ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS

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1 Tiple-Mosca Teil 3 Elektisches otential ELEKTIZITÄT UND MAGNETISMUS 3. Das elektische otential (Electic potential) 3. Die otentialdiffeenz (otential diffeence) 3. Das otential eines unktladungssystems (otential due to a system of point chages) 3.3 Die Beechnung des elektischen Feldes aus dem otential (Computing the electic field fom the potential) 3.4 Die Beechnung des elektischen otentials Φ kontinuieliche Ladungsveteilungen (Calculation of Φ fom continuous chage distibutions) 3.5 Äquipotentialflächen (Equipotential sufaces) Seite

2 Teil 3 Elektisches otential Dubbel Seite

3 Teil 3 Elektisches otential Die elektische Kaft (genauso wie die Gavitation) ist eine konsevative Kaft, so daß ih eine potentielle Enegie E zugeodnet ist: pot obeladung q in ein elektisches Feld elektische Enegie popotional q die elektische Enegie po Einheitsladung hängt von de äumlichen Lage de Ladung ab, und wid das elektische otential ( skalaes Feld) genannt. 3. Die otentialdiffeenz (otential diffeence) Angiffspunkt eine konsevativen Kaft F um Stecke d veschoben Ändeung de potentiellen Enegie depot = F d Kaft auf eine unktladung q: F = qe Ändeung de elektischen Enegie depot =d Eel: deel = qe d otentialdiffeenz d φ: Ändeung de elektischen Enegie po Einheitsladung de el dφ = = E d q otentialdiffeenz bei eine endlichen Veschiebung von unkt a nach unkt b: ΔE b el Δ φ = φb φa = = E q a d Seite 3

4 Teil 3 Elektisches otential Das elektisches otential φ ist eine skalae Funktion des Otes ( E vektoielle Funktion des Otes). Wie bei de potentiellen Enegie sind lediglich Diffeenzen des otentials φ physikalisch von Bedeutung das otential kann an einem geeigneten unkt null gesetzt weden E = q φ el Zu Stetigkeit des otentials φ Das otential ist übeall (mit Ausnahme de unkte an denen sich eine unkt- ode Linienladung befindet) stetig: Gebiet mit einem elektischen Feld E otentialdiffeenz zwischen zwei nahe gelegenen unkten dφ = E d = = E d wenn E zwischen den beiden nahe gelegenen unkten entlang de infinitesimalen Stecke d t endlich bleibt, so ist auch d φ infinitesimal das otential ist stetig Maßeinheiten - Elektisches otential = elektische Enegie po Einheitsladung SI-Einheit J C = V (Volt) Elektische Spannung = otentialdiffeenz (in Volt) zwischen zwei unkten Aus Gl. (3.a) d φ[v] = E[N C ] d [m] Maßeinheiten in SI-Einheiten fü das elektische otential φ: V=N m C - - Maßeinheiten in SI-Einheiten fü das elektische Feld E: V m =N C Aus Gl. (3.3) E [J] = q [C] φ[v] el das odukt aus Elementaladung ( e.6 C) und V ist eine Enegieeinheit = Seite 4

5 otential und elektische Felde Teil 3 Elektisches otential Die Abeit, die das Gavitationsfeld an eine Masse m veichtet, ist gleich de Abnahme de potentiellen Gavitationsenegie. Die Abeit, die das elektische Deld auf eine Ladung q veichtet, ist gleich de Abnahme de elektischen Enegie Das elektische Feld zeigt in die ichtung, in de das otential am schnellsten abnimmt Hohes φ Tiefes φ Seite 5

6 Teil 3 Elektisches otential Beispiel 3.: Emitteln Sie das otential Φ eines konstanten elektischen Feldes E - - Gegeben: elektisches Feld mit E = N C = V m in positive x-ichtung. Gesucht: otential in Abhängigkeit von x unte de Annahme, daß Φ ( x = ) = Aus Gl. (3.a) d Φ ( x) = E d = Ee dxe + dye + dze = Ed x Φ ( x) = d Φ ( x) = Edx = E dx = Ex+ C x ( x y z ) - ( ) mit Φ ( x = ) = C = Φ ( x) = Ex = V m x 3. Das otential eines unktladungssystems (otential due to a system of point chages) Das elektische otential φ im Abstand von eine unktladung im Koodinatenuspung läßt sich aus dem elektischen Feld beechnen aus E = e wobei e = dφ = E d = E d = e d da fü eine konsevative d = Kaft die otentialdiffeenz zwischen zwei Oten unabhängig von Weg zwischen den beiden Oten ist aus Gl. (3.b) d dφ = E d = q = q ef ef ef = ( ) ef ef Seite 6

