A A Konservative Kräfte und Potential /mewae/scr/kap2 14s

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1 2.4 Konsevative Käfte und Potential /mewae/sc/kap2 4s Einige Begiffe: Begiff des Kaftfeldes: Def.: Kaftfeld: von Kaft-Wikung efüllte Raum. Dastellung: F ( ) z.b. Gavitation: 2. Masse m 2 in Umgebung eine Masse m : spüt Kaft: F = f mm2 F zwischen m 2, m 2 f = andee Betachtungsweise: nwesenheit von m alleine schon veändet den Raum, efüllt ihn mit eine Kaftwikung, die duch 2. Masse nachgewiesen weden kann ( m 2 spüt F ja in 2, also an Punkt im Raum, de i.a. von m entfent ist 2... Wikung in Raum...) Gedanke des Kaftfeldes: F E g = g (, m, m 2 ) = E m g (m, ) = f m 2 2 e = f m 3 E g...gavitations - Feldstäke. Diese Begiff ist nicht allgemein üblich, wid abe hie gebacht, da das elektische Feld E analog gebildet wid. Dastellung duch Feldlinien: in jedem Punkt des Raumes ist die Richtung de F eine Tangente an die Feldlinien. lso fü die Gavitation: adiale Feldlinien. 2 wenn F 2 Dichte de Feldlinien (Gavitation, Coulomb-Feld) N F NF (m) ( ) = 4π 2 ebenfalls : NF 2 kann dahe als Maß fü Stäke des Feldes vewendet weden: N f m (E = F = m 2 E = m 2 N f () analog in Elektostatik etc. N f 4π 2 = f m 2 N f (m) = 4πf m) dann ist Schwekaft auf Edobefläche: F const im Beeich da dot const gilt

2 F = m g E = g g = f me e E 2 = h >> E E e Begiff de konsevativen Kaft: Definition: in einem konsevativen Kaftfeld ist die beit, die das Kaftfeld beim Veschieben eines Objektes, das diese Kaft spüt,veichtet, unabhängig vom Weg, d.h. sie ist nu eine eindeutige Funktion des nfangs- und Endpunktes diese Bewegung. 2 d.h. weite: F ds = 0 denn: F ds = 2 F ds = = 0 F = const : 2 F ds = F 2 ds = F = F ( 2 ) W pot elativ zu einem beliebigen Bezugspunkt ist eine eindeutige Otsfunktion. Gegenbeispiel: Schwekaft mit Wibelfeld übelaget: W a < W b Waum ist das wichtig? Weg b B Weg a Feld kann dann statt als Vekto( ) duch Skala ( ) beschieben weden: wesentlich einfache ( dim statt 3 dim.) Skalaes Potentialfeld statt vektoiellem Kaftfeld. offene Fagen: a) Wie sieht V aus? b)wie bekomme ich F aus V? c)wann ist = 0? ad a) Def. des Potentials: nalog zu potentielle Enegie: V (= W pot ) = 2 F d s dv = F d = F x dx F y dy F z dz = dv x + dv y + dv z d.h. die Ändeung des Potentials dv setzt sich aus nteilen de beit gegen F x, F y, F z entlang dx,dy,dz zusammen. (ngabe eines Bezugspunktes : V = V wenn V ( ) = 0 gewählt wid) ad b) Umgekeht kann dann aus diesen nteilen die entspechende Kaftkomponente beechnet weden: Ändeung von W bei Veschieben um dx: entspicht F x! ( d.h. wenn dx = m wäe...) 2

