Diagonalisieren. Nikolai Nowaczyk Lars Wallenborn

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1 Diagonalisieren Nikolai Nowaczyk Lars Wallenborn März 01 Inhaltsverzeichnis 1 Matrizen 1 11 Einschub: Invertierbarkeit und Lineare Unabhängigkeit 3 Diagonalisieren 4 3 Anwendungen 6 31 Matrixpotenzen 7 3 Differentialgleichungen 7 33 Rekursiv definierte Zahlenfolgen 8 Index 10 1 Matrizen Ich würde Ihnen ja mehr erzählen, aber dann müsste ich Sie töten James Bond, Geheimagent 11 Definition Matrix Seien n, m N Eine reelle m n Matrix A ist ein zweidimensionales Tupel A a ij,,m,j1,,n aus Zahlen a ij R Die Menge aller solchen Matrizen schreibt man auch als R m n Man nennt die a ij auch die Einträge der Matrix A 1 Definition Matrixaddition Seien A, B R m n Dann heißt die Matrix C : A + B R m n, deren Einträge definiert sind durch Summe von A und B c ij a ij + b ij 13 Definition Skalarmultiplikation Sei A R m n und c R Dann ist B : ca R m n die Matrix mit den Einträgen b ij ca ij Diese Art von Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl heißt Skalarmultiplikation

2 1 Matrizen 14 Definition Matrixmultiplikation Für zwei Matrizen A R m n, B R n k ist das Produkt C : AB R m k die Matrix, deren Einträge definiert sind durch c ij : m a iν b νj 1 Definition Einheitsmatrix Die Matrix E R n n mit den Einträgen { 1, i j, e ij 0, i j ν1 heißt Einheitsmatrix Streng genommen ist das für jedes n eine andere Matrix Wollen wir das in der Notation unterscheiden, schreiben wir E n 16 Definition Nullmatrix Die Matri R n n, deren Einträge ausschließlich aus Nullen besteht, heißt Nullmatrix und wird etwas schlampig ebenfalls mit 0 bezeichnet obwohl dies eigentlich für unterschiedliches n unterschiedliche Matrizen sind 17 Satz Rechenregeln für Matrizen Es gelten folgende Regeln für das Rechnen mit Matrizen: Seien A, B, C R n n und a, b R gilt: i A + B + C A + B + C ii A + 0 A iii A + A 0, wobei A : 1A iv A + B B + A v aba aba vi 1A A vii a + ba aa + ba viii aa + B aa + ab ix ABC ABC Man sagt auch der R n n ist eine R-Algebra 18 Definition invertierbar Eine Matrix A R n n heißt invertierbar, falls es eine Matrix B R n n gibt, sodass AB BA E Man schreibt dann auch A 1 : B Die Menge aller invertierbaren Matrizen notieren wir mit GLn Das steht für General Linear Group 19 Satz Ausrechnen des Inversen Sei A GLn Dann lässt sich die Inverse A 1 durch das so genannte simultane Gauß-Verfahren ausrechnen A E E A Satz Determinante Es gibt eine Funktion det : R n n R, genannt Determinante mit der Eigenschaft, dass A R n n : A GLn deta 0 Diese Funktion hat außerdem folgende Eigenschaften:

3 11 Einschub: Invertierbarkeit und Lineare Unabhängigkeit 3 i detab deta detb ii detca c n deta, c R, iii deta 1 deta 1, iv deta deta t Theoretisch kann man die Determinante einer Matrix immer konkret ausrechnen Es gilt nämlich für n a11 a det 1 a 11 a a 1 a 1 11 a 1 a und für allgemeines A R n n die rekursive Vorschrift 1 j n : deta 1 i+j a ij deta ij, wobei A ij R n 1 n 1 die Matrix ist, die aus A durch Streichung der i-ten Zeile und der j-ten Spalte hervorgeht 111 Satz Inverse von -Matrizen Für ein A GL gibt es eine besonders schöne Formel für das Inverse a b A GL A 1 1 d b c d deta c a 11 Einschub: Invertierbarkeit und Lineare Unabhängigkeit 11 Definition linear unabhängig Ein System von Vektoren v 1,, v n R n heißt linear unabhängig, falls für alle c 1,, c n R gilt: c i v i 0 1 i n : c i Satz Ein System von Vektoren v 1,, v n R n ist genau dann linear unabhängig, falls die Matrix S bestehend aus dem Spaltensystem S v 1,, v n invertierbar ist Damit können wir jetzt die Nicht-Invertierbarkeit einer Matrix charakterisieren 114 Lemma i Für jede Matrix A R n n gilt: Falls es ein v R n gibt, sodass v 0, aber Av 0, dann ist A sicherlich nicht invertierbar ii Die Umkehrung gilt auch: Falls A R n n nicht invertierbar ist, dann gibt es ein v 0, sodass Av 0 Beweis i Angenommen A wäre invertierbar Dann existiert per Definition ihr Inverses A 1, welches ebenfalls per Definition erfüllt: v Ev A 1 Av A Nach Voraussetzung ist aber v 0 Widerspruch!

