Quantenphysik II. Quantenphysik in Beispielen

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1 inhalt file:///i /fernlehre skriptum/studienbrief5/inhalt.htm Quantenphysik in Beispielen Quantenphysik II Die Quantenphysik findet bereits in sehr vielen Gebieten moderner Technologie Anwendung. So etwa im medizinischen Bereich in zahlreichen Untersuchungsmethoden, wie etwa der Kernspintomographie. In der Materialwissenschaft, wo mittels Neutronenstreuung die magnetischen Eigenschaften von Festkörpern untersucht werden. Oder denken wir an die unzähligen Anwendungen der Lasertechnologie. All das kann mittlerweile bereits als Standard betrachtet werden. Die Quantenphysik hat aber noch viel mehr in ihrem Repertoire und es hat den Anschein, daß wir erst beginn die Vielzahl von Möglichkeiten zu erkunden. Erst kürzlich wurden Systeme zur Übermittlung von Nachrichten entwickelt (Quantenkryptographie), die absolut abhörsicher sind. Es läßt sich nämlich beweisen, daß prinzipiell jeder Versuch die übermittelte Nachricht abzufangen sofort nachweisbar wäre. Man nützt hier eine Eigenschaft von Quantensystemen. Diese verhalten sich, sobald man sie beobachtet, grundlegend anders als wenn sie nicht beobachtet werden. Natürlich können wir hier nicht auf alle modernen Entwicklungen eingehen, aber wir werden anhand von Beispielen grundlegende Aspekte der Quantenphysik behandeln, die all diesen Entwicklungen zugrunde liegen. In einem virtuellen Experiment werden sie die Möglichkeit haben eine erst kürzlich entdeckte Methode zur wechselwirkungsfreien Messung selbst auszuprobieren. Der Doppelspalt Das Mach-Zehnder Interferometer Interferenz Wechselwirkungsfreie Messung Das folgende virtuelle Experiment dient zur Demonstration der Nichtlokalität in der Quantenmechanik und gehört nicht zum regulären Stoffumfang. Der interessierte Leser kann sich aber auf freiwilliger Basis ein besseres Verständnis der Problematik der Nichtlokalität erarbeiten. (Leider zur Zeit nur in Englisch verfügbar.) Das GHZ-Experiment 1 von :40

2 teil1 file:///i /fernlehre skriptum/studienbrief5/teil1.htm Der Doppelspalt R.P.Feynman behauptet in seinen berühmten "Feynman Lectures", die Interferenz enthalte das einzige Geheimnis der Quantenmechanik. Dies deshalb, da es absolut unmöglich sei, sie in irgendeiner Weise innerhalb der klassischen Physik zu erklären oder mit klassischen Begriffen zu begreifen. Folgen wir in diesem Abschnitt kurz Feynmans Gedankengang um diese Aussage zu verstehen. Dazu betrachten wir zunächst ein Experiment mit Kugeln. Eine Quelle emittiert Kugeln die durch einen Doppelspalt auf einen Schirm treffen. Ein Doppelspaltexperiment mit Kugeln Ist nur der linke Spalte geöffnet, so werden die Kugeln vor allem auf der linken Seite des Schirms ankommen und wir sehen folglich einen grünen Streifen links. Jedes Teilchen hinterläßt nämlich auf dem Schirm einen grünen Punkt und so bildet sich nach einiger Zeit dieser Streifen aus. Wir beschreiben die Intensitätsverteilung der Teilchen am Schirm durch P links. Intensitätsverteilung bei geöffnetem linken Spalt Ist nur der rechte Spalt geöffnet, werden die Kugeln vor allem auf der 1 von 5

