Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 8.1 Grundbegriffe Laplace-Experiment Ergebnis Elementarereignis Ergebnismenge Ergebnisraum

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1 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Die österreichische Lottoziehung vom 28. September 2003 lieferte nahezu dieselben Zahlen wie die am Vorabend in Deutschland stattgefundene Ziehung: 3, 17, 35, 39, 40, 44 und 7, 17, 35, 39, 40, 44 waren diesseits und jenseits der Grenze die Glückszahlen. Doch nicht eine seltene Planetenkonstellation wie in manchen Printmedien vermutet wurde war die Ursache, sondern lediglich ein witziger Zufall steckte dahinter. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist jenes Teilgebiet der Mathematik, in dem scheinbar und tatsächlich zufällige Ereignisse mit den Methoden der Mathematik untersucht und beschrieben werden Grundbegriffe 8.1 Was ist ein zufälliges Ereignis, ein Zufall? Recherchiere, wie in den unterschiedlichen Wissenschaften wie zb Physik oder Philosophie dieser Begriff definiert ist. Präsentiere das Ergebnis deiner Recherche vor deiner Klasse. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit so genannten Zufallsexperimenten. Man bezeichnet ein Zufallsexperiment, das beliebig oft wiederholt werden kann und bei dem sich die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen der möglichen Versuchsausgänge nicht verändern, als Laplace-Experiment, zb ein Münzwurf, das Roulette-Spiel, die Lottoziehung oder verschiedene Würfelspiele. Dabei ist zu beachten, dass im Modell ein Münzwurf immer mit einer idealen Münze, das Werfen mit einem Würfel immer mit einem idealen Würfel durchgeführt wird. Bei der idealen Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Seite 50 %. Dieses Modell vernachlässigt die Unregelmäßigkeiten im Material einer realen Münze, die zu unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten für beide Seiten führen können. Jeder mögliche Ausgang eines solchen Zufallsexperiments wird Ergebnis, manchmal auch Elementarereignis, genannt. ZB kann dem Münzwurf das Ergebnis Zahl bzw. Wappen zugeordnet werden. Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird Ergebnismenge bzw. Ergebnisraum genannt. Ein Zufallsexperiment kann dabei über mehrere Ergebnisräume verfügen. Beim Roulette gibt es zb den Ergebnisraum 1 = {rot, schwarz, 0} oder den Ergebnisraum 2 = {0, 1, 2, 3... }. Als Ereignis bezeichnet man eine Teilmenge des Ergebnisraums. So sind beim einmaligen Werfen eines Würfels sechs verschiedene Ergebnisse möglich, nämlich = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Mithilfe dieser Ergebnisse lassen sich viele verschiedene Ereignisse beschreiben, wie zb Die Augenzahl ist gerade mit g ={2, 4, 6}. 8.2 Beschreibe mit eigenen Worten exemplarisch, welche Ergebnisse und Ereignisse bei dem Zufallsexperiment eintreten können. a) Werfen zweier Würfel b) Roulette c) dreimaliger Münzwurf 8.3 Formuliere einen passenden Text zu dem Ereignisraum und den Teilmengen. a) = {0, 1, 2, 3, 4, , 20} = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} b) = {0, 1, 2, 3, 4, , 20} 1 = {1, 4, 16} 2 = {0, 5, 10, 15, 20} c) = {0, 1} 1 = {1, 1, 1} 2 = {0, 1, 0, 1, 0, 1, 0}

2 8.2 Kombinatorik Einleitung 8.4 Carmen, Manuel, Paul und Jarett wollen im Kino nebeneinander sitzen. Schreibe alle Möglichkeiten dafür an. Bei Familienfesten wie Hochzeiten aber auch bei Geschäftsessen kann das Finden der richtigen aus einer Vielzahl von möglichen Sitzordnungen zu enormen Komplikationen führen. Die Kombinatorik (latein: combinatio = Vereinigung) befasst sich mit der Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten bei Umordnungsbzw. Auswahlaufgaben. Da es im Allgemeinen zu aufwändig wäre, alle Möglichkeiten aufzuzählen, wurden zur Berechnung so genannte Abzähltechniken entwickelt. Ein sehr häufig eingesetztes gedankliches Hilfsmittel ist ein nicht einsehbares, hypothetisches Gefäß, aus dem im Allgemeinen Kugeln gezogen werden. Aus historischen Gründen hat sich als Bezeichnung für dieses Gefäß der Name Urne eingebürgert. So entspricht dem Würfeln mit einem Würfel das Ziehen von sechs nummerierten Kugeln aus einer Urne. Das Urnenmodell eignet sich zur einfachen Beschreibung grundlegender Unterschiede im Ablauf von Zufallsexperimenten. Als Grundmenge (Grundgesamtheit) bezeichnet man alle n Kugeln in einer Urne. Werden aus einer Urne mit n Kugeln k Kugeln gezogen, erhält man eine Stichprobe. Diese Stichprobe kann auch alle Kugeln der Urne umfassen, es gilt n = k. Ist die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, von Bedeutung, so spricht man von einer geordneten Stichprobe. Mathematisch gesehen handelt es sich dabei um eine Folge. Ist die Reihenfolge hingegen nicht von Bedeutung, so spricht man von einer ungeordneten Stichprobe, einer Menge. Wird eine Kugel aus der Urne gezogen, so kann sie wieder zurückgelegt und daher erneut gezogen werden. Man bezeichnet diesen Ablauf als Ziehen mit Zurücklegen bzw. als Ziehen mit Wiederholung. Im Gegensatz dazu kann beim Ziehen ohne Zurücklegen bzw. Ziehen ohne Wiederholung eine schon entnommene Kugel nicht mehr gezogen werden. 8.5 Ordne den Zufallsexperimenten die Eigenschaften geordnet, ungeordnet, mit Wiederholung und ohne Wiederholung zu. Begründe deine Antworten. 1) Sechser bei 6 aus 45 3) jeweils dreimal Zahl und Wappen (Münzwurf) 2) Ziffern der Jokerzahl 4) ausgewählte Personen für eine Umfrage 8.6 Auf welche Ergebnisse eines Zufallsexperiments passt die Beschreibung? Nenne zwei Beispiele. a) mit Wiederholung c) Reihenfolge wichtig, ohne Wiederholung b) Reihenfolge wichtig d) Reihenfolge nicht wichtig, mit Wiederholung 157

