Fakultät für Physik Wintersemester 2016/17. Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Fakultät für Physik Wintersemester 2016/17. Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik"

Transkript

1 Fakultät für Physik Wintersemester 16/17 Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik Dr. Andreas K. Hüttel Blatt 8 / Schwerpunkte Berechnen Sie den Schwerpunkt in Abhängigkeit vom Radius R für folgende Körper: (a) Viertelzylinder der Länge l Der Viertelzylinder liege mit einer Achsenspitze auf dem Ursprung des Koordinatensystems; die Unterfläche auf der xy-ebene, im Bereich positiver x- und y-werte. Wir verwenden naheliegenderweise Zylinderkoordinaten. x = r cosφ y = r sinφ x s = 1 V V xdv = 1 V V dv = r dr dφ dz V1 4 Zylinder = 1 4 πr l r cos(φ)r drdφdz = 1 V R 3 = 1 V 3 l [sin(φ)] π = 1 V Aus Symmetriegründen muß gelten y s = x s R l r dr lr 3 3 = 4R 3π π dz cos(φ)dφ Einfach zu begründen und ähnlich herzuleiten wie x s ist daß der Schwerpunkt auf halber Höhe liegt: (b) Halbkugel mit Radius R z s = l Wir verwenden Kugelkoordinaten. Die Schnittfläche der Halbkugel liegt in der xy-ebene des Koordinatensystems, der Mittelpunkt der dazugehörigen Vollkugel im Ursprung. x = r cos(θ)cos(φ) y = r cos(θ)sin(φ) z = r sin(θ) dv = r cos(θ)dr dφ dθ z s = 1 V V zdv = 1 V R π/ π θ= φ= r sin(θ) r cosθ dφ dθ dr =

2 ... und wir schauen die Stammfunktion zu sin(x) cos(x) im Bronstein nach... = 1 [ r 4 ] R [ 1 ] π/ V 4 (cos(θ)) [φ] π φ= = 1 R 4 1 r= θ= V 4 π Mit dem Volumen erhalten wir V1 Kugel = πr3 3 z s = 3 8 R Aus Symmetriegründen muß gelten (aber wenn Sie wollen können Sie es auch genauso ausrechnen) x s = y s =. Wassermolekül Mit Mikrowellenstrahlung lässt sich die Rotation von Wassermolekülen in Lebensmitteln anregen. 1 Ein Wassermolekül kann durch 3 Punktmassen vereinfacht dargestellt werden (siehe Bild). (a) Wo liegt der Schwerpunkt des Wassermoleküls? Verwenden Sie das Periodensystem, um die Massen von Wasserstoff- und Sauerstoff-Atomen zu ermitteln. Abbildung 1: H O-Molekül Sogar mit Google finden Sie sofort c = 96pm und θ = 14,5. (Eigentlich hat das aber auf der Angabe gefehlt.) Wir legen den Ursprung auf das O-Atom, und die x-achse waagrecht. Damit gilt dann sin(α) = a c ( 14,5 ) a = sin m = 75,9 1 1 m 1 Siehe auch

3 Abbildung : Skizze zur Lösung / Wassermolekül ( 14,5 ) b = cos m = 58,8 1 1 m r sx = i M i r i i M i = 16u + 58, m u 16u + u = 6, m Wegen der Spiegelsymmetrie (an der waagrechten Linie durch O, also an der x-achse) muß gelten r sy = (b) Berechnen Sie das Trägheitsmoment bei einer Drehung um den Schwerpunkt, bei der die Drehachse senkrecht zur Ebene des Moleküls liegt. [korrigiert] c = (b r sx ) + a = 9,1 1 1 m I = m i ri = m O rsx + m H c =, kg m i (c) Wasser wird in einem Mikrowellenofen mit einer Anregungsfrequenz von f =.4 GHz zur Rotation gebracht. Nehmen Sie an, daß die kinetische Energie der Rotation nach dieser Anregung E kin = h f mit dem Planckschen Wirkungsquantum h (nachschlagen!) ist. Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Drehung eines so angeregten einzelnen Wassermoleküls. [korrigiert] E photon = hω A = h f A =,4 1 9 s 1 6, Js = 1,6 1 4 J = E rot = Iω rot E ω rot = = 3, s 1 I (Diese Rechnung ergibt allerdings nur eingeschränkt viel Sinn, weil für solche Phänomene die Quantenmechanik eine wichtige Rolle spielt.)