7 πε ef Teil 3 Elektisches otential da Bezugspunkt ef fei wählba = damit das otential die einfachste Fom annimmt φ = mit = φ = Coulomb-otential 4 Elektische Enegie Eel eine obeladung q in einem Abstand von de unktladung bei E el obeladung q aus dem Unendlichen zum unkt gebacht veichtete Abeit W = Δ E = Abeit po Einheitsladung wenn q = mech q q obeladung q bei losgelassen: Ekin,= Epot,= pot, φ bei = E = q Δ E = E E = = Δ E = ( E E ) W pot pot, pot, kin kin, kin, E qq =Δ kin = vom elektischen Feld veichtete Abeit Seite 7

8 Beispiel 3.: Die elektische Enegie eines Wassestoffatoms Teil 3 Elektisches otential - a) Gesucht: elektisches otential Φ im Abstand =.59 m von einem oton. b) Gesucht: elektische Enegie E eines Elektons und eines otons in diesem Abstand. el 9 e -.6 C - Teil a) Φ= = = ( N m C ) = 7. N m C = 7. V -.59 m 9 9 Teil b) Eel = qφ = ( e) Φ = (.6 C)(7. V) = 43.5 J = 7. ev Beispiel 3.3: Die elektische Enegie von Kenspaltungspodukten mögliches üfungsbeispiel Aus dem Supepositionspinzip fü das elektische Feld Das otential φ an einem unkt im elektischen Feld mehee unktladungen ist die Summe de otentiale jede Einzelladung fü sich: φ = i i i Seite 8

9 Beispiel 3.4: Das otential zweie unktladungen unktladung q = + 5 nc im Koodinatenuspung, unktladung q =+ 5 nc bei x = 8 cm. Gesucht: a) otential im Feldpunkt bei (4 cm, cm), und b) otential im Feldpunkt bei ( cm, 6 cm) Teil 3 Elektisches otential i aus Gl. (3.) φ = = + i Teil a) mit = = =.4 m und q = q = q = + 5 nc φ + = = = i 9 ( ) 5 C = = = 9 - (8.99 N m C ) 5 V.5 kv (.4 m) ( ) ( ) Teil b) mit =.6 m und = xq + y =.8 m +.6 m =. m =. m φ = + = C 9-5 C = (8.99 N m C ) + (8.99 N m C ) = 749 V + 45 V = 99 V.6 m. m Beispiel 3.5: Das otential auf de x-achse mögliches üfungsbeispiel Seite 9

10 Beispiel 3.6: Das otential eines elektischen Dipols Teil 3 Elektisches otential Elektische Dipol: + q bei x =+ a und - q bei x = a; gesucht: elektisches otential φ auf de x-achse fü x a, als Funktion des Dipolmomentes p = qa i aus Gl. (3.) + + a p φ = = x a x a fü x a φ i ( q) q( x + a) q( x a) ) φ = = φ = = x a x + a x a i p x Elektostatisches otential in de Ebene eines Dipols Seite

