Folgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007

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1 Katharina Brazda 9. März 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen Definition von Folgen - explizite und rekursive Darstellung Wachstumsverhalten von Folgen - Monotonie und Beschränktheit Konvergenz und Limes von Folgen Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Reihen Definition von Reihen Konvergenz und Summen von Reihen

2 1 Folgen 1.1 Definition von Folgen - explizite und rekursive Darstellung Reelle Folgen sind unendlich lange Listen reeller Zahlen. Formal sind (reelle) Folgen Funktionen von den natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, 3,... } in die reellen Zahlen R. Jeder natürlichen Zahl n N wird also eine reelle Zahl R zugeordnet. Man schreibt für eine Folge: ( ) n N bzw. (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4,... ) In der Schule wurde zumeist mit a 1 begonnen sowie folgende Notation mit Spitzklammern... verwendet: bzw. a 0, a 1, a 2, a 3, a 4,... Jede einzelne, in einer Folge vorkommende reelle Zahl heißt Folgenglied zum Index n. Kurz wird auch als n-tes Folgenglied bezeichnet. Schließt man eine endliche Menge J N an Indizes aus (d.h. man lässt nur Folgenglieder mit n N \ J zu), so zeigt man dies durch ( ) n N\J an. Schreibweisen mit anderen Buchstaben als Indizes sind klarerweise völlig gleichwertig, solange diese nur denselben Indexbereich durchlaufen. Anstatt ( ) n N kann man beispielsweise auch (a k ) k N, (a j ) j N oder gar (a α ) α N für ein und dieselbe Folge schreiben - n, k, j oder α sind nur Platzhalter für natürliche Zahlen. Im Unterschied zu den ungeordneten Mengen sind Folgen, die zwar dieselben Glieder besitzen, welche aber in anderer Reihenfolge angeordnet sind, verschieden! So gilt etwa für die Mengen {2, 4, 6, 8,...} = {4, 2, 8, 6,...}, aber für die entsprechenden Folgen (2, 4, 6, 8,...) (4, 2, 8, 6,...). Eine Folge ist durch Angabe aller ihrer Glieder vollkommen bestimmt. Da dies im Fall einer unendlichen Folge unendlich viele sind, benötigt man ein sogenanntes Bildungsgesetz der Folge, welches verbal deskriptiv, explizit oder rekursiv angegeben werden kann. Es sei unterstrichen, dass das Bildungsgesetz einer unendlichen Folge (und damit die Folge selbst) aus nur endlich vielen bekannten Folgengliedern niemals eindeutig festgestellt werden kann! Um alle Folgenglieder zu bestimmen ist es ausreichend, die Funktion f : N R mit = f(n) zu kennen. Die Darstellung einer Folge vermöge einem Bildungsgesetz in Form obiger Funktion f bzw. der zugehörigen Zuordnungsvorschrift n heißt explizite Darstellung (oder auch Termdarstellung) der Folge. Einfache Beispiele für reelle Folgen in expliziter Darstellung sind gegeben durch: = c R und damit (c) n N = (c, c, c, c, c,... ) = 1 n (n 1) und damit ( 1 n) n N\{0} = (1, 1 2, 1 3, 1 4,... ) = ( 1) n und damit ( ) ( 1) n = (1, 1, 1, 1, 1,... ) n N = 3 2n und damit (3 2n) n N = (3, 1, 1, 3, 5,... ) = 2 n+1 und damit (2 n+1 ) n N = (2, 4, 8, 16, 32,... ) Katharina Brazda 2 9. März 2007

