote bei y (s. Graph rechts).. Schnittpunkt(e) zweier gebr. rat. Funktionen Beim Berechnen der Schnittpunkte entsteht eine Bruchgleichung: Bsp.: x ) x f ( x), g( x + x 0,x+ Bestimmen des Schnittpunkts durch Gleichsetzen der x x+ Funktionsterme: x 0,x+ Lösen der Gleichung z. B. durch Über-Kreuz-Multiplizieren: x 0,x + x + x ( ) ( ) ( ) Seite 7 von 0

8 Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt dann x 0,. Die zweite Koordinate erhält man durch Einsetzen des x- Werts in eine der beiden Funktionen: f( 0,) Koordinaten des Schnittpunkts: S( 0, ). Ganzzahlige Exponenten Definitionen für n IN n a a a a... a a n n n Faktoren a für a 0 0 a (a 0) 0, 8 a, d.h. "hoch -" erzeugt den Kehrbruch! a Rechengesetze:. Potenzgesetz. Potenzgesetz. Potenzgesetz x y x + y x x x a a a a b ( a b) x x ( ) y x y a a x y x y x x a : a a a : b ( a : b) ( ) 0 a ) ( a a Beachte die jeweiligen Definitionsmengen! Seite 8 von 0

9 6 Strahlensatz Voraussetzung: Zwei sich schneidende Geraden (g, g ) werden von zwei zueinander parallelen Geraden geschnitten. V-Figur Z A B g z. B.: ZA : A B ZA ZA : ZB A A A B : A B () : B B () g A X-Figur B g Z A Je zwei Abschnitte auf g verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf g. () Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die von Z aus gemessenen entsprechenden Abschnitte auf g bzw. g. () B g Seite 9 von 0

10 7 Ähnlichkeit 7. Ähnliche Figuren Zwei Figuren F und F heißen ähnlich (F ~ F ), wenn sie formgleich sind, d.h. die eine ein maßstabs- und winkeltreues Abbild der anderen ist. 7. Ähnliche Dreiecke Eigenschaften: Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, sind entsprechende Winkel und entsprechende Seitenverhältnisse gleich groß. Ähnlichkeitssätze: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Winkel des einen mit zwei Winkeln des andern übereinstimmen. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen. Seite 0 von 0