4 Diagonalisieren 4 ii Sei v R n irgendein Vektor Schreibt man die Matrix A als System ihrer Spalten A A 1 A n so gilt: Av v i A i Daher sieht man mit dieser Gleichung ein: Wäre Av 0 für alle Vektoren v 0, dann wäre das Spaltensystem vom A linear unabhängig Gemäß Satz 113 wäre also die Matrix A invertierbar Wir hatten aber A als nicht invertierbar vorausgesetzt Widerspruch! Diagonalisieren Ganz einfach: Man muss nur den hydraulischen Phasenverschiebungsemulator nehmen und an die transdimensionale Photonenschleuder anschließen Rumms! Neuer Turm Blutelfen-Pionier, Ingenieur 1 Definition Diagonalmatrix Eine Matrix A R n n heißt Diagonalmatrix oder schlicht diagonal, falls gilt: 1 i, j n : i j a ij 0 Mit anderen Worten: Alle Einträge von A sind Null, außer die auf der Hauptdiagonalen von oben links nach unten rechts Bemerkung Die Einheitsmatrix ist zum Beispiel eine Diagonalmatrix 3 Lemma Seien A, B R n n diagonal Dann ist auch C : AB diagonal und es gilt 1 i n : c ii a ii b ii Daher ist eine diagonale Matrix A R n n invertierbar genau dann, wenn alle ihre Diagonaleinträge ungleich Null sind 4 Bemerkung Das Rechnen mit Diagonalmatrizen ist also erheblich einfacher als mit allgemeinen Matrizen Daher hätte man gerne ein Verfahren, um aus einer beliebigen Matrix eine Diagonalmatrix zu machen Dieses Verfahren heißt Diagonalisieren und soll im folgenden erklärt werden Definition diagonalisierbar Eine Matrix A R n n heißt diagonalisierbar, falls es eine Matrix S GLn gibt, sodass S 1 AS diagonal ist 6 Bemerkung Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, Kriterien zu entwickeln, wann man eine solche Matrix S finden kann und wie

5 Diagonalisieren 7 Definition Eigenwert Sei A R n n Eine Zahl λ R heißt Eigenwert von A, falls es einen Vektor v R n gibt, sodass v 0 und Av λv Wir nennen v dann einen Eigenvektor von A zum Eigenwert λ Wir nennen EA, λ : {v R n v ist Eigenvektor von A zum Eigenwert λ} {0} den Eigenraum von A zum Eigenwert λ Die Menge spec A aller Eigenwerte von A nennt man auch das Spektrum von A 8 Satz Struktur von Eigenräumen Ein Eigenraum EA, λ ist ein Unterraum, dh es gilt: Für alle v, w EA, λ und c R sind sowohl v + w EA, λ als auch cv EA, λ 9 Definition Charakteristisches Polynom Das charakteristische Polynom einer Matrix A R n n ist χ A X : detxe A 10 Satz Eigenwerte und charakteristisches Polynom Sei A R n n Dann ist λ R genau dann ein Eigenwert von A, falls λ eine Nullstelle von χ A ist Beweis Nach Definition ist λ genau dann ein Eigenwert von A, wenn es einen Vektor v R n mit v 0 gibt, sodass Av λv Nun gilt aber Av λv Av λv 0 A λev 0 deta λe 0 Der letzter Schritt bedarf vielleicht zusätzlicher Erklärung: Nach Voraussetzung ist ja v 0 Wenn also A λev 0 ist, so kann nach Lemma 114 die Matrix A λe nicht invertierbar sein Das ist nach Satz 110 äquivalent zu deta λe 0 Ist umgekehrt deta λe 0, so ist wie gesagt A λe nicht invertierbar Daher gibt es gemäß Lemma 114 ein v R n mit v 0, sodass A λev 0 Also ist v EA, λ und insbesondere λ spec A 11 Satz Notwendiges Kriterium für Diagonalisierbarkeit Sei A R n n diagonalisierbar Dann zerfällt χ A vollständig in Linearfaktoren Beweis Es sei A R n n diagonalisierbar Dann gibt es also eine Diagonalmatrix D R n n und eine Matrix S GLn, sodass S 1 AS D Daher gilt also unter Benutzung von Satz 110: χ A X detxe A detxe SDS 1 detxss 1 SDS 1 detsxe DS 1 dets detxe D dets 1 n dets dets 1 detxe D X d ii 1 Satz Hinreichendes Kriterium für Diagonalisierbarkeit Es sei A R n n und es bestehe spec A aus n paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,, λ n Dann ist A diagonalisierbar Sind v 1,, v n Eigenvektoren zu λ 1,, λ n, dann erfüllt die Matrix S R n n gegeben durch das Spaltensysten S v 1 v n