4 3. Fahrrad Ein Fahrrad mit der Geschwindigkeit v = 8,4m/s wird vom Zeitpunkt t = an konstant abgebremst, so dass es nach 115m zum Stillstand kommt. Jeder Reifen hat einen Durchmesser von 68cm. Bestimmen Sie (a) die Winkelgeschwindigkeit der Räder zur Zeit t = ω = v R = 8,4m/s,34m = 4,7 1 s (b) die Anzahl der Umdrehungen eines Reifen, bis das Fahrrad zum Stillstand kommt (c) die Winkelbeschleunigung n = x brems πr = 115m π,34m = 53,8Umdrehungen α = d ϕ dt ϕ = 1 α t ; mit konst. Winkelbeschleunigung folgt t = ω α ϕ = πn α = ω ϕ α = (ω ω ) π n α =,9 1 s (d) die Zeit, die benötigt wird, um die Reifen zum Stillstand zu bringen t = ω ω α = 4,7,9 s = 7,4s Stattdessen fährt nun das Rad mit gleicher Ausgangsgeschwindigkeit bei t = gegen eine niedrige Wand, wodurch das Vorderrad sich nicht weiter drehen kann und die Radnabe nun still steht. Fahrrad und Fahrer mit zusammen m = 75kg als Massenpunkt im Abstand von x = 6cm und y = 3cm rotieren um die Radnabe. Berechnen Sie (e) die Tangentialgeschwindigkeit, r =.6 +,3 m =,671m ϕ = arctan(y/x) = 6,57 v T = v sinϕ = 8,4m/s sin(6,57 ) = 3,76m/s

5 (f) die Winkelgeschwindigkeit, ω = v T /r = 5,6s 1 (g) das Trägheitsmoment und I = m r = 75kg,671 m = 33,76kgm (h) die Rotationsenergie von Fahrrad und Fahrer. 4. Vektoren E rot = 59,48J (a) Bestimmen Sie je den Betrag und den Einheitsvektor der folgenden Vektoren 7 a = 1 ; b = 6 ; c mit r = 5, ϕ = 7,53, z = 8 in Zylinderkoordinaten 4 a = 3; e a = ( /3,1/3,/3) b = 11; e b = 1 11 b 5/3 c = 4, 7141 c = 1.546; e c = (,47414;,446994;,758566) 8 (b) Leiten Sie aus dem Kosinussatz das Skalarprodukt her. Erinnerung: Der Kosinussatz besagt für die drei Seiten eines Dreiecks und den der Seite c gegenüberliegenden Winkel ϕ c = a + b a b cos(ϕ) Für die Beträge der Vektoren a und b gilt a = a 1 + a + a 3 Mit c = a b erhalten wir Ausmultiplizieren ergibt b = b 1 + b + b 3 c = (a 1 b 1 ) + (a b ) + c = a + b a 1 b 1 a b a 3 b 3 Aus dem Vergleich mit dem Kosinussatz ergibt sich a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 = a b cos(ϕ) Die rechte Seite dieser Gleichung ist gerade die Definition des Skalarprodukts (Länge von a mal Länge von b mal Cosinus des dazwischenliegenden Winkels), die linke Seite unsere Formel für Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem.

6 (c) Bilden Sie den Vektor senkrecht zu a und b. Bilden diese Vektoren ein rechtwinkliges Koordinatensystem? 8 d = a b = 19 Ja, a steht senkrecht auf b, und damit stehen aufgrund der Eigenschften des Kreuzprodukts alle drei Vektoren paarweise senkrecht aufeinander. (d) Bilden Sie aus diesen Vektoren nun ein Orthonormalystem. Mit der Formel e x = x x bilden wir die zu den drei Vektoren gehörigen Einheitsvektoren: e a = 1 3 a e b = 1 11 b d = 99 e d = 1 99 d

1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle

1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle Anmerkung zur Notation Im folgenden werden folgende Ausdrücke äquivalent benutzt: r = x y = x 1 x 2 z x 3 1 Der Vektoroperator Definition: := e x x + e y y + e z z = x y z. Nabla ist ein Vektor, der als

Mehr

Integralrechnung für GLET

Integralrechnung für GLET Freitagsrunden Tech Talk November 2, 2012 1 Grundlagen Rechenregeln für Integrale 2 Mehrdimensionale Integrale Flächenintegrale Volumenintegrale Lösbar? 3 Kugel- und Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten

Mehr

Experimentalphysik für ET. Aufgabensammlung

Experimentalphysik für ET. Aufgabensammlung Experimentalphysik für ET Aufgabensammlung 1. Drehbewegung Ein dünner Stab der Masse m = 5 kg mit der Querschnittsfläche A und der Länge L = 25 cm dreht sich um eine Achse durch seinen Schwerpunkt (siehe

Mehr

Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen

Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen 26. November 2008 Vektoren Vektoren sind bestimmt durch a) Betrag und b) Richtung Beispiel Darstellung in 3 Dimensionen: x k = y z Vektor in kartesischen

Mehr

Tutorium Mathematik II, M Lösungen

Tutorium Mathematik II, M Lösungen Tutorium Mathematik II, M Lösungen 1. Juni 13 *Aufgabe 1. erechnen Sie durch Übergang zu Polar-, Kugel- oder Zylinderkoordinaten die Fläche bzw. das Volumen (a) der von der Lemniskate x y (x + y ) = umschlossenen

Mehr

Hier wurde die Jacobi-Determinante der ZylinderKoordinaten verwendet (det J = ρ). Wir führen zunächst die ρ-integration durch: (R 2 H sin 2 φ )

Hier wurde die Jacobi-Determinante der ZylinderKoordinaten verwendet (det J = ρ). Wir führen zunächst die ρ-integration durch: (R 2 H sin 2 φ ) b) Für einen Zylinder bieten sich Zylinderkoordinaten an. Legt man den Ursprung in den Schwerpunkt und die z- bzw. x 3 - Achse entlang der Zylinderachse, verschwinden alle Deviationsmomente. Dies liegt