3 8.2.2 Permutation Permutation ohne Wiederholung 8.7 Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei verschiedenfärbige Kugeln anzuordnen? Eine Anordnung von n Elementen nennt man eine Permutation (latein: permutare = vertauschen). In Band 3, Abschnitt wurde bereits eine Formel hergeleitet, mit der man die Anzahl der Anordnungen von n verschiedenen Elementen berechnen kann. Wenn alle n Elemente verschieden voneinander sind, spricht man in diesem Fall von einer Permutation ohne Wiederholung. Anzahl der Permutationen von n Elementen ohne Wiederholung P(n) = n! n voneinander unterscheidbare Elemente kann man auf n! verschiedene Arten anordnen. Permutation mit Wiederholung 8.8 Wie viele Anagramme kann man aus den Buchstaben A, B, B und A bilden? Marvin, fünf Jahre alt, baut gerne Türme aus verschiedenfärbigen Bausteinen. Er hat dafür 6 rote, 4 grüne und 8 blaue Steine zur Verfügung. Nun soll berechnet werden, wie viele verschiedene Farbabfolgen dabei möglich sind. Da es mehrere Bausteine von gleicher Farbe gibt, spricht man in einem solchen Fall von einer Permutation mit Wiederholung. Es gibt ( )! = 18! Möglichkeiten, diese Bausteine anzuordnen. Es gibt 6! Möglichkeiten, die roten Steine anzuordnen, 4! Möglichkeiten für die grünen und 8! Möglichkeiten für die blauen Steine. 18! Insgesamt gibt es somit = verschiedene Farbabfolgen. 6! 4! 8! Anzahl der Permutationen von n Elementen mit Wiederholung n! P W (n) = r! s! t!... n Elemente, von denen r, s, t... Elemente jeweils gleich sind, werden angeordnet. 8.9 Wie viele Anagramme können aus dem Wort Mississippi gebildet werden? Lösung: n = 11 i = 4, p = 2, s = 4, 11! P W = = ! 2! 4! Das Wort Mississippi enthält elf Buchstaben. i und s kommen je viermal, p kommt zweimal vor. Es gibt Anagramme mit den Buchstaben des Worts Mississippi. 158

4 Permutation ohne Wiederholung 8.10 Eine Pharmareferentin will neun Kundengespräche führen. Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich? 8.11 Wie viele verschiedene Sitzplatzanordnungen gibt es in einer Klasse mit 30 Schülerinnen und Schülern und 30 Plätzen? Wie oft müsste man pro Tag die Sitzordnung ändern, um alle Sitzordnungen innerhalb eines Schuljahrs (180 Schultage) durchgespielt zu haben? 8.12 Berechne, auf wie viele Arten fünf Personen in einem Auto mit insgesamt fünf Sitzplätzen Platz nehmen können, um in den Lungau zu fahren, wenn nur eine Person einen Führerschein hat. Permutation mit Wiederholung 8.13 In einer Urne befinden sich 6 weiße, 3 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Man zieht alle Kugeln. Wie viele Farbkombinationen können entstehen? 8.14 Wie viele verschiedene Sitzplatzanordnungen gibt es in einer Klasse für 30 Schülerinnen und Schülern bei Plätzen? Erkläre, wie du die Aufgabe mithilfe der Formel für Permutation mit Wiederholung lösen kannst Christiaan Huygens (niederländischer Astronom, ) beschrieb mit folgendem Anagramm die Ringe des Saturns: AAAAAAA CCCCC D EEEEE G H IIIIIII LLLL MM NNNNNNNNN OOOO PP Q RR S TTTTT UUUUU. 1) Wie viele weitere Anagramme kann man bilden? 2) Recherchiere den eigentlichen Wortlaut der Beschreibung. Vermischte Aufgaben 8.16 In einer Bonbonniere befinden sich vier gleiche Nougatpralinen und vier gleiche Nusspralinen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Pralinen anzuordnen? 8.17 Zu einem Schönheitswettbewerb treten sieben Affenpinscher, neun Cockerspaniel, drei Norfolk-Terrier und ein Wolfsspitz an. Pascal kann zwar die verschiedenen Hunderassen unterscheiden, nicht aber die einzelnen Hunde. Wie viele Möglichkeiten gibt es für ihn, die Tiere anzuordnen? Wie viele Möglichkeiten gäbe es für ihn, könnte er die einzelnen Tiere unterscheiden? 8.18 Drei Ehepaare verlassen nach einem Fest die Wohnung der Gastgeberin. Wie viele Möglichkeiten (Reihenfolgen) gibt es, 1) wenn die sechs Personen die Wohnung einzeln verlassen? 2) wenn die Ehepaare die Wohnung jeweils gemeinsam verlassen? 8.19 Wie viele Möglichkeiten gibt es, die weißen Figuren eines Schachspiels in den ersten beiden Reihen beliebig anzuordnen? Bei den Eröffnungsstellungen von Chess960 stehen die weißen Bauern wie üblich, die anderen weißen Figuren stehen in der ersten Reihe. Der weiße König steht zwischen den weißen Türmen. Ein weißer Läufer steht auf weiß, der andere auf schwarz. Die schwarzen Figuren werden symmetrisch zu den weißen platziert. Wie viele Eröffnungsstellungen sind unter diesen Bedingungen möglich? 159

5 8.2.3 Variation Variation ohne Wiederholung 8.20 Anne, George, Julian, Richard und Tim wollen ins Theater gehen. Auf wie viele Arten können sie in einer Loge mit 8 Sitzen Platz nehmen? Aus n verschiedenen Elementen werden k verschiedene ausgewählt, wobei die Reihenfolge von Bedeutung ist. Die so entstandenen geordneten Stichproben nennt man Variation ohne Wiederholung. ZB: In einer Urne sind folgende Kugeln: Vier Kugeln sollen gezogen und auf eine Kette aufgefädelt werden. Wie viele verschiedene Farbabfolgen können entstehen? Für den 1. Zug hat man 6 Kugeln zur Verfügung, für den 2. Zug 5 Kugeln usw. Insgesamt gibt es = 0 Möglichkeiten. Es gilt: = = 6! 2! = 6! (6 4)! Anzahl der Variationen ohne Wiederholung n! V(n, k) = (n k)! Aus n verschiedenen Elementen werden k verschiedene Elemente ausgewählt. Die Reihenfolge der Auswahl ist dabei von Bedeutung. Die Berechnung wird am TR mit dem npr -Befehl (englisch: n permutation r ) durchgeführt, da im englischen Sprachraum Permutation auch für Variation verwendet wird. Variation mit Wiederholung Bei der Ziehung einer sechsstelligen Zahl werden für jede Stelle jeweils zehn Kugeln, nummeriert von Null bis Neun, benutzt. Für jede Stelle stehen also alle 10 Ziffern zur Verfügung. Jede so entstandene geordnete Stichprobe nennt man Variation mit Wiederholung. ZB: In einer Urne sind folgende Kugeln: Eine Kugel soll gezogen werden, die Farbe notiert und die Kugel anschließend wieder in die Urne geworfen werden. Dieser Vorgang wird viermal wiederholt. Wie viele verschiedene Farbabfolgen können entstehen? Beim 1. Zug hat man 6 Kugeln zur Verfügung, ebenso bei den restlichen Zügen. Insgesamt kann man also = 6 4 = Farbabfolgen bilden. Anzahl der Variationen mit Wiederholung V W (n, k) = n k Aus n verschiedenen Elementen werden k Elemente gezogen. Jedes Element steht bei jedem Zug wieder zur Verfügung. Die Reihenfolge ist von Bedeutung Wie viele verschiedene Zahlenfolgen können durch zweimaliges Würfeln entstehen? Lösung: n = 6 und k = 2 V W (6, 2) = 6 2 = Aus 6 Möglichkeiten wird 2-mal Man kann verschiedene Würfe machen. ausgewählt. 160