11 Teil 3 Elektisches otential 3.3 Die Beechnung des elektischen Feldes aus dem otential (Computing the electic field fom the potential) Wenn das otential φ eine Ladungsveteilung bekannt ist dann kann man daaus deen elektisches Feld E beechnen ( E = φ) : kleine Veschiebung d im einem beliebigen elektischen Feld E otentialändeung dφ = E d dφ mit Tangentialkomponente Et = E cos θ dφ = E d = E cosθ d = Etd Et = ; d Falls Veschiebung d E dφ = ; falls Veschiebung d E dφ = maximal Ein Vekto, de in ichtung de gößten Ändeung eine skalaen Funktion zeigt und dessen Betag gleich de Otsableitung de Funktion in diese ichtung ist, heißt Gadient de Funktion E ist gleich dem Negativen des Gadienten von φ, die elektischen Feldlinien zeigen in ichtung des stäksten Abfalles von φ( ) d φ( x) d φ( ) wenn φ( x) E = Ee = e ; wenn φ( ) Kugelsymmetie E = Ee = e x dx x d Beispiel 3.7: Das elektische Feld E eines x -abhängigen otentials - ( ) Gegeben: otential φ( x) = V 5 V m x gesucht: elektisches Feld E d φ( x) da φ = ( ) aus Gl. (3.4) = = 5 V m = 5 V m dx De allgemeine Zusammenhang zwischen dem Feld E und dem otential φ siehe auch Seite ( ) - - f x E Ex E ex In de Vektoscheibweise wid das Gadient von φ als φ geschieben: E E x y E z = ex + ey + ez Nabla-Opeato E = φ = ex + ey + x y z x y z e z

12 Teil 3 Elektisches otential 3.4 Die Beechnung des elektischen otentials φ kontinuieliche Ladungsveteilungen (Calculation of Φ fom continuous chage distibutions) i Aus Gl. (3.) φ = mit Ladungselement d q als unktladung und Anwendung des Supepositionspinzipes φ = dq i i Das otential φ auf de Achse eines Ladungsings Gegeben: homogen geladene ing mit adius a und Ladung q gesucht: otential φ im unkt auf de Achse im Abstand x vom Mittelpunkt des inges Abstand zwischen und Ladungselement d q gegeben duch aus Gl. (3.9) dq = + φ = x a dq φ = da Abstand alle Ladungselemente bezüglich x + a gleich bleibt φ = dq = = x + a x + a x a + x fü x a φ = otential eine unktladung im Koodinatenuspung q x Seite

13 Beispiel 3.8: Ein Teilchen im Feld eines Ladungsings Teil 3 Elektisches otential In de y-z-ebene befindet sich ein homogen geladene ing, q = 8 nc, mit = 4 cm und mit dem Mittelpunkt im Koodinatenuspung. Bei x = 3 cm wid ein Teilchen mit m = 6 mg, q = 5 nc i losgelassen. Gesucht: Geschwindigkeit des Teilchens in goße Entfenung x q Aus Gl. (3.) φ = Eel = qφ = x + a x + a Aus Gl. (7.7) Ekin,f + Epot,f = Ekin,i + Epot,i mit Ekin,i = und Ekin,f = mvf q q q mvf + = mit xf mvf = x + a x + a x + a v f i i f q 5 C 8 C = v = ( 8.99 N m C ) ( )( ) ( ) ( 3 m) ( 4 m) 9 - f f 6 m x 6 kg i a v =.55 m s f - Das otential φ auf de Achse eine hologen geladenen Scheibe Aus dem otential auf de Achse eines Ladungsings duch Integation otential auf de Achse eines Ladungsscheibe (siehe Beispiel 3.9) Seite 3

14 Beispiel 3.9: Das otential F eine geladenen Scheibe Teil 3 Elektisches otential mögliches üfungsbeispiel Beispiel 3.: Beechnung des elektischen Feldes E aus dem otential φ Anhand de gegebenen otentiale Beechnung des elektischen Feldes auf de Achse a) eines homogen geladenen ings, b) eine homogen geladenen Scheibe: dφ( x) Teil a) aus Gl. (3.) φ( x) = φ( x) = q( x + a ) aus Gl. (3.4) E = Eex = e x + a dx d φ( x) 3 x E = = q ( x a ) ( x) E, siehe Gl. (.) dx + = 4 x + a 3 πε ( ) (( ) ) Teil b) aus Gl. (3.) φ( x) = σ x + = σ x + ε x ε d φ( x) d x x d x E = = σ ( x + ) ( x) = σ dx ε dx ε x dx + d x d x mit = fü x > und = fü x < dx dx x fü x > E = σ = + σ und ε x + ε + x x fü x < E = σ + = σ ε x + ε + x d φ( x) x aus Gl. (3.4) E = Eex = e dx x x Seite 4