3 teil1 file:///i /fernlehre skriptum/studienbrief5/teil1.htm rechten Seite des Schirms ankommen. Der grüne Streifen bildet sich also auf der rechten Seite aus. Diese Intensitätsverteilung beschreiben wir nun durch P rechts. Intensitätsverteilung bei geöffnetem rechten Spalt Was passiert nun, wenn wir beide Spalte öffnen? Natürlich ist zu erwarten, daß es einfach zu einer Überlagerung der beiden Intensitätsverteilungen kommt. Also eine Intensitätsverteilung, die durch P doppel = P links +P rechts beschrieben wird. Intensitätsverteilung beim Doppelspaltexperiment mit Kugeln Diese Verteilung können wir tatsächlich im Experiment beobachten, was in keiner Weise überraschend ist. Was passiert nun, wenn wir ein ähnliches Experiment mit Elektronen durchführen? Ist nur ein Spalt geöffnet so gleichen die Intensitätsverteilungen am Schirm denen, wie wir sie mit Kugeln erhalten haben. Wie die Kugeln erzeugt jedes Elektron am Schirm einen grünen Punkt. Wir können also annehmen, daß jedes Elektron eine Einheit darstellt, die einem Teilchen im herkömmlichen Sinn sehr ähnlich ist. Nachdem wir uns überzeugt haben, daß sich die Elektronen im Falle eines offenen Spaltes ähnlich verhalten wie Kugeln, gehen wir nun zum Doppelspalt über. Wir machen zunächst folgende Annahme: Jedes Elektron geht entweder durch den rechten oder durch den linken Spalt. Unter dieser Annahme können alle Elektronen, die am Schirm ankommen, in solche eingeteilt werden, die durch den rechten Spalt gegangen sind und in solche, die durch den linken Spalt gegangen sind. Da wir aber wissen, daß die Intensitätsverteilung jener Elektronen, die durch den rechten (linken) Spalt gehen durch P rechts (P links ) beschrieben werden kann, erwarten wir, daß beim Doppelspalt die Inensitätsverteilung ebenso wie bei den Kugeln durch 2 von :42

4 teil1 file:///i /fernlehre skriptum/studienbrief5/teil1.htm P doppel = P links +P rechts gegeben ist. Diese Erwartung wird jedoch durch das Experiment nicht bestätigt. Vielmehr beobachten wir eine Intensitätsverteilung, die der Funktion P IFM entspricht. Intensitätsverteilung beim Doppelspaltexperiment mit Elektronen Beobachten Sie im folgenden Experiment den wesentlichen Unterschied zwischen Kugeln und Elektronen. Beide werden als Teilchen am Schirm detektiert. Jedoch ist die Verteilung der registrierten Elektronen am Schirm gänzlich anders als die der Kugeln. Wählen Sie durch Klicken auf das Symbol rechts unten die Quelle aus (Zylinder für Kugeln und Kegel für Elektronen). Legen Sie eine Spaltbreite durch Klicken auf die Pfeilfelder fest. Starten Sie das Experiment durch Klicken auf den Druckknopf links oben. Die Intensität der Quellen ist klein, sodaß Sie etwas Geduld haben müssen, bis Sie ein Muster am Schirm erkennen können. Aufgaben: Vergleich Sie das Muster der Kugeln mit dem der Elektronen. Wo werden am häufigsten Elektronen beobachtet? Sind an dieser Stelle auch häufig Kugeln zu finden? Versuchen Sie eine Erklärung zu geben. Ändern sie die Spaltbreite und beobachten sie das Muster der Elektronen. Was ändert sich und wie ist die Abhängigkeit von der Spaltbreite. 3 von :42

5 file:///i /fernlehre skriptum/studienbrief5/teil1.htm Wie können wir uns dieses Resultat erklären? Ist vielleicht unsere Annahme, daß jedes Teilchen durch einen der beiden Spalte geht nicht zutreffend? Vielleicht teilen sich die Elektronen und ein Teil geht durch den rechten und der andere durch den linken Spalt. Das würde aber der Beobachtung widersprechen, daß wir am Schirm einzelne Teilchen detektieren. Was immer wir auch versuchen um das eigenartige Verhalten der Elektronen zu verstehen bzw. zu erklären, es wird erfolglos bleiben. Auch die Quantenmechanik gibt keine Erklärung dafür auf welche Art sich die Elektronen durch die beiden Spalte bewegen, sodaß sie am Schirm eine derartige Intensitätsverteilung erzeugen können. Die Quantenmechanik liefert nur die mathematischen Hilfsmittel, die es uns erlauben diese Verteilung zu berechnen. Was wir dazu wissen müssen, sind die geometrischen Verhältnisse im Experiment (Breite des Spaltes usw.) sowie die kinetische Energie der Elektronen. Alles andere folgt aus dem Formalismus. Das wesentliche im Formalismus ist dabei, daß wir nicht mehr mit Wahrscheinlichkeiten, sondern mit komplexwertigen Wellenfunktionen rechnen. An die Stelle von P rechts tritt Ψ rechts und an die Stelle von P links Ψ links. Diese Funktionen sind durch die Beziehungen P links = Ψ links 2 bzw.p rechts = Ψ rechts 2 miteinander verbunden. Um die Intensitätsverteilung nach dem Doppelspalt zu berechnen dürfen wir nun nicht, wie im klassischen Fall mit den Kugeln, P rechts und P links addieren, sondern wir müssen Ψ rechts und Ψ links addieren. Dies ist einer der wesentlichsten Grundzüge der Quantenmechanik. Für die Funktion P IFM heißt das, daß wir sie aus :42