6 Variation ohne Wiederholung 8.22 Wie viele Möglichkeiten gibt es für drei Personen, auf zehn Sesseln Platz zu nehmen? 8.23 Wie viele dreiziffrige Zahlen kann man aus den Ziffern 2, 3, 4, 5 und 6 bilden, wenn in der Zahl jede Ziffer nur einmal vorkommen darf? 8.24 In einer Gruppe mit acht Kindern befinden sich zwei Schwestern. Wie viele Möglichkeiten gibt es, fünf Kinder in einer Reihe aufzustellen, wenn die beiden Schwestern nicht getrennt werden wollen? 8.25 Überlege und begründe, warum im englischsprachigen Raum lediglich der Begriff Permutation für die Begriffe Permutation und Variation verwendet wird. Variation mit Wiederholung 8.26 Beim Toto kann man auf den Spielausgang eines Fußballspiels wetten. Pro Tipp kann man für jedes der zwölf Spiele 1, 2 oder x ankreuzen. Wie viele Tipps sind möglich? 8.27 Wie viele vierstellige Zahlen kann man aus den Ziffern 3, 2, 1, 0 bilden, wenn jede Ziffer beliebig oft verwendet werden darf? Vermischte Aufgaben 8.28 In einer Urne befinden sich 7 blaue, 3 grüne, 8 weiße und 2 violette Kugeln. Gib die Anzahl der Möglichkeiten an, die unter den gegebenen Voraussetzungen gebildet werden können. a) Es werden ohne Zurücklegen 4 weiße Kugeln gezogen. b) Es werden mit Zurücklegen 6 Kugeln nur in den Farben grün oder violett gezogen Beim so genannten Elfmeterschießen wählt der Trainer fünf Spieler in einer bestimmten Reihenfolge aus einer Mannschaft von elf Spielern aus. Wie viele Möglichkeiten hat er, 1) wenn er den Torwart berücksichtigt? 2) wenn er den Torwart nicht berücksichtigt und nur noch neun Spieler am Feld sind? 8.30 Zwanzig der am Aufbau der Proteine beteiligten Aminosäuren werden durch eine Sequenz ein so genanntes Codon aus drei der vier Nucleinbasen (Adenin, Cytosin, Guanin, Uracil) codiert. Dabei kann jede Nucleinbase mehrmals in einem Codon vorkommen. Wie viele Codone können insgesamt gebildet werden? 8.31 Ein Passwort soll aus zehn Zeichen (Ziffern oder Buchstaben) bestehen. Jeder Buchstabe und jede Ziffer darf mehrmals verwendet werden. Es gibt keinen Unterschied zwischen Groß- und Kleinbuchstaben. Wie viele Passwörter kann man jeweils kreieren? 8.32 Ein Losungswort für ein Sparbuch soll aus 12 Zeichen bestehen. Jeder Buchstabe und jede Ziffer darf mehrmals verwendet werden, wobei zwischen Groß- und Kleinbuchstaben unterschieden wird. Wie viele Losungswörter kann man bilden? 8.33 Susanne wählt für ihr 16-stelliges Passwort als erstes Zeichen einen Großbuchstaben, als zweites Zeichen einen Kleinbuchstaben und für die restlichen Zeichen nur mehr Ziffern. Wie viele Passwörter kann sie bilden, wenn es keine weiteren Einschränkungen gibt? 8.34 Wie ändert sich die Anzahl der Passwörter aus zehn Zeichen, wenn jedes erlaubte Zeichen mehrmals statt nur einmal verwendet werden darf? Begründe deine Antwort. 161

7 8.2.4 Kombination Kombination ohne Wiederholung 8.35 In einem Betrieb arbeiten elf Personen. Die Unternehmensleitung wählt drei Personen für eine Fortbildungsveranstaltung in Alpbach aus. Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine solche Dreiergruppe zu bilden? Eine Auswahl von k Elementen aus einer Grundmenge n, wobei es auf die Reihenfolge der Auswahl nicht ankommt, nennt man Kombination. Die entsprechende Formel wurde in Band 3 hergeleitet. Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung n! C(n, k) =... Binomialkoeffizient n über k (n k)! k! = ( n k) ( n k) Aus n verschiedenen Elementen werden k verschiedene Elemente ausgewählt. Die Reihenfolge der Auswahl ist nicht von Bedeutung. Kombination mit Wiederholung ZB: Jemand würfelt zweimal mit zwei gleichen, nicht unterscheidbaren Würfeln. Die nebenstehende Tabelle zeigt, welche Würfe möglich sind. Dabei zählt man 21 Möglichkeiten. Um eine Formel zur Berechnung dieser Anzahl zu finden, wenden wir folgende Überlegungen an: Man ersetzt in der letzten Zeile eine der doppelten Ziffern durch eine 7. Zur Berechnung der Anzahl eignet sich nun die Formel ( n k) ( 2) = 7 = 21, da keine Wiederholungen mehr vorkommen. Wir überlegen nun: Wählt man aus 6 Elementen 2 Elemente aus, die nach dem Ziehen wieder zurückgelegt werden, so wiederholt sich jedes Element (2 1)-mal. Man kann nun diese Wiederholungen vermeiden, in dem man die (2 1) wiederholten Elemente als zusätzliche Elemente auffasst und zu der Zahl 6 die Zahl (2 1) addiert. Von diesen (6 + (2 1)) Elementen werden nun 6 + (2 1) 2 Elemente ohne Wiederholung ausgewählt. Es gilt: ( 2 ) ( 2) = 7 = 21. Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung C W (n, k) = ( n + k 1 k ) Aus n verschiedenen Elementen werden k Elemente ausgewählt. Jedes Element steht bei jedem Zug wieder zur Verfügung. Die Reihenfolge der Auswahl ist nicht von Bedeutung. 162