Mehr

3. Kreisbewegung. Punkte auf einem Rad Zahnräder, Getriebe Drehkran Turbinen, Hubschrauberrotor

3. Kreisbewegung. Punkte auf einem Rad Zahnräder, Getriebe Drehkran Turbinen, Hubschrauberrotor 3. Kreisbewegung Ein wichtiger technischer Sonderfall ist die Bewegung auf einer Kreisbahn. Dabei hat der Massenpunkt zu jedem Zeitpunkt den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt. Beispiele: Punkte auf

Mehr

3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome

3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe13 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45 Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de 3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übung 3.1:

Mehr

Allgemeine Bewegungsgleichung

Allgemeine Bewegungsgleichung Freier Fall Allgemeine Bewegungsgleichung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung) s 0, v 0 Ableitung nach t 15 Freier Fall Sprung vom 5-Meter Turm s 0 = 0; v 0 = 0 (Aufprallgeschwindigkeit: v = -10m/s) Weg-Zeit

Mehr

Massenträgheitsmomente homogener Körper

Massenträgheitsmomente homogener Körper http://www.youtube.com/watch?v=naocmb7jsxe&feature=playlist&p=d30d6966531d5daf&playnext=1&playnext_from=pl&index=8 Massenträgheitsmomente homogener Körper 1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Drehbewegung um c eine

Mehr

8. Starre Körper. Die φ-integration liefert einen Faktor 2π. Somit lautet das Ergebnis

8. Starre Körper. Die φ-integration liefert einen Faktor 2π. Somit lautet das Ergebnis Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe213 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 425 8. Starre Körper Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de Übung 8.1: Berechnung von Trägheitstensoren

Mehr

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil 1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg

Mehr

Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016

Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt 12. PD

Mehr

Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 24. November 2016 HSD. Physik. Rotation

Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 24. November 2016 HSD. Physik. Rotation Physik Rotation Schwerpunkt Schwerpunkt Bewegungen, Beschleunigungen und Kräfte können so berechnet werden, als würden Sie an einem einzigen Punkt des Objektes angreifen. Bei einem Körper mit homogener

Mehr

ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.

ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden. 1.13 Koordinatensysteme (Anwendungen) Man ist immer bemüht, für die mathematische Beschreibung einer wissenschaftlichen Aufgabe ( Chemie, Biologie,Physik ) ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.

Mehr

Aufgabensammlung. Experimentalphysik für ET. 2. Erhaltungsgrößen

Aufgabensammlung. Experimentalphysik für ET. 2. Erhaltungsgrößen Experimentalphysik für ET Aufgabensammlung 1. Erhaltungsgrößen An einem massenlosen Faden der Länge L = 1 m hängt ein Holzklotz mit der Masse m 2 = 1 kg. Eine Kugel der Masse m 1 = 15 g wird mit der Geschwindigkeit

Mehr

Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen

Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen Physikdepartment E13 WS 2011/12 Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, David Magerl, Markus Schindler, Moritz v. Sivers Vorlesung

Mehr

Physikalische Anwendungen II

Physikalische Anwendungen II Physikalische Anwendungen II Übungsaufgaben - usterlösung. Berechnen Sie den ittelwert der Funktion gx = x + 4x im Intervall [; 4]! ittelwert einer Funktion: f = b fxdx b a a ḡ = 4 x + 4x dx = [ ] 4 4

Mehr

Experimentalphysik für Naturwissenschaftler 1 Universität Erlangen Nürnberg WS 2008/09 Klausur ( )

Experimentalphysik für Naturwissenschaftler 1 Universität Erlangen Nürnberg WS 2008/09 Klausur ( ) Nur vom Korrektor auszufüllen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Note Experimentalphysik für Naturwissenschaftler 1 Universität Erlangen Nürnberg WS 28/9 Klausur (6.2.29 Name: Studiengang: In die Wertung der Klausur

Mehr

Physik I Übung 10 - Lösungshinweise

Physik I Übung 10 - Lösungshinweise Physik I Übung - Lösungshinweise Stefan Reutter WS / Moritz Kütt Stand: 7. Februar Franz Fujara Aufgabe War die Weihnachtspause vielleicht doch zu lang? Bei der Translation eines Massenpunktes und der

Mehr

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Universität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übungen Aufgaben zu Kapitel 9 (Fortsetzung) (aus: K. Hefft, Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergänzungen) Aufgabe

Mehr

x + y + z = 6, x = 0, z = 0, x + 2y = 4, indem Sie das Volumen als Dreifachintegral schreiben.

x + y + z = 6, x = 0, z = 0, x + 2y = 4, indem Sie das Volumen als Dreifachintegral schreiben. Übungen (Aufg. u. Lösungen) zur Ingenieur-Mathematik II SS 8 Blatt 1 3.7.8 Aufgabe 47: Berechnen Sie das Volumen des von den folgenden Flächen begrenzten Körpers x + y + z 6, x, z, x + y 4, indem Sie das

Mehr

Theoretische Physik: Mechanik

Theoretische Physik: Mechanik Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 4 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Zwei Kugeln und der Satz von Steiner Nehmen Sie zwei Kugeln mit identischem Radius R und

Mehr

12. Mehrfachintegrale

12. Mehrfachintegrale - 1-1. Mehrfachintegrale Flächen- und Volumenelemente Naive Gemüter sind geneigt, den Flächeninhalt dx dy (kartesische Koordinaten) in den neuen Koordinaten durch du dv anzugeben. Das ist i.a. falsch!