6 teil1 file:///i /fernlehre skriptum/studienbrief5/teil1.htm P IFM = Ψ rechts +Ψ links 2 erhalten. Da Ψ rechts und Ψ links komplexwertig sind, können wir den Ausdruck links auch schreiben als: P IFM = Ψ rechts +Ψ links 2 = Ψ rechts 2 + Ψ links (Ψ rechts Ψ links ) 1/2 cos(δ). Den letzten Ausdruck auf der rechten Seite bezeichnet man als Interferenzterm. Seine Bedeutung wird aus der komplexen Zahlenebene ersichtlich auf der zwei Zahlen einen Winkel δ zueinander einschließen. Physikalisch hat δ die Bedeutung einer Phase und dementsprechend gibt P IFM eine Intensitätsverteilung wieder, wie sie für ein Interferenzexperiment mit Wellen typisch ist. Das Verhalten des Elektrons wird also durch einen Formalismus, wie er für Wellen (etwa Schallwellen) typisch ist beschrieben. Genaugenommen wird aber nicht das Verhalten der Elektronen, sondern nur die Häufigkeit beschrieben mit der sie an bestimmten Stellen des Schirmes auftreffen. Wie jedes einzelne Elektron von der Quelle durch den Doppelspalt schließlich an den Ort gelangt, wo es letztlich detektiert wird, bleibt ein Geheimnis. Zurück 5 von :42

7 teil2 file:///i /fernlehre skriptum/studienbrief5/teil2.htm Das Mach-Zehnder Interferometer Das sogenannte Mach-Zehnder Interferometer (vor ca. 100 Jahren von Mach und Zehnder erfunden) besteht aus zwei vollständig reflektierenden und zwei halbdurchlässigen Spiegeln (auch Strahlteiler genannt). Für den weiteren Verlauf der Diskussion nehmen wir an, daß die Spiegel ideal seien, d.h. das Licht unabhängig von der Wellenlänge entweder völlig reflektieren bzw. zur Hälfte reflektieren und zur Hälfte durchlassen. Das Mach-Zehnder Interferometer: S ist die Lichtquelle, H1 und H2 sind halbdurchlässige, M1 und M2 vollständig reflektierende Spiegel. A und B sind Detektoren. Das Licht geht von der Quelle S aus, trifft zunächst auf den Strahlteiler (halbdurchlässigen Spiegel) H1 und wird dort aufgeteilt. Die eine Hälfte der Intensität geht geradlinig zu M1 weiter, die andere Hälfte wird nach unten reflektiert und trifft auf M2. Die beiden Teilstrahlen treffen einander wieder am Strahlteiler H2. Die Anordnung der Spiegel ist derart, daß der Weg von H1 über M1 zu H2 gleich lang ist wie der Weg von H1 über M2 zu H2. Da Strahlteiler 2 genauso wirkt wie Strahlteiler 1 sollte man erwarten, daß am Strahlteiler 2 nun jeder der beiden Teilstrahlen seinerseits zur Hälfte durchgelassen und zur Hälfte reflektiert wird. Folglich würde im Endeffekt die Hälfte des einfallenden Lichtes im Detektor A und die andere Hälfte im Detektor B ankommen. Mit einer Glühbirne als Lichtquelle würden wir auch genau das beobachten. Intensitätsverteilung in einem Mach-Zehnder Interferometer bei Verwendung einer 1 von :42