8 Kombination ohne Wiederholung 8. Bei einem Test, zu dem einige hundert Studierende antreten wollen, werden jeweils drei von 100 Fragen pro Studierendem geprüft. Wie viele Studierende können maximal antreten, wenn der Prüfer ein und dieselbe Fragenkombination nicht doppelt geben will? 8.37 Wie viele Produkte c = a b lassen sich aus den Ziffern 1 bis 9 bilden, wenn kein Faktor zweimal verwendet werden darf? 8.38 Es sind sieben Punkte in der Ebene gegeben. Wie viele Geraden kann man durch jeweils zwei Punkte legen, wenn nie drei der Punkte auf einer Geraden liegen? 8.39 An einer Fortbildung zum Thema Neue CNC-Maschinen nehmen eine Frau und 19 Männer teil. 1) Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein Team aus drei Personen auszuwählen? 2) In wie viel Prozent aller möglichen Teams sind nur Männer? Kombination mit Wiederholung 8.40 In einer HTL-Klasse sind 30 Schülerinnen und Schüler. Wie viele Möglichkeiten gibt es, jeweils jemanden für die Aufgaben des Tafelordners und des Klassenbuchordners auszuwählen, wenn eine Person auch beide Aufgaben übernehmen kann? 8.41 Wie viele Dreiecke können aus den Seitenlängen 5 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm und 9 cm gebildet werden, wenn 1) jede Seitenlänge nur einmal verwendet werden darf? 2) jede Seitenlänge mehrmals verwendet werden darf? Vermischte Aufgaben 8.42 Ein französisches Blatt besteht aus 52 Spielkarten in den Farben Treff, Pik, Herz und Karo. Jede Farbe gibt es in den Werten 2, , Bub, Dame, König, Ass. Berechne die Anzahl der Möglichkeiten für eine Hand mit n Karten. a) nur Karo, n = 5 b) nur Pik, n = 3 c) nur rot, n = Wie viele Produkte d = a b c lassen sich aus den Ziffern 1 bis 9 bilden, wenn jede Ziffer 1) nur einmal, 2) beliebig oft verwendet werden darf? 8.44 Eine Orgel hat mehrere Pfeifenreihen. Eine solche Pfeifenreihe wird zu einem so genannten Register zusammengefasst, das ein- und ausgeschaltet werden kann. Die größte Orgel Österreichs ist die zurzeit stillgelegte Kauffmann-Orgel im Wiener Stephansdom mit 125 Registern. Wie viele Zusammenstellungen der Register gibt es für diese Orgel? 8.45 Apollonius von Perge (griechischer Mathematiker, v. Chr.) stellte folgende Frage: Wie viele und welche Möglichkeiten gibt es, einen Kreis mithilfe dreier Bestimmungstücke (Kreise, Punkte, Tangenten) zu konstruieren? Beantworte diese Frage ) In einer Ebene liegen n = 10 Punkte. Wie viele Geraden kann man durch jeweils zwei Punkte legen, wenn k = 4 Punkte der zehn Punkte auf einer Geraden liegen? 2) Formuliere die in 1) angegebene Aufgabe allgemein. 3) Gib eine allgemeine Formel zur Berechnung der Anzahl der Geraden an. 163

9 164 Vermischte Aufgaben zu Permutationen, Variationen und Kombinationen Manche Aufgaben können unterschiedlich interpretiert werden. Gib in diesen Fällen an, von welchen Voraussetzungen du ausgehst In einem Büro sind 18 Telefone vorhanden. Berechne, wie viele Verbindungen zwischen diesen Apparaten hergestellt werden können Wie viele Möglichkeiten gibt es in Deutschland, 6 Richtige aus 49 zu tippen? 8.49 Um eine Maschine zu starten, müssen 10 Schalter richtig eingestellt werden. Ein Schalter kann 2 Positionen haben. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Schalter einzustellen? 8.50 Wie viele verschiedene (auch physikalisch falsche) Regenbogen können aus sieben Farben gezeichnet werden? 8.51 Ein Rieseneisbecher wird mit 5 Waffeln und 4 Hohlhippen dekoriert. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Waffeln und Hohlhippen nebeneinander zu platzieren? 8.52 Auf wie viele Arten können 15 Personen nacheinander einen Raum verlassen? 8.53 Zwölf Personen wollen mit einem Autobus fahren, der nur mehr fünf freie Plätze hat. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die fünf Plätze zu besetzen, wenn die verschiedenen Anordnungen der Personen 1) berücksichtigt werden, 2) nicht berücksichtigt werden? 8.54 Bruno, sechs Jahre alt, besitzt fünf Farbstifte: rot, blau, grün, gelb und violett. Er zeichnet eine Katze und wählt einen Stift für den Kopf, einen für den Körper, einen für die Beine und einen für den Schweif. Wie viele bunte Katzen kann Bruno zeichnen, wenn er 1) die gleiche Farbe mehrfach verwendet? 2) nur verschiedene Farben verwendet? 8.55 Wie viele n-stellige Passwörter aus 26 Buchstaben und 10 Ziffern gibt es? Begründe Berechne die Anzahl der Möglichkeiten, zwölf verschiedene Bücher unter drei Personen so aufzuteilen, dass jede Person vier Bücher erhält Vier Ehepaare kommen an ein Drehkreuz, das sie nacheinander passieren. 1) Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind für diese Personen möglich? 2) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn Herren und Damen abwechselnd gehen? 3) Wie viele Möglichkeiten bleiben, wenn alle Damen zuerst gehen? 8.58 Bei einem Fahrradschloss gibt es drei Ringe, jeweils mit den Ziffern 0 bis 9. 1) Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat man, eine Zahlenkombination einzustellen? 2) Ein Dieb glaubt, dass der Fahrradbesitzer eine Vorliebe für gerade Zahlen hat. Er möchte alle Zahlenkombinationen probieren, die an der ersten und an der letzten Stelle eine gerade Ziffer haben. Wie viele derartige Kombinationen gibt es? 8.59 Sechs Mathematikbücher und sechs Chemiebücher werden auf einem Bücherbrett aufgestellt, wobei Bücher einer Fachrichtung jeweils unterschiedlich sind. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Bücher aufzustellen, 1) wenn man mit einem Chemiebuch anfangen möchte? 2) wenn man abwechselnd ein Mathematik- und ein Chemiebuch aufstellen möchte? 3) wenn die vier Mathematik-Schulbücher nebeneinander stehen sollen?