Mehr

M1 Maxwellsches Rad. 1. Grundlagen

M1 Maxwellsches Rad. 1. Grundlagen M1 Maxwellsches Rad Stoffgebiet: Translations- und Rotationsbewegung, Massenträgheitsmoment, physikalisches Pendel. Versuchsziel: Es ist das Massenträgheitsmoment eines Maxwellschen Rades auf zwei Arten

Mehr

Übungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 15

Übungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 15 5. Es sei Übungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 5 f(x, y) : x y, : x, y, x + y, y x. erechnen Sie f(x, y) d. Wir lösen diese Aufgabe auf zweierlei Art. Zuerst betrachten wir das Gebiet

Mehr

2.3 Gekrümmte Oberflächen

2.3 Gekrümmte Oberflächen 2.3 Gekrümmte Oberflächen Jede Fläche im R 3 besitzt eine zweidimensionale Parameterdarstellung, so dass die Punkte der Fläche durch r(u, u 2 ) = x(u, u 2 )ê x + y(u, u 2 )ê y + z(u, u 2 )ê z beschrieben

Mehr

Fallender Stein auf rotierender Erde

Fallender Stein auf rotierender Erde Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 4 vom 13.05.13 Abgabe: 27. Mai Aufgabe 16 4 Punkte allender Stein auf rotierender Erde Wir lassen einen Stein der Masse m in einen

Mehr

Serie 9: Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum

Serie 9: Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum : Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum Bemerkung: Die Aufgaben der sind der Fokus der Übungsstunden vom 6./8. April.. Überprüfung des Satzes von Green Der Satz von Green besagt

Mehr

Betrachtet man einen starren Körper so stellt man insgesamt sechs Freiheitsgrade der Bewegung

Betrachtet man einen starren Körper so stellt man insgesamt sechs Freiheitsgrade der Bewegung Die Mechanik besteht aus drei Teilgebieten: Kinetik: Bewegungsvorgänge (Translation, Rotation) Statik: Zusammensetzung und Gleichgewicht von Kräften Dynamik: Kräfte als Ursache von Bewegungen Die Mechanik

Mehr

1. Kinematik. 1.1 Lage 1.2 Geschwindigkeit. Starrkörperdynamik Prof. Dr. Wandinger. 2. Der starre Körper

1. Kinematik. 1.1 Lage 1.2 Geschwindigkeit. Starrkörperdynamik Prof. Dr. Wandinger. 2. Der starre Körper 1. Kinematik 1.1 Lage 1.2 Geschwindigkeit 2.1-1 Aus den Eigenschaften des starren Körpers folgt: Wird an einem beliebigen Punkt B des starren Körpers ein kartesisches Koordinatensystem Bξηζ aufgetragen,

Mehr

Physik I Musterlösung 2

Physik I Musterlösung 2 Physik I Musterlösung 2 FS 08 Prof. R. Hahnloser Aufgabe 2.1 Flugzeug im Wind Ein Flugzeug fliegt nach Norden und zwar so dass es sich zu jedem Zeitpunkt genau über einer Autobahn befindet welche in Richtung

Mehr

9 Teilchensysteme. 9.1 Schwerpunkt

9 Teilchensysteme. 9.1 Schwerpunkt der Impuls unter ganz allgemeinen Bedingungen erhalten bleibt. Obwohl der Impulserhaltungssatz, wie wir gesehen haben, aus dem zweiten Newton schen Axiom folgt, ist er tatsächlich allgemeiner als die Newton

Mehr

1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 )

1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 ) Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 Vorlesung Elektrodynamik LAG PD Dr. Angelika Chassé) Vektoralgebra 3D euklidischer Raum R 3 ). Grundbegriffe = Vektordefinition

Mehr

Spezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0

Spezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0 Spezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0 Impulserhaltung: Quadrieren ergibt Energieerhaltung: Deshalb muss gelten m v 1 = m( u 1 + u 2 ) m 2 v 1 2 = m 2 ( u 2 1 + 2 u 1 u 2 + u 2 ) 2 m 2 v2 1 = m 2 ( u 2 1 +

Mehr

19.3 Oberflächenintegrale

19.3 Oberflächenintegrale 19.3 Oberflächenintegrale Definition: Sei D R 2 ein Gebiet und p : D R 3 eine C 1 -Abbildung x = p(u) mit x R 3 und u = (u 1, u 2 ) T D R 2 Sind für alle u D die beiden Vektoren und u 1 linear unabhängig,

Mehr

Theoretische Physik: Mechanik

Theoretische Physik: Mechanik Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 2 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Perle Eine Perle der Masse m gleite reibungsfrei auf einem vertikal stehenden Ring vom Radius

