in vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen erforderlich: hohe Präzision große Dynamik möglich durch Verwendung von Gleitkommazahlen

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1 Inhalt Motivation 2 Integer- und Festkomma-Arithmetik Zahlendarstellungen Algorithmen für Integer-Operationen Integer-Rechenwerke Rechnen bei eingeschränkter Präzision 3 Gleitkomma-Arithmetik Zahlendarstellungen Algorithmen für Gleitkomma-Operationen Rundung und Ausnahmesituationen Fehleranalyse Gleitkomma-Rechenwerke Gleitkommazahlen in vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen erforderlich: hohe Präzision große Dynamik möglich durch Verwendung von Gleitkommazahlen allgemeine Gleitkommazahl zur Basis r ( radix ) definiert durch x = a r e mit Argument oder Mantisse a Exponent oder Charakteristik e eine Gleitkommazahl x 0 zur Basis r heißt normalisiert, wenn für die Mantisse a gilt: /r a 2

2 Binäre Gleitkommazahlen Verwendung der Basis 2, d.h. eine binäre Gleitkommazahl x ist definiert durch x = a 2 e mit m-stelliger Mantisse a und p-stelligem Exponent e eine binäre Gleitkommazahl x 0 heißt normalisiert, wenn das höchstwertige Nachkommabit den Wert hat zwei Interpretationen: 0.XXXXXXX oder.xxxxxxx häufig Darstellung des Exponenten mit Bias b: x = a 2 e b Wahl von b = 2 p bewirkt Transformation des Bereiches für den Exponenten e von p in (2 p )... 2 p einfache Kodierung positiver und negativer Exponenten früher unterschiedliches Gleitkommaformat in jedem Prozessor, heute überwiegend Verwendung des IEEE 754 Standard 3 IEEE 754 Standard allgemeine Definition: x = ( ) s.f 2 e b Mantisse aus Vorzeichen s und normalisiertem Betrag a =.f im Bereich bis... ( vor dem Komma wird nicht kodiert erhöhte Präzision) Aufbau einer n-bit IEEE Gleitkommazahl: p-stelliger Exponent mit Bias b = 2 p, gültiger Exponent e nur im Bereich e min = 0 e e max = 2 p = 2b+ darstellbarer Zahlenbereich: 2 b... (2 2 m ) 2 b zwischen 2 e b und 2 e b+ können stets 2 m Gleitkommazahlen kodiert werden Abstand 2 m 2 e b ist abhängig von e! 4

3 IEEE 754 Standard (Forts.) 3 verschiedene Formate spezifiziert: single precision double precision quad precision n m s p 8 5 e min e max b x min x max ( ) ( ) (2 2 2 ) IEEE 754 Standard (Forts.) e = e min = (00..00) 2 = 0 und e = e max = (..) 2 werden zur Kodierung besonderer Zahlen verwendet: x = +0 ( positive Zero ): e = 0, f = 0, s = 0 x = 0 ( negative Zero ): e = 0, f = 0, s = x = + ( positive Infinity ): e = e max, f = 0, s = 0 x = ( negative Infinity ): e = e max, f = 0, s = x = NaN ( Not a Number ): e = e max, f 0, s kann der Klassifikation eines NaN dienen, z.b. quiet oder trapping x = ( ) s 0.f 2 b ( Denormalized Number ): e = 0, f 0 Denormalisierte Gleitkommazahlen ermöglichen die Darstellung sehr kleiner Werte im Bereich 2 b m... 2 b 6