15 Teil 3 Elektisches otential Das otential φ eine unendlich ausgedehnten Ladungsebene In den Fällen mit unendlich ausgedehnten Ladungsveteilungen kann man E duch diekte Integation ode aus dem Gauß'schen Gesetz beechnen, und anschließend aus de Definition dφ = E d das otential bestimmen. σ Fü eine unendlich ausgedehnte Ebene aus Gl. (.) fü positive x E = ex ε σ σ σ dφ = E d = ex ( dxex + dyey + dzez) = d x Integation φ = x+ φ wobei φ = φ( x = ) ε ε ε σ σ σ fü negative x E = ex dφ = E d =+ d x Integation φ =+ x+ φ wobei φ = φ( x = ) ε ε ε σ fü positive und negative x: φ = φ ε x Beispiel 3.: Eine Ladungsebene und eine unktladung Gegeben: unedlich ausgedehnte Ladungsebene mit homogene Ladungsdichte σ in de Ebene x =, und unktladung q auf de x-achse bei x = a. Gesucht: otential φ() im unkt im Abstand von de unktladung: σ aus Gl. (3.) φ = φ x, aus Gl. (3.7) φ = + φ mit φ + φ = C,Ebene Ebene,Ebene unkt,unkt ε,unkt σ φ = φebene + φunkt = x + + C wobei = ( x a) + y + z ε sei φ = bei x = y = z = : =+ + C C = 4 πε a a σ φ = x + ε x a + y + z a ( ) Seite 5

16 Teil 3 Elektisches otential Das otential φ innehalb und außehalb eine geladenen Kugelschale dq Im inzip Gl. (3.9) φ = vewendba, einfache abe übe Gauß'sche Satz und dφ = E d Außehalb de geladenen Kugelschale ist E adial (d.h. E e = ), siehe Gl. (.a), E = e dφ = E d = e d d Integation vom Bezugspunkt bei bis unkt = = d d da beliebig fü 4 πε ( ) φ = = q = q = > = φ = fü > Innehalb de Kugelschale ist E =, siehe Gl. (.b), Integation vom Bezugspunkt bei = bis unkt d d q d q 4 πε ( ) φ = = = = Seite 6

17 Teil 3 Elektisches otential Beispiel 3.: Das otential φ eine homogen geladenen Kugel oton-modell: geladene Kugel mit homogene Volumenladungsdichte, Gesamtladung q = + e, und adius ; elektisches Feld außehalb von aus Gl. (.a) E =, innehalb von aus Gl. (.b) E =. 3 πε Gesucht: elektisches otential φ außehalb und innehalb de Kugel 4 fü > ist das elektische Feld gleich dem eine unktladung aus Gl. (3.8) φ( ) = fü > fü < dφ = Ed = E = q d 3 q q Integation vom Bezugspunkt bei = bis unkt innehalb φ = Ed = d d = q q q q = = ( ) = = + = 3q 3 = = 3 da beliebig innehalb = gesetzt φ( ) = 3 fü < 3 Seite 7

18 Teil 3 Elektisches otential Das otential φ eine unendlich ausgedehnten Linienladung Gegeben sei eine unendlich ausgedehnte homogene Linienladung mit Linienladungsdichte λ λ Integation von Gl. (3.9) nicht möglich, abe Integation übe Gl. (.9) E = möglich dφ = E d = Ed Integation von einem beliebigen Bezugspunkt ef zu einem beliebigen Feldpunkt φ φ = Ed = λ = λln = λ ln ln ef d ef ef ( ) ef ef πε πε πε φ φ = λ( ln ln ) = ln ef ef πε πε wählt man φ = φ( ) = φ = λln fü < < ef ef ef ef πε ef Seite 8

19 Teil 3 Elektisches otential 3.5 Äquipotentialflächen (Equipotential sufaces) Da im Inneen eines Leites im statischen Gleichgewicht kein elektisches Feld hescht, ist die otentialändeung von einem unkt des Leites zu einem andeen null ein Leite ist ein deidimensionales Äquipotentialgebiet seine Obefläche ist eine Äquipotentialfläche paallel zu Obefläche dφ = E d = E Obefläche die elektischen Feldlinien, die an eine Äquipotentialfläche beginnen ode enden, stehen senkecht zu Äquipotentialfläche. In Feldichtung aus dφ = E d dφ = E d fü konstantes d φ E d Äquipotentialflächen und elektische Feldlinien außehalb eines länglichen Leites Äquipotentialflächen und elektische Feldlinien außehalb eines homogen geladenen kugelfömigen Leites Beispiel 3.3: Die Ladung in eine Kugelschale Hohle, ungeladene, leitende Kugelschale mit Inneadius a und Außenadius b; im Mittelpunkt de Kugelschale positive unktladung +q Gesucht: a) Ladung auf de Außen- und auf de Innenfläche, b) das otential φ( ) wobei φ( = ) = q innen Teil a) Φel= mit Φ el = E da = En da ε Die Gauß'sche Obefläche liegt vollständig innehalb des Leites E = q = q+ q = q = q n A innen A a a Seite 9