Mehr

Versuch dp : Drehpendel

Versuch dp : Drehpendel U N I V E R S I T Ä T R E G E N S B U R G Naturwissenschaftliche Fakultät II - Physik Anleitung zum Physikpraktikum für Chemiker Versuch dp : Drehpendel Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einführung

Mehr

1 Drehimpuls und Drehmoment

1 Drehimpuls und Drehmoment 1 Drehimpuls und Drehmoment Die Rotationsbewegung spielt in der Natur von der Ebene der Elementarteilchen bis zu den Strukturen des Universums eine eine bedeutende Rolle. Einige Beispiele sind 1. Spin

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten

Mehr

Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler

Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler 1 Was ist Physik? Stand: 13. Dezember 212 Physikalische Größe X = Zahl [X] Einheit SI-Basiseinheiten Mechanik Zeit [t] = 1 s Länge [x] = 1 m Masse [m]

Mehr

Aufgabe Summe max. P Punkte

Aufgabe Summe max. P Punkte Klausur Theoretische Elektrotechnik TET Probeklausur xx.xx.206 Name Matr.-Nr. Vorname Note Aufgabe 2 3 4 5 6 7 Summe max. P. 5 0 5 5 5 5 5 00 Punkte Allgemeine Hinweise: Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner,

Mehr

5.4. KINETISCHE ENERGIE EINES STARREN KÖRPERS 203. Abbildung 5.12: Koordinaten zur Berechnung der kinetischen Energie (siehe Diskussion im Text)

5.4. KINETISCHE ENERGIE EINES STARREN KÖRPERS 203. Abbildung 5.12: Koordinaten zur Berechnung der kinetischen Energie (siehe Diskussion im Text) 5.4. KINETISCHE ENERGIE EINES STARREN KÖRPERS 03 ρ α r α R Abbildung 5.1: Koordinaten zur Berechnung der kinetischen Energie (siehe Diskussion im Text) 5.4 Kinetische Energie eines Starren Körpers In diesem

Mehr

Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynamik) WS Aufgabe 1: Ampère-Gesetz (2+2+2=6 Punkte)

Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynamik) WS Aufgabe 1: Ampère-Gesetz (2+2+2=6 Punkte) Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie Elektrodynamik) WS 1-13 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung:

Mehr

Physik 1 für Ingenieure

Physik 1 für Ingenieure Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1/ueb/ue#

Mehr

Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag

Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik (T1) im SoSe 011 Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag Aufgabe 1.1. Schraubenlinie Die

Mehr

Bewegung in Systemen mit mehreren Massenpunkten

Bewegung in Systemen mit mehreren Massenpunkten Bewegung in Systemen mit mehreren Massenpunkten Wir betrachten ein System mit mehreren Massenpunkten. Für jeden Massenpunkt i einzeln gilt nach Newton 2: F i = d p i dt. Für n Massenpunkte muss also ein

Mehr

Serie 8 - Parametrisierte Kurven

Serie 8 - Parametrisierte Kurven Analysis D-BAUG Dr Meike Akveld HS 05 Serie 8 - Parametrisierte Kurven Geben Sie für die folgenden Bewegungen eines Punktes jeweils eine parametrisierte Darstellung I [0, ] R xt, t yt an Lösung a Geradlinige

Mehr

mit 0 < a < b um die z-achse entsteht.

mit 0 < a < b um die z-achse entsteht. Übungen (Aufg. u. Lösungen) zu Mathem. u. Lin. Alg. II SS 6 Blatt 8 13.6.6 Aufgabe 38: Berechnen Sie das Volumen des Volltorus, der durch Rotation der reisscheibe { (x, y, z) R 3 y, (x b) + z a } mit

Mehr

Kinematik des starren Körpers

Kinematik des starren Körpers Technische Mechanik II Kinematik des starren Körpers Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes

Mehr

Probeklausur zur Vorlesung Physik I (WS 09/10)

Probeklausur zur Vorlesung Physik I (WS 09/10) Modalitäten zur Klausur: Bitte legen Sie Ihren Personalausweis und Studentenausweis sichtbar auf den Tisch. Beschriften Sie jedes Blatt mit Name und Vorname. Benutzen Sie für jede Aufgabe das vorgesehene

Mehr

8.1 Gleichförmige Kreisbewegung 8.2 Drehung ausgedehnter Körper 8.3 Beziehung: Translation - Drehung 8.4 Vektornatur des Drehwinkels

8.1 Gleichförmige Kreisbewegung 8.2 Drehung ausgedehnter Körper 8.3 Beziehung: Translation - Drehung 8.4 Vektornatur des Drehwinkels 8. Drehbewegungen 8.1 Gleichförmige Kreisbewegung 8.2 Drehung ausgedehnter Körper 8.3 Beziehung: Translation - Drehung 8.4 Vektornatur des Drehwinkels 85 8.5 Kinetische Energie der Rotation ti 8.6 Berechnung

Mehr

Kapitel 2. Kinematik des Massenpunktes. 2.1 Einleitung. 2.2 Massenpunkt. 2.3 Ortsvektor