3 Ist die Folge dadurch gegeben, dass jedes Glied mit Hife von vorhergehenden Gliedern bestimmt ist, so spricht man von einer rekursiven Darstellung der Folge bzw. einer rekursiv definierten Folge. Das Bildungsgesetz besteht aus einer Rekursionsformel, durch die ein jedes Folgenglied mit gewissen früheren Gliedern in Verbindung gebracht wird. Zusätzlich müssen noch entsprechende Anfangsglieder der Folge vorgegeben werden. Im Gegensatz zu einer Folge in expliziter Darstellung können die Glieder einer rekursiv gegebenen Folge also nur schrittweise nacheinander berechnet werden. Das Paradebeispiel einer rekursiv gegebenen Folge ist die sogenannte Folge der Fibonacci-Zahlen : = (n 2) mit a 0 = 0 und a 1 = 1 und damit ( ) n N = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... ) Jedes Glied dieser Folge ist (ab dem Index n = 2) die Summe jener zwei Glieder, die unmittelbar davor kommen. Die Fakultät mit der Zuordnungsvorschrift n n! := (n 1) n gibt Anlass zu einer Folge mit Gliedern = n!, die sich wie folgt ebenfalls rekursiv definieren lässt: n! = n (n 1)! (n 1) mit 0! = 1 und damit (n!) n N = (1, 1, 2, 6, 24, 120, 720,... ) 1.2 Wachstumsverhalten von Folgen - Monotonie und Beschränktheit Stellt man eine reelle Folge als Funktion von N nach R dar, so besteht der Funktionsgraph aus einzelnen Punkten mit den Werten der Folgenglieder als y-koordinaten, die jeweils über den diskreten Stellen 0, 1, 2, 3,... aufzutragen sind. Genauso wie man nun eine Funktion auf ihr Wachstumsverhalten hin untersuchen kann, stellen sich die Fragen nach Wachstum oder Abfall, ihrer Monotonie oder der Beschränktheit auch für Folgen. Gilt für alle Indizes n 0 einer (reellen) Folge ( ) n N 1 < 1 1 = ( = const.), so nennt man die Folge 1 1 > streng monoton wachsend monoton wachsend konstant monoton fallend streng monoton fallend. Nach dieser Definition ist jede streng monoton wachsende (bzw. fallende) Folge auch monoton wachsend (bzw. fallend). Folgen, deren Glieder abwechselnd positive und negative Werte annehmen, heißen alternierend. Eine reelle Folge ( ) n N bezeichnet man als nach oben (bzw. unten) beschränkt, falls es eine Zahl c R gibt, sodass alle Folgenglieder kleiner (bzw. größer) gleich c sind. Formal lautet diese Bedingung: c R n N : { an c c } : ( ) n N ist { nach oben beschränkt nach unten beschränkt Die Zahl c heißt dann obere (bzw. untere) Schranke der Folge. Weist eine Folge ( ) n N sowohl eine obere Schranke c oben als auch eine untere Schranke c unten auf, so sind alle Folgenglieder betragsmäßig durch eine Zahl c max( c oben, c unten ) > 0 beschränkt, weshalb man definiert: c R n N : c : ( ) n N ist beschränkt Demnach ist eine Folge genau dann beschränkt, wenn alle ihre Glieder innerhalb eines beschränkten Intervalls I R liegen. Alle Folgen, die nicht beschränkt sind, werden unbeschränkt genannt. } Katharina Brazda 3 9. März 2007

4 Beispiele: Monotonie: Die Folge (3n 2 + 1) n N ist (streng) monoton wachsend. Beweis: Sei n N, n 0, dann ist = 3n = 3(n 1) und daher gilt: 1 = 3n ( 3(n 1) ) = 3n (3n 2 6n ) = 6n 3 > 0 (d 1 vorausgesetzt ist) Es ist also 1 > 0 d.h. 1 < und somit ist (3n 2 + 1) n N (streng) monoton wachsend. Das Nachweis, dass eine Folge (streng) monoton fällt, geht analog mit der Bedingung 1 >. Beschränktheit nach oben: Die Folge ( 2n 1 n+5 ) n N ist nach oben beschränkt durch 3. Beweis: Sei n N, dann gilt: Die Ungleichung 2n 1 n+5 2n 1 3 (n + 5) (wegen n N ist n + 5 > 0) n + 5 2n 1 3n n ist wahr für alle n N 3 ist somit richtig, d.h. 3 ist eine obere Schranke von ( 2n 1 n+5 ) n N. Im Fall der Beschränktheit nach unten verfährt man analog mit einer unteren Schranke. Weitere Beispiele: ( n 3 ) n N (streng) monoton wachsend, beschränkt nach unten - untere Schranke ist z.b. 0 (7 4n) n N (streng) monoton fallend, beschränkt nach oben - obere Schranke ist z.b. 7 (1 1 n+1 ) n N (streng) monoton wachsend, beschränkt - alle Folgenglieder liegen in [0, 1) (( 1 n+3 )2 ) n N (streng) monoton fallend, beschränkt - alle Folgenglieder liegen in (0, 1 9 ] (( 1) n ) n N alternierend, beschränkt - alle Folgenglieder liegen in [ 1, 1] (( 2) n ) n N alternierend, unbeschränkt Katharina Brazda 4 9. März 2007

5 1.3 Konvergenz und Limes von Folgen Falls sich die Folgenglieder bei stets wachsendem Index n unbegrenzt einer bestimmten reellen Zahl ähern (bzw. ihr beliebig nahe kommen), sagt man, dass die Folge ( ) n N für n gegen Unendlich gegen a konvergiert. Dann heißt a der Limes oder Grenzwert der Folge ( ) n N und man schreibt lim = a oder a für n n Dass sich die Folgenglieder der Zahl a R unbegrenzt nähern, bedeutet formal, dass gilt: ε > 0 N N n N : a < ε In Worten: Zu jedem (noch so kleinen) reellen ε > 0 hat es immer einen Folgenindex N N zu geben, sodass für alle (späteren Indizes) n N die Ungleichung a < ε gilt. Anders ausgedrückt müssen sich die Glieder mit n N um weniger als ε vom Limes a unterscheiden bzw. sollen sie alle innerhalb des offenen Intervalls (a ε, a + ε) = {x R a ε < x < a + ε} R liegen, welches als ε-umgebung von a R bezeichnet wird. Folgen, die einen solchen Grenzwert besitzen, nennt man konvergent und alle anderen Folgen heißen divergent. Folgen ( ) n N, die gegen 0 konvergieren (d.h. mit lim n = 0), bezeichnet man als Nullfolgen (vgl. Abbildung 1). Übersteigen ab einem bestimmten Index sämtliche Folgenglieder alle vorgegebenen Schranken, so sagt man, dass die Folge bestimmt divergent gegen plus Unendlich ist und man schreibt: lim n =. Unterlaufen die Folgenglieder analog alle noch so kleinen reellen Zahlen, heißt die Folge bestimmt divergent gegen minus Unendlich, was zu lim n = notiert wird. Es lässt sich zeigen, dass eine jede Folge entweder keinen oder genau einen Limes besitzt - der Limes einer Folge ist also eindeutig bestimmt (Eindeutigkeit des Limes). Beispiele (Nachweis der Konvergenz direkt aus ihrer Definition): Es gilt: lim n 1 n = 0. Beweis: Nach der Definition der Konvergenz ist für die Folge mit Gliedern = 1 n dass ε > 0 N N n N : 1 n 0 < ε Sei nun ε > 0, dann gilt: zu zeigen, 1 n 0 < ε 1 n < ε 1 n < ε n > 1 ε Wählt man N N als die zu 1 ε R nächstgrößere natürliche Zahl, so gilt für alle n N, dass 1 n 0 < ε. Der Beweis ist damit fertig. Gibt man etwa in obigem Beispiel ε = 0.01 vor, so gilt die entscheidende Ungleichung 1 n 0 < ε für alle n N mit n > 1 ε = = 100, d.h. ab N = 101. ( Es gilt: lim 7 n n+2 + 3) = 3. Beweis: Sei ε > 0, dann gilt: ( 7 n+2 + 3) 3 < ε 7 n+2 < ε 7 ε < n + 2 n > 7 ε 2 7 Damit ist n+2 0 < ε für alle Indizes n N N mit N > 7 ε 2 erfüllt (ist z.b. ε = 0.1 vorgegeben, so ist 7 ε 2 = 70 2 = 68 und man kann N = 69 wählen). Katharina Brazda 5 9. März 2007

6 Es gilt: lim n c = c oder c c (n ), d.h. konvergent gegen c (wegen c c = 0 < ε erfüllen die Folgenglieder für jedes ε > 0 die nötige Ungleichung) 3 2 =1/n 1 0 ε ε a 1 a a a a a a a a a n Abbildung 1: Konvergenz der Nullfolge ( 1 n ) n N\{0}: Man erkennt, dass die Glieder = 1 der Folge für das n vorgegebene ε > 0 ab dem Index N = 4 innerhalb des Intervalls ( ε, ε) (ε-umgebung von 0) liegen, bzw. die Ungleichung 0 < ε erfüllen. Konvergenzkriterien für Folgen: Um festzustellen ob eine Folge ( ) n N gegen eine (erratene oder sonst wie gegebene) reelle Zahl a konvergiert, hat man per Definition für ein beliebiges, aber vorgegebenes ε > 0 einen Folgenindex N N anzugeben, ab dem für alle Folgenglieder mit n N die Ungleichung a < ε richtig ist. Allerdings muss hierfür bereits ein Kandidat a R als prospektiver Limes vorhanden sein. Trifft man die falsche Wahl, d.h. konvergiert die Folge tatsächlich gegen eine andere Zahl b a, kann direkt aus der Definition auch keine Konvergenz gezeigt werden. Sogenannte Konvergenzkriterien für Folgen ermöglichen es, über die Konvergenz oder Divergenz einer Folge zu entscheiden, ohne direkt die Definition der Konvergenz zu benutzen bzw. einen geeigneten Kandidaten als Limes zu benötigen. Nach dem Konvergenzkriterium von Cauchy ist eine reelle Folge konvergent, falls sich alle Folgenglieder ab einem bestimmten Index beliebig nahe kommen, d.h. formal muss ε > 0 N N n, m N : a m < ε gewährleistet sein. Es lässt sich also Konvergenz nachweisen ohne den Limes der Folge zu kennen. Hierbei ist wichtig, dass es sich um eine reelle Zahlenfolge mit reellem Limes handelt. Katharina Brazda 6 9. März 2007

7 Jede konvergente Folge ist auch beschränkt - umgekehrt kann also eine unbeschränkte Folge keinen Grenzwert besitzen, was einem Divergenzkriterium gleichkommt. Ein besonders nützliches Konvergenzkriterium ist der Satz von der monotonen Konvergenz, nachdem jede monoton wachsende (bzw. fallende) und nach oben (bzw. unten) beschränkte Folge einen Grenzwert besitzt. Um jedoch konkret den Limes einer konvergenten Folge zu berechnen, bietet es sich an, zu versuchen, in ihr (gliedweise) die Summe, das Produkt oder den Quotienten einfacherer, bereits als konvergent bekannter Folgen zu erkennen. Der gesuchte Limes ergibt sich dann mit Hilfe der entsprechenden Rechenregeln für Limiten. Rechenregeln für Limiten: Sind ( ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen, so konvergieren auch die (gliedweisen) Summenfolge ( +b n ) n N, die Produktfolge ( b n ) n N sowie als Spezialfall davon die mit c R skalar multiplizierte Folge (c ) n N. Für die entsprechenden Limiten gelten die folgenden Rechenregeln: lim ( + b n ) = lim + lim n n lim ( b n ) = ( lim a ) ( n lim n n lim (/b n ) = ( lim a ) ( n / lim n n n b n n b n n b n ) ) und insbesondere falls lim b n 0 n lim (c ) = c lim n n Erfüllen sämtliche Glieder zweier konvergenter Folgen ( ) n N und (b n ) n N ab einem Index die Ungleichung b n, so gilt diese auch für die Limiten, d.h. es ist dann lim n lim n b n. Lassen sich die Folgenglieder ab einem bestimmten Index nach oben und unten durch die Glieder zweier gegen denselben Limes konvergenten Folgen ( ) n N und (b n ) n N abschätzen, so konvergiert auch die Folge (c n ) n N und besitzt denselben Limes wie ( ) n N und (b n ) n N : lim = a = lim b n und N N n N : c n b n = lim c n n n n = a Weitere Beispiele: 5 2 n+1 3 (n ), d.h. konvergent gegen 5 (Anwendung des Satzes von der monotonen Konvergenz: es handelt sich um eine beschränkte, monoton wachsende Folge. Oder mit Hilfe der Rechenregeln für Limiten: die Folge ist Differenz zwischen der konstanten Folge (5) n N und der Nullfolge ( 2 n+1 ) n N) 8n3 n 3+4n = 8 1/n2 3 3/n = 2 (n ), d.h. konvergent gegen 2 (Benutzung der Rechenregeln für Limiten) 1 n 2 0 (n ), d.h. Nullfolge (Einschachtelung: für n N gilt 0 1 n 2 1 n und wegen 0 0, 1 n 0 muss auch 1 n 2 0) ( 1) n (n ), d.h. divergent (die betragsmäßige Differenz aufeinanderfolgender Glieder ist stets gleich 2, sodass es keine reelle Zahl gibt, von der sich alle Folgenglieder ab einem bestimmten Index an um weniger als 1 unterscheiden - die Folge besitzt demnach keinen Limes) 6n (n ), d.h. bestimmt divergent gegen plus Unendlich (jede noch so große Schranke wird ab einem gewissen Index von allen nachfolgenden Folgengliedern übertroffen) Katharina Brazda 7 9. März 2007

8 1.4 Arithmetische Folgen Eine Folge, bei der die Differenz je zweier aufeinander folgender Folgenglieder konstant ist, heißt arithmetische Folge. Rekursiv lauten die Glieder einer arithmetischen Folge ( ) n N ab n 1, wobei von einen gegebenen Startwert a 0 ausgegangen wird: = 1 + c wobei c R (const.) Eine arithmetische Folge beschreibt ein (diskretes) lineares, streng monotones Wachstum (c > 0) oder Abfallen (c < 0). Für c = 0 handelt es sich um konstante Folgen mit Gliedern = a 0. Da die Glieder arithmetischer Folgen stets konstanten Abstand voneinander haben, divergieren diese Folgen immer (außer im Fall c = 0, wo es sich um konstante und damit konvergente Folgen handelt). Setzt man die Rekursionsbedingung sukzessive auch in die Glieder 1, 2 usw. ein und bildet = 1 + c = 2 + 2c = 3 + 3c =..., erkennt man leicht, dass die Glieder einer arithmetischen Folge durch = a 0 + n c für n N gegeben sind. Dies entspricht einer Geradengleichung im R 2 bzw. einer (affin) linearen Funktion auf R, welche die y-achse (Ordinate) in a 0 schneidet und die Steigung c besitzt (erweitere den diskreten Index n N zur kontinuierlichen Variablen x R). 1.5 Geometrische Folgen Eine Folge, deren Quotient von unmittelbar aufeinander folgenden Gliedern konstant ist, wird als geometrische Folge bezeichnet. Die die geometrische Folge ( ) n N für n 1 definierende Rekursionsbedingung ist zusammen mit einem gegebenen Anfangsglied a 0 : = q 1 wobei q R (const.) Beginnend mit a 0 > 0, stellen geometrische Folgen ein (diskretes) exponentielles, streng monotones Wachstum (q > 1) oder ein ebensolches Abfallen (0 < q < 1) dar. Für q = 1 ergibt sich die konstante Folge = a 0 und bei q = 0 ist = 0 (n 1). Für q < 0 ist die geometrische Folge alternierend. Die geometrische Folge (a 0 q n ) n N ist im Fall q < 1, d.h. 1 < q < 1 eine Nullfolge. Im Fall q > 1 divergiert sie. Insgesamt ist die geometrische Folge also für 1 < q 1 konvergent. Treibt man die einfache Rechnung = q 1 = q 2 2 = q 3 3 =... weiter, erhält man = q n a 0 für n N als das Bildungsgesetz für geometrische Folgen. Ist q > 0, so erkennt man darin wegen q n (ln q) n = e die Exponentialfunktion auf R, welche die y-achse in a 0 trifft und um den Faktor ln q im Exponenten skaliert ist. Etwa wird das Gesamtkapital K n, welches sich bei jährlicher Verzinsung eines Grundkapitals K 0 von p % nach n Jahren angesammelt hat, durch die sogenannte Zinseszinsformel beschrieben. Sie lautet K n = K 0 (1 + p 100 )n und stellt eine geometrische Folge (K n ) n N mit q = 1 + p 100 dar. Katharina Brazda 8 9. März 2007

9 2 Reihen 2.1 Definition von Reihen Grob gesagt sind (unendliche) reelle Reihen unendliche Summen reeller Zahlen. Für eine reelle Folge ( ) n N gibt die Folge der Partialsummen (bzw. Teilsummen) mit den Gliedern S k = k n=0 = a 0 + a 1 + a a k Anlass zur Reihe (S k ) k N. Eine Reihe ist demnach eine spezielle Folge der Form (a 0, a 0 + a 1, a 0 + a 1 + a 2, a 0 + a 1 + a 2 + a 3,... ) welche wie folgt notiert wird: n N oder n=0 2.2 Konvergenz und Summen von Reihen Eine Reihe heißt konvergent, falls die zugehörige Folge der Partialsummen (S k ) k N konvergent ist. Ihr Limes S wird als Summe der Reihe bezeichnet und man schreibt S = als Abkürzung für n=0 oder S = n N S = lim S k = lim k k Ist eine Reihe n=0 konvergent, so haben ihre Glieder eine Nullfolge zu bilden, d.h. es hat für n zu gelten. Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht! Beispiel einer Reihe, die divergent ist obwohl ihre Glieder eine Nullfolge bilden, ist die harmonische Reihe n=1 1 n. Obigem Kriterium kommt daher die Rolle eines Divergenzkriteriums zu, da es jede Reihe, deren Glieder nicht gegen Null gehen als divergent enttarnt. Die geometrische Reihe n N qn = 1 + q + q 2 + q besteht aus der Partialsummenfolge der geometrischen Folge (q n ) n N wobei q R konstant ist. Zieht man die Gleichungen k n=0 S k = 1 + q + q q k q S k = q + q q k + q k+1 voneinander ab, kürzen sich Terme gleicher Potenz weg und man erhält S k (1 q) = 1 q k+1. Daraus folgt die geometrische Summenformel, nach welcher für die k-te Partialsumme der geometrischen Reihe gilt: k q n = 1 qk+1 1 q n=0 Im Limes k stellt (q k+1 ) k N eine Nullfolge dar, sofern nur q < 1 ist. Somit lautet die Summe der (unendlichen) geometrischen Reihe: n N q n = 1 1 q Für q 1 ist die geometrische Reihe divergent. sofern nur q < 1 Katharina Brazda 9 9. März 2007

10 Beispiele: n N ( 1 2) n = = = 2 ( ) n N 1 n 2 = = = 2 3 Katharina Brazda März 2007