10 8.60 1) Wie viel Möglichkeiten hat man, 20 Tafeln Schokolade auf 3 Kinder zu verteilen? 2) Wie viele Möglichkeiten hat man, 21 verschiedene Tafeln auf 3 Kinder so zu verteilen, dass jedes Kind gleich viele Tafeln bekommt? 8.61 Zehn Personen verabschieden sich nach einer Feier per Handschlag. 1) Wie oft werden die Hände geschüttelt? 2) Wie oft werden die Hände geschüttelt, wenn es sich bei den zehn Personen um fünf Ehepaare handelt? 8.62 Bei einem Buffet werden Lachsbrötchen, Kaviarbrötchen, Schinkenbrötchen und Käsebrötchen angeboten. Uschi wählt drei Brötchen aus. Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat sie, 1) wenn sie drei verschiedene Brötchen möchte? 2) wenn sie nicht nur verschiedene Brötchen nimmt? 3) wenn sie mit einem Kaviarbrötchen beginnt? 4) wenn mindestens ein Lachsbrötchen dabei sein soll? 8.63 Eine Spielgemeinschaft kreuzt alle möglichen Lottotipps bei Lotto 6 aus 45 an. Wie viele Fünfer mit bzw. ohne Zusatzzahl und wie viele Vierer erzielt sie damit? 8.64 Wie viele Autokennzeichen kann man mit drei Buchstaben (A bis Z) und zwei Ziffern (0 bis 9) bilden, wenn 1) kein Zeichen doppelt vorkommen darf, 2) 0 oder O am Anfang nicht erlaubt sind, Zeichen aber doppelt vorkommen dürfen? 8.65 Von 500 Muschelperlen sind 300 weiß, 150 rosa und 50 gelb. Für eine Kette werden 24 Perlen beliebig ausgewählt. Begründe jeweils deine Antwort. 1) Wie viele verschiedene Ketten kann es geben? 2) Wie viele Ketten beginnen mit der Farbkombination weiß, gelb, rosa? 3) Wie viel Prozent der Ketten haben lauter weiße Perlen? 8.66 Das Winkeralphabet (Semaphore) dient mithilfe zweier Fahnen zur optischen Übermittlung von Buchstaben. Wie viele Positionen muss es für jeden Arm (mindestens) geben, um alle Buchstaben darstellen zu können? 8.67 Eine Klasse hat zwölf Schülerinnen und zehn Schüler. (BArch, Bild / Horst Sturm/CC-BY-SA.) 1) Wie viele verschiedene Sitzordnungen sind möglich? 2) Wie viele Sitzordnungen sind möglich, wenn es fixe Mädchenplätze gibt? 3) Sechs Studierende sollen an den Vorbereitungen für ein Schulfest teilnehmen. In wie viel Prozent der möglichen Sechsergruppen sind mehr Schüler als Schülerinnen? 8.68 Wie viele Sitzordnungen gibt es in einer Klasse mit 30 Plätzen an 15 Tischen, wenn zwei bestimmte Schülerinnen keinesfalls nebeneinander sitzen dürfen? 8.69 Bei einer Schulfaschingsparty in einer Volksschule verkleiden sich von den 21 Schülern und Schülerinnen einer Klasse sieben als Clown, sieben als Märchenfigur und sieben als Zauberer. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kinder der Reihe nach aufzustellen, wenn die Kinder eine der folgenden Vereinbarungen festlegen: 1) Der Zauberer Peter möchte unbedingt neben dem Clown Heidi stehen. 2) Die Märchenfigur Anja möchte nicht neben der Märchenfigur Sarah stehen. 3) Der Zauberer Michael möchte als Erster stehen, alle anderen stehen in der Reihenfolge Clown, Märchenfigur, Zauberer. 165

11 8.3 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wiederholung 8.70 Wie viele 6er erwartest du bei 100-mal würfeln? Probiert es in der Klasse aus und berechnet den Mittelwert der tatsächlichen Ergebnisse. Ein Experiment, das beliebig oft wiederholt werden kann und bei dem die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ausgänge gleich bleiben, heißt Laplace-Experiment, wie zb das Würfeln mit einem Würfel. In Band 2, Abschnitt 10.3, wurden Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung vorgestellt. Diese sollen nun wiederholt werden. Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment Anzahl der günstigen Fälle P(Ereignis) = mit 0 P(Ereignis) 1 Anzahl der möglichen Fälle Gegenwahrscheinlichkeit: P(nicht E) = 1 P(E) P(A und B) Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes: P(B A) = P(A B) = P(B) P(A) P(A) Additionssatz für die oder -Verknüpfung P(A oder B) = P(A) + P(B) P(A und B) A, B... beliebige Ereignisse P(A oder B) = P(A) + P(B) A, B... einander ausschließende Ereignisse Multiplikationssatz für die und -Verknüpfung P(A und B) = P(A) P(B A) A, B... beliebige Ereignisse P(A und B) = P(A) P(B) A, B... voneinander unabhängige Ereignisse Der Satz von Bayes ergibt sich aus folgenden Überlegungen. (Vgl. Band 2, Abschnitt ) P(A und B) = P(A) P(B A) und P(A und B) = P(B) P(A B) Wegen P(A und B) = P(B und A) gilt: P(A B) P(B) P(A) P(B A) = P(B) P(A B) P(B A) = P(A) 8.71 Eine Gruppe des Alpenvereins wandert durch das Montafon. Es sind 14 Mädchen, 19 Burschen, 1 Frau und 2 Männer unterwegs. Sie kommen an eine Weggabelung. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1) genau ein Bursche, 2) ein Bursche oder ein Mädchen, 3) je ein Bursche und ein Mädchen, 4) zwei Erwachsene falsch abbiegen? Lösung: 1) P(ein Bursche) = 19 52,8 % ) P(ein Bursche oder ein Mädchen) = 91,67 % 3) P(ein Bursche und ein Mädchen) = ,22 % 4) P(zwei Erwachsene) = ,48 % Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln mit einem Würfel a) eine ungerade Augenzahl geworfen wird. b) eine Augenzahl kleiner 6 geworfen wird.

12 8.73 Die Tabelle zeigt auszugsweise die häufigsten Vornamen 2009 geborener Kinder. Eines dieser Kinder soll für das Titelblatt der Statistischen Nachrichten ausgewählt werden. Bundesland Knaben Anzahl Mädchen Anzahl Bundesland Knaben Anzahl Mädchen Anzahl Oberösterreich Lukas 206 Anna 183 Steiermark Lukas 157 Sarah 146 Salzburg Simon 68 Anna 80 Tirol Simon 98 Anna 103 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 1) dass es sich um ein Mädchen oder um ein Kind aus Tirol handelt? 2) dass ein Mädchen Anna heißt? Lösung: 1) P(Mädchen oder Kind aus Tirol) = = = ,6 % P(Mädchen und Anna) 2) P(Anna Mädchen) = P(Mädchen) = ,5 % Die Ereignisse schließen einander nicht aus In einer Urne liegen 5 rote, 6 weiße und 3 blaue Kugeln. Man wählt zufällig eine Kugel aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit für den jeweiligen Vorgang. 1) Man zieht eine rote Kugel. 3) Man zieht keine blaue Kugel. 2) Man zieht eine weiße Kugel. 4) Man zieht eine rote oder blaue Kugel In St. Augustin besitzen 70 % der Familien ein Auto, 60 % ein Moped. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie ein Auto und ein Moped besitzt? 8.76 Eine Teleshopping-Verkäuferin kontaktiert per Telefon drei Kunden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde an dem Angebot interessiert ist, beträgt 20 %. Das Verhalten der Kunden ist dabei unabhängig voneinander. Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten. 1) Kein Kunde ist interessiert. 3) Mindestens ein Kunde ist interessiert. 2) Höchstens ein Kunde ist interessiert. 4) Genau zwei Kunden sind interessiert Werden Geräte einer bestimmten Marke an einem Montag produziert, so funktionieren sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % einwandfrei, alle anderen mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein einwandfrei funktionierendes Gerät an einem Montag produziert wurde? 8.78 Im Mittel hat eine von Personen ein bestimmtes Gen. Ein Test weist dieses Gen mit einer Sicherheit von 99,999 % nach. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Gen zu haben, wenn der Test positiv ausfällt? Schätze zuerst. Vergleiche die Ergebnisse deiner Schätzung und Rechnung und interpretiere gegebenenfalls den Unterschied Eine Sirene besteht aus zwei Bauteilen A und B, die jeweils eine Ausfallswahrscheinlichkeit von 0,05 % haben. Die Sirene arbeitet nur, wenn alle Teile funktionieren. Welche Anordnung bietet eine höhere Ausfallssicherheit? Wie beeinflusst die Ausfallswahrscheinlichkeit diese Entscheidung? A B A B A B A B 167