8 teil2 file:///i /fernlehre skriptum/studienbrief5/teil2.htm inkohärenten Quelle (z.b.: Glühbirne). (Die Farben beziehen sich nicht auf die Lichtwellenlänge sondern dienen nur zur Unterscheidung der Lichtwege) Die Situation ändert sich jedoch, wenn wir einen Laser als Lichtquelle verwenden. In diesem Fall können wir nämlich nicht mehr mit klassischen Intensitäten rechnen, sondern müssen die quantenmechanische Wellenfunktion verwenden. Dies findet formal seinen Ausdruck darin, daß das Licht, wie es eine Glühbirne emittiert, quantenmechanisch nicht durch eine einzige Wellenfunktion, sondern nur durch ein Gemisch von Wellenfunktionen beschrieben werden kann. Diese Wellenfunktionen stehen zueinander in keinerlei Beziehung. Die Situation ist vergleichbar mit Wasserwellen, die entstehen, wenn Regen auf eine glatte Wasseroberfläche fällt. Die Bewegungen zweier beliebiger Punkte auf der Oberfläche weisen zueinander im allgemeinen keine Beziehung auf und demnach ist eine Beschreibung der Bewegungen durch Angabe einer mittleren Amplitude (Intensität) ausreichend. Anders bei einem Laser. Das emittierte Licht wird im Idealfall durch eine einzige Wellenfunktion beschrieben (man spricht auch von kohärentem Licht im Gegensatz zu inkohärentem Licht etwa einer Glühbirne). Wie bei einer ebene Welle, die sich im Wasser ausbreitet, stehen nunmehr die Bewegungen an verschiedenen Orten sehr wohl zueinander in Beziehung und zwar in einer Phasenbeziehung. Alle Punkte der Welle vollziehen die selbe Schwingungsbewegung jedoch mit unterschiedlicher Phase. Durch Teilung der Welle und spätere Zusammenführung sind Auslöschungen und Verstärkungen (Interferenz) möglich. Dieser Tatsache müssen wir durch Verwendung der Wellenfunktion Rechnung tragen. Zurück 2 von :42

9 teil3 file:///i /fernlehre skriptum/studienbrief5/teil3.htm Interferenz Um es uns leichter zu machen, gehen wir in der quantenmechanischen Beschreibung des Mach-Zehnder Interferometers von einer sehr einfachen Wellenfunktion aus. Wir nehmen an, das von der Quelle emittierte Licht werde durch die konstante Wellenfunktion 1 beschrieben. Außerdem wenden wir in der Rechnung 2 einfache Regeln an: Jede Reflexion wird durch eine Multiplikation der Wellenfunktion mit i (imaginäre Einheit) beschrieben. Dies drückt einen Phasensprung um π aus. Bei Transmission bzw. Reflexion an einem halbdurchlässigen Spiegel wird die Wellenfunktion mit dem Faktor (1/2) 1/2 multipliziert. Dies drückt die Tatsache aus, daß die Wahrscheinlichkeit für eine Transmission bzw. Reflexion 1/2 ist. Wir sind jetzt in der Lage die Wellenfunktionen in den beiden Ausgängen (Wege von H2 zu Detektor A bzw. B) des Interferometers zu berechnen. Da der Phasensprung bei jeder Reflexion π beträgt, kann man sich auch ohne Rechnung leicht überlegen zu welcher Interferenz es nach dem Strahlteiler H2 in den beiden Ausgängen kommt (Übung!). Wellenfunktion (Wahrscheinlichkeitsamplitude) in einem Mach-Zehnder Interferometer mit halbdurchlässigen Strahlteilern. Beginnen wir mit dem blauen Lichtweg: Transmission durch H1 => (1/2) 1/2 Reflexion an M1 => i (1/2) 1/2 Reflexion an H2, Ausgang A => i (1/2) 1/2 i (1/2) 1/2 = -1/2 Transmission durch H2, Ausgang B => i (1/2) 1/2 (1/2) 1/2 = i 1/2 1 von :42