3 F x = V x, F y = V y, F z = V z F = ( V x e x + V y e y + V z e z) (Zeichen de patiellen bleitung gibt an, daß V(x,y,z) nu nach eine diese Vaiablen abgeleitet wid.) Fomal: F = F x e x + F y e y + F z e z = V x e x V y e y V z e z... kann geschieben weden als: Gadient von V F = V wenn man den Vekto-Opeato einfüht, de z.b. in katesischen Kooedinaten folgende Gestalt hat: := x e x + y e y + z e z NBL-Opeato ; Diffeentialopeato, (Nabla: Giechisches Saiteninstument) z.b.heben im Schweefeld: F, W fü gegebene Masse m: F = m g = m g ez = const V = W pot = {}}{ F d = F d = F = ( mg ez ) = mg cos( e z, ) = mg h }{{} h V = V elat.z.edobefl. = mgh daaus dann mit Gadientenbildung die Kaft F. Das wid hie anhand eine andeen Möglichkeit, nämlich de Dastellung übe das Feld E duchgefüht: e z e F (gleiche Fomalismus wie zuvo, nu mit m = E, U = Eg d mit Eg F = m = g U = Eg d = g = g h [ F Joule m l] = [ kg ] V m = U) U...Gavitationspotential, ist jetzt unabhängig von gewählte Masse m us U( ) kann E( ) jetzt wiede beechnet weden (analog zu F aus V ): E = U x e x U y e y U z e U z = U = g h x = U y = h x = h E = U z e z = g e z h z =, U z = g y = 0 F = m E = mg e z... wie zu ewaten Kompaktee Scheibweise: E = U = gh = g h h = k h x k e k = δ kz e k E = g ez mit h x k = δ kz... Konecke-Symbol δ kz = 0 fü k z und δ kz = fü k = z. 3

4 e h flach steil F klein s F s go e x dh/dx klein dh/dx go Dastellung des Potentials: duch Äquipotentiallinien: U = 0; Ed = 0 d.h. Ed = 0 d.h. d auf E: Höhenlinien im Falle de Schwekaft! U = 0, U = const : g h = const : h = const F s zu Höhenlinie: maximale Komponente de Schwekaft maximale Steilheit V = F s ds Schon bekannt: Geog. Kate: Wo Höhenlinien eng: α goß (Steigung tan α = h s ),F s = m g sinα goß! ad c) Wie können wi feststellen, ob ein Kaftfeld konsevativ ist? Naheliegend: F ds = 0 fü gesamtes Feld beweisen; mühsam bis unmöglich usweg: wid auf nwendung eines Diffeentialopeatos auf den Vekto zuückgefüht, de leichte zu beechnen ist ( Diff. imme leichte als Integ.!) Satz von Stokes: F ( )d = ot F ( )d ot F = F F e d = de ds d (otf x = lim d 0 F ( s )d s mit ex etc..) De Satz von Stokes muß hie fü beliebig goße und bel. oientiete Flächen (Bahnen am Rand diese Flächen) gelten, dahe auch fü Integanden: F ( )d = 0 wenn ot F = F = 0 F ist Wibelfei Beispiel: Gavitationsfeld 4

5 Beispiel: Beechnung von ot F fü das Gavitationspotential damit ot F = 0 : fm = fm( 3 ) = 0 ( E = fm 3 e 2 = fm ) 3 hie müßte nun in Kugelkoodinaten umgeschieben weden, da es abe hie keine ϑ, ϕ-nhängigkeit gibt, kann die -bhängigkeit in katesischen Koodinaten dagestellt weden. ( sieht in jedem Koodinatensystem andes aus!) = x k e k = ( x 2 k ) 2 = ( x 2 3 k ) 3 2 = ( 2 x 2 +y 2 +z 2 ) 3 damit wid: = ( x 2 3 k ) 3 2 In Matixscheibweise: x y z x y z x( x 2 k ) 3 2 y( x 2 k ) 3 2 z( x 2 k ) 3 2 z.b. x-komponente: ( 3 ) x = y z( x 2 k ) 3 2 z y( x 2 k ) 3 2 = z( 3 2 ( x 2 k) 5 2 2y y( 3 2 ( x 2 k) 5 2 )2z = 0 nalog veschwinden auch die andeen Komponenten Gavitationsfeld ist ein konsevatives Kaftfeld, kann also mit einem Potential beschieben weden. Beechnung des Gavitationspotentials: U = 2 2 E( )d = Wahl: =, 2 = : ( fm e 2 ) e d = fm 2 d = fm 2 2 = fm 2 + fm U( ) = fm mit U( ) = 0 (U < 0, da Bezugspunkt in = gewählt, um dothin zu gelangen, muß beit aufgebacht weden, Masse im Gavitationsfeld eine 2. Masse sieht einen Potential-Tichte!). Beechnung de Gavitationskaft aus U( ) : F = m U = U m x k e k z-richtung jeweils in -Richtung gelegt: U F = m e = fm m ( ) e = f mm e 2 5