13 8.3.2 Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion Zufallsvariable 8.80 Welche Möglichkeiten gibt es bei folgenden Situationen? Begründe. 1) Anzahl der roten Ampeln am Schulweg 2) Farben einer Ampel Der Ausgang eines Zufallsexperiments, wie zb die Summe der Augenzahlen beim Würfeln, kann durch eine reelle positive Zahl beschrieben werden. Diese Summe kann als reiner Zufall angesehen werden. Man kann sie mathematisch aber auch als Variable auffassen, die je nach Versuchsausgang einen bestimmten Wert annehmen kann. Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) ist eine Variable, deren Wert innerhalb gewisser Grenzen vom Zufall bestimmt wird. Eine Variable, die je nach Ausgang eines Zufallsexperiments verschiedene reelle Werte x i annimmt, heißt Zufallsvariable. Übliche Schreibweisen: X... Zufallsvariable, als Großbuchstabe angeschrieben x, x i... Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann, als Kleinbuchstabe angeschrieben Man unterscheidet: Diskrete Zufallsvariable Die Variable X nimmt bestimmte Werte x i an. Sie ist das Ergebnis eines Zählvorgangs. Beispiele: Personen, Anzahl der fehlerhaften Stücke in einer Stichprobe,... Stetige Zufallsvariable Die Variable X kann alle Werte x i eines Intervalls, also alle reellen Zahlen des Intervalls, annehmen. Sie ist meistens das Ergebnis eines Messvorgangs. Beispiele: Körpergewicht, Geschwindigkeit eines Autos, Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion ZB: Ist die Zufallsvariable X die Augenzahl eines Würfels, so kann sie die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 annehmen. Wird jedem dieser Werte die entsprechende Wahrscheinlichkeit zugeordnet, zb P(X = 1) = 1_ 6, so nennt man diese Zuordnung Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x). Dabei verfügt das Zufallsexperiment über endlich oder abzählbar viele Versuchsausgänge. ZB: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme kleiner 4 ist, ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten. P(X 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,5 Man bezeichnet diese Zuordnung als Verteilungsfunktion F(x) Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion kann man die Werte der Verteilungsfunktion berechnen. Diese Funktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Wert der Zufallsvariablen X kleiner als oder gleich groß wie x ausfällt. 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 f(x) F(x) Wahrscheinlichkeitsfunktion Verteilungsfunktion x x

14 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) ordnet jedem Wert einer diskreten Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens zu. Es gilt: f(x) = P(X = x) für x = x 1, x sonst Die Verteilungsfunktion F(x) ordnet jedem Wert der Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit zu, diesen oder kleinere Werte anzunehmen. F(x) = P(X x) = f(x i ) für x i x 8.81 Es wurde mit zwei unterscheidbaren Würfeln gewürfelt und die Augensumme notiert. Bestimme die Zufallsvariable und die möglichen Werte der Zufallsvariablen. Erstelle eine Tabelle der Wahrscheinlichkeits- und der Verteilungsfunktion und stelle beide Funktionen grafisch dar. Lösung: Zufallsvariable X... Augensumme; mögliche Werte: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 x i P(X = x i ) P(X x i ) = 1 Graph der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion: f(x) x 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 F(x) x 8.82 Gib jeweils drei beliebige Beispiele für diskrete und stetige Zufallsvariablen an. Begründe. Aufgaben : Bestimme die Zufallsvariable und die möglichen Werte der Zufallsvariablen. Stelle die Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion grafisch dar Man würfelt mit drei Würfeln. a) Wie viele Würfeln zeigen eine gerade Augenzahl? b) Ist die Augensumme eine ungerade Zahl? 8.84 a) Man wirft dreimal eine Münze und notiert die 100 Anzahl von Wappen. 80 b) Eine Münze wird fünfmal geworfen. Man notiert 60 die Anzahl von Zahl Stellt die rechte Abbildung eine 20 Wahrscheinlichkeits- oder eine Verteilungsfunktion dar? Formuliere einen passenden Aufgabentext und mehr 169

15 8.3.3 Erwartungswert und Varianz einer diskreten Zufallsvariablen 8.86 Bei dem beliebten Gesellschaftsspiel Mensch ärgere dich nicht, entwickelt von Josef Schmidt (deutscher Unternehmer, ), wartet man oft auf eine bestimmte Augenzahl, die subjektiv gesehen nie kommt. Welche Augenzahl kommt beim Mensch ärgere dich nicht am häufigsten, welche am seltensten? Stelle diese Fragen verschiedenen Personen, am besten kleinen Kindern. Notiere ihre Antworten und Begründungen. Besprich diese in deiner Klasse. Wird ein Zufallsexperiment sehr oft durchgeführt, so lässt sich das arithmetische Mittel aller von der Zufallsvariablen angenommenen Werte berechnen. Dieser Mittelwert wird als Erwartungswert E(X) der Zufallsvariablen bezeichnet. Die tatsächlichen Werte streuen mehr oder weniger gut um diesen Mittelwert. Diese Streuung wird Standardabweichung genannt und mithilfe der Varianz V(X) der Zufallsvariablen berechnet. Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen Es ist X eine Zufallsvariable, die die Werte x 1, x 2,..., x n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = x 1 ), P(X = x 2 ),... P(X = x n ) annimmt. Dann gilt für den Erwartungswert E(X) der Variablen X: n n E(X) = = x i P(X = x i ) = x i f(x i ) i = 1 Varianz V(X) und Standardabweichung einer Zufallsvariablen n V(X) = (x i ) 2 n f(x i ) = (x i2 f(x i )) 2 und = V(X) i = 1 i = 1 i = Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Augenzahlen beim Würfeln mit einem Würfel. Lösung: E(X) = 1 1_ _ _ _ _ _ 6 = 3,5 V(X) = (1 2 1_ _ _ _ _ _ 6 ) 3,5 2 = 2,916 = V(x) 1, Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung für a) die Augenzahlen beim Würfeln mit zwei Würfeln. b) die Anzahl Zahl beim dreimaligen Münzwurf In einer Urne sind 4 grüne, 5 weiße und 6 orange Kugeln. Es werden drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Ermittle Erwartungswert und Standardabweichung. a) X... Anzahl der grünen Kugeln b) X... Anzahl der nicht weißen Kugeln 8.90 In Bonbonnieren sind vier Nougat- und vier Marzipanpralinen, die optisch nicht zu unterscheiden sind. Wie oft muss Conny im Mittel eine Praline nehmen, bis sie eine Nougatpraline erwischt? 8.91 Bei einer Lotterie werden Lose verkauft. Es gibt folgende Preise (Gewinne): 1. Preis: 1 000,00, 2. Preis: 500,00 und 3. Preis: 300,00. Herr Hauswirth kauft drei Lose. Wie groß ist der zu erwartende Gewinn? Bei welchem Lospreis lohnt sich das Mitspielen für Herrn Hauswirth?