4 IEEE 754 Standard (Forts.) Behandlung von Ausnahmesituationen: Überlauf tritt ein, wenn nach Normalisierung für x gilt: e e max Generierung von + (falls x > 0) bzw. (falls x < 0) einige Rechenregeln: + x = (falls x ), x = (falls x ), x / 0 = (falls x 0), x = (falls x 0) einige Operationen liefern ein unbestimmtes Ergebnis, z.b.: 0 = NaN, 0 / 0 = NaN, = NaN, f(nan) = NaN Unterlauf tritt ein, wenn nach Normalisierung für x gilt: e = 0 entweder Generierung von x = 0 ( flushing to zero ) oder Generierung einer denormalisierten Darstellung von x Anmerkung: In vielen Laufzeitsystemen wird bei Darstellung einer Zahl nicht zwischen NaN, + und unterschieden und stets NaN generiert! 7 Fehleranalyse von Gleitkommazahlen Eine reelle Zahl x soll durch eine Gleitkommazahl x angenähert werden i.a. existieren zwei Gleitkommazahlen x und x 2 mit x x x 2, d.h. a 2 e x (a + 2 m ) 2 e sei nun x die nähere von beiden Gleitkommazahlen x und x 2, so ergibt sich der maximale absolute Fehler: x = x x = ½ (x 2 x ) 2 e = ½ 2 m 2 e = 2 m 2 e ( x hängt somit von Breite m der Mantisse und vom Exponenten ab!) für den maximalen relativen Fehler gilt jedoch: x = (x x) / x = x / x = (½ 2 m 2 e ) / x < (½ 2 m 2 e ) / (a 2 e ) = ½ 2 m / a < ½ 2 m ( x hängt somit nur von Breite m der Mantisse ab!) 8

5 Rundung von Gleitkommazahlen IEEE Standard unterstützt vier Rundungsmodi, die vom Anwender gewählt werden können (Annahme: x = a 2 e bias ; aus m+r Stellen der Mantisse a werden m Stellen) round to nearest even (Default): Runde zur nächsten darstellbaren Gleitkommazahl x. Sind Distanzen zur nächstgrößeren Zahl x + und zur nächstkleineren Zahl x identisch, wähle die Zahl x mit Mantissenbit a 0 = 0 mittlerer relativer Fehler: E[ x ] = 0!! round towards plus infinity : Runde stets zur nächstgrößeren darstellbaren Gleitkommazahl x + (gilt auch bei Überlauf!) mittlerer relativer Fehler: E[ x ] = ½ (2 m 2 m r ) round towards minus infinity : Runde stets zur nächstkleineren darstellbaren Gleitkommazahl x (gilt auch bei Überlauf!) mittlerer relativer Fehler: E[ x ] = ½ (2 m 2 m r ) round towards zero : Abschneiden ohne Runden (also Truncating ) mittlerer relativer Fehler: E[ x ] = 0!? 9 Gleitkomma-Multiplikation Algorithmus zur Multiplikation zweier IEEE-Gleitkommazahlen x = ( ) s a 2 bias und y = ( ) t b 2 bias : ) Multipliziere Mantissen als Festkommazahlen: c = a b a =.f a und b =.f b haben m + Stellen c hat 2m + 2 Stellen! 2) Addiere Exponenten: = + bias 3) Berechne Vorzeichen des Produktes: u = s t 4) Normalisiere Ergebnis z = ( ) u c 2 -bias a) Falls c 2, schiebe c um nach rechts und inkrementiere b) Setze c =.f c =.(c 2m c 2m 2... c m ) 2 mit Rundung 5) Behandlung von Ausnahmesituationen: a) Überlauf, falls e max = 2 p z := (abhängig von u) b) Unterlauf, falls e min = 0 Denormalisierung durchführen! c) Zero, falls c = 0 z := 0 (abhängig von u) 0

6 Gleitkomma-Multipliaktion (Forts.) Architektur eines Gleitkomma-Multiplizierers: Gleitkomma-Addition/Subtraktion Algorithmus zur Addition/Subtraktion zweier Gleitkommazahlen x = ( ) s a 2 bias und y = ( ) t b 2 bias im IEEE Format: ) Sortiere x und y derart, daß x die Zahl mit kleinerem Exponenten ist 2) Anpassung der Exponenten: Transformiere x in die Gleitkommazahl x = ( ) s a 2 bias durch Rechtsschieben von a um d = Bits 3) Addiere/Subtrahiere Mantissen: a) Falls nötig, bilde Zweierkomplement von a oder b b) Führe Festkomma-Addition c = a b aus c) Falls c 0, setze u = und bilde Zweierkomplement von c 4) Normalisiere Ergebnis z = ( ) u c 2 bias a) Falls c 2, schiebe c nach rechts (mit Rundung!) und inkrementiere b) Falls c, schiebe c nach links und dekrementiere ggf. wiederhole b), bis c 2 5) Behandlung von Ausnahmesituationen: a = 0, b = 0 oder c = 0, Überlauf, Unterlauf, d > m + 2 2

7 Gleitkomma-Addition (Forts.) Architektur eines Gleitkomma-Addierers: 3