10 teil3 file:///i /fernlehre skriptum/studienbrief5/teil3.htm Analog gehen wir für den roten Lichtweg vor: Reflexion an H1 => i (1/2) 1/2 Reflexion an M2 => i i (1/2) 1/2 = -(1/2) 1/2 Transmission durch H2, Ausgang A => -(1/2) 1/2 (1/2) 1/2 = -1/2 Reflexion an H2, Ausgang B => -i (1/2) 1/2 (1/2) 1/2 = -i 1/2 Um die Gesamtwellenfunktion im Ausgang A bzw. B zu erhalten, müssen wir die Wellenfunktionen des blauen und roten Lichtweges in den jeweiligen Ausgängen summieren. Für Ausgang A erhalten wir -1, für Ausgang B 0. Wie wir wissen, ist das Quadrat des Absolutbetrages der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen an einem bestimmten Ort anzutreffen. Die Wahrscheinlichkeit ein Photon im Ausgang A zu finden ist also gleich 1. Daraus folgt, daß das gesamte einfallende Licht im Detektor A ankommen wird. In Detektor B werden wir kein Licht registrieren. Dies ergibt sich auch aus folgender Überlegung: Licht das von H2 zu Detektor A geht, wurde, egal auf welchem der beiden Wege, zweimal reflektiert, ist also in Phase und interferiert konstruktiv. Licht das von H2 zu Detektor B geht, wurde am roten Weg einmal und am blauen Weg dreimal reflektiert, ist also um π phasenverschoben und interferiert destruktiv. Zurück 2 von :42

11 teil4 file:///i /fernlehre skriptum/studienbrief5/teil4.htm Wechselwirkungsfreie Messung Wir wir im vorigen Abschnitt gezeigt haben, wird im Mach-Zehnder Interferometer jedes einfallende Photon (d.h. Licht, sofern es kohärent ist) im Detektor A registriert. Photonen sind die elementaren Bestandteile des Lichtes und es ist mit modernen Technologien möglich Experimente mit einzelnen Photonen zu machen. Das heißt es kann ein einziges Photon durch das Interferometer geschickt werden und es wird mit Sicherheit im Detektor A ankommen. Dies ist der Ausgangspunkt für eine Entdeckung, die 1993 von zwei Physikern (Elitzur und Vaidman) gemacht wurde. Sie stellten folgende Überlegung an: Wir wissen, daß jedes Photon nach dem Durchgang durch das Interferometer im Detektor A ankommt. Wir werden also niemals ein Photon im Detektor B registrieren. Sollte dennoch einmal ein Photon in Detektor B ankommen,... Zu welchem Schluß sind wir gezwungen, wenn ein Photon im Detektor B ankommt? Offensichtlich wurde durch irgendeine Ursache die Interferenz verhindert, sodaß die Wahrscheinlichkeit ein Photon im Detektor B zu beobachten nicht mehr 0 ist. Eine derartige Ursache kann aber nur sein, daß einer der beiden Wege blockiert ist und demnach dieser Teil der Wellenfunktion fehlt. Angenommen der blaue Pfad ist blockiert, so müssen wir nur die Wellenfunktionen des roten Pfades heranziehen um die Wahrscheinlichkeiten dafür zu erhalten ein Photon in Detektor A bzw. B zu registrieren. Erinnern wir uns an die Wellenfunktionen, wie wir sie im vorigen Abschnitt angeschrieben haben, so sehen wir sofort, daß die Wahrscheinlichkeit jeweils 1/4 ist um ein Photon in A bzw. B zu beobachten. Wahrscheinlichkeiten bei blockiertem blauen Pfad Wir können also die obige Überlegung fortsetzen: Sollte dennoch einmal ein Photon in Detektor B ankommen, so wissen wir, daß der blaue Pfad blockiert ist. Da immer nur ein Photon in das Interferometer geschickt wird und dieses Photon im Detektor B angekommen ist, gab es keinerlei Wechselwirkung 1 von :43