16 8.3.4 Binomialverteilung 8.92 Wirf eine Münze viermal und notiere die Ergebnisse Wappen (W) oder Zahl (Z). 1) Wie viele Möglichkeiten gibt es? 2) Ist das Werfen von viermal Wappen genau so wahrscheinlich wie dreimal Wappen und einmal Zahl, wenn die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird? 3) Jemand möchte die Wahrscheinlichkeit P(genau die Hälfte aller Würfe sind Wappen) für eine höhere Anzahl von Würfen bestimmen. Welche Schwierigkeiten könnten auftreten, wenn dieses Experiment dafür 100-mal, mal oder gar mal durchgeführt werden soll? Begründe deine Antwort. In vielen Fällen lässt sich der Ausgang eines Zufallsexperiments mit lediglich zwei Ergebnissen beschreiben, zb Wappen oder Zahl beim Münzwurf, einwandfrei oder nicht einwandfrei bei der Qualitätsprüfung, funktioniert oder funktioniert nicht bei der Prüfung einer technischen Anlage. Aber auch beim Werfen eines Würfels können die Versuchsausgänge zb auf die zwei Ereignisse 6er oder kein 6er reduziert werden. Allgemein kann man sagen Erfolg oder Nicht-Erfolg. Man nennt diese Versuche Bernoulli-Experimente, benannt nach Jakob Bernoulli (schweizer Mathematiker, ). Bernoulli-Experimente sind Experimente, die genau zwei mögliche Ergebnisse haben unter denselben Bedingungen beliebig oft wiederholt werden können, wobei jedes Ergebnis jedes Mal mit derselben Wahrscheinlichkeit p eintritt. Ein Bernoulli-Experiment entspricht dem Ziehen mit Zurücklegen. ZB: Ein Lieferant für Frischeier aus biologischer Landwirtschaft behauptet, dass aufgrund des Transports 15 % der Eier zerbrochen sind. Er will daher seine Packungen zu je acht Stück billiger als sonst üblich verkaufen. Der Käufer überprüft eine willkürlich gewählte Packung, um festzustellen, ob er den Angaben des Lieferanten glauben kann. Wir überlegen: Ein Ei kann zerbrochen oder ganz sein, mehr Möglichkeiten gibt es nicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei zerbrochen ist, beträgt 15 % : P(zerbrochen) = 0,15. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei ganz ist: P(ganz) = 1 P(zerbrochen) = 0,85 Der Bruch eines Eis hat keinen Einfluss auf die anderen Eier, die Wahrscheinlichkeit für ein zerbrochenes Ei ändert sich nicht, wenn ein anderes Ei zerbrochen ist. Es liegt für diese Situation also ein Bernoulli-Experiment vor. Im Folgenden wird eine Formel hergeleitet, die die Berechnung der Wahrscheinlichkeit ermöglicht, dass in einer Packung eine bestimmte Anzahl von Eiern zerbrochen ist. 171

17 Man ermittelt nun die Wahrscheinlichkeiten, in einem dieser Kartons genau x zerbrochene Eier vorzufinden. Dabei muss man beachten, dass zb ein kaputtes Ei als erstes, als zweites oder auch erst als letztes gefunden werden kann. f(0) = 1 (1 0,15) 8 = 0, f(0) 27,2 % f(1) = 8 0,15 1 (1 0,15) 7 = 0, f(1) 38,5 % f(2) = ( 8 2) 0,152 (1 0,15) 6 = 0, f(2) 23,8 % f(x) = ( 8 x) 0,15x (1 0,15) 8 x Man bezeichnet solch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung als Binomialverteilung, sie wird allgemein mit f B (x) = P(X = x) bezeichnet. Im Rahmen der Qualitätssicherung wird die Binomialverteilung bei der Prüfung auf fehlerhafte Einheiten verwendet. Binomialverteilung f B (x; n, p) = P(X = x) = ( n x) px (1 p) n x n... Anzahl der Versuche, p... Erfolgswahrscheinlichkeit eines Versuchs, x... Anzahl der Erfolge Erwartungswert und Varianz einer Binomialverteilung = E(X) = n p 2 = n p (1 p) 8.93 Eine Werkstättenlehrerin weiß aus Erfahrung, dass 5 % aller Schülerinnen und Schüler keinen Arbeitsmantel mithaben. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von 11 Jugendlichen 1) genau 4, 2) mindestens 2 ihren Arbeitsmantel vergessen haben. Lösung: n = 11, x = 4, p = 0,05 1) P(X = 4) = ( 11 4 ) 0,054 (1 0,05) 11 4 P(4 fehlende Mäntel) 0,14 % 2) P(X 2) = 1 P(X 2) P(X = 0, 1) = f B (0) + f B (1) = 0, P(X 2) = 1 0, = 0, P(mindestens 2 fehlende Mäntel) 10,2 % Wahrscheinlichkeit für 0 zerbrochene Eier mit P(ganz) = (1 0,15); sind alle 8 Eier in Ordnung, gibt es dafür nur 1 Möglichkeit. 1 Ei ist zerbrochen, 7 sind ganz. Das zerbrochene Ei kann das erste, das zweite... oder das achte sein. Somit gibt es 8 Möglichkeiten, an welcher Stelle das zerbrochene Ei ist. 2 Eier sind zerbrochen, 6 von 8 Eiern sind ganz. Mithilfe des Binomialkoeffizenten kann man die Anzahl der Möglichkeiten ( 8 = 28 berechnen. 2) x Eier sind zerbrochen, folglich sind 8 x Eier ganz. Mindestens 2 bedeutet: 2 bis 11 Man rechnet daher mit der Gegenwahrscheinlichkeit: P(mindestens 2) = 1 P(höchstens 1) 172