Kapitel 2. Kinematik des Massenpunktes. 2.1 Einleitung. 2.2 Massenpunkt. 2.3 Ortsvektor Kapitel 2 Kinematik des Massenpunktes 2.1 Einleitung In diesem Kapitel behandeln wir die Bewegung von einem oder mehreren Körpern im Raum. Wir unterscheiden dabei zwischen Kinematik und Dynamik. Die Kinematik

Mehr

Klausursammlung Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik

Klausursammlung Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik Klausursammlung Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik Fachschaft Physik Stand: Mai 27 Liebe Physik-Studis, hier haltet ihr die Klausursammlung für das Modul Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik

Mehr

Vektoren, Skalarprodukt, Ortslinien

Vektoren, Skalarprodukt, Ortslinien .0 Gegeben sind die Punkte A(0/-4), C(0/4), sowie die Pfeile mit α [ 90 ; 90 ]. 4cosα AB = 4sinα+ 4. Zeichne die drei Punkte B, B und B 3 mit α { 30;0;30 } in ein KOS.. Zeige: 4cosα CB =. 4sinα 4.3 Zeige,

Mehr

Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 01. Dezember 2016 HSD. Physik. Impuls

Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 01. Dezember 2016 HSD. Physik. Impuls Physik Impuls Impuls Träge Masse in Bewegung Nach dem 1. Newton schen Gesetz fliegt ein kräftefreier Körper immer weiter gradeaus. Je größer die träge Masse desto größer setzt sie einer Beschleunigung

Mehr

Theoretische Physik I: Lösungen Blatt Michael Czopnik

Theoretische Physik I: Lösungen Blatt Michael Czopnik Theoretische Physik I: Lösungen Blatt 2 15.10.2012 Michael Czopnik Aufgabe 1: Scheinkräfte Nutze Zylinderkoordinaten: x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z Zweimaliges differenzieren ergibt: ẍ = r cos ϕ 2ṙ ϕ sin

Mehr

3.2. VOLUMENINTEGRALE 121

3.2. VOLUMENINTEGRALE 121 3.2. VOLUMENINTEGRALE 121 3.2 Volumenintegrale Wenn man Systeme von vielen Massenpunkten m α an Positionen r α beschreiben will, so muss z.b. die Gesamtmasse M des Systems, den Vektor des Schwerpunktes

Mehr

Übung zu Mechanik 3 Seite 36

Übung zu Mechanik 3 Seite 36 Übung zu Mechanik 3 Seite 36 Aufgabe 61 Ein Faden, an dem eine Masse m C hängt, wird über eine Rolle mit der Masse m B geführt und auf eine Scheibe A (Masse m A, Radius R A ) gewickelt. Diese Scheibe rollt

Mehr

Probeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik

Probeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik Prof. Dr. H. Friedrich Physik-Department T3a Technische Universität München Probeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik Montag, 2.7.29 Hörsaal 1 1:15-11:5 Aufgabe 1 (8 Punkte) Geben Sie möglichst

Mehr

2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen

2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen 2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen Wir verallgemeinern die bisherigen Betrachtungen nun auf den dreidimensionalen Fall. Für Drehungen des Koordinatensystems um die Koordinatenachsen ergibt sich 1 x 1

Mehr

2. Klausur zur Vorlesung Theoretische Physik A Universität Karlsruhe WS 2004/05

2. Klausur zur Vorlesung Theoretische Physik A Universität Karlsruhe WS 2004/05 . Klausur zur Vorlesung Theoretische Physik A Universität Karlsruhe WS 004/05 Prof. Dr. Gerd Schön Dr. Matthias Eschrig Dauer: Stunden Gesamtpunktzahl: 30 Punkte + 5 Zusatzpunkte Hinweise: Beginnen Sie

Mehr

C orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w =

C orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w = 1 v Die Länge Def. Sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum. Für jeden Vektor v V heißt die Zahl v,v die Länge von v und wird v bezeichnet. Bemerkung. Die Länge des Vektors ist wohldefiniert, da nach Definition

Mehr

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer:

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer: Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik) SS08, Studienziel Bachelor (170 12/13/14) Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala Nachklausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2008 (1. Oktober

Mehr

3.3. Drehungen und Spiegelungen

3.3. Drehungen und Spiegelungen 3.3. Drehungen und Spiegelungen Drehungen und Spiegelungen in der Ebene Die Multiplikation einer komplexen Zahl z = x + i y (aufgefaßt als Punkt oder Ortsvektor der Ebene) mit der Zahl w = e ( ) = i φ

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt

Mehr

Mittelpunktbestimmung von PLZ-Regionen

Mittelpunktbestimmung von PLZ-Regionen Mittelpunktbestimmung von PLZ-Regionen Technische Beschreibung der Lat-Lon-Liste von Geodaten-Deutschland.de (c) 2016 OW networks GmbH Stand: 6. Februar 2016 1 Algorithmus Mittelpunkt-Bestimmung Gesucht

Mehr

2. Vorlesung Wintersemester

2. Vorlesung Wintersemester 2. Vorlesung Wintersemester 1 Mechanik von Punktteilchen Ein Punktteilchen ist eine Abstraktion. In der Natur gibt es zwar Elementarteilchen (Elektronen, Neutrinos, usw.), von denen bisher keine Ausdehnung