20 De Van-de-Gaaff-Geneato Teil 3 Elektisches otential Die Kugelschale ist insgesamt ungeladen q + q = q = q = q Teil b) φ = φ + φ + φ = Summe de otentiale de Einzelladungen, wobei fü eine dünne Kugelschale gilt Gl. (3.3) fü q q q > b φ = φ + φ a q b q a a b b a + φq = + = b fü a b φ = φq + φq + φ a q = + = b b b fü < a φ = φq + φq + φ a q = + b a b Kleine Leite mit positive Ladung q im hohlen Innenaum eines gößeen Leites. Van-de-Gaaff-Geneato: Untee lastik-walze duch eibung mit dem umlaufenden Band positiv aufgeladen Elektonen angezogen zu Spitze des unteen Kamms Elektonen duch Spühentladung auf das Band an de obeen Alu-Walze Elektonen duch Spühentladung vom obeen Kamm angezogen die Elektonen fließen zu Außenobefläche de Elektode Seite

21 De elektische Duchschlag Teil 3 Elektisches otential Viele Nichtleite weden in seh staken elektischen Felden ionisiet, so daß sie zu Leite weden dielektische Duchschlag In Luft E 3 V m = 3 MN C max Duchschlagfestigkeit eines Stoffes = diejenige elektische Feldstäke, bei de es im Stoff zum dielektischen Duchschlag kommt. Die Entladung duch die leitende Luft infolge des dielektischen Duchschlages heißt Bogen- ode Funkenentladung. Beispiel 3.4: De elektische Duschlag von eine geladenen Kugel Kugelfömige Leite mit = 3 cm gesucht: a) maximale Aufladung bevo Duchschlag, b) maximales otential de Kugelschale σ Teil a) Elektisches Feld außehalb des Leites E = = wobei σ = Obeflächenladungsdichte, ε in Luft dielektische Duchschlag bei E 3 V m max ( )( ) π ( ) 6 - max = qmax maximale Ladung aus σmax = q max = σmax 4π = εemax 4 π 4π q max 5 = 8.85 C N m 3 V m 4.3 m = 3. C, Teil b) maximales otential de Kugel φ φ ( )( ) V m.3 m 9. V = = q ε E 4π max max max = = = Emax Seite

22 Beispiel 3.5: Zwei geladene kugelfömige Leite Teil 3 Elektisches otential mögliches üfungsbeispiel Topfenfömige Leite in de Nähe von A (kleines Kümmungsadius) sind die Obeflächenladungsdichte und das elektische Feld hoch, in de Nähe von B (goßes Kümmungsadius) sind die Obeflächenladungsdichte und das elektische Feld niedig: σ otential φ eine leitenden Kugel: φ mit Ladung q 4 π σ φ σ ε = = = = fü φ = konst σ da auf de Obefläche eines Leites E εφ σ = E σ ε elektische Duchschlag hängt vom kleinsten Kümmungsadius igeneines Teils des Leites Anwendung: Blitzableite, Van-de-Gaaff-Geneato Seite

23 3. Elektische Stuktu de Mateie 3. Einfühung 3. Elektolyse 3.3 Das Kenmodel des Atoms 3.4 Boh'sche Theoie des Atoms 3.5 Quantisieung des Dehimpulses 3.6 Wikungs eines Magnetfeldes auf die Elektonenbewegung 3.7 Elektonenspin 3.8 Spin-Bahn-Wechselwikung 3.9 Elektonenschalen in Atomen 3. Elektonen in Festköpen 3. Leite, Halbleite und Isolatoen Teil 3 Elektisches otential Seite 3