18 8.94 Wie oft müsste man mit einem Würfel würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 %, mindestens einen Sechser zu würfeln? Lösung: P(mindestens ein 6er) 0,99 1 P(kein 6er) 0,99 P(kein 6er) 0,01 P(X = 0) = ( n 0) ( 1_ 6 ) 0 (1 1_ 6 ) n 0,01 P(6er) = 1_ 6 ( 5 _ 6 ) n 0,01 ln... n ln 5 _ 6 ln 0,01 n 25, ln 5_ 6 0 Man müsste 26-mal würfeln. Technologieeinsatz: Binomialverteilung TI-Nspire Im Menü 5: Wahrscheinlichkeit, 5: Verteilungen stehen Funktionen zur Berechnung der Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion zur Verfügung. Die Parameter der Verteilung können über eine Eingabemaske eingegeben oder direkt eingetippt werden. Die Ausgabe erfolgt im Calculator. Wahrscheinlichkeitsfunktion (Probability density function)... binompdf(n,p,x) Verteilungsfunktion (Cumulativ distribution function) P(a X b)... binomcdf(n,p,a,b) (Handheld-Ansicht) (Computer-Ansicht) Mathcad Wahrscheinlichkeitsfunktion... dbinom(x,n,p) Verteilungsfunktion P(X x)... pbinom(x,n,p) Tabellenkalkulationsprogramm (zb: Excel 2010) Zur Berechnung steht die Funktion BINOM.VERT(x;n;p;k) zur Verfügung. k steht für kumuliert, ist k = 0, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsfunktion, bei k = 1 die Verteilungsfunktion. 173

19 In einem Restaurant mit 20 Tischen, die alle reserviert sind, weiß man aus Erfahrung, dass 8 % der gebuchten Tische nicht genutzt werden. Berechne folgende Wahrscheinlichkeit. a) Alle Tische sind besetzt. c) Mehr als 15 Tische sind besetzt. b) Weniger als zwei Tische bleiben frei. d) Höchstens 17 Tische sind besetzt In einer Dose mit 100 Kugeln sind 30 grüne Kugeln. Jemand zieht fünf Kugeln, wobei jede Kugel nach dem Ziehen wieder zurückgelegt wird. Berechne folgende Wahrscheinlichkeit. a) Alle fünf Kugeln sind grün. c) Genau eine grüne Kugel ist dabei. b) Mindestens eine Kugel ist grün. d) Höchstens zwei Kugeln sind grün Bei einem Single-Choice-Test gibt es zu jeder der zehn Fragen jeweils vier mögliche Antworten, von denen genau eine richtig ist. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei jeder Frage die richtige Antwort anzukreuzen? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei mindestens sieben Fragen die richtige Antwort anzukreuzen? 8.98 Benjamins Lieblingseissorte ist Walnuss, das jedoch nicht immer angeboten wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass es an einem beliebigen Tag im Sortiment ist, beträgt 25 %. Benjamin geht sieben Tage hintereinander zu seinem bevorzugten Eissalon. 1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Walnusseis mindestens zweimal angeboten wird? 2) Wie oft müsste Benjamin in den Eissalon gehen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal sein Lieblingseis zu bekommen, mindestens 95 % ist? 8.99 In der Kindervorstellung eines Zirkus ist auf einem Achtel der Karten eine Markierung, die zum kostenlosen Besuch des Tiergartens berechtigt. Eine Gruppe mit 25 Kindern kauft 25 Zirkuskarten. Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten. 1) Genau drei Kinder erhalten markierte Karten. 2) Höchstens vier Kinder erhalten markierte Karten. 3) Drei bis fünf Kinder erhalten jeweils eine markierte Karte. 4) Ab welcher Anzahl von Kindern ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den Karten mindestens eine markierte ist, größer als 50 %? Für eine Tombola werden Lose verkauft. Zu gewinnen gibt es folgende Preise: 150 Gutscheine für einen Milch-Shake, 100 Kinogutscheine und 50 Bücher. 1) Alfred kauft 4 Lose. Wie groß ist die Chance, dass er jeden Preis genau einmal gewinnt? 2) Patrizia erzählt ihrer Freundin: Ich habe 2 Lose gekauft und 2-mal gewonnen. Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass es 2 Bücher sind? 3) Leon möchte einen Kinogutschein gewinnen. Wie viel Lose muss er kaufen, wenn seine Chance auf mindestens einen Kinogutschein größer als 75 % sein soll? Die Lötstellen einer Leiterplatte werden stichprobenartig getestet. Im Mittel sind 2 % aller Lötstellen defekt. 1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter fünf getesteten Lötstellen i) die dritte, ii) erst die dritte, iii) nur die dritte, iv) spätestens die dritte Lötstelle defekt ist? 2) Bei einem bestimmten Bauteil werden jeweils 50 Lötstellen kontrolliert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als eine Lötstelle defekt ist?

20 8.102 Andrea gewinnt auf einem Schulball einen 10-kg-Sack Gummibärchen. Davon haben 13 % ihre Lieblingsfarbe grün. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, unter zehn zufällig ausgewählten Gummibärchen 1) drei grüne, 2) mindestens ein grünes, 3) höchstens drei grüne Bärchen zu finden? b) Wie viele Bärchen muss Andrea nehmen, damit die Wahrscheinlichkeit, ein grünes zu erwischen, über 95 % liegt? c) Wie groß müsste der Anteil an grünen Gummibärchen mindestens sein, damit Andrea unter zehn Bärchen mit 90 %iger Sicherheit ein grünes findet? Ein Glücksrad ist in 16 gleich große Sektoren geteilt, die von 1 bis 16 nummeriert sind. Das Glücksrad wird ein Dutzend Mal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass a) genau 2-mal die Zahl 10 angezeigt wird. b) mindestens 3-mal die Zahl 13 angezeigt wird. c) mindestens 8-mal, aber höchstens 10-mal eine Primzahl angezeigt wird Im Jahr 2010 waren in Österreich von den rund Männern im Alter von 25 bis 29 Jahren rund verheiratet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter zehn zufällig ausgewählten Männern aus dieser Altersgruppe a) genau 2 verheiratet sind? d) weniger als die Hälfte verheiratet ist? b) mindestens 3 verheiratet sind? e) frühestens der 7. verheiratet ist? c) höchstens 2 verheiratet sind? f) spätestens der 5. verheiratet ist? Arbeite mit den Daten aus a) Wie viele Männer muss man auswählen, damit mit mindestens 99 %iger Wahrscheinlichkeit 1) mehr als zwei verheiratet, 2) weniger als vier verheiratet sind? b) Wie groß müsste der Anteil verheirateter Männer sein, damit unter zehn zufällig ausgewählten Männern mit 99 %iger Wahrscheinlichkeit 1) mindestens zwei verheiratet sind? 2) höchstens zwei verheiratet sind? Untersuchungen ergaben, dass 2005 in Salzburg im Ortsgebiet 23 % aller männlichen Autolenker nicht angegurtet waren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Kontrolle unter diesen Voraussetzungen 1) unter zehn vorbeifahrenden Autos mehr als drei nicht angegurtete Lenker sind? 2) mindestens sechs Autos überprüft werden müssen, um den ersten nicht angegurteten Lenker zu strafen? 3) Wie groß müsste der Anteil der nicht angegurteten Lenker mindestens sein, damit die Wahrscheinlichkeit, unter zehn Autos mindestens einen zu strafen, mindestens 90 % beträgt? 4) In einem Gerichtsbezirk kamen 6 % der nicht angegurteten Lenker bei Unfällen ums Leben, aber nur 0,7 % der angegurteten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine getötete Person nicht angegurtet war? Interpretiere das Ergebnis. 175