Mehr

2. Klausur zur Theoretischen Physik I (Mechanik)

2. Klausur zur Theoretischen Physik I (Mechanik) 2. Klausur zur Theoretischen Physik I (echanik) 09.07.2004 Aufgabe 1 Physikalisches Pendel 4 Punkte Eine homogene, kreisförmige, dünne Platte mit Radius R und asse ist am Punkt P so aufgehängt, daß sie

Mehr

Rollender Zylinder in Zylinder

Rollender Zylinder in Zylinder Übungen zu Theoretische Physik I - echnik im Sommersemester 013 Bltt 10 vom 1.07.13 Abgbe: 08.07. Aufgbe 43 Rollender Zylinder in Zylinder Ein homogener Zylinder (Gesmtmsse, Rdius, Trägheitsmoment bzgl.

Mehr

Übungsblatt 09. Elektrizitätslehre und Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik

Übungsblatt 09. Elektrizitätslehre und Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik Übungsblatt 9 Elektrizitätslehre und Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik 9.6.8 Aufgaben. Durch eine Spule mit n Windungen, die einen Querschnitt A 7, 5cm hat, fliesst

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 9/ Blatt 4..9 Aufgabe : Berechnen Sie das Volumen des Volltorus, der durch Rotation der reisscheibe { x,, z R 3, x b + z a } mit < a < b um die z-achse entsteht.

Mehr

11. Übungsblatt zur Mathematik II für MB

11. Übungsblatt zur Mathematik II für MB Fachbereich Mathematik Prof. Dr. U. Reif R. Hartmann, T. Koch SS 8.6.. Übungsblatt zur Mathematik für MB Aufgabe 5 ntervall im R egeben sei das ntervall { (x, y, z) R : π x π, y, z π}. Berechnen Sie x

Mehr

Übungen zur Vorlesung PN1 Lösung zu Blatt 5

Übungen zur Vorlesung PN1 Lösung zu Blatt 5 Aufgabe 1: Geostationärer Satellit Übungen zur Vorlesung PN1 Lösung zu Blatt 5 Ein geostationärer Satellit zeichnet sich dadurch aus, dass er eine Umlaufdauer von einem Tag besitzt und sich folglich seine

Mehr

3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes

3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes 3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes Das Gauß sche Gesetz V E d f = ɛ Q in = ɛ V ρ el dv stellte eine beachtliche Verbindung her zwischen dem elektrischen Feld E und seinen Quellen,

Mehr

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. 1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit

Mehr

Experiment: Inelastischer Stoß

Experiment: Inelastischer Stoß Experiment: Inelastischer Stoß Langer Gleiter auf der Luftkissenbahn stößt inelastisch auf einen ruhenden von gleicher Masse. Gleiter kleben nach dem Stoß zusammen (Klebwachs). Messung der Geschwindigkeiten

Mehr

Übungsblatt 13 Physik für Ingenieure 1

Übungsblatt 13 Physik für Ingenieure 1 Übungsblatt 13 Physik für Ingenieure 1 Othmar Marti, (othmarmarti@physikuni-ulmde 1 00 1 Aufgaben für die Übungsstunden Schwingungen 1 Zuerst nachdenken, dann in Ihrer Vorlesungsmitschrift nachschauen

Mehr

1 Das Prinzip von Cavalieri

1 Das Prinzip von Cavalieri KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann SS 14 11.6.14 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik 5. Saalübung 11.6.14 1 Das Prinzip von

Mehr

Probestudium der Physik 2011/12

Probestudium der Physik 2011/12 Probestudium der Physik 2011/12 1 Schwingungen und Wellen: Einführung in die mathematischen Grundlagen 1.1 Die Sinus- und die Kosinusfunktion Die Sinusfunktion lässt sich genauso wie die Kosinusfunktion

Mehr

Lösungen der Übungsaufgaben III

Lösungen der Übungsaufgaben III Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben III C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim 6. Man konstruiere die Winkelhalbierende eines beliebigen Winkels analog zur Konstruktion

Mehr

Was gibt es in Vorlesung 4 zu lernen?

Was gibt es in Vorlesung 4 zu lernen? Was gibt es in Vorlesung 4 zu lernen? inelastischer Stoß - keine Energieerhaltung (fast alle Energie kann in Wärme umgewandelt werden) - Geschwindigkeit Gewehrkugel - Rakete Rotationsbewegung - Umlaufgeschwindigkeit

Mehr

E1 Mechanik Musterlösung Übungsblatt 6

E1 Mechanik Musterlösung Übungsblatt 6 Ludwig Maximilians Universität München Fakultät für Physik E1 Mechanik Musterlösung Übungsblatt 6 WS 214 / 215 Prof. Dr. Hermann Gaub Aufgabe 1 Zwei Kugeln der gleichen Masse mit den Geschwindigkeiten

Mehr

PN 1 Klausur Physik für Chemiker

PN 1 Klausur Physik für Chemiker PN 1 Klausur Physik für Chemiker Prof. T. Liedl Ihr Name in leserlichen Druckbuchstaben München 2011 Martrikelnr.: Semester: Klausur zur Vorlesung PN I Einführung in die Physik für Chemiker Prof. Dr. T.