6 3 Anwendungen 6 die Gleichung S 1 AS D, wobei D die Diagonalmatrix ist, deren Diagonale gegeben ist durch λ 1,, λ n Beweis Es gilt AS A v 1 v n Av1 Av n λ1 v 1 λ n v n v 1 v 1 D SD Wenn wir jetzt noch zeigen, dass S invertierbar ist, sind wir fertig Denn dann ist obige Gleichung äquivalent zu S 1 AS D Gemäß Satz 113 zeigen wir dazu, dass Eigenvektoren v 1,, v n zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,, λ n linear unabhängig sind Diese Aussage wiederum beweisen wir ganz profan per Induktion nach n: Schritt 1 n 1: Die Gleichung c 1 v 1 0 impliziert sicherlich c 1 0, da nach Voraussetzung v 1 0 denn v 1 ist ja ein Eigenvektor Schritt n n + 1: Es sei die Aussage für n schon gezeigt und es gelte n+1 c i v i 0 1 Wendet man nun die Matrix λ n+1 E A auf diese Gleichung an, so erhält man 0 c i λ n+1 E Av i + c n+1 λ n+1 E Av n+1 c i λ n+1 v i λ i v i + c n+1 λ n+1 v n+1 Av n+1 c i λ n+1 λ i v i Nach Induktionsvoraussetzung folgt daher, dass für alle 1 i n gilt: c i λ n+1 λ i 0 Daher sind alle diese c i 0, denn da ja 1 i n, ist λ i λ n+1 nach Voraussetzung Setzt man dies jetzt wieder in die ursprüngliche Gleichung 1 ein, so erhält man n+1 0 c i v i c n+1 v n+1 Daraus folgt nun aber auch c n+1 0, da nach Voraussetzung v n Anwendungen Warum so ernst, Sohn Zaubern wir ein Lächeln auf dieses Gesicht Joker, Psychopath

7 31 Matrixpotenzen 7 31 Matrixpotenzen 31 Satz Matrixpotenzen Sei A diagonalisierbar, es gebe also ein S GLn sodass S 1 AS : D diagonal ist Dann ist Beweis Es ist und daher A n SD n S 1 S 1 AS D A SDS 1 A n SDS 1 n SDS } 1 SDS 1 {{ SDS 1 SDS 1 } SD n S 1 n-mal 3 Differentialgleichungen 3 Definition lineare Differentialgleichung Sei A R n n Dann heißt y Ay lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung Unter einer Lösung eines solchen Systems verstehen wir eine stetig differenzierbare Funktion y : I R n, I R ein Intervall, mit Man nennt y auch eine Lösungskurve t I : y t Ayt 33 Satz Sei A R n n diagonalisierbar und S GLn mit S 1 AS D diagonal Dann ist die Kurve y : Sz, wobei eine Lösung von y Ay 1 i n : z i t : expλ i t 31 Beweis Für eine Diagonalmatrix D mit Diagonale λ 1,, λ n kann man die Lösung von z Dz direkt hinschreiben: Sie ist gegeben durch 31 Eine Lösung von y Ay erhält man jetzt wie folgt: Weil A diagonalisierbar ist, können wir äquivalent auch das System y SDS 1 y lösen Weil S invertierbar ist, ist dies wiederum äquivalent zu S 1 y DS 1 y Wir nennen jetzt z : S 1 y und erhalten das Syste, z Dz Dessen Lösungen kennen wir aber jetzt aus 31 Daher ist die Lösung von y Ay gegeben durch y Sz 34 Definition Eine lineare Differentialgleichung der Ordnung n ist eine Gleichung der Form c i y i 0 3 i0 Unter einer Lösung versteht man eine n-mal stetig differenzierbare Abbildung y : I R, I R, ein Intervall, die 3 erfüllt