12 teil4 file:///i /fernlehre skriptum/studienbrief5/teil4.htm zwischen dem Hindernis (das den blauen Pfad blockiert) und dem Photon. Es ist also möglich festzustellen, ob sich ein Hindernis im blauen Pfad befindet ohne dabei mit dem Hindernis wechselzuwirken. Natürlich ist das keine absolut sichere Methode. Das Photon kann ja auch mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 vom Hindernis absorbiert werden oder mit der Wahrscheinlichkeit 1/4 im Detektor A ankommen. Im ersten Fall wissen wir zwar, daß das Hindernis da ist, aber es gab eine Wechselwirkung. Im zweiten Fall können wir aus dem Resultat (Photon in A) nicht schließen, daß ein Hindernis anwesend ist, da ja auch im Normalfall (ohne Hindernis) jedes Photon in A ankommt. Nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 wird das Photon in B beobachtet werden und nur in diesen Fällen können wir mit Sicherheit auf die Anwesenheit einer Unterbrechung des blauen Pfades schließen. Dennoch ist selbst diese eingeschränkte Effizienz noch absolut erstaunlich. Immerhin ist es mit herkömmlichen Methoden niemals (also mit Wahrscheinlichkeit 0) möglich die Anwesenheit eines Objektes mit Sicherheit festzustellen ohne "hinzusehen" (jede Form des "Hinsehens" bedeutet schließlich Wechselwirkung). Im folgenden Experiment können Sie sehen wie die wechselwirkungsfreie Messung praktisch funktioniert. Durch Klicken auf das Feld "start" schicken Sie ein einzelnes Photon in das Interferometer (IFM). Die roten Linien symbolisieren die möglichen Wege, die dem Photon offenstehen. Auf welchem Weg es tatsächlich geht wissen wir nicht. Würden wir versuchen es herauszufinden, würde es nicht mehr interferieren und sich verhalten wie das Licht der Glühbirne. Die Ankunft des Photons in Detektor A wird durch das rote Licht symbolisiert. Um erneut ein Photon ins IFM zu schicken klicken Sie auf das Feld "eval." und anschließend wieder auf "start". Indem Sie auf das schwarze Feld "Stop" klicken, können Sie den oberen Pfad blockieren. Auf der linken Seite sehen Sie 10 schwarze Quadrate. Es sind dies Schachteln die von außen nicht unterscheidbar sind. Jedoch befinden sich in manchen Schachteln lichtempfindliche Filme. In den anderen befinden sich Attrappen, die sich nur dadurch von den Filmen unterscheiden, daß sie die Photonen durchlassen. Wie können wir feststellen in welcher Schachtel ein Film ist, ohne ihn zu belichten (bereits ein Photon würde ihn belichten)? Bringen wir eine Schachtel ins IFM (durch Klicken auf die Schachtel). Das IFM befinde sich in völliger Dunkelheit. Es werden nun zwei Löcher in der Schachtel geöffnet, sodaß ein Photon hindurchfliegen könnte, wenn kein Film in der Schachtel wäre. Schicken wir nun ein Photon ins IFM. Natürlich wissen wir nicht, ob der obere Pfad im IFM für das Photon frei ist oder nicht (symbolisiert durch das "?"). Das hängt ja davon ab, ob in der Schachtel ein Film ist oder eine Attrappe. Das Ergebnis des Experimentes kann durch Klicken auf das Feld "eval." ausgewertet werden. Die Schachtel erscheint links unten versehen mit einem Symbol: 2 von :43

13 teil4 file:///i /fernlehre skriptum/studienbrief5/teil4.htm "!": Erfolgreiche Messung. In der Schachtel ist mit Sicherheit ein unbelichteter Film. "?": Das Ergebnis ist nicht eindeutig. Wir wissen nicht, ob in der Schachtel ein Film ist. "X": In der Schachtel ist ein Film, aber er hat das Photon absorbiert, ist also belichtet. Sind alle Schachteln verbraucht, kann der Versuch durch Klicken auf "reset" rechts oben mit 10 neuen Schachteln wiederholt werden. Durch Klicken auf die Felder "open" können Sie in die Schachteln hineinsehen. Die Schachteln mit Film sind durch einen Strich in der Mitte gekennzeichnet. Aufgaben: Überzeugen Sie sich von der Wirkungsweise des Experimentes. Wie groß ist die Erfolgsrate? Was könnte man besser machen (um die Erfolgsrate zu erhöhen)? Zurück 3 von :43