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang Sommersemester 3 8.6.3 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektrotechnik und Informationstechnik

Mehr

3. Mathematikschulaufgabe

3. Mathematikschulaufgabe Arbeitszeit 40min 1.0 Gegeben sind die Punkte A (-I1) und B (6I-1), sowie die Gerade g mit der Gleichung y = 0,5x + 3. Führe die folgenden Berechnungen jeweils auf zwei Stellen gerundet aus. 1.1 Berechne

Mehr

Ferienkurs - Experimentalphysik 2 - Übungsblatt - Lösungen

Ferienkurs - Experimentalphysik 2 - Übungsblatt - Lösungen Technische Universität München Department of Physics Ferienkurs - Experimentalphysik 2 - Übungsblatt - Lösungen Montag Daniel Jost Datum 2/8/212 Aufgabe 1: (a) Betrachten Sie eine Ladung, die im Ursprung

Mehr

Übungen zur Experimentalphysik 3

Übungen zur Experimentalphysik 3 Übungen zur Experimentalphysik 3 Prof. Dr. L. Oberauer Wintersemester / Anwesenheitsübung -.November Musterlösung Franziska Konitzer (franziska.konitzer@tum.de) Aufgabe ( ) ( Punkte) Eine harmonische elektromagnetische

Mehr

Ferienkurs Experimentalphysik Übung 2

Ferienkurs Experimentalphysik Übung 2 Ferienkurs Experimentalphysik 1 2012 Übung 2 1. Masse am Zylinder Ein Zylinder mit dem Radius R, der Masse M und dem Trägheitsmoment I = 1 2 MR2 ist raumfest so gelagert, dass er um seine horizontal liegende

Mehr

Lösungsblatt Rolle und Gewichte (2P) Mechanik (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) (WS07/08)

Lösungsblatt Rolle und Gewichte (2P) Mechanik (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) (WS07/08) sblatt Mechanik Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt WS07/08 Wolfgang v. Soden wolfgang.soden@uni-ulm.de. 0. 008 74 Rolle und Gewichte P Zwei Gewichte mit Massen m = kg bzw. m = 3kg sind durch einen

Mehr

PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1 Prof. J. Lipfert

PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1 Prof. J. Lipfert PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1 Prof. J. Lipfert WS 015/16 Übungsblatt 6 Übungsblatt 6 Lösung Aufgabe 1 Gravitation. a) Berechnen Sie die Beschleunigung g auf der Sonnenoberfläche. Gegeben

Mehr

Trägheitsmomente starrer Körper

Trägheitsmomente starrer Körper Trägheitsmomente starrer Körper Mit Hilfe von Drehschwingungen sollen für einen Würfel und einen Quader die Trägheitsmomente für verschiedene Drehachsen durch den Schwerpunkt gemessen werden. Das zugehörige

Mehr

Theoretische Mechanik

Theoretische Mechanik Prof. Dr. R. Ketzmerick/Dr. R. Schumann Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik Sommersemester 2008 Theoretische Mechanik 9. Übung 9.1 d alembertsches Prinzip: Flaschenzug Wir betrachten

Mehr

Abschlussprüfung 2011 an den Realschulen in Bayern

Abschlussprüfung 2011 an den Realschulen in Bayern Prüfungsdauer: 150 Minuten Abschlussprüfung 2011 an den Realschulen in Bayern Mathematik I Name: Vorname: Klasse: Platzziffer: Punkte: Aufgabe A 1 Nachtermin A 1.0 Lebensmittelchemiker untersuchten das

Mehr

Lösung 12 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16

Lösung 12 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16 Karlsruher Institut für Technologie Institut für theoretische Festkörperphysik www.tfp.kit.edu ösung 1 Klassische Theoretische Physik I WS 1/16 Prof. Dr. G. Schön + Punkte Sebastian Zanker, Daniel Mendler

Mehr

1.4 Gradient, Divergenz und Rotation

1.4 Gradient, Divergenz und Rotation .4 Gradient, Divergenz und Rotation 5.4 Gradient, Divergenz und Rotation Die Begriffe Gradient, Divergenz und Rotation erfordern die partiellen Ableitung aus Abschnitt.. sowie das Konzept des Differentialoperators.

Mehr

Kinematik des Massenpunktes

Kinematik des Massenpunktes Technische Mechanik II Kinematik des Massenpunktes Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes Eindimensionale

Mehr

Kapitel 3. Koordinatensysteme

Kapitel 3. Koordinatensysteme Kapitel 3 Koordinatensysteme Bisher haben wir uns bei der Beschreibung von Vektoren auf das kartesische Koordinatensystem konzentriert. Für viele physikalische Anwendungen sind aber kartesische Koordinaten

Mehr

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme 1 Inhalt Einleitung 2 1 Koordinatensysteme 2 1.1 Kartesisches Koordinatensystem 2 1.2 Polarkoordinaten 3 1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten 3

Mehr