8 33 Rekursiv definierte Zahlenfolgen 8 3 Lemma Sei c i y i 0 33 i0 eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung Definiere die Matrix A R n n durch 0 En 1 A 34 c 1 c n Wir sagen dann, dass die Matrix A zu der Gleichung 33 assoziiert ist Dann gilt: Ist A diagonalisierbar und γ die in eine Lösung des DGL-Systems y Ay aus Satz 33, so ist ϕ : γ 1 eine Lösung von 33 Beweis Sei γ die Lösung von y Ay aus Satz 33 Schreibt man diese Gleichung in Komponenten hin, so erhält man γ 1 y γ y 3 γ n n c iγ i Also erfüllt ϕ : γ 1 die Differentialgleichung Rekursiv definierte Zahlenfolgen 36 Satz Sei x n n N und es gebe a, b R, sodass n N : x n+1 ax n + bx n 1 Die Matrix erfüllt dann n N : A : xn+1 x n a b 1 0 xn A x n 1 Ist A diagonalisierbar mit S 1 AS D, dann gilt xn+1 SD n S 1 x1 x n Beweis Dies zeigen wir per Induktion nach n: Für n 1 gilt x ax1 + bx 0 x1 A SDS 1 x1 x 1 x 1 Für den Induktionsschluss n n + 1 betrachten wir xn+ xn+1 A ASD n S 1 x1 SDS 1 SD n S 1 x1 x n+1 x n SD n+1 S 1 x1

9 33 Rekursiv definierte Zahlenfolgen 9 Als Anwendung der Anwendung leiten wir eine berühmte Formel für die Fibonacci-Folge her 37 Definition Fibonacci Folge Die Zahlenfolge f n n N, welche rekursiv definiert ist durch heißt Fibonacci-Folge n N : f n+ f n+1 + f n, f 0 : 0, f 1 : Satz Formel von Moivre-Binet Für alle n gilt: f n λn + λ n, λ ± 1 ± 36 Die Zahl λ + heißt goldener Schnitt Man beachte übrigens, dass aus der rekursiven Definition der Fibonacci-Folge folgt, dass f n N, was aus dem expliziten Ausdruck 36 gar nicht so ersichtlich ist Beweis Schritt 1 Reduktion auf Matrixproblem: Wir machen uns zunächst einmal klar, dass aus der Definition 3 der Fibonacci-Folge folgt, dass für alle n N gilt: fn+ f n+1 Dadurch erhalten wir eine Matrix A R }{{} :A fn+1 Schritt Diagonalisierung von A: Wir wollen jetzt die Matrix A diagonalisieren Dazu bestimmen wir zunächst spec A, sprich die Eigenwerte Gemäß Satz 10 müssen wir dazu die Nullstellen des charakteristischen Polynoms Dieses lautet χ A X detxe A det f n X 0 0 X X 1 1 det X 1X 1 X X 1 1 X Die Nullstellen dieser quadratischen Gleichung bestimmt man gemäß der p-q-formel und erhält: λ ± 1 1 ± ± 1 ± Die Matrix A hat also genau die zwei verschiedenen Eigenwerte λ + und λ Gemäß Satz 1 ist A also diagonalisierbar und es gibt eine Matrix S GLn, sodass S 1 AS D, wobei λ+ 0 D, S v +, v, v + EA, λ +, v EA, λ 0 λ Wir müssen also ganz konkret Eigenvektoren v +, v R bestimmen Per Definition sind diese Vektoren Lösungen des linearen Gleichungssystems Av ± λ ± v ±

10 33 Rekursiv definierte Zahlenfolgen 10 Dies ganz man auch noch etwas konkreter hinschreiben: λ± v 1 ± 1 1 v ± λ ± v ± 1 v ± 1 0 v ± 1 + v ± v 1 ± Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten v 1 ± und v ±, das man jetzt nach einem beliebigen Verfahren lösen kann Man bekommt als Ergebnis die Lösungsmenge 1 EA, λ ± {cv ± c R}, v ±, ± 1 Die Matrix S ist also gegeben druch S v +, v Wir erhalten gemäß 11 dets 1 1 und daher unter Benutzung von Satz 111 S Schritt 3 Eintüten: Damit haben wir jetzt alles beisammen, um das Problem zu lösen Denn gemäß Satz 36 gilt jetzt für alle n N fn+1 SD n S 1 f SD n 1 f n f λ n 1 S λ n λ n + 1 λ n +1 Wir multiplizieren den letzten Ausdruck aus, aber nur die zweite Zeile Dann folgt nämlich insgesamt unter Benutzung der Definition von λ ± : f n λ λ + λ n + λ + λ n λ λn + λ n λ λ + λn + λ n λn + λ n λ ± 1 1 ± ± 1 ±

11 Index 11 Index Charakteristisches Polynom, Determinante, diagonalisierbar, 4 Diagonalmatrix, 4 Eigenraum, Eigenvektor, Eigenwert, Einheitsmatrix, Fibonacci Folge, 9 invertierbar, linear unabhängig, 3 lineare Differentialgleichung, 7 Matrix, 1 Matrixaddition, 1 Matrixmultiplikation, Nullmatrix, Skalarmultiplikation, 